solucionario Practica Calificada 3

Vista previa del material en texto

100000AN18 MATEMÁTICA PARA PARA LOS NEGOCIOS II 
PRÁCTICA N°2 
a) (2 puntos) Hallar la ecuación general de la recta tangente y recta normal de la curva: 
 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 5 en el punto 𝑝(2; 𝑦) 
 
SOLUCIÓN: 
 𝑚 = 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 2 
𝑚 = 𝑓′(2) = 3(2)2 − 2 = 10 
𝑚 = 10 
 
Ecuación de la recta tangente Ecuación de la reta normal 
ℒ𝑇: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚𝑇(𝑥 − 𝑥0) 
ℒ𝑇: 𝑦 − 9 = 10(𝑥 − 2) 
ℒ𝑇: 𝑦 − 9 = 10𝑥 − 20 
ℒ𝑇: 10𝑥 − 𝑦 − 11 = 0 
 
ℒ𝑁: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚𝑁(𝑥 − 𝑥0) 
ℒ𝑁: 𝑦 − 9 = −
1
10
(𝑥 − 2) 
ℒ𝑁: 10𝑦 − 90 = −𝑥 + 2 
ℒ𝑁: 𝑥 + 10𝑦 − 92 = 0 
 
 
 
b) (2 puntos) Hallar la derivada de: 𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑙𝑛𝑥3
 
 
SOLUCIÓN: 𝑓(𝑥) =
3𝑥
3𝑙𝑛𝑥
→ 𝑓′(𝑥) =
(3𝑥𝑙𝑛3)(3𝑙𝑛𝑥)−3𝑥(
3
𝑥
)
(3𝑙𝑛𝑥)2
=
𝑥.3𝑥.𝑙𝑛3.𝑙𝑛𝑥−3𝑥
𝑥
3(𝑙𝑛𝑥)2
=
3𝑥(𝑥.𝑙𝑛3.𝑙𝑛𝑥−1)
3𝑥(𝑙𝑛𝑥)2
 
 
PREGUNTA 2. (4 PUNTOS) Analice la continuidad de la siguiente función: 
 𝑓(𝑥) = {
𝑥3+1
𝑥+1
; 𝑥 < −1
3; 𝑥 = −1
2𝑥 + 5; 𝑥 > −1
 
SOLUCIÓN: Analizamos en 𝑥 = −1 
 𝑓(−1) = 3 
 lim
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−1−
𝑥3+1
𝑥+1
= lim
𝑥→−1−
(𝑥+1)(𝑥2−𝑥+1)
𝑥+1
= lim
𝑥→−1−
𝑥2 − 𝑥 + 1 = 3 
lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−1+
2𝑥 + 5 = 3 
⇒ lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = 3 
 lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = 𝑓(−1) 
 ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = −1 
 
 
 
 
 
Como: 𝑥 = 2, 𝑦 = 𝑓(2) = 23 − 2(2) + 5 = 9 
→ 𝑝(2; 9) 
 
DOCENTE: Erasmo Laura H. Sección: Fecha: 21/09/19 
 
APELLIDOS Y NOMBRES:………………………………………………………………… 
 
APELLIDOS Y NOMBRES:………………………………………………………………… 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------
PREGUNTA 1. 
 
PREGUNTA 3. (4 PUNTOS) La depreciación es el valor que pierden algunos bienes como consecuencia del 
desgaste por uso durante su vida útil o debido a la desactualización causada por cambios tecnológicos. El 
administrador de una empresa presentó el siguiente modelo, como la función que determina la cantidad a 
pagar en el mantenimiento de los bienes en un tiempo "𝑡": 
 𝑓(𝑡) = {
𝑡2−4
𝑡−2
; 𝑡 < 2
𝛼𝑡2 − 𝛽𝑡 + 3; 2 < 𝑡 < 3
2𝑡 − 𝛼 + 𝛽; 𝑡 ≥ 3
 
Determine el valor de 𝛼 y 𝛽 para que el modelo de pago diseñado por el administrador sea continuo. 
 
SOLUCIÓN: 
 
 lim
𝑡→2−
𝑡2−4
𝑡−2
= lim
𝑡→2−
(𝑡+2)(𝑡−2)
𝑡−2
= lim
𝑡→2−
(𝑡 + 2) = 4 
 lim
𝑡→2+
(𝛼𝑡2 − 𝛽𝑡 + 3) = 4𝛼 − 2𝛽 + 3 
4𝛼 − 2𝛽 + 3 = 4 
4𝛼 − 2𝛽 = 1 
 lim
𝑡→3−
𝛼𝑡2 − 𝛽𝑡 + 3 = 9𝛼 − 3𝛽 + 3 
 lim
𝑡→3+
2𝑡 − 𝛼 + 𝛽 = 6 − 𝛼 + 𝛽 
9𝛼 − 3𝛽 + 3 = 6 − 𝛼 + 𝛽 
10𝛼 − 4𝛽 = 3 
 
 −2(4𝛼 − 2𝛽 = 1) 
 10𝛼 − 4𝛽 = 3 
 2𝛼 = 1 
 𝛼 =
1
2
; 𝛽 =
1
2
 
 
PREGUNTA 4. (4 PUNTOS) Derive: 𝑦 =
√3𝑥2−2𝑙𝑛𝑥2+1
3
√3𝑥2
 
SOLUCIÓN: 
 𝑦′ =
( √3𝑥2−2𝑙𝑛𝑥2+1
3
)
′
(√3𝑥2)−( √3𝑥2−2𝑙𝑛𝑥2+1
3
)(√3𝑥2)
′
(√3𝑥2)
2 =
1
3
(3𝑥2−4𝑙𝑛𝑥+1)
−2/3
(6𝑥−
4
𝑥
)(√3𝑥2)−( √3𝑥2−2𝑙𝑛𝑥2+1
3
)(
6𝑥
2√3𝑥2
)
3𝑥2
 
𝑦′ =
(6𝑥−
4
𝑥)
√3𝑥2
3 √3𝑥2−2𝑙𝑛𝑥2+1
3 2
−
3𝑥 √3𝑥2−2𝑙𝑛𝑥2+1
3
√3𝑥2
3𝑥2
=
(6𝑥−
4
𝑥
)3𝑥2−9𝑥(3𝑥2−4𝑙𝑛𝑥+1)
9𝑥2 √3𝑥2−2𝑙𝑛𝑥2+1
3 2
√3𝑥2
=
−3𝑥2−12𝑙𝑛𝑥−7
3𝑥 √3𝑥2−2𝑙𝑛𝑥2+1
3 2
√3𝑥2
 
PREGUNTA 5. (4 PUNTOS) Calcular el siguiente limite por la regla de L´HOSPITAL. 
lim
𝑥→0
𝑒𝑥
3−2𝑥2 − 1
3𝑥 − ln (1 + 3𝑥)
 
SOLUCIÓN: lim
𝑥→0
𝑒𝑥
3−2𝑥2−1
3𝑥−ln (1+3𝑥)
=
0
0
(𝐹. 𝐼. ) 
 lim
𝑥→0
𝑒𝑥
3−2𝑥2−1
3𝑥−ln (1+3𝑥)
=
𝐻
lim
𝑥→0
𝑒𝑥
3−2𝑥(3𝑥2−4𝑥)
3−
3
1+3𝑥
=
0
0
 
 =
𝐻
lim
𝑥→0
𝑒𝑥
3−2𝑥∙(3𝑥2−2)(3𝑥2−4𝑥)+𝑒𝑥
3−2𝑥(6𝑥−4)
3(1+3𝑥)−2
=
−4
3