ElementosCuadernillo2

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Elementos de Matemática y Estadística
CUADERNILLO 2
UNIDAD 1: ARITMÉTICA ELEMENTAL
Unidad 1 – Cuadernillo 2
Contenido
1. NÚMEROS RACIONALES................................................................................3
a. Notación....................................................................................................3
b. Operaciones con números racionales.......................................................3
i. Suma y resta de fracciones.....................................................................3
ii. Producto.................................................................................................4
iii. Cociente................................................................................................4
iv. Potenciación y radicación.....................................................................4
v. Operaciones combinadas.......................................................................4
vi. Resolución de ecuaciones.....................................................................6
2. NOTACIÓN SIMBÓLICA..................................................................................9
3. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS...........................11
a. Formulación de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas...........11
b. Métodos de resolución de sistemas........................................................12
i. Método de sustitución...........................................................................12
ii. Método de igualación...........................................................................13
2
Elementos de Matemática y Estadística
UNIDAD 1:
ARITMÉTICA
ELEMENTAL
1. NÚMEROS RACIONALES
El conjunto de los números racionales está formado por todos los números
que pueden expresarse como fracción o razón.
a. Notación
Una fracción simboliza una división, por ejemplo, 
3
4
 es 3 dividido 4. También
puede verse como un entero dividido en cuatro partes, de las cuales se toman
tres:
El número superior se denomina numerador, y el inferior, denominador
b. Operaciones con números racionales
i. Suma y resta de fracciones
• De igual denominador:
Se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador.
Por ejemplo:
5
12
+
7
12
−
1
12
=
5+7−1
12
=
11
12
• De distinto denominador:
Se debe calcular el denominador común. Por ejemplo:
3
Unidad 1 – Cuadernillo 2
8
3
−
1
5
+
7
10
=
8.10−1.6+7.3
30
=
80−6+21
30
=
95
30
 
Este resultado se puede simplificar, dividiendo al numerador y al
denominador por 5:
95
30
=
19
6
Siempre que se pueda, se simplifica la fracción, para trabajar con números
pequeños.
ii. Producto
Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí,
simplificando previamente, si es posible. Por ejemplo:
21
8
⋅(−127 )⋅
10
9
=
3
2
⋅(−31 )⋅
10
9
= −5
iii. Cociente
La división se transforma en una multiplicación, invirtiendo el divisor. Por
ejemplo:
22
8
:
2
5
=
22
8
⋅
5
2
=
55
8
iv. Potenciación y radicación 
Se distribuye el exponente o el índice en el numerador y en el denominador:.
b√( pq )
a
=
b
√ pa
b√qa
Por ejemplo: 
3√ ( 8125 )
2
=
3
√ 82
3
√ 1252
=
22
52
=
4
25
4
Elementos de Matemática y Estadística
v. Operaciones combinadas
Para resolver operaciones combinadas con números racionales, operamos
del mismo modo que con los números enteros
Por ejemplo:
√
√2 :√ 92 +( 52 )
−1
⋅
1
2
−5−1
1
4
+
1
8
−
1
3
=
Resolvemos el numerador de la raíz cuadrada:
√2:√ 92+( 52 )
−1
⋅
1
2
−5−1= 
Trabajamos con el primer término √2:√ 92 :
√2:√ 92 = √2: 92 = √2⋅29 = √ 49
Distribuimos la raíz y resolvemos
√ 49 = √4√9 =
2
3
Resolvemos el segundo término:
( 52 )
−1
=( 25 )
1
=
2
5
(el exponente negativo indica que se debe invertir la base) 
2
5
.
1
2
=
1
5
En el tercer término:
1 15
5
 
Luego, los tres términos juntos:
5
Unidad 1 – Cuadernillo 2
√2 :√ 92+( 52 )
−1
.
1
2
−5−1=
2
3
+
1
5
−
1
5
=
2
3
1 1
5 5
y  se anulan porque su suma es 0. 
Resolvemos el denominador de la raíz. 
2
2 8 16 43 .
3 3 3 9 3
8
  
El ejercicio completo queda:
√
√2 :√ 92+( 52 )
−1
.
1
2
−5−1
1
4
+
1
8
−
1
3
=√
2
3
3
8
−
1
3
=√ 169 −13=43−13=1
vi. Resolución de ecuaciones
En este caso también los lineamientos generales son los mismos que con los
números enteros.
Ejemplo:
√ x
3
2
+(−13 )
−1
[−2+12⋅(−
3
√−8 )]
5
=
4
√10−32
4
⋅(1−1516 )
−1
−3
Para resolver una ecuación, primero intentamos simplificar todas las
expresiones, respetando la división en términos, como siempre.
Una vez que resolvimos todos los términos que no tienen incógnita,
comenzamos a despejar, de la misma manera que hacíamos en las ecuaciones
con números enteros.
6
Elementos de Matemática y Estadística
√ x
3
2
+(− 13 )
−1
[−2+12⋅(−
3
√−8 )]
5
=
4
√10−32
4
⋅(1−1516 )
−1
−3 
1º) Resolvemos el exponente negativo del numerador y la raíz cúbica del
denominador (en el primer miembro). En el segundo miembro resolvemos lo
que está debajo de la raíz, y la resta entre 1 y la fracción.
2º) Resolvemos las operaciones combinadas del denominador del primer
miembro. En el segundo miembro invertimos la fracción con exponente –1.
3º) Todo el primer denominador da –1. Y todo el segundo miembro da 1. 
4º) Pasamos el –1 multiplicando al otro miembro.
5º) Pasamos el 3, que está restando, al otro miembro (como sumando)
6º) La raíz pasa como potencia y la potencia, como raíz.
 
 
 
7
1
2
3
4
5
6
√ x
3
2
+(−3)
(−2+ 12⋅2)
5=
4
√1
4
⋅( 116 )
−1
−3
√ x
3
2
−3
(−1)5
=
1
4
⋅16−3
√ x
3
2
−3
−1
=1
√ x
3
2
−3=1⋅(−1)
√ x
3
2
=−1+3
x3
2
=22
x3=4⋅2
x=
3
√8
x=2
Unidad 1 – Cuadernillo 2
Para comprobar que el resultado hallado es el correcto, reemplazamos en la
ecuación original la x por 2, y debemos obtener una igualdad:
√ x
3
2
+(− 13 )
−1
[−2+12⋅(−
3
√−8 )]
5
=
4
√10−32
4
⋅(1−1516 )
−1
−3
√ 2
3
2
+(−13 )
−1
[−2+12⋅(−
3
√−8)]
5=
4
√10−32
4
⋅(1−1516 )
−1
−3
√4−3
−2+
1
2
⋅2
=
1
4
⋅( 116 )
−1
−3
2−3
−2+1
=
1
4
⋅16−3
−1
−1
=4−3
1=1
goo.gl/hkdFq5 goo.gl/ovUisa 
Recurso Multimedia 1 Recurso Multimedia 2
8
http://goo.gl/ovUisa
http://goo.gl/ovUisa
http://goo.gl/hkdFq5
Elementos de Matemática y Estadística
2. NOTACIÓN SIMBÓLICA
Para poder resolver un problema utilizando herramientas de la matemática,
primero debemos expresarlo en el lenguaje de esta disciplina.
Por lo general habrá uno o más elementos cuyo valor desconocemos. A
estos elementos, que son nuestras incógnitas, los vamos a simbolizar mediante
una letra (casi siempre usamos x o y ).
Para que podamos averiguar el valor de la o las incógnitas, nos darán
relaciones que deberemos expresar en lenguaje simbólico.
Por ejemplo, si nos dicen: “El triple de un número es igual al doble de su
consecutivo, aumentado en 6 unidades”
Designamos x al número que no conocemos.
El triple de ese número será 3 x . Su consecutivo será x+1 , por lo tanto,
el doble de su consecutivo es 2⋅(x+1) .
El doble de su consecutivo aumentado en 6 unidades será 2⋅(x+1)+6 .
Entonces, a partir del enunciado dado armamos una ecuación:
3 x=2⋅(x+1)+6
Resolvemos: 
3 x=2x+2+6
3 x−2 x=8
x=8
Si el número buscado es 8; su triple es 24, y su consecutivo es 9.
Entonces el enunciado: “El triple de un número es igual al doble de su
consecutivo, aumentado en 6 unidades” debe validarse con los números
hallados:
3⋅8=2⋅9+6
24=18+6
24=24
Efectivamente, el enunciado se verifica con los números calculados.
En esta tabla tenemos las formas más usadas.
9
Unidad 1 – Cuadernillo 2
Forma Literal Forma simbólica
Un número x
El doble de un número 2⋅x=2 x
El triple de un número 3⋅x=3 x
La mitad de un número
1
2
⋅x
La tercera parte de un número
1
3
⋅x
Un número aumentado en k unidades x+k
Un número disminuido en k unidades x−k
La razón entre dos números x e y
x
y
Tres números consecutivos x ; x+1 ; x+2 ...
Tres números pares consecutivos 2x ; 2x+2 ; 2x+4 ...
Tresnúmeros impares consecutivos 2x+1 ; 2 x+3 ; 2x+5 ...
El antecesor de un número x−1
Un múltiplo de 4 4⋅x=4 x
Tres múltiplos de 4 consecutivos 4 x ; 4 (x+1) ; 4 (x+2)
x excede a y en k unidades x= y+k
El doble de un número aumentado en tres
unidades 2x+3
El doble de: un número aumentado en tres
unidades 2⋅(x+3)
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Elementos de Matemática y Estadística
Reglas para Recordar
• Los dos puntos y las comas abren paréntesis.
• Cuando delante de un paréntesis, corchete o llave hay u signo +, se
dejan todos los signos tal cual están. Si hay un signo –, se cambian todos
los signos.
• Cualquier número elevado a un exponente par da resultado positivo.
• No pueden calcularse raíces de radicando negativo e índice par.
3. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON 
DOS INCÓGNITAS
a. Formulación de sistemas de dos ecuaciones 
con dos incógnitas 
Consideremos el siguiente enunciado:
Un comerciante quiere preparar 10 kg de té para venderlo a $156 el
kg. Va a utilizar un té de $210 el kg, y otro de $120 el kg. Calcular
cuántos kg de cada clase de té debe colocar.
En este caso tenemos dos incógnitas: la cantidad de té de $210 el kg y la
cantidad de té de $120 el kg.
Si llamamos x a la cantidad de kg del té de $210 e y a la cantidad de té
de $120, podemos plantear las ecuaciones del siguiente modo:
{210 x+120 y=10⋅156x+ y=10
La primera ecuación indica que la cantidad de té de $120 multiplicada por su
precio, más la cantidad de té de $210, multiplicada por su precio, debe dar 10
por 156, el importe total que se espera obtener.
La segunda ecuación expresa que la cantidad total de té, entre ambas
calidades, debe ser 10 kg.
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Unidad 1 – Cuadernillo 2
b. Métodos de resolución de sistemas
Para resolver estos sistemas hay varios mecanismos, nosotros veremos dos.
i. Método de sustitución
Despejamos una variable en cualquiera de las dos ecuaciones, y luego la
reemplazamos en la otra. Por ejemplo, de la segunda ecuación despejamos:
x+ y=10 → y=10−x
Ahora, reemplazamos en la segunda ecuación:
210 x+120 y=1560
Donde dice y , colocamos la expresión despejada:
210 x+120 (10−x )=1560
De esta manera obtenemos una ecuación con una sola incógnita, que
podemos resolver de manera sencilla:
210 x+1200−120 x=1560
210 x−120 x=1560−1200
90 x=360
x=
360
90
x=4
Una vez que tenemos el valor de una de las incógnitas, volvemos a la
expresión que habíamos despejado, y, reemplazando, calculamos el valor de la
otra incógnita:
y=10−x
y=10−4
y=6
Para comprobar que el sistema está bien resuelto, reemplazamos en el
sistema planteado y deben cumplirse ambas igualdades:
{210⋅4+120⋅6=10⋅1564+6=10
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Elementos de Matemática y Estadística
ii. Método de igualación
Otra alternativa es despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y
luego igualar las expresiones obtenidas. Por ejemplo:
{210 x+120 y=10⋅156x+ y=10
Despejamos y en las dos ecuaciones. De la primera ecuación:
210 x+120 y=1560
y=
1560−210 y
120
y=13−
7
4
x
 
De la segunda ecuación:
x+ y=10
y=10−x
Ahora igualamos las dos expresiones obtenidas y despejamos x :
13−
7
4
x=10−x
13−10=−x+
7
4
x
3=
3
4
x
3 :
3
4
=x
4=x
Luego operamos igual que en el otro método: una vez obtenido el valor de
una incógnita, reemplazamos en cualquiera de las otras ecuaciones y
obtenemos el valor de la otra variable: 
y=13−
7
4
⋅4 → y= 6
13
Unidad 1 – Cuadernillo 2
goo.gl/NzVZeU goo.gl/6KyWLQ
Recurso Multimedia 3 Recurso Multimedia 4
14
http://goo.gl/6KyWLQ
http://goo.gl/6KyWLQ
http://goo.gl/NzVZeU
http://goo.gl/NzVZeU
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