Curso de Física ejercicio 60

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Física básica Curso de regularización 2015 
Curso de Física ejercicio 60 
Un electrón está confinado en una caja de longitud L. ¿Cuáles son los valores de energía del electrón? 
 
Procedimiento: 
 
La ecuación de Schrödinger para un electrón confinado en una caja es: 
 
-ℏ^2 / 2m * d^2 ψ / dx^2 = Eψ 
donde: 
 
ψ es la función de onda del electrón 
E es la energía del electrón 
m es la masa del electrón 
ℏ es la constante de Planck dividida por 2π 
Para resolver esta ecuación, debemos separarla en variables y encontrar soluciones de tipo sinusoidal. 
Esto da como resultado las siguientes soluciones: 
 
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) 
donde: 
 
A y B son constantes arbitrarias 
k es el número de onda del electrón 
El número de onda se puede calcular a partir de la energía del electrón utilizando la siguiente fórmula: 
 
k = √(2mE / ℏ^2) 
En este caso, la longitud de la caja es L. Por lo tanto, la condición de contorno para la función de onda es: 
 
ψ(0) = ψ(L) 
Esto significa que la función de onda debe ser continua en los extremos de la caja. 
 
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Aplicando esta condición de contorno, obtenemos la siguiente ecuación: 
 
A sin(kL) = B cos(kL) 
Para que esta ecuación tenga solución, la función sen(kL) y cos(kL) deben tener el mismo valor en x = 0. 
Esto ocurre cuando kL es un múltiplo de 90°. Por lo tanto, los valores posibles de k son: 
 
k = nπ / L 
donde n es un número entero. 
 
Para cada valor de k, la energía del electrón es: 
 
E_n = ℏ^2 * n^2 * π^2 / 2mL^2 
donde: 
 
E_n es la energía del electrón en el estado n 
Por lo tanto, los valores posibles de energía del electrón son: 
 
E_n = ℏ^2 * n^2 * π^2 / 2mL^2 
donde: 
 
n = 1, 2, 3, ... 
Respuesta: 
 
Los valores posibles de energía del electrón son: 
 
E_1 = ℏ^2 * π^2 / 2mL^2 
E_2 = 4 * ℏ^2 * π^2 / 2mL^2 
E_3 = 9 * ℏ^2 * π^2 / 2mL^2 
... 
Explicación: 
Física básica Curso de regularización 2015 
 
Para resolver este ejercicio, separamos la ecuación de Schrödinger en variables y encontramos soluciones 
de tipo sinusoidal. Luego, aplicamos la condición de contorno para la función de onda. Esto nos da los 
valores posibles de energía del electrón. 
 
Este ejercicio ilustra cómo se puede utilizar la ecuación de Schrödinger para resolver problemas de 
sistemas cuánticos. 
 
Observaciones: 
 
Los valores de energía del electrón forman una serie de valores discretos, llamados niveles de energía. El 
electrón puede ocupar solo uno de estos niveles de energía a la vez.