EJERCICIOS RENTAS CIERTAS CONSTANTES Y VARIABLES

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CALCULO FINANCIERO
GUÍA DE
TRABAJOS PRÁCTICOS
	2.020
CALCULO FINANCIERO – CICLO LECTIVO 2020
23
PROGRAMA ANALITICO
Unidad IV: Teoría General de las Rentas Ciertas (T.G.R.)
1. Operaciones Financieras Complejas Ciertas. Concepto de Rentas. Clasificación. Técnica de Valuación Discreta de Rentas Temporarias.
2. Análisis proyectivo y retrospectivo de rentas constantes.
3. Determinación de los distintos elementos.
4. Rentas fraccionarias.
5. Rentas Variables en Progresión Aritmética y en Progresión Geométrica.
6. Rentas perpetuas.
7. Rentas continuas.
BIBLIOGRAFIA
· MURIONI, OSCAR y TROSERO, ANGEL: “Tratado de Cálculo Financiero”. Editorial Tesis. Buenos Aires 1.981.
· GUILLERMO LÓPEZ DUMRAUF: “Cálculo Financiero Aplicado” Ediciones La Ley 2.004
· MARIO A. GIANNESCHI: “Curso de Matemática Financiera” Ediciones Macchi 2.005.
· GARNICA HERBAS: “Calculo Financiero” –Ediciones Cooperativas.
· ALBERTO MOYUKI YASUKAWA: “Matemática Financiera” Ediciones Eudecor 2.001
· CICERO, FERNANDO J. R.: “Introducción al Cálculo Financiero” Edit. U.N. Rosario 1.992
· QUIRELLI, BLANCA N. I.: “La Valuación Dinámica de Capitales”. U. N. del Litoral 1.993.
· TREJO, MARIO JOSÉ: “Guías de Estudio del Cálculo Financiero”. U. N. de Jujuy. 1.994.
· ADOLFO APREDA: Matemática Financiera en un Contexto Inflacionario” Club de Estudio 1.984.
· LEVI, EUGENIO: “Curso de Matemática Financiera y Actuarial”. Volumen I y II. Editorial Bosch. Barcelona 1.950.
· TORANZOS, FAUSTO: “Formación matemática del Economista”. Buenos Aires. Fondo Cultura Económica 1.964.
· AYRES, FRANK: “Teoría y Problemas de Matemáticas Financieras”. México. Mc Graw Hill, 1.980.
· GONZÁLEZ GALÉ: “Elementos de Cálculo Actuarial”. El Ateneo. 1.973.
· ALBERTO MOYUKI YASUKAWA: “Matemática Actuarial” Ediciones Eudecor 2.001
· ALBERTO C. PAGLIANO: “Técnicas Actuariales de los Seguros de Vida” Ediciones Macchi 2.001
· Tablas Actuariales de Argentina.
Funciones Financieras en Excel
Las funciones financieras sirven para sirven para facilitar las operaciones relacionadas a la administración del dinero, y el valor del dinero en el tiempo.
Los diversos cálculos financieros son posibles en Excel por medio de estas funciones, entre las principales encontramos:
VF y VA para encontrar el valor presente y valor futuro.
PAGO, TASA, NPER, y similares que se pueden emplear para préstamos o financiamientos. VNA, TIR, TIRM, y similares para la evaluación de proyectos.
SLN, SYD, DB entre otros para las diversas formas de deprecación existente. Y diversas funciones que adicionales que revisaremos en la siguiente lista.
En esta lista encontrarás la definición de las funciones financieras en Excel, tanto de las funciones financieras básicas como de las mas complejas, cada una de las funciones contienen ejemplos descritos paso a paso y una descripción del funcionamiento o sintaxis de las funciones.
· Función TASA.INT en Excel
· Función LETRA.DE.TEST.EQV.A.BONO en Excel
· Función LETRA.DE.TES.RENDTO en Excel
· Función LETRA.DE.TES.PRECIO en Excel
· Función DB en Excel
· Función SYD en Excel
· Función SLN en Excel
· Función TIRM en Excel
· Función TIR.NO.PER en Excel
· Función TIR en Excel
· Función VNA.NO.PER en Excel
· Función VNA en Excel
· Función TASA.NOMINAL en Excel
· Función VF.PLAN en Excel
· Función TASA en Excel
· Función VF en Excel
· Función VA en Excel
· Función PAGO.PRINC.ENTRE en Excel
· Función PAGO.INT.ENTRE en Excel
· Función PAGOPRIN en Excel
· Función PAGOINT en Excel
· Función NPER en Excel
· Función INT.EFECTIVO en Excel
· Función PAGO en Excel
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	TIEMPO EXISTENTE ENTRE DOS FECHAS
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	DIAS TRANSCURRIDOS DESDE EL INICIO DEL AÑO
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
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	DIAS QUE FALTAN TRANSCURRIR HASTA FINALIZAR EL AÑO
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
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CÁLCULO DE DÍAS Y FECHAS USANDO CALCULADORA FINANCIERA CASIO FC100V
Utilizar el modo DAYS permitiendo calcular los días entre dos fechas, la fecha de inicio y la fecha de finalización. Para ingresar los datos de fechael formato de la calculadora es MMDDAAAA; no obstante se puede modificar dicho formato a DDMMAAAA a través de:
· Setup
· Seleccionar con EXE la opción Date Input.
· Elegir MDY ó DMY según el formato con el cual quiera trabajar.
Para calcular cantidad de días entre dos fechas se debe proceder de la siguiente manera:
1. Presionar la tecla DAYS.
2. En Set debe aparecer 365 días (elegir 365 días como año financiero)
3. En d1 se debe ingresar los datos de la fecha de inicio con el siguiente formato: Mes, día y año (no olvidar que este es el formato por omisión de la calculadora); utilizando dos dígitos para los días y meses. (Ejemplo 2 de marzo del 2.004: 03022004).
4. En d2 se debe ingresar los datos de la fecha de finalización con el mismo formato.
5. Dys (número de días entre dos fechas). Incógnita.
6. Con Solve preguntar por la incógnita.
Cuando una de las fechas es la incógnita se debe proceder de la siguiente manera:
1. Presionar la tecla DAYS.
2. En Set debe aparecer 365 días.
3. En d1 se debe ingresar los datos de la fecha de inicio con el siguiente formato: Mes, día y año (no olvidar que este es e formato por omisión de la calculadora); utilizando dos dígitos para los días y meses. (Ejemplo 2 de marzo del 2.004: 03022004).
4. Dys número de días entre dos fechas. Si se quiere sumar a d1, ingresarlo sin signo. Si se quiere restar a d1, se debe ingresar con signo negativo.
5. En d2 se va a calcular la fecha faltante con el formato DDMMAA. Incógnita
6. Con Solve preguntar por la incógnita
TRABAJO PRÁCTICO N° 6
TEORÍA GENERAL DE LAS RENTAS – RENTAS CIERTAS - CONSTANTES.
I. INTRODUCCIÓN, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS:
· RENTAS CONSTANTES CONCEPTO:
Sucesión de pagos o vencimientos regulares y equidistantes realizados para constituir un monto (imposiciones) o cancelar una deuda (amortizaciones).
· Rentas constantes: Todas las cuotas son iguales
· Temporaria: Tiene un número finito y conocido de cuotas
· Inmediata: Valoramos la renta en el momento inicial o en el momento final
· Diferida: Valoramos la renta en un momento anterior a su origen
· Anticipada: Valoramos la renta con posterioridad al inicio o al final
· Vencida o Adelantadas: las cuotas se encuentran al final o al principio de cada periodo
· Temporarias: Se puede determinar el final de la renta
· Perpetuas: Su duración es ilimitada
VALOR ACTUAL: La valuación se hace en Momento Inicial (MI)
Vencidas
VA = c . 1 - vn	=	c . (1+i)n - 1
i	(1 + i) n i.
	
Cuota
	
C = VA . (1 +i)n . i
(1 +i)n - 1
	
Intereses acumulados
	
I (0;n) = n . C – VA
	
Tiempo
Tasas
	
n = - Log (1 – VA . i/C)
Log (1 + i)
Interpolación Lineal
	
	𝑎(1,𝑛,𝑖) − 𝑎(1,𝑛,𝑖0)
𝑖 = 𝑖0 + 𝑎	− 𝑎	− (𝑖1 − 𝑖0)
(1,𝑛,𝑖1)	(1,𝑛,𝑖0)
	
	
Baily
 2 
𝑛. 𝐶 𝑛+1
ℎ = (	)	− 1
𝑉
12 − (𝑛 − 1). ℎ
𝑖 = 12 − 2(𝑛 − 1). ℎ . ℎ
Adelantadas
VA = c . 1 - vn . (1+i)	=	c . (1+i)n – 1 . (1+i)
i	(1 + i) n. i
VALOR FINAL: La valuación se hace al momento final (MF)
Vencidas
VF= (1 + I )n -1
i
	
Cuota
	
C = VF .	i
	
	(1 +i)n - 1
	Tasas
	𝑆(1,𝑛,𝑖) − 𝑆(1,𝑛,𝑖0)
𝑖 = 𝑖 +	− (𝑖 − 𝑖 )
	
	0	𝑆(1,𝑛,𝑖 ) − 𝑆(1,𝑛,𝑖 )	1	0
1	0
	
	Baily
 2 
𝑛. 𝐶 1−𝑛
ℎ = (	)	− 1
𝑉𝐹
12 + (1 + 𝑛). ℎ
𝑖 = 12 + 2(1 + 𝑛). ℎ . ℎ
Adelantadas
VF = (1 + i)n – 1 . (1+i)
i
DIFERIDAS: Valora la renta en un momento anterior a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento de valoración se denomina período de diferimiento de la renta.
Vencidas:
VA: vm . 1-vn = vm. (1 + i)n -1
i	(1+i)n. i
Adelantadas:
VA: vm . 1-vn (1+i) = vm . (1 + i)n -1 . (1+i) i	(1+i)n. i
ANTICIPADAS: Valoramos la renta con posterioridad al inicio o al final
Vencidas:
VA: (1 + i)m 1 - vn
i
Adelantadas:
VA: (1 + i)m 1 - vn . (1+i)
i RENTAS PERPETUAS:
· Rentas que tienen un número indefinido de términos. Ejemplo, rédito que se puede obtener de un capital si no se lo consume.
· Por la definición, es imposible calcular el valor final pero si su valor actual.
Vencidas
VA = C . 1
i Adelantadas
VA= C . 1 . (1+i)
i
II. PRÁCTICA:
El programa EXCEL, pertenece a Microsoft Office, junto a otros, tales como Word y PowerPoint. Se trata de una hoja de cálculo que es utilizada para organizar, analizar y presentar INFORMACIÓN FINANCIERA. Así también posee funciones financieras, que con la sola introducción de datos, de manera casi inmediata, permite obtener los resultados, vale decir la/s incógnita/s que deseemos conocer a partir de determinada consigna.
Las funciones VA y VF en Excel
Los argumentos de las funciones son los siguientes:
· Períodos. El número total de períodos. Por ejemplo, si se hace un pago mensual durante un año el total de períodos será de 12. Si se hace un pago mensual durante 3 años tendremos un total de 36 períodos.
· Pago. El pago hecho en cada período.
· Tasa. La tasa de interés constante para cada período.
Cuando utilizamos funciones financieras debemos recordar que los valores pueden ser positivos o negativos dependiendo de si se está recibiendo dinero o si se está pagando. Otra cosa importante a resaltar es que generalmente encontramos las tasas de interés expresadas de manera anual, por lo que si estamos haciendo un cálculo mensual deberemos dividir la tasa de interés entre 12.
La sintaxis básica para ambas funciones es la siguiente: VA(Tasa, Períodos, Pago)
VF(Tasa, Períodos, Pago)
Observa los siguientes cálculos de funciones:
En este ejemplo he utilizado los mismos parámetros tanto para la función VA como para la función VF. El valor futuro nos ayuda a saber la cantidad de dinero que tendremos en una fecha futura si se comienza a invertir desde hoy la cantidad especificada con una tasa de interés fija. El valor actual es el valor que tiene el día de hoy una inversión que iremos haciendo en pagos futuros a una tasa de interés fija.
Funciones financieras
¿Cuál es la tasa de interés si se sabe que hoy se depositaron en una institución bancaria la suma de $ 130.000, y transcurrido un año se retirará un valor de $ 147.500.
DATOS
VF: $ 147.500
VA: $ 130.000
n :1 año TASA: ?
Ingresamos:
· Nper	1
· Pago	dejamos en blanco
· Va	- 130.000 (las salidas de fondos con signo negativo)
· Vf	147.500
· Tipo	dejamos en blanco
Y en la última fila del sector carga de datos, observamos el signo igual (=), que en este caso, dirá:
= 0,134615385
Mientras que al pie – a la izquierda- aparecerá la tasa expresada en porcentaje “Resultado de la fórmula = 13,46%”
RENTAS CIERTAS UTILZANDO CALCULADORA FINANCIERA CASIO F 100 V
A las funciones que ya estábamos utilizando incorporaremos algunas nuevas:
1) Cuotas Adelantadas o Vencidas:
Cuando se ingresa al modo Financiero (pulsando la tecla CMPD) el primer renglón que se despliega en la pantalla es “Set”, allì se puede elegir trabajar con:
· Begin: para cuotas adelantadas
· End: para cuotas vencidas
Solo debe posicionarse sobre el renglón y con la tecla EXE se puede elegir el modo. Es importante que esté seleccionado antes de calcular la incógnita del caso o ejercicio.
2) PMT
Esta función es para introducir (ó calcular) el valor de la cuota (Payment, en inglés)
3) n
En Rentas, representa la cantidad de cuotas del sistema. Veamos algunos ejemplos:
a) Valor final de Rentas Ciertas vencidas inmediatas
A ni = C S ni
Datos:
Cuota= $100 mensual y vencida n= 6
i= 0,02 mensual
Seleccionamos el modo CMPD e ingresamos los datos:
Set: End n : 6 EXE
I% : 2 EXE (es la tasa multiplicada por 100) PV: 0 EXE
PMT: -100 EXE (ingresarlo con signo negativo siempre que la cuota sea dato)
FV: SOLVE (es la incógnita) P/Y: 1
C/Y: 1
En el renglón calculado aparecerá:
FV: 630,8120963
Como son pesos, el resultado que consideraremos es $630,81 (pesos con centavos).
Recuerde:
· no importa el orden en que se ingresen los datos
· la tasa de interés debe introducirse como porcentaje (multiplicada por 100). Cuando sea la incógnita y se la calcule, el resultado debe dividirse por 100.
· cuando la incógnita sea PMT, el resultado será con signo negativo. Ignore el signo y tome sólo la cifra relevante. Cuando lo que quieracalcular sea la tasa de interés o “n”, deberá introducirse PMT con signo negativo y FV sin signo. Si no se opera de esta manera, aparece el mensaje de ERROR
b) Valor final de Rentas Ciertas anticipadas inmediatas
Ä ni = C ¨s ni
Si trabajamos con los mismos datos del ejemplo anterior, simplemente cambiamos el modo a “adelantado” y volvemos a pedir el resultado:
Set: Begin EXE FV: SOLVE
En el renglón calculado aparecerá:
FV: 643,4283382
Como son pesos, el resultado que consideraremos es $643,43 (pesos con centavos)
Si los datos fueran otros, se sigue el mismo procedimiento que se siguió para cuotas vencidas recordando que antes de solicitar el resultado esté en modo anticipado (Begin).
Si luego de realizada una operación quisiera borrar los datos de la operación anterior, para evitar errores en la carga de datos puede hacerlo de distintas maneras:
I) sobrescribir los datos anteriores
II) Usar la función CLEAR (borrar): pulse las teclas:
Shift
9 (en amarillo indica “CLR”)
Se despliega la pantalla con las opciones de lo que se puede borrar:
VARS : EXE (se confirma nuevamente y luego la tecla AC), volviendo a la pantalla de CMPD con los datos en 0.
c) Valor actual de Rentas Ciertas vencidas inmediatas
V ni = C a ni
Datos:
Cuota= $100 mensual y vencida n= 6
i= 0,02 mensual
Seleccionamos el modo CMPD e ingresamos los datos:
Set: End n : 6 EXE
I% : 2 EXE (es la tasa multiplicada por 100) PV: SOLVE (es la incógnita)
PMT: - 100 EXE (ingresarlo con signo negativo siempre que la cuota sea dato)
FV: 0 EXE
P/Y: 1
C/Y: 1
En el renglón calculado aparecerá:
PV: 560,1430891
El resultado que consideraremos es $560,14 (pesos con centavos)
d) Valor actual de Rentas Ciertas anticipadas inmediatas
¨V ni = C ä ni
Si trabajamos con los mismos datos del ejemplo anterior, simplemente cambiamos el modo a “adelantado” y volvemos a pedir el resultado:
Set: Begin EXE PV: SOLVE
En el renglón calculado aparecerá:
PV: 571,3459509
Como son pesos, el resultado que consideraremos es $571,35 (pesos con centavos)
PRACTICA:
1. Determinar el valor de la cuota que se debe pagar en un préstamo de $ 10.000 que se deberá cancelar mediante 10 cuotas mensuales y que fue pactado con una TNA 7,3% con capitalización cada 30 días. La primera cuota se abona al mes siguiente de haber recibido el préstamo. Determinar además el saldo de la deuda en el momento 6 habiendo pagado la cuota correspondiente y luego determinarlo sin el pago de la cuota. 
Rta: C = 1033,30 S(6) = 4071,93 S(6) = 5105,24
Se desea reunir al cabo de 5 años un capital de $ 80.000.Teniendo en cuenta que los únicos 
ingresos al fondo se producirán en el momento del cobro de cada aguinaldo, el 1º día hábil de 
enero de este año se abrió una cuenta de ahorro en la que se depositaron $ 15.000 (incluye el 
aguinaldo N° 1). Sabiendo que la tasa pasiva es del 5% nominal anual con capitalización 
mensual, determine el importe de cada uno de los depósitos siguientes considerando que todos 
serán iguales. 
RTA: c = 5.962,80 
2. Se desea reunir al cabo de 5 años un capital de $ 80.000. Teniendo en cuenta que los únicos ingresos al fondo se producirán en el momento del cobro de cada aguinaldo, el 1º día hábil de enero de este año se abrió una cuenta de ahorro en la que se depositaron $ 15.000 (incluye el aguinaldo N° 1). Sabiendo que la tasa pasiva es del 5% nominal anual con capitalización mensual, determine el importe de cada uno de los depósitos siguientes considerando que todos serán iguales. 
Rta: C = 5.962,93
3. Dado el incremento de sus actividades de asesoramiento la consultora “AT, JJP & Asoc.”, ha decidido incorporar nuevo equipamiento informático cuyo costo es de $ 150.000. El proveedor ofrece dos alternativas de pago: i) 10% anticipo y saldo en 5 cuotas vencidas de $ 28.641,33 c/u ii) 15% anticipo y saldo en 8 cuotas vencidas de $ 17.405 cada una. Determine la alternativa más conveniente, si la tasa del mercado financiero es del 1,5% mensual durante todo el periodo.
Rta: a) 151.981,31 b) 152.792,53.-
a) Un estudiante estima que su carrera finalizará dentro de 4 años. Como desea tener su 
propia oficina al recibirse, estima que podrá reunir al cabo de dicho período un capital de $ 
50.000, con el fin de efectuar la operación inmobiliaria. Por ese motivo en el día de hoy abrirá 
una cuenta de ahorro depositando la primera cuota, si la tasa pasiva es del 7% nominal anual, 
se desea saber El importe de cada depósito mensual, considerando que todos serán iguales y 
qué saldo reunirá al cabo del 2º año depositada la cuota N° 25. 
b) En ese momento se le presenta la oportunidad de comprar un departamento por $ 45.000 
por lo que decide solicitar un préstamo por el faltante. El banco le ofrece un préstamo pagadero 
en 24 cuotas iguales, vencidas y consecutivas con una tasa activa neta de costos del 12% 
nominal anual, determine la cuota mensual a pagar. 
RTA: a) c =902,24 S(24) = 24.184,08 b) V= 20.815,92 c= 978,3
4. Un estudiante estima que su carrera finalizará dentro de 4 años. Como desea tener su propia oficina al recibirse, estima que podrá reunir al cabo de dicho período un capital de $ 50.000, con el fin de efectuar la operación inmobiliaria. Por ese motivo en el día de hoy abrirá una cuenta de ahorro depositando la primera cuota, si la tasa pasiva es del 7% nominal anual con capitalización mensual, se desea saber El importe de cada depósito mensual, considerando que todos serán iguales y qué saldo reunirá al cabo del 2º año depositada la cuota N° 25. En ese momento se le presenta la oportunidad de comprar un departamento por $ 45.000 por lo que decide solicitar un préstamo por el faltante. El banco le ofrece un préstamo pagadero en 24 cuotas iguales, vencidas y consecutivas con una tasa activa neta de costos del 12% nominal anual con capitalización mensual, determine la cuota mensual a pagar. 
Rta: a) c =902,23 S(24) = 24.183,86 b) V= 20.816,14 c= 978,29
+
5. ¿En cuánto tiempo se cancela un préstamo recibido por $ 50.000 si las cuotas son mensuales de $ 1.483,75 y se pagan en forma vencida con una TNA del 13%? 
Rta: n = 42 cuotas mensuales
Se suscribe un plan de ahorro y préstamo por un rodado de valor $10.000 en 50 cuotas, la tasa 
para ahorro es del 1% mensual y para el préstamo es del 1,2% mensual vencido. Si el rodado 
es adjudicado en el momento 17 junto con la última cuota de ahorro, determinar el saldo de la 
deuda pagada la cuota 41. 
S(40) = 2241,61
6. Determinar el valor final de una renta vencida de 10 pagos mensuales de $ 1.500 cada uno, que aplica una tasa del 5% mensual. a) ¿Cuál es el depósito extraordinario a efectuar junto con el último pago, si no se depositan la tercera, cuarta y quinta cuota y se desea reunir el mismo monto? b) ¿Cuál es el importe a alcanzar si no se hace el depósito extraordinario? 
Rta: $ 18.866,84; a) $ 6.035,22; b) $ 12.831,62
Determinar el valor de la cuota que se debe pagar en un préstamo de $ 10.000 que se deberá 
cancelar mediante 10 cuotas mensuales y que fue pactado con una TNA 7,3%. La primera 
cuota se abona al mes siguiente de haber recibido el préstamo. Determinar además el saldo de 
la deuda en el momento 6 habiendo pagado la cuota correspondiente y luego determinarlo sin 
el pago de la cuota. 
C = 1033,30 S(6) = 4071,93 S(6) = 5105,24
7. Se suscribe un plan de ahorro y préstamo por un rodado de valor $10.000 en 50 cuotas, la tasa para ahorro es del 1% mensual y para el préstamo es del 1,2% mensual vencido. En el momento de la suscripción se abona la primera cuota del plan de ahorro. Si el rodado es adjudicado en el momento 17 junto con la última cuota de ahorro. Determinar el saldo de la deuda pagada la cuota 41. 
Rta: S(40) = 2241,61
Dado el incremento de sus actividades de asesoramiento la consultora “AT, JJP & Asoc.”, ha 
decidido incorporar nuevo equipamiento informático cuyo costo es de $ 150.000. El proveedor 
ofrece dos alternativas de pago: 
i) 10% anticipo y saldo en 5 cuotas vencidas de $ 28.641,33 c/u 
ii)15% anticipo y saldo en 8 cuotas vencidas de $ 17.405 cada una. 
Determine la alternativa mas conveniente, si la tasa del mercado financiero es del 1,5% 
mensual durante todo el periodo.
8. Un científico decide dedicar 10 años de su vida a la investigación. Para subsistir económicamente durante ese lapso, decide ahorrar a partir de la fecha, una determinada suma que le asegure un ingreso de u$s 1.000 mensuales; por este motivo retrasa su proyecto y va depositando una suma constante anual durante 5 años. Averigüe el importe de dicha cuota, considerando que la tasa pasiva es del 50% efectivo anual durante los primeros 5 años y del 70% nominal anual (base 360) durante los 10 siguientes.
Rta: 916,16.
9. El Sr. Ricardo Castro desea comprar un dpto. con los honorarios que cobrará por un estudio de impacto ambiental que realizó. Para ello concurre a la Inmobiliaria EEC S.A. que le ofrece 2 alternativas de pago: • A 30 días: $ 230.000. • Financiado: 60 cuotas mensuales vencidas de $ 10.000 cada una. La tasa del mercado es del 4% mensual. Indique la decisión que deberá tomar el Sr. Castro; justifique.- 
Rta: Pagar a 30 días
10. Una compañía adquiere la concesión de unos yacimientos de litio en la provincia de Jujuy; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $2.400.000. suponiendo que la tasa efectiva anual para todo el plazo es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación. Calcule el valor, al momento de realizar la inversión, de las utilidades que espera obtener la empresa.
Rta: 12.945.416
11. Un comerciante mayorista vendió mercadería cuyo valor de contado es de $6.000 cobrando con dos cheques de pago diferido de igual importe a 30 y 60 días respectivamente por $3.162,95 cada uno. ¿Cuál es la tasa de interés para 30 días aplicada a la financiación?
Rta.: 3,6% para 30 días
12. Suponga por un instante que Ud. es Aquiles, y que ha sido tan afortunado que su madre Tetis, al sumergirlo en el río Estigia, ha tenido el buen tino de no olvidar empaparle su talón, garantizándole de este modo la inmortalidad total y absoluta. Usted duda, no obstante, que su condición de inmortal le asegure una vejez plena de vigor y libre de achaques. Estando al tanto además de la precariedad de los sistemas previsionales de aquella época, decide acordar con Prometeo (Dios del Fuego) que Ud. percibirá un retiro mensual de $2000 de por vida, recibiendo el primer pago dentro de un mes. Qué suma recibirá hoy a cambio Prometeo de parte de Aquiles, si para el cómputo se utiliza una tasa del 10% efectivo anual? 
Rta: $ 254.308,07
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Se establece un plan de depósitos para formar un valor final que nos permita cancelar una deuda de $ 205.000 dentro de 5 años. Los depósitos se realizarían al principio de cada mes, por el lapso de 4 años a una tasa anual del 38 % para los primeros 2 años y del 49 % para los restantes años. Se pide determinar el valor de cada cuota.
2. El propietario de un inmueble tiene las siguientes opciones: El señor Arias le ofrece alquilar a un precio de 1.000 $/mes adelantado durante el primer año y 1.200 $/mes adelantado durante el segundo año. La señora Bono le ofrece 1.100 $/mes vencido los dos años. Con una tasa del 33 % Efectivo Anual, determinar cuanto ganaría hoy el propietario si elige la mejor opción.
3. ELECTRO CENTRO ofrece un lavarropas en tres opciones de pago:
a) $ 3.000 precio de contado;
b) 12 cuotas mensuales adelantadas de $ 303.-
c) Con tarjeta de crédito en 6 pagos mensuales sin intereses (previo recargo del precio del 10 %). El resumen de la tarjeta vence al 2do. mes de la compra.
Aplicando el 26,82 % T.E.A., determinar la opción mas conveniente para el comprador.
4. El impuesto inmobiliario de mi casa asciende a $ 1.200 y tiene 12 vencimientos por mes vencido ($ 100.- c/u). Si pago de contado, la Dirección Provincial de Rentas me hace un descuento del 20 %. Sabiendo que la tasa de mercado es 35 % efectivo anual, determinar si me conviene pagar de contado.
5. Determinar el valor final que se constituirá al cabo de un año de plazo a una tasa de interés del 18% nominal anual, conociendo que los pagos de $150, se realizarán en forma mensual.
a) Considere la cuota vencida.
b) Considere la cuota adelantada.
c) Analice la relación existente entre a) y b).
Rta: a) $1.956,18; b) 1.985,52.
6. El padre de un futuro alumno universitario nos consulta lo siguiente: su hijo debe ir a estudiar a la capital una carrera universitaria de 5 años de duración. Estima que sus gastos mensuales serían en promedio de $1.200. Si el banco del cual es cliente le reconoce un interés del 7,5% nominal anual por los saldos depositados en la cuenta:
a) ¿Qué importe debe depositar hoy para disponer de esa renta en forma vencida?
b) ¿Qué importe debería depositar hoy si los pagos fueran adelantados?
Rta: a) $59.886,37; b) $60.260,66.
7. Una institución financiera anuncia: “Deposite hoy $1.000 y obtenga una renta mensual de $100 durante un año”, ¿qué tasa nominal anual con capitalización mensual anuncia esta institución?
Rta: i= 0,350673 nominal anual con capitalización mensual.
8. Una persona se compromete a depositar 18 cuotas iguales, mensuales y vencidas, pero solamente depositó las 5 primeras en un banco que reconoce una tasa de interés del 77% efectivo anual. Las 13 cuotas restantes fueron depositadas regularmente después de transcurridos 3 meses sin depósitos. ¿Cuál es el importe de la cuota mensual si al cabo de la operación se logra un valor final de $9.750?
Rta: 332,07.
9. Se está pagando un televisor mediante $500 al comienzo de cada trimestre. Transcurridos tres años, luego de abonada la cuota N° 12 y cuando aún restan 32 pagos, se quiere saldar la deuda. ¿Cuánto debe abonarse al 6% anual efectivo?
Rta: $12.881,90.
10. Con ocho depósitos mensuales vencidos de $100 cada uno, capitalizados al 4% mensual de interés, se quiere reunir cierta suma de dinero. El cuarto depósito no se realiza, y además se retiran $200. Los demás depósitos se realizan regularmente. Deseándose reunir la suma inicialmente planeada, se quiere saber:
a) Adicional mensual a partir de la 5° cuota.
b) Adicional único junto con la 7° cuota.
Rta: a) $82,65; b) $337,46.
11. Un individuo posee $70.000, que desea convertirlos en una renta de pagos mensuales, con adicionales cuatrimestrales, durante los próximos 4 años. Se desea un haber mensual de $1.800, que cobrará por adelantado. El primer adicional cuatrimestral será dentro de 2 meses. Dada la tasa del 3% mensual, calcule el valor adicional cuatrimestral. Rta: $3.406,50.
12. Si una persona desea obtener una renta mensual a perpetuidad de $100 en una operación a una tasa de interés del 7,5% nominal anual. ¿Qué importe debe depositar hoy para obtener dicho beneficio?
Rta: $16.000.
TRABAJO PRÁCTICO N° 7:
TEORÍA GENERAL DE LAS RENTAS – RENTAS CIERTAS - VARIABLES.
I. INTRODUCCIÓN, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS:
Rentas Variables: Las cuotas no son constantes, son variables
a) CUOTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA: Cada una de las cuotas varía en una suma fija en relación con la anterior. esa variación se denomina “r” y puede ser creciente: r mayor 0 o decreciente r menor que 0.
b) 	CUOTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA: Cada una de las cuotas varía en un porcentaje fijo con relación al anterior. Cada cuota se obtiene multiplicando la anterior por una razón la cual denomina “q” y puede ser creciente q mayor que 1 o decreciente q menor que 1.
· Temporaria: Tiene un número finito y conocido de cuotas.
· Inmediata: Valoramos la renta en el momento inicial o en el momento final.
· Diferida: Valoramos la renta en un momento anterior a su origen.
· Anticipada: Valoramos la renta con posterioridad al inicio o al final.
· Vencida o Adelantadas: las cuotas se encuentran al final o al principio de cada periodo.
· Temporarias: Sepuede determinar el final de la renta.
· Perpetuas: Su duración es ilimitada.
Calculo de los términos o cuotas de una progresión
· Primer término: a1
· Ultimo término: an
Progresión aritmética:	an = a1 + (n-1) . r
Progresión geométrica:	an = a1 . q (n-1)
VALUACION: Valuar una renta es determinar qué cantidad de dinero representan las cuotas en un punto determinado del tiempo.
Valor actual	Valuación se hace en el MI
Valor Final	Valuación se hace en el MF
Diferida	Valuación se hace en un momento anterior al origen
VALOR ACTUAL RENTA VARIABLE EN PROGRESION ARITMETICA
Vencidas	AdelantadasV(1,n,i,r) = (c + r) . a(1,n,i) – r . n . Vn
i	i
V(0,n,i,r)=[(c + r) a(1,n,i) – r . n . Vn ] .(1+i) i	i
VALOR FINAL DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESION ARITMETICA
Vencidas	Adelantadas
A (1,n,i,r) = (c + r) s(1,n,i) – r . n
i	i
A (0,n,i,r) = (c + r) s(1,n,i) – r . n ) .(1+i)
i	i
VALOR ACTUAL RENTA VARIABLE EN PROGRESION ARITMETICA DIFERIDA
Partimos de la fórmula básica y actualizamos por el periodo de diferimiento Vencidas	AdelantadasA (t+1,n,i,q) = A(0,n,i,q) vt-1
A (t+1,n,i,q) = A (1,n,i,q) vt
= ( (c + r) a(1,n,i) – r . n . Vn ) . vt i	i
= ((c + r) a(1,n,i) – r . n . Vn ) . (1+i)) . vt-1 i	i
VALOR ACTUAL RENTA VARIABLE CON PROGRESION GEOMETRICA
Vencidas
A(1,n,i,q) = C . 1 – qn . Vn
1 + i – q
Adelantadas
A(0,n,i,q) = C . 1 – qn . Vn .(1+i)
1 + i – q
VALOR FINAL RENTA VARIABLE EN PROGRESION GEOMETRICA.
A partir del valor actual se podrá calcular el valor de la renta en cualquier otro momento, utilizando la relación que existe entre los valores financieros en los diferentes momentos de tiempo. En concreto, el valor final será el resultado de capitalizar el valor actual antes calculado.
Vencidas
S (1,n,i,q) = ( 1 +i ) n . A(1,n,i,q)
Adelantadas
S (0,n,i,q) = ( 1 +i ) n . A(0,n,i,q)
VALOR ACTUAL RENTA VARIABLE EN PROGRESION GEOMETRICA DIFERIDA
Partimos de la fórmula básica y actualizamos por el periodo de diferimiento
Vencidas	Adelantadas
A (t+1,n,i,q) = A(1,n,i,q) . vt
A (t+1,n,i,q) = A(0,n,i,q) . vt
 A (t+1,n,i,q)= C . 1 – qn . Vn ) . vt
1 + i – q
A (t+1,n,i,q)= [( c . 1 – qn . Vn ) (1+i )] . vt-1
1 + i - q
II. PRÁCTICA:
1.- Se quiere obtener un capital que pasados 6 años me permita cobrar una renta de $ 5.000 el primer año, y luego cuotas aumentadas en un 20% cada una durante 10 años. Hallar ese capital si la tasa es del 7% anual y las cuotas son vencidas. 
Rta: $ 55.039 
2.- Cual será el número de pagos mensuales necesarios para cancelar un préstamo de $ 1.788,50. Siendo el tercer pago de $ 262,10; la razón del 2% mensual acumulativo y la tasa de interés efectiva mensual del 4%
Rta: 8 pagos. 
3.- Determine el valor de la octava cuota de una renta anual adelantada que ha generado un valor final de $ 500.000 en doce cuotas de valor creciente a razón de un 5% anual si los depósitos ganaron un interés del 7 % anual?
Rta: C8: $28.817,59
 
4.- Calcular el valor actual al 8% anual de un serie de 10 pagos que tienen las siguientes características: Los primeros 5 pagos de $ 18.000 cada uno al fin de cada año, el sexto pago de $ 25.000 y los siguientes con un incremento de $ 1,000.-
Rta: $ 144.821
5.- Se intenta saber cuánto se tendría que pagar hoy para cancelar una deuda que consiste en 15 cuotas mensuales de $ 15.000 , un agregado mensual acumulativo mensual de $ 1.000 y además un pago adicional en el mes de la ultima cuota de $ 100.000. Siendo la tasa semestral del 0,5868.- Además se desea saber el importe de la decima cuota
Rta: $207.815,95 y $ 24.000 
6.- Determine el valor reunido al cabo de 10 años mediante el depósito de una reta semestral adelantas que gana un interés del 8% TNA si la primera cuota es de $ 500 y las restantes crecen a razón de $ 50 por cuota
Rta: $ 19.500
7.- Cual será el valor actual de una renta de 9 meses que tiene las siguientes características.
 C1: $ 10.000 C4: $ 50.000		C7: $ 65.000
 C2: $ 20.000 C5: $ 50.000 C8: $ 70.000
 C3: $ 40.000 C6: $ 60.000 C9: $ 75.000
Las tasas son : 6% en los tres primeros meses, y el 7% en los dos siguientes y 8% en los restantes.
Calcular en el momento 9 y en le momento 4 
Rta: a) $ 299.510 b) $ 555.629,97 c) $ 381.686,56
8.- Cual es el valor ahorrado al cabo del pago de 15 cuotas bimestrales en progresión geométrica, si la tercera cuota es de $ 300 y la séptima de $ 276,71 y la tasa efectiva mensual es del 2%. 
Rta: $ 5.548,15
9.- Una persona desa constituir un deposito que le permita obtener dentro de 3 años, una renta semestral vencida de $ 2.500 y luego cuotas semestrales aumentadas en un 10 % durante 5 años . Determinar cual es el depósito que debe efectuar hoy si la tasa es del 4%- nominal anual.
Rta: $ 31.331,57
10.- El valor actual de una renta variable asciende a $ 2.000.000, las cuotas son 12 adelantadas, siendo la primera de $ 100.000 . Si la tasa de interés es del 5%, cual es la razón de la progresión? 
Rta: $ 23.346
11.- Una persona se dispone a realizar durante 15 años depósitos semestrales vencidos; cada depósito supera al aterior en $ 1.500, siendo el primero de ellos de $ 10.000. Luego de haber depositado las 10 primeras cuotas, interrumpió los pagos hasta el momento de depositar la cuota nº 17. A partir de allì continuo su plan de depósitos a través de cuotas semestrales constantes y vencidas hasta concluir el plazo inicialemnte pactado. Calcular el valor de la nueva cuota, sabiendo que la tasa pactada para todos los depósitos fue del 32% nominal anual capitalizable semestralmete.
Rta: C: $ 102.720,02j 
12.- Si el actr del ejercicio anterior, al momento de abonar la cuoa nº 17 informa que no puede realizar depósitos consantes superiores a $ 100.000, determinar el valor del aporte extra que deberá realizar un mes antes de finalizar el plazo original de 3 meses,si la tasa es la misma del problema inicial. 
Rta. $ 97.614,34
EJERCICIOS ADICIONALES 
1. Un inversor realiza 10 depósitos bimestrales vencidos crecientes en una Entidad Financiera que abona un interés del 4% bimestral, siendo la primera cuota de $2.000 y la última de $3.998. se pide calcular el valor final reunido al cabo de 2 años, sabiendo que:
a) Los pagos intermedios varían en progresión aritmética.
b) Los pagos intermedios varían en progresión geométrica.
Recalcular el valor final determinado en el punto a) suponiendo que en los bimestres 7 y 8 no se realizan depósitos.
Recalcular el valor final determinado en el punto b) suponiendo que para el segundo año la tasa de interés se incremente al 4,5% bimestral.
Rta: a) 28.822,79 b) 37.570,40
2. Un inversor deposita al inicio de cada periodo y durante un año y medio, cuotas mensuales variables, sabiendo que la primera es de $8.500 y la última de $3.937,97, variando los pagos intermedios en progresión geométrica. ¿Qué valor final habrá reunido si la tasa de interés asciende al 2,2% mensual?.
Rta: 135.938,66
3. Compramos una máquina por $158.300. se pagan 10 anualidades vencidas y variables en progresión aritmética de modo que la última sea igual a la cantidad en que disminuye cada una. ¿Cuál será el primer pago si la tasa de interés utilizada asciende al 4,5% mensual? (se aclara que el último pago es igual a la razón, si se hiciere otro pago el mismo sería nulo).
Rta: 12.602,94
4. Para cancelar cierta deuda pagamos cuotas mensuales adelantadas, siendo la primera de $5.000 y la sexta y última de $7.500. los pagos intermedios varían en progresión aritmética.
¿Cuál es el valor actual si se aplica un interés del 4,5% mensual?
Rta: 33.341,83
5. Una deuda se cancela en 15 años con pagos semestrales variables vencidos tal que cada uno supera al anterior en un 8 % acumulativo semestral, siendo el primero de ellos de $ 10.000. Luego del decimo pago dicho préstamo se transformo en una deuda a cancelar mediante cuotas de servicios constantes, diferida por tres años y media que finalizará en el mismo momento que lo hizo la deuda primitiva. Calcularel valor de la nueva cuota semestral de servicio constante también vencida sabiendo que toda la operación se pacto al 16% nominal anual capitalizable semestralmente y se operó en año de 360 días.
Rta : $ 86.691,29
6. Dentro de exactamente 6 meses el Sr. Néstor López comenzará a percibir a perpetuidad, una renta mensual vencida. La 1ra. cuota ascenderá a $ 600 mientras que las siguientes serán – cada una de ellas- $ 20 mayor que la inmediata anterior. ¿Cuánto deberá pagar el Sr. López hoy por dicha renta?. Tasa de valuación: 4% efectiva mensual.
7. Compramos una máquina hormigonera por $ 158.300.- Se pagan 10 mensualidades vencidas variables en progresión aritmética de modo que la última sea igual a la cantidad en que disminuye cada una. Cual será el primer pago si la tasa de interés utilizada asciende al 4,5 % mensual?. (se aclara que el último pago es igual a la razón, si se hiciere otro pago el mismo sería nulo).
8. Se desea obtener un determinado capital que pasados los 8 años permita comenzar a cobrar por 6 años rentas anuales de $ 2.500 el primer año, y luego cuotas aumentadas en una razón acumulativa del 5% anual. Determinar el valor de ese capital, sabiendo que la tasa efectiva es del 12% anual, que la primera cuota se efectiviza exactamente al 8º año y que los pagos se podrán realizar mediante dos opciones: Al principio o al final de cada periodo. Calcular El valor del capital para cada una de las dos alternativas.
Rta: Vencidas: $ 5.186,92, adelantadas: 5.186,92
9. Se depositan 20 cuotas mensuales adelantadas crecientes en $ 100 cada una respecto a la anterior, a una tasa de 2% mensual, sabiendo que la última cuota será de $ 7600.
Calcular: a) qué importe se reunirá al cabo de 20 períodos. b) el importe de intereses ganados en toda la operación. c) los interese ganados por los primeros 10 depósitos hasta el final de la operación.
R.: a) 163181,49 b) 30181,49 c) 22007,52
10. Sabiendo que el valor actual de una renta anual vencida por 10 años, es de $120000 y sabiendo que la tasa de interés es del 8% y que los pagos crecen a un 6% anual sobre el primer pago determinar el valor de la 6ª cuota.
R: $ 18866,34