Actividad 2 Cálculo (funciones y dominios)

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UNIVERSIDAD
PANAMERICANA
Facultad de Ingeniería
Cálculo Diferencial
Actividad 02
30 de agosto — 17 de septiembre
Reconozco que COMETER ACTOS DESHONESTOS puede resultar en la baja definitiva de la Universidad.
Nombre y Firma:P
Nombre y Firma:
Nombre y Firma:
Instrucciones: Resolver los siguientes ejercicios explicando de la manera más clara posible
su procedimiento. Se evalúa procedimiento y resultado.
I.Verdadero o falso. = —9
2. Verdadero o falso. Sea t e R, sin 2t = 2 sin t
3. Verdadero o falso. In(e + e) = 1 + In 2
4. Verdadero o falso. Sea a, b e R. Si a < b, entonces a2 < b 
2
[Sugerencia. Inténtese probar con algunos tipos de números]
5. Verdadero o falso. Si f es una función y f (a) = f (b), entonces a
[Sugerencia. ¿Existe una función que no cumpla lo anterior?]
6. Verdadero o falso. Sea f una función D
7. Verdadero o falso. Sea f una función, entonces Df = R
[Sugerencia. Escriba un caso concreto)
8. Verdadero o falso. El dominio de cualquier función f siempre es un conjunto
infinito [Sugerencia. Considere las funciones especiales)
9. Verdadero o falso. Sean f, g, h funciones, fo (g + h) = fo g + f o h
10. Verdadero o falso. Existen funciones f tales que Rf = 0
11. O r I d i i d e I a i f =
12. Obtener el dominio de la función f (x) = In(x 2 3x IO)
13. Obtener el dominio de la función f (x) = In(x - 2x 2 -5x + 6)
[Sugerencia. Use división sintética o método de Ruffinil
14. Obtener el dominio de la función f (x) = x2+X+1
x3—1
[Sugerencia. Simplifique la fracción)
15. Obtener el dominio de la función f (x) =
16. Obtener el dominio de la función f (x)
17. Obtener el dominio de la función f (x) =
[Sugerencia. Use el problema anterior]
18. Obtener el dominio de la función f (x)
19. Obtener el dominio de la función f (x) —
20. Obtener el rango de la función f (x) = -2x 2 + 3x -5
21. Encuentre una función racional cuyo dominio sea DÍ = {x e R: x # +2,
22. Encuentre una función logaritmo cuyo dominio sea
23. Sea f (x) = —L. Interprete f (f (X)). ¿para qué x tiene sentido?
24. Sea f (x) — — —. 1 +x
1 ¿para qué números c existe un número x tal que f (cx) = f (x)?
25. Sea f (x) = c una función constante, c e R. Sea g(x) = x una función polinomial.
¿Qué función se obtiene con f o g?
26. Sea f (x) = x + 1. ¿Existen funciones g tales que f o g = g o f? ¿Cuáles?
27. Sea f una función constante. ¿para cuáles funciones g se cumple f o g = g o f?
28. ¿Existe una función f que cumpla Df = Rf? ¿cuál función? ¿O por qué no existe esa
función?
29. ¿Existe una función f que cumpla Df c Rf? ¿cuál función? ¿O por qué no existe esa
función? [El símbolo c significa contenido]
30. ¿Qué valores x cumplen la desigualdad x 3
31. ¿cuál es la función inversa de f (x) = 5x — 10?
32. ¿cuál es la función inversa de
33. Represente en la línea recta los siguientes conjuntos
a) (—00, 3) n (—3, 00)
b) (-2,5) U [0,51
c) {x E R: (x 8) 2 = 9 2 )
34. Encuentre el valor de x para que la función f (x)
35. Encuentre el valor de x para que la función f (x) = 6x 2 1 sea igual a 23
3
36. sea f(x) si x es irracional ; sea g(x) =
x,
2, — 3 < x < 
2
21t
, sea h(x) = v'Ñ
0, 
1, si x es racional x
a) Encuentre (fo h o g)(2)
b) Encuentre (f oh g)(e)
c) Encuentre (f h o
d) Encuentre (f oh o g)(4)
37. Sea f (x) = g(x) = cosx, h(x) = sin x. Encuentre f o g
a) ¿fog = g o f?
38. Sea g(x) = Comprobar si es válida la siguiente fórmula e indicar para qué
valores de x es válida
1 2 — g(x)
2 + g(x) 
¯
x2
39. Sea f (x) = 2x — 5 una función. Encuentre una función g tal que
4x + 13
40. Sea f (x) = una función. Encuentre una función g tal que
(f 0 g)(x) = 4x2
41. Sea S(x) = x 2 , P(x) = 2 x y s(x) = sin x. Determinar (S o P o s)(t) + (s o P)(t)
42. Supóngase que H es una función e y un número tal que H(H(y)) = y. ¿cuál es el
valor de H(H(H(... (H(y) ... ?
80 veces
[Sugerencia. Obtenga la composición de dos funciones, luego de tres y de cuatro
funciones. Trate de conjeturar para el caso de componer 80 funciones)
43. Supóngase que H es una función e y un número tal que H(H(y)) = H(y). ¿cuál es
el valor de H(H(H(... (H(y) ) ?
80 veces
[Sugerencia. Utilice el caso anterior]
44. Hallar todos los polinomios p(x) de grado 2 que satisfacen las condiciones dadas
p(0) = p(l) = p(2) = 1.
45. Comprobar que no existen funciones f y g con la propiedad
f (x) + g(y) = xy para todo x ey
[Sugerencia. Trátese de obtener información acerca de f y g eligiendo valores
particulares de x e yl
46. Comprobar que no existen funciones f y g con la propiedad
f (x) • g(y) = x+y para todo x ey
[Sugerencia. Trátese de obtener información acerca de f y g eligiendo valores
particulares de x e y)
2 ea t 
q, eczq
in-IL = 2sin q 150
60
1 Ina ve adevo
QQisc
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