P_Sem 16_Ses 32_ Áreas por Integrales ppt

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MATEMÁTICAS PARA 
LOS NEGOCIOS 2
ÁREAS POR INTEGRALES
¿Cómo encontrarías el área de la región D?
x
y
0
D
3
1 5
https://www.youtube.com/watch?v=yhJkqKpys_U
Se podrá 
hacer con 
Integrales…...
 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
https://www.youtube.com/watch?v=yhJkqKpys_U
Sin usar fórmulas podrías encontrar el área
de la región D…..
x
y
0
2
2-2
D
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión el estudiante evalúa la gráfica de la función
y determina el área por medio de regiones.
LA INTEGRAL DEFINIDA
a
a
b
b
 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
− 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
La integral dependerá de donde se encuentre la región
INTEGRAL DEFINIDA Y 
ÁREAS DE REGIONES
En cambio, si la grafica se encuentra sobre el eje x y bajo el
eje x, se debe hallar el área por regiones.
y = f (x)
0
y
xR
S
T
a b
 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑅 + 𝑆 + 𝑇
EJERCICIO EXPLICATIVO
1.Calcular el área comprendida entre la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 desde 𝑥 = 2 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 6
Solución
Ya estudiamos los criterios para hacer graficas.
1) 𝑓 𝑥 = 𝑥2
2) 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 = 0
x
y
3) 𝑥 = 0 (𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟ì𝑡𝑖𝑐𝑜)
4) 𝑓′′ 𝑥 = 2
Al evaluar el punto crítico en la
segunda derivada siempre es
positiva; luego el valor extremo es
un mínimo
⇒ 0,0 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜
EJERCICIO EXPLICATIVO
EJERCICIO EXPLICATIVO
x
y
(0,0) 62
Area = 2
6
𝑥2𝑑𝑥 =
𝑥3
3
6
2
Área =
1
3
(63 − 23)𝑢2
área=
208
3
𝑢2
No se requiere toda la curva sino solo la
parte comprendida entre 2 y 6. Observamos
que esta sobre el eje x.
EJERCICIO EXPLICATIVO
Solución
= 9 − 3 − 1 − 1 = 6
2. Calcule el área de la región limitada por la función
𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟏 desde x=1 hasta x=3
La grafica es una recta y el área se encuentra bajo 
el eje x:
− 
1
3
(−2𝑥 + 1)𝑑𝑥
𝑥2 − 𝑥
1
3
EJERCICIO EXPLICATIVO
Solución − 
1
3
𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 
0
1
𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 + 3 𝑑𝑥
𝑥4
4
− 𝑥3 −
𝑥2
2
+ 3𝑥
1
10
−{
𝑥4
4
− 𝑥3 −
𝑥2
2
+ 3𝑥)
3
1
4
− 1 −
1
2
+ 3 −
81
4
− 27 −
9
2
+ 9 + {
1
4
− 1 −
1
2
+ 3}
3. Calcule el área de la región limitada por la función
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 + 3 desde x=0 hasta x=3
EJERCICIO EXPLICATIVO
Solución
 
0
4
(4𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥 =
32
3
A= 𝐷1 + 𝐷2 =
32
3
+
32
3
=
64
3
𝑢2
𝐷1
𝐷2
2 4
4
6
x
y
− 
4
6
(4𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥 =
32
3
 
𝟎
𝟔
(𝟒𝒙 − 𝒙𝟐)𝒅𝒙 = 0
4. Calcular el área de la función 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 6
EJERCICIO EXPLICATIVO
Calcule el área limitadas por las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑦 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 2
Solución
 
0
1
𝑥2𝑑𝑥 =
1
3
 
1
2
(−𝑥 + 2)𝑑𝑥 =
1
2
A=
1
3
+
1
2
=
5
6
𝑢2
TRABAJO EN CLASE
Resolver 
EJERCICIOS
DE LA SEPARATA