Conceptos Teóricos Cálculo Actuarial

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Calculo Actuarial - Conceptos Básicos 
 Operaciones Financieras Contingentes. Rentas inciertas. 
Cálculo de probabilidades. Ley de los grandes números. 
Cálculo Actuarial.
 Seguros sobre la vida. Antecedentes. Concepto. Objetivos. 
Elementos. 
 Funciones biométricas elementales.
 Probabilidad de Sobrevivencia y de Fallecimiento. Tasa 
instantánea de mortalidad: concepto y significado.
 Hipótesis y obtención de las funciones biométricas de 
Gompertz-Makeham.
 Tablas de Mortalidad. Consideraciones generales 
Rentas Vitalicias
 Su duración está vinculada con la duración de la vida del 
contratante, dependiendo de la edad del mismo al realizar el 
contrato.
 En estas operaciones no sólo importa el factor financiero (la tasa 
de interés), sino que también el factor biométrico (probabilidad 
de sobrevivencia del contratante), ambos factores conforman un 
factor denominado “actuarial”
BASES ACTUARIALES
 Del análisis del riesgo a través de los factores anteriores, se 
obtienen los datos para llevar a cabo un análisis estadístico de la 
frecuencia y severidad del riesgo y la probabilidad de que siga 
sucediendo con más o menos el mismo impacto en el futuro. 
 Para ello, las Compañías de Seguros se basan en: 
 1. La estadística 
 2. La probabilidad 
 3. La Ley de los Grandes Números 
BASES ACTUARIALES
 ESTADÍSTICA: 
Es el tratamiento técnico de una serie de datos, hechos o sus 
circunstancias en orden de conocer su comportamiento de manera 
global. 
 PROBABILIDAD: 
Es el grado de posibilidad de que se produzca un acontecimiento 
producido al azar. Matemáticamente se representa como el cociente 
que resulta de dividir el número de asegurados entre la suma de los 
casos posibles del siniestro. Posibilidad de frecuencia de un suceso cuya 
ocurrencia da como consecuencia una pérdida. 
 LEY DE LOS GRANDES NUMEROS: 
Determina el grado de posibilidad de que se produzca determinado 
acontecimiento. Mientras mas grande sea el universo y el periodo de 
tiempo que se estudia, mas confiables serán las predicciones que se 
puedan hacer hacia el futuro. El pronóstico se basa en una mayor 
cantidad de muestras analizadas en donde es más probable acertar que 
sucederá un siniestro determinado. 
Biometría
 Bio = Vida
 Metrón = Medida
 Medida de la vida
 Funciones Biométricas: miden la vida de las personas y conforman 
las columnas de una tabla de mortalidad.
 Tablas Biométricas
 De Mortalidad
 De Supervivencia
 De Natalidad
 De Invalidez
Funciones Biométricas
 Función de Sobrevivientes: indica la cantidad de 
personas vivas de edad exacta x se simboliza lx.
 Función de Fallecidos: Indica la cantidad de personas 
fallecidas entre las edades x x+1 y se simboliza 
como dx
 También dx = lx – lx+1
Conceptos Tabulados
 x edad de la persona
 l “living”, viviente o sobreviviente
 lx cantidad de sobrevivientes a la edad x
 d “dying”, agonizante, muerto
 dx cantidad de personas de edad x que no llegan a la edad x+1
 px probabilidad de una persona de edad x de alcanzar la edad x+1
 qx probabilidad que tiene una persona de edad x de 
morirse antes de cumplir la edad x+1
 Función px: probabilidad de que una persona de edad 
exacta x sobreviva un año más.
px = lx+1
 lx
 Función qx: probabilidad de que una persona de edad 
exacta x fallezca sin alcanzar la edad x+1. también 
conocida como tasa teórica de mortalidad.
qx = dx = lx – lx+1
 lx lx
 Función Lx: Representa un grupo de personas que no tienen una 
edad exacta sino que las edades de estas personas están 
comprendidas entre x y x+1.
Lx = 1 (lx + lx+1)
 2
 Tasa Central de mortalidad: se puede calcular en función de Lx o de 
la tasa teórica de mortalidad
mx = dx mx = 2 . qx
 Lx 2 - qx
Función de Supervivencia
dx
lx
lx+1
0 > ω
x x+1
La función lx representa el número de personas que poseen la edad 
exacta x
lx es decreciente
FUNCIONES BIOMETRICAS ELEMENTALES 
 La cantidad de sobrevivientes, año a año, de aquel grupo 
primitivo. Este cuadro mostrará tres nítidos puntos de inflexión 
ubicados durante la infancia, en que hay una abrupta caída por la 
elevada mortalidad de los niños (probablemente algo atenuada en 
el presente por los avances de la medicina), otro al promediar la 
edad madura y encarar el período de la tercera edad, y otro que 
se ubica ligeramente a continuación de esos límites (los muy 
ancianos)
 La cantidad de decesos por año, que permitirá apreciar los picos 
máximos, allí donde están las edades límites de la existencia 
humana
 La probabilidad de morir durante el próximo año (el 
complemento de la anterior) 
 La probabilidad de sobrevivir en el próximo año (de simetría 
inversa con la anterior)
 
CURVA DE SOBREVIVIENTES
0
20.000
40.000
60.000
80.000
100.000
120.000
140.000
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 10
2
lx
MUERTES POR EDADES
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
14.000
16.000
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 10
2
dx
PROBABILIDAD DE MUERTE DURANTE EL PROXIMO AÑO
0,00000000
0,20000000
0,40000000
0,60000000
0,80000000
1,00000000
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98
PROBABILIDAD DE SOBREVIVIR EL PROXIMO AÑO
-0,20000000
0,00000000
0,20000000
0,40000000
0,60000000
0,80000000
1,00000000
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 10
2
Tabla de Mortalidad
Se define a la Tabla de Mortalidad como EL INSTRUMENTO
DESTINADO A MEDIR LAS PROBABILIDADES DE VIDA O
MUERTE DE LAS PERSONAS
El procedimiento para construir la Tabla es determinar,
mediante un grupo de personas fácilmente observables y
respondiendo cada grupo a la misma edad, las
probabilidades de vida o muerte para cada una de las
edades y deducir de tales probabilidades el número de
sobrevivientes, partiendo de un número básico que se da de
antemano para la edad inicial que puede ser la edad cero.
Dicho número se llama base o raiz de la tabla.
Tabla de Mortalidad
 Contiene los siguientes datos o funciones:
 1ra. Columna: edad en años enteros de la persona de que se trata (x).
 2da. Columna: numero de sobrevivientes en cada una de las edades (x) a partir de 
un numero arbitrariamente dado de personas consideradas desde su nacimiento 
(llamada “base” o “raíz de la tabla” eligiéndose en general, el año como unidad de 
medida.
 3ra. Columna: numero de fallecidos entre las edades (x) y (x+1).
 4ta. Columna: probabilidad de que una persona de edad (x) viva un año mas, es 
decir, que alcance a cumplir la edad (x+1).
 5ta. Columna: probabilidad de que una persona de edad(x) no viva un año mas, es 
decir, que muera entre la edad (x) y (x+1).
Tabla de Mortalidad – Argentina 1990/92 – Ambos Sexos
Valores de conmutación
La denominación “valores de conmutación” no 
responde a la finalidad de los mismos. 
Mas apropiada es la denominación de “valores 
auxiliares de cálculo”, dado que su objeto es facilitar 
las operaciones matemáticas relacionadas con los 
seguros sobre la vida. 
Se utilizan 6 tipos de valores de conmutación: 3 
basados en el numero de sobrevivientes y 3 basados 
en el número de fallecidos.
Valores de conmutación
 Basados en el numero de sobrevivientes: 
 D(x): Se obtiene multiplicando los valores de “l(x)” por el factor de actualización 
(1 + i) -x, en donde “i” es el interés efectivo anual.
 N(x): Se obtiene sumando los valores de D(x + t) desde t = 0 hasta t = ω –1 – x.
 S(x): Se obtiene sumando los valores de N(x+t) desde t = 0 hasta t = ω –1 – x.
 Los basados en el número de fallecidos son:
 C(x): Se obtienen multiplicando los valores de “d (x)” por el factor de 
actualización (1 + i) –(x+1), en donde “i” es el interés efectivo anual.
 M(x): Se obtiene sumando los valores de C(x + t) desde t = 0 hasta t = ω –1 – x.
 R(x): Se obtiene sumando los valores de M(x + t) desde t = 0 hasta t = ω –1– x.
Valores de Conmutación
 Valores auxiliares de cálculo
 Operaciones de seguros sobre vida
 Dx = lx (1+i) –x
 Nx = Sumatoria Dx+t
Funciones Actuariales – Argentina 1990/92 – Tasa 4 %
Cálculo Actuarial
Seguros en caso de Vida 
Seguros en caso de Vida y de Muerte. 
 Contratos de Seguro. Concepto. Seguros Generales. Reaseguro. 
Prima. Premio. Póliza. Sujetos que intervienen. 
 Seguros en caso de vida. Capital Diferido. Rentas Vitalicias 
Vencidas y Adelantadas. Inmediatas, Temporarias, Diferidas e 
Interceptadas. Valores de conmutación.
 Seguros en caso de muerte. Tipos y características. Valores 
Actuales. Valores de Conmutación.
 Seguros sobre saldos hipotecarios. 
 Primas anuales en las Rentas Vitalicias y seguros de Vida. 
Reservas Matemáticas. Métodos para su cálculo.
 Primas de Riesgo y de Ahorro. Regímenes Previsionales.
Costo del seguro (Prima)
 Es el aporte económico que ha de pagar el 
Contratante o ASEGURADO a la Compañía 
Aseguradora por la contraprestación de la cobertura 
de riesgo que esta le ofrece. 
 Las bases técnicas se utilizan para calcular el costo 
del seguro. Considera por una parte los bienes o 
personas a asegurar, por otra, el grado con que se 
presenta un siniestro y por último, el análisis por 
medio de principios actuariales. 
GRUPO ASEGURABLE 
 Para tener un grupo asegurable, es necesario 
agrupar a los bienes y riesgos de acuerdo a sus 
características: 
 1. Ser Homogéneos 
 2. Cumplir con el Principio de Dispersión 
 3. Tener cierta incertidumbre 
Objetivo
 Que conozcas los distintos tipos de seguros sobre la vida y apliques 
conocimientos básicos de Cálculo Actuarial 
 Después de esta clase serás capaz de:
1. Diferenciar los distintos tipos de seguros sobre la vida de las personas.
2. Utilizar tablas actuariales
3. Determinar el valor de la prima pura única de una capital diferido.
4. Lo propio de una renta vitalicia en caso de supervivencia del asegurado
Seguros sobre la vida - Elementos
 l cantidad de personas vivas
 x edad de esas personas al momento inicial
 lx cantidad de personas vivas al comienzo
 n numero de años que dura el negocio
 x+n edad de los sobrevivientes
 lx+n cantidad de sobrevivientes a la edad x+n
 E aporte de c/u en el momento inicial
 C dinero que percibirá cada sobreviviente
Seguro sobre la vida
Sujetos
1. Asegurador
2. Tomador
3. Beneficiario 
4. Asegurado
Seguro sobre la vida
Contrato mediante el cual una persona llamada 
ASEGURADOR promete a otra, a quien se llama 
TOMADOR, en cambio de una prestación que se 
designa con el nombre de PRIMA, procurar a una 
tercera persona, que recibe el nombre de 
BENEFICIARIO, un cierto beneficio bajo una 
condición que depende de la vida de otra persona, a 
la que se da el nombre de ASEGURADO.
 P. Dupuich 
Tipos de seguros en caso de vida
1. De capital Diferido
2. Rentas Vitalicias
 Vencidas 
 Anticipadas 
a. De pagos constantes
 Inmediatas
 Diferidas
 Temporarias
 Interceptadas
b. De pagos fraccionados
c. De pagos variables
INMEDIATA
DIFERIDA
TEMPORARIA
INTERCEPTADA
 x = momento de  = momento de la 
 
 valuación o edad actual muerte o edad no alcanzada 
 
Capital Diferido
Cuanto vale hoy 
un determinado capital 
pagadero dentro de n años, 
siempre que el asegurado esté con vida
Prima 
Pura 
Única 
Capital Diferido
Elementos: 
1. Capital Asegurado
2. Tiempo 
3. Factor de Actualización
4. Probabilidad que ocurra el hecho.
npx probabilidad de que una persona que tiene 
exactamente la edad x, llegue con vida a la 
edad x+n, o sea la probabilidad de vivir n 
años más.
npx = l x+n
lx
Capital Diferido
nEx = v
n npx = v
n lx+n
 lx
nEx = v
x+n lx+n
 vx lx
Valores de conmutación
Valores auxiliares de cálculo
Su objeto es facilitar las operaciones
matemáticas con los seguros sobre la vida.
Ejemplo:
Dx = lx * v
x
Capital Diferido
Representa la prima pura y única que debe abonar 
una persona de x años de edad para tener derecho a 
percibir $ 1 luego de transcurridos n años y al final 
del enésimo año siempre que esté con vida.
nEx = Dx+n
Dx
Ejemplo Capital Diferido
Mi hijo de 18 años inicia estudios de odontólogo. 
Tomo un seguro dotal por $ 30.000 a cobrar 
cuando mi hijo cumpla 25 años para que instale su 
consultorio, siempre que esté con vida. La prima 
única inmediata será: 
7E18 = D25 / D18 * C = 35734 *30000 = 22578,35
47480
Renta Vitalicia Inmediata Vencida
Prima pura y única que debe pagar el 
asegurado de edad exacta x para tener 
derecho a cobrar $ 1 al final de cada año 
mientras esté con vida.
ax = Nx+1
 Dx
Ejemplo Renta Vitalicia Inmediata
Que fondo debe ingresar en una AFJP un 
varón que hoy tiene 65 años, para retirar 
$ 6.000 al final de cada año hasta el día de su 
muerte, ganando intereses acumulativos al 
4 % anual?. 
ax = N x+1 / Dx = N66 / D65 * 6000 
 ax = 49589 / 5327 = 55853,95
Renta Vitalicia Inmediata Anticipada
Prima pura y única que debe pagar el asegurado de 
edad exacta x para tener derecho a cobrar $ 1 al 
principio de cada año mientras esté con vida.
äx = Nx = 1 + ax
 Dx
Renta Vitalicia Diferida Vencida
Prima pura y única que debe pagar el asegurado de 
edad exacta x para tener derecho a cobrar $ 1 al final 
de cada año, a partir de la edad x+n y mientras esté 
con vida.
n/ax = Nx+n+1
 Dx
Renta Vitalicia Diferida Anticipada
Prima pura y única que debe pagar el 
asegurado de edad exacta x para tener 
derecho a cobrar $ 1 al principio de cada año, 
a partir de la edad x+n y mientras esté con 
vida.
n/ äx = Nx+n
 Dx
Renta Vitalicia Temporaria Vencida
Prima pura y única que debe pagar el 
asegurado de edad exacta x para tener 
derecho a cobrar $ 1 al final de cada año, 
durante los n primeros años de haber 
contratado el seguro y mientras esté con vida.
ax:n = Nx+1 – Nx+n+1 
 Dx
Renta Vitalicia Temporaria Anticipada
Prima pura y única que debe pagar el 
asegurado de edad exacta x para tener 
derecho a cobrar $ 1 al principio de cada año, 
durante los n primeros años de haber 
contratado el seguro y mientras esté con vida.
 äx:n = Nx – Nx+n 
 Dx
Renta Vitalicia Interceptada Vencida
Prima pura y única que debe pagar el 
asegurado de edad exacta x para tener 
derecho a cobrar $ 1 al final de cada año, 
entre las edades x+n y x+n+m y mientras esté 
con vida. 
n/ax:n = Nx+n+1 – Nx+n+m+1 
 Dx
Renta Vitalicia Interceptada Anticipada
Prima pura y única que debe pagar el asegurado de 
edad exacta x para tener derecho a cobrar $ 1 al 
principio de cada año, entre las edades x+n y 
x+n+m y mientras esté con vida. 
n/ äx:n = Nx+n – Nx+n+m 
 Dx
Casos Prácticos
 El señor Lopez tiene 58 años de edad y va a jubilarse 
a los 65 años. La empresa va a pagarle, de acuerdo la 
plan de pensiones, $ 8.000 anuales vencidos durante 
el tiempo que viva. Calcule que pago único realizado 
ahora que sería equivalente a los pagos anules.
 n/ax = Nx+n+1 = N66 / D58 * 8000 = 
 Dx
 n/ax = 49589 / 8191 * 8000 = 48432,67
Casos Prácticos
 Un comerciante debe pensionar a sus empleados al 
llegar a la edad de 60 años. Uno de sus empleados 
tiene 20 años y, al llegar a los 60 años, será jubilado 
con una renta anual vitalicia anticipada de $ 12.000 
Hallar la prima pura y única que debe comenzar a 
pagar a una compañía para proveer la pensión 
vitalicia del empleado.
n/ äx = Nx+n = N60 * 120000 = 87330 * 12000 = 23930,40
 Dx D2043792
Casos Prácticos
Hallar la prima pura y única de una renta vitalicia 
temporaria vencida, de $ 10.000 anuales, a pagar 
durante 20 años, a un hombre de 35 años de 
edad.
ax:n = Nx+1 – Nx+n+1 = N36 – N56 = 432284-121058
 Dx D35 23742
ax:n = 131086,68
Casos Prácticos
 El licenciado Gómez, de 32 años de edad, va a recibir 
$ 250.000 al inicio de cada año, comenzando dentro 
de 15 años y durante otros 15 años más, si está vivo 
para cobrarlos. ¿Qué clase de renta puede 
representar este caso y cual sería la prima pura y 
única a pagar?
n/ äx:n = Nx+n – Nx+n+m = N47 – N62 = 227594 - 73152
 Dx D32 26855
n/ äx:n = 5,750958 * 250000 = 1437739,71
Bibliografía 
 González Gale, José: Elementos de Cálculo Actuarial
 Yasukawa, Alberto: Matemática Actuarial
 Pagliano, Alberto: Técnicas actuariales de los seguros 
sobre la vida.
 Garnica Hervás y Otros: Cálculo Financiero
	Calculo Actuarial - Conceptos Básicos
	Rentas Vitalicias
	BASES ACTUARIALES
	BASES ACTUARIALES
	Biometría
	Funciones Biométricas
	Conceptos Tabulados
	Slide 8
	Slide 9
	Función de Supervivencia
	FUNCIONES BIOMETRICAS ELEMENTALES
	Slide 12
	Slide 13
	Tabla de Mortalidad
	Tabla de Mortalidad
	Tabla de Mortalidad – Argentina 1990/92 – Ambos Sexos
	Valores de conmutación
	Valores de conmutación
	Valores de Conmutación
	Funciones Actuariales – Argentina 1990/92 – Tasa 4 %
	Slide 21
	Seguros en caso de Vida y de Muerte.
	Costo del seguro (Prima)
	GRUPO ASEGURABLE
	Objetivo
	Seguros sobre la vida - Elementos
	Seguro sobre la vida
	Seguro sobre la vida
	Slide 29
	Tipos de seguros en caso de vida
	Slide 31
	Capital Diferido
	Capital Diferido
	Slide 34
	Capital Diferido
	Valores de conmutación
	Capital Diferido
	Ejemplo Capital Diferido
	Renta Vitalicia Inmediata Vencida
	Ejemplo Renta Vitalicia Inmediata
	Renta Vitalicia Inmediata Anticipada
	Renta Vitalicia Diferida Vencida
	Renta Vitalicia Diferida Anticipada
	Renta Vitalicia Temporaria Vencida
	Renta Vitalicia Temporaria Anticipada
	Renta Vitalicia Interceptada Vencida
	Renta Vitalicia Interceptada Anticipada
	Casos Prácticos
	Casos Prácticos
	Casos Prácticos
	Casos Prácticos
	Bibliografía