Resumen de Distribuciones

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Resumen de distribuciones 
Distribuciones discretas 
Distribución Bernoulli 𝑋~𝐵𝑒(𝑝) 
 𝑝𝑌 𝑦 = 𝑝
𝑦(1 − 𝑝)1−𝑦 si y=0;1 y 0<p<1 
E[Y]=p 
V(Y)=p(1-p) 
Distribución Binomial 𝑋~𝐵𝑖(𝑛, 𝑝) 
 𝑝𝑋 𝑥 = 
𝑛
𝑥
 𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 si x=0,1,2…..,n y 0<p<1 
E[Y]=np 
 V(Y)=np(1-p) 
Distribución geométrica 𝑁~𝐺(𝑝) 
𝑝𝑁 𝑛 = 𝑝(1 − 𝑝)
𝑛−1 si y=1,2….. y 0<p<1 
𝐸[𝑌] =
1
𝑝
 
 𝑉 𝑌 =
1 − 𝑝
𝑝2
 
Distribución Pascal 𝑋~𝑃𝑎(𝑘, 𝑝) 
 𝑝𝑋 𝑥 = 
𝑥−1
𝑘−1
 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑥−𝑘 si x=k, k+1, k+2…..,n y, 0<p<1 
𝐸[𝑌] =
𝑘
𝑝
 
 𝑉 𝑌 = 𝑘
1 − 𝑝
𝑝2
 
Distribución Poisson 𝑋~𝑃𝑜(λ) 
 𝑝𝑋 𝑥 =
𝜆𝑥
𝑥 !
𝑒−𝜆 si x=0,1,2…. y λ>0 
E[Y]=λ 
 V(Y)=λ 
Distribución Hipergeométrica 𝑋~𝐻(𝑁, 𝑟, 𝑛) 
N: total poblacional 
r: cantidad de “buenos” en la población 
n: cantidad de elementos extraidos 
𝑝𝑋 𝑥 =
 𝑟𝑥 
𝑁−𝑟
𝑛−𝑥 
 𝑁𝑛 
 si x es entero con max(r+n-N )≤ x ≤ min(r,m) 
𝐸 𝑋 =
𝑛𝑟
𝑁
 
 𝑉 𝑋 =
𝑛𝑟
𝑁
(𝑁 − 𝑟)
𝑁
(𝑁 − 𝑛)
(𝑁 − 1)
 
Distribuciones continuas 
Distribución Normal 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜍2) 
𝑓𝑋 𝑥 =
1
𝜍 2𝜋
𝑒
−
1
2
 
𝑥−𝜇
𝜍
 
2
 con σ>0 
E[X]=μ 
V(X)=σ2 
Distribución normal estándar: corresponde a la variable 𝑍~𝑁(0,1) 
Distribución Gamma T~ℾ(𝛼, 𝜆) 
𝑓𝑇 𝑡 =
𝜆𝛼
ℾ(𝛼)
𝑡𝛼−1𝑒−𝜆𝑡𝐼{𝑡 > 0} con λ>0 y α>0 
𝐸[𝑇] =
𝛼
𝜆
 
𝑉 𝑇 =
𝛼
𝜆2
 
ℾ 𝑦 = 𝑥𝑦−1𝑒−𝑥𝑑𝑥
∞
0
 , si y>0 
ℾ 1 = 1 
ℾ 𝛼 = 𝛼 − 1 ℾ 𝛼 − 1 
ℾ 𝑛 = 𝑛 − 1 ! 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ∈ ℵ 
ℾ 
1
2
 = 𝜋 
A demás, si α=1,2,3…. 
𝑃(𝑇 > 𝑡) = 
(𝜆𝑡 )𝑖
𝑖!
𝑒−𝜆𝑡𝛼−1𝑖=0 
Distribución exponencial X~𝑒𝑥𝑝(𝜆) 
𝑓𝑋 𝑥 = 𝜆𝑒
−𝜆𝑥 𝐼{𝑥 > 0} con λ>0 
𝐸[𝑇] =
1
𝜆
 
𝑉 𝑇 =
1
𝜆2
 
Distribución Beta 𝑋~𝛽(𝑎, 𝑏) 
𝑓𝑋 𝑥 =
ℾ(𝑎+𝑏)
ℾ(𝑎)ℾ(𝑏)
𝑥𝑎−1(1 − 𝑥)𝑏−1𝐼{0 < 𝑥 < 1} con a,b>0 
𝐸[𝑋] =
𝑎
𝑎 + 𝑏
 
𝑉(𝑋) =
𝑎𝑏
 𝑎 + 𝑏 2(𝑎 + 𝑏 + 1)
 
Distribución Uniforme 𝑋~𝑈(𝑎, 𝑏) 
𝑓𝑋 𝑥 =
1
𝑏 − 𝑎
𝐼{𝑎 < 𝑥 < 𝑏} 
𝐸 𝑋 =
𝑎 + 𝑏
2
 
𝑉(𝑋) =
(𝑏 − 𝑎)2
12
 
Distribución de Cauchy 𝑋~𝐶(0, 𝜆) 
𝑓𝑋(𝑥) =
1
𝜋
𝜆
𝜆2+𝑥2
 con λ>0 
 
Distribución Normal bivariada (𝑋, 𝑌)~𝑁(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜍𝑥
2 , 𝜍𝑦
2 , 𝜌) 
𝑓𝑋 ,𝑌 𝑥, 𝑦 =
1
2𝜋𝜍𝑥𝜍𝑦 1 − 𝜌
2
𝑒
−
1
2(1−𝜌2)
 
𝑥−𝜇𝑥
𝜍𝑥
 
2
+ 
𝑦−𝜇𝑦
𝜍𝑦
 
2
−2
(𝑥−𝜇𝑥 )
𝜍𝑥
(𝑦−𝜇𝑦 )
𝜍𝑦
𝜌