Poisson 7

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Llamadas arriban a una central telefónica según un proceso de Poisson de intensidad 30 por hora. En 
un momento el empleado que atiende las llamadas se queda dormido durante un tiempo 
exponencial de media 4 minutos independiente del proceso de arribo de llamadas. Calcular la 
probabilidad de que el empleado haya dormido más de 4 minutos y exactamente 2 llamadas hayan 
quedado sin atender. 
Resolución 1 
El arribo de llamadas es un proceso de Poisson de intensidad 𝜆𝐿 =
30
60
=
1
2 𝑚𝑖𝑛
 . Sea 𝑇 el tiempo en 
minutos que duerme el empleado; 𝑇 es exponencial de parámetro 𝜆𝐷 =
1
4 𝑚𝑖𝑛
 . Sea 𝑁 el número de 
llamadas sin atender, es decir las llamadas arribadas mientras el tipo duerme. Lo que se pide calcular 
es 𝑃(𝑁 = 2 ∧ 𝑇 > 4) que planteamos como: 
𝑃(𝑁 = 2 ∧ 𝑇 > 4) = 𝑃(𝑁 = 2|𝑇 > 4)𝑃(𝑇 > 4) 
La variable condicionada 𝑁|𝑇 = 𝑡 tiene distribución de Poisson de media 𝜆𝐿𝑡. Entonces: 
𝑃(𝑁 = 2|𝑇 = 𝑡) =
(
1
2
𝑡)
2
𝑒−
1
2𝑡
2
 
Esta es la probabilidad de 𝑁 = 2 para cada 𝑡. Para calcular 𝑃(𝑁 = 2|𝑇 > 4) debemos integrar esta 
probabilidad para 𝑡 > 4 utilizando la densidad de la variable truncada 𝑇|𝑇 > 4 (esto es una 
probabilidad total en el continuo). Entonces: 
𝑃(𝑁 = 2|𝑇 > 4) = ∫ 𝑃(𝑁 = 2|𝑇 = 𝑡)𝑓𝑇|𝑇>4(𝑡)𝑑𝑡
∞
4
 
con 𝑓𝑇|𝑇>4(𝑡) =
𝑓𝑇(𝑡)1{𝑡>4}
𝑃(𝑇>4)
 . Por lo tanto: 
𝑃(𝑁 = 2 ∧ 𝑇 > 4) = 𝑃(𝑁 = 2|𝑇 > 4)𝑃(𝑇 > 4) = ∫ 𝑃(𝑁 = 2|𝑇 = 𝑡)
𝑓𝑇(𝑡)
𝑃(𝑇 > 4)
𝑑𝑡 ×
∞
4
𝑃(𝑇 > 4)
= ∫
(
1
2
𝑡)
2
𝑒−
1
2𝑡
2
∞
4
1
4
𝑒−
1
4𝑡𝑑𝑡 
La integral anterior puede resolverse expresándola como integral de una densidad Gamma y usando 
la propiedad: 
∫
𝜆(𝜆𝑡)𝑟−1𝑒−𝜆𝑡
(𝑟 − 1)!
𝑑𝑡
∞
𝑡0
= ∑
(𝜆𝑡0)
𝑘𝑒−𝜆𝑡0
𝑘!
𝑟−1
𝑘=0
 (1) 
Entonces: 
𝑃(𝑁 = 2 ∧ 𝑇 > 4) = ∫
(
1
2
𝑡)
2
𝑒−
1
2𝑡
2
∞
4
1
4
𝑒−
1
4𝑡𝑑𝑡 =
1
4
(
1
2
)
2
∫
𝑡2𝑒−
3
4𝑡
2
𝑑𝑡
∞
4
=
1
4
(
1
2
)
2
(
4
3
)
3
∫
3
4
(
3
4
𝑡)
2
𝑒−
3
4
𝑡
2
𝑑𝑡
∞
4
=
4
27
∑
3𝑘𝑒−3
𝑘!
2
𝑘=0
≅ 0,0627 
Poisson 7
2 
 
Resolución 2 
Los tiempos entre llamadas son exponenciales independientes de parámetro 𝜆𝐿 e independientes 
del tiempo que el empleado duerme, exponencial de parámetro 𝜆𝐷. Por cada llamada que va a 
arribar se tiene una competencia entre el tiempo que el empleado duerme y el tiempo entre 
llamadas. Por la falta de memoria de la exponencial, estas competencias no dependen del instante 
en que se quedó dormido el empleado siendo 𝜆𝐿/(𝜆𝐿 + 𝜆𝐷) = 2/3 la probabilidad de que la 
próxima llamada ocurra antes de que el empleado se despierte y 𝜆𝐷/(𝜆𝐿 + 𝜆𝐷) = 1/3 la 
probabilidad de que ocurra lo contrario. Esta sucesión de competencias equivale a superponer dos 
procesos de Poisson independientes, el de las llamadas de intensidad 𝜆𝐿 y el de “despertares” de 
intensidad 𝜆𝐷. Es decir, el tiempo exponencial que el empleado duerme se comporta como una 
sucesión de tiempos exponenciales debido a la falta de memoria y a la sucesión de competencias. El 
proceso de Poisson superpuesto de llamadas y despertares tiene una intensidad 𝜆𝐿 + 𝜆𝐷 = 3/4. Este 
proceso tiene asociado como sabemos un proceso de Bernoulli, independiente del proceso de 
Poisson, donde cada evento tiene probabilidad 2/3 de ser una llamada y 1/3 de ser un despertar. 
Sea 𝑁 la cantidad de eventos hasta el primer despertar; 𝑁 es geométrica de parámetro 1/3. Sea 𝑇3 el 
tiempo en minutos hasta el tercer evento; 𝑇3 sigue una distribución Gamma de parámetros 𝜆 = 3/4 
y 𝑟 = 3. Se quiere calcular la probabilidad de que exactamente dos llamadas queden sin atender y el 
empleado duerma más de 4 minutos es decir 𝑃(𝑇3 > 4 ∧ 𝑁 = 3) ya que los dos primeros eventos 
deben ser llamadas, el tercero un despertar y el tercer evento debe ocurrir después de los 4 minutos. 
Por la independencia del proceso superpuesto de Poisson y el proceso de Bernoulli de calidad de los 
eventos la probabilidad anterior es el producto 𝑃(𝑇3 > 4)𝑃(𝑁 = 3). Entonces: 
𝑃(𝑇3 > 4 ∧ 𝑁 = 3) = ∫
3
4
(
3
4
𝑡)
2
𝑒−
3
4𝑡
2
𝑑𝑡
∞
4
×
1
3
(
2
3
)
2
≅ 0,0627 
(la integral anterior puede calcularse con la fórmula (1) usada en la Resolución 1) 
 
 
 
 
Poisson 7