Semana 7 - Funciones Continuas

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Preliminares
Funciones Continuas
Funciones Continuas
Docente: Rafael Asmat Uceda
Departamento de Matemáticas
Universidad Nacional de Trujillo
24 de mayo de 2023
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Identifica los puntos de discontinuidad de una función real de
variable real
Señala el tipo de discontinuidad de una función y determina si
es evitable o no.
Utiliza el Teorema de Valor Medio para funciones continuas en
diversos ejercicios.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Identifica los puntos de discontinuidad de una función real de
variable real
Señala el tipo de discontinuidad de una función y determina si
es evitable o no.
Utiliza el Teorema de Valor Medio para funciones continuas en
diversos ejercicios.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Identifica los puntos de discontinuidad de una función real de
variable real
Señala el tipo de discontinuidad de una función y determina si
es evitable o no.
Utiliza el Teorema de Valor Medio para funciones continuas en
diversos ejercicios.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Identifica los puntos de discontinuidad de una función real de
variable real
Señala el tipo de discontinuidad de una función y determina si
es evitable o no.
Utiliza el Teorema de Valor Medio para funciones continuas en
diversos ejercicios.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Preliminares
Hasta aqúı nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de
una función en la cercańıa de un punto. Ahora definiremos su
comportamiento justamente en ese punto.
Continuidad en un Punto Una función función de variable real es
continua en un punto cuando su gráfica no presenta saltos, es
decir, al trazar su gráfica no necesario alzar la mano:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Preliminares
Hasta aqúı nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de
una función en la cercańıa de un punto. Ahora definiremos su
comportamiento justamente en ese punto.
Continuidad en un Punto Una función función de variable real es
continua en un punto cuando su gráfica no presenta saltos, es
decir, al trazar su gráfica no necesario alzar la mano:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Definición
Sea f una función de variable real definida en un intervalo abierto
(a, b) y sea x0 ∈ (a, b). Decimos que f es continua en el punto x0
si:
dado ε > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − x0| < δ entonces
|f (x)− f (x0)| < ε
Si f no es continua en x = x0 decimos que f discontinua en x0 o
que tiene una discontinuidad en x = x0.
Propiedad
Para que una función sea continua en un punto x0 es necesario y
suficiente que:
a) Exista el valor de la función en el punto, f (x0).
b) Existan los ĺımites laterales,
Definición
Sea f una función de variable real definida en un intervalo abierto
(a, b) y sea x0 ∈ (a, b). Decimos que f es continua en el punto x0
si:
dado ε > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − x0| < δ entonces
|f (x)− f (x0)| < ε
Si f no es continua en x = x0 decimos que f discontinua en x0 o
que tiene una discontinuidad en x = x0.
Propiedad
Para que una función sea continua en un punto x0 es necesario y
suficiente que:
a) Exista el valor de la función en el punto, f (x0).
b) Existan los ĺımites laterales,
Definición
Sea f una función de variable real definida en un intervalo abierto
(a, b) y sea x0 ∈ (a, b). Decimos que f es continua en el punto x0
si:
dado ε > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − x0| < δ entonces
|f (x)− f (x0)| < ε
Si f no es continua en x = x0 decimos que f discontinua en x0 o
que tiene una discontinuidad en x = x0.
Propiedad
Para que una función sea continua en un punto x0 es necesario y
suficiente que:
a) Exista el valor de la función en el punto, f (x0).
b) Existan los ĺımites laterales,
Definición
Sea f una función de variable real definida en un intervalo abierto
(a, b) y sea x0 ∈ (a, b). Decimos que f es continua en el punto x0
si:
dado ε > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − x0| < δ entonces
|f (x)− f (x0)| < ε
Si f no es continua en x = x0 decimos que f discontinua en x0 o
que tiene una discontinuidad en x = x0.
Propiedad
Para que una función sea continua en un punto x0 es necesario y
suficiente que:
a) Exista el valor de la función en el punto, f (x0).
b) Existan los ĺımites laterales,
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
ĺım
x→x+0
f (x) y ĺım
x→x−0
f (x)
y que éstos sean iguales a f (x0):
ĺım
x→x+0
f (x) = ĺım
x→x−0
f (x) = f (x0)
Ejemplo
Consideremos la siguiente función:
f (x) = x
2 + 5x − 6
x − 1
La función no está definida en x = 1 y además
f (x) = x
2 + 5x − 6
x − 1 =
(x + 6)(x − 1)
(x − 1) = x + 6, x 6= 1 que no es
continua en x = 1 como se observa en su gráfica a continuación:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
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Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
ĺım
x→x+0
f (x) y ĺım
x→x−0
f (x)
y que éstos sean iguales a f (x0):
ĺım
x→x+0
f (x) = ĺım
x→x−0
f (x) = f (x0)
Ejemplo
Consideremos la siguiente función:
f (x) = x
2 + 5x − 6
x − 1
La función no está definida en x = 1 y además
f (x) = x
2 + 5x − 6
x − 1 =
(x + 6)(x − 1)
(x − 1) = x + 6, x 6= 1 que no es
continua en x = 1 como se observa en su gráfica a continuación:
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Nota
Una forma de definir la función f del ejemplo anterior de modo
que sea continua es la siguiente:
f (x) =

x2 − 5x + 6
x − 1 , x 6= 1
7, x = 1
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Estudiar la continuidad de la función:
f (x) =
 2x + 1 si x > 21
x , si x ≤ 2
Solución.
La mayoŕıa de las funciones son continuas en todos los puntos
salvo en algunos. Los posibles puntos de discontinuidad son
aquellos en los que no está definida la función (anulan el
denominador, etc.) y aquellos en los que cambia la definición de la
función. En todos los demás puntos las funciones son siempre
continuas y no hace falta analizarlos.
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Estudiar la continuidad de la función:
f (x) =
 2x + 1 si x > 21
x , si x ≤ 2
Solución.
La mayoŕıa de las funciones son continuas en todos los puntos
salvo en algunos. Los posibles puntos de discontinuidad son
aquellos en los que no está definida la función (anulan el
denominador, etc.) y aquellos en los que cambia la definición de la
función. En todos los demás puntos las funciones son siempre
continuas y no hace falta analizarlos.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Estudiar la continuidad de la función:
f (x) =
 2x + 1 si x > 21
x , si x ≤ 2
Solución.
La mayoŕıa de las funciones son continuas en todos los puntos
salvo en algunos. Los posibles puntos de discontinuidad son
aquellos en los que no está definida la función (anulan el
denominador, etc.) y aquellos en los que cambia la definición de la
función. En todos los demás puntos las funciones son siempre
continuas y no hace falta analizarlos.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones ContinuasContinuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
En este caso, tenemos dos posibles puntos de discontinuidad para
f . El primero es aquel en el que cambia la definición de la función,
x = 2. Además, hay un demominador, que se anula para x = 0, y
como se encuentra en el dominio de la función para valores
menores que 2, el punto x = 0 es otro posible punto de
discontinuidad. Analicemos la continuidad en esos puntos:
Continuidad en x = 2: f (2) = 12 , pues f debe evaluarse
donde está definida para x = 2.
Ĺımites Laterales:
ĺım
x→2−
f (x) = ĺım
x→2
1
x =
1
2 y ĺımx→2+ f (x) = ĺımx→2 2x + 1 = 5
Como los ĺımites laterales existen pero son diferentes,
concluimos que f es discontinua en x = 2.
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
En este caso, tenemos dos posibles puntos de discontinuidad para
f . El primero es aquel en el que cambia la definición de la función,
x = 2. Además, hay un demominador, que se anula para x = 0, y
como se encuentra en el dominio de la función para valores
menores que 2, el punto x = 0 es otro posible punto de
discontinuidad. Analicemos la continuidad en esos puntos:
Continuidad en x = 2: f (2) = 12 , pues f debe evaluarse
donde está definida para x = 2.
Ĺımites Laterales:
ĺım
x→2−
f (x) = ĺım
x→2
1
x =
1
2 y ĺımx→2+ f (x) = ĺımx→2 2x + 1 = 5
Como los ĺımites laterales existen pero son diferentes,
concluimos que f es discontinua en x = 2.
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
En este caso, tenemos dos posibles puntos de discontinuidad para
f . El primero es aquel en el que cambia la definición de la función,
x = 2. Además, hay un demominador, que se anula para x = 0, y
como se encuentra en el dominio de la función para valores
menores que 2, el punto x = 0 es otro posible punto de
discontinuidad. Analicemos la continuidad en esos puntos:
Continuidad en x = 2: f (2) = 12 , pues f debe evaluarse
donde está definida para x = 2.
Ĺımites Laterales:
ĺım
x→2−
f (x) = ĺım
x→2
1
x =
1
2 y ĺımx→2+ f (x) = ĺımx→2 2x + 1 = 5
Como los ĺımites laterales existen pero son diferentes,
concluimos que f es discontinua en x = 2.
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en x = 0:
f (0) = @
pues quedaŕıa un cero en el denominador. Esto quiere decir
que la función no puede ser continua en x = 0. De todos
modos calcularemos los ĺımites laterales:
ĺım
x→0−
f (x) = ĺım
x→0−
1
x =
1
0− = −∞ y
ĺım
x→0+
f (x) = ĺım
x→0+
1
x =
1
0+ = +∞
Por tanto f es continua en todos los números reales excepto en
x = 0 y x = 2.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en x = 0:
f (0) = @
pues quedaŕıa un cero en el denominador. Esto quiere decir
que la función no puede ser continua en x = 0. De todos
modos calcularemos los ĺımites laterales:
ĺım
x→0−
f (x) = ĺım
x→0−
1
x =
1
0− = −∞ y
ĺım
x→0+
f (x) = ĺım
x→0+
1
x =
1
0+ = +∞
Por tanto f es continua en todos los números reales excepto en
x = 0 y x = 2.
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en x = 0:
f (0) = @
pues quedaŕıa un cero en el denominador. Esto quiere decir
que la función no puede ser continua en x = 0. De todos
modos calcularemos los ĺımites laterales:
ĺım
x→0−
f (x) = ĺım
x→0−
1
x =
1
0− = −∞ y
ĺım
x→0+
f (x) = ĺım
x→0+
1
x =
1
0+ = +∞
Por tanto f es continua en todos los números reales excepto en
x = 0 y x = 2.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Tipos de Discontinuidad
Analizaremos los posibles casos que se pueden dar a la hora de
estudiar la continuidad de una función en un punto.
Discontinuidad Evitable
Decimos que una discontinuidad en x0 es evitable cuando existen
f (x0) aśı como los ĺımites laterales, que son iguales y finitos, pero
son distintos del valor de f (x0). Gráficamente:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
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Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Tipos de Discontinuidad
Analizaremos los posibles casos que se pueden dar a la hora de
estudiar la continuidad de una función en un punto.
Discontinuidad Evitable
Decimos que una discontinuidad en x0 es evitable cuando existen
f (x0) aśı como los ĺımites laterales, que son iguales y finitos, pero
son distintos del valor de f (x0). Gráficamente:
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Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Observamos que ĺım
x→2−
f (x) = ĺım
x→2+
f (x) = 5, mientras que
f (2) = 6. Por tanto, hay una discontinuidad evitable en x = 2.
Discontinuidad de Salto Finito
Decimos que existe una discontinuidad de salto finito en x0 cuando
existe f (x0) y los ĺımites laterales también existen y son finitos,
pero distintos. Gráficamente:
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Observamos que ĺım
x→2−
f (x) = ĺım
x→2+
f (x) = 5, mientras que
f (2) = 6. Por tanto, hay una discontinuidad evitable en x = 2.
Discontinuidad de Salto Finito
Decimos que existe una discontinuidad de salto finito en x0 cuando
existe f (x0) y los ĺımites laterales también existen y son finitos,
pero distintos. Gráficamente:
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Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Observamos que ĺım
x→2−
f (x) = ĺım
x→2+
f (x) = 5, mientras que
f (2) = 6. Por tanto, hay una discontinuidad evitable en x = 2.
Discontinuidad de Salto Finito
Decimos que existe una discontinuidad de salto finito en x0 cuando
existe f (x0) y los ĺımites laterales también existen y son finitos,
pero distintos. Gráficamente:
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
En este caso, ĺım
x→0−
f (x) = 1, ĺım
x→0+
f (x) = 0 mientras que
f (0) = 12 . Hay una discontinuidad de salto finito en x = 0.
Discontinuidad de Salto Infinito
Decimos que existe una discontinuidad de salto infinito en x0
cuando existe f (x0) y alguno de los ĺımites laterales es infinito.
Gráficamente:
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
En este caso, ĺım
x→0−
f (x) = 1, ĺım
x→0+
f (x) = 0 mientras que
f (0) = 12 . Hay una discontinuidad de salto finito en x = 0.
Discontinuidad de Salto Infinito
Decimos que existe una discontinuidad de salto infinito en x0
cuando existe f (x0) y alguno de los ĺımites laterales es infinito.
Gráficamente:
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
En este caso, ĺım
x→0−
f (x) = 1, ĺım
x→0+
f (x) = 0 mientras que
f (0) = 12 . Hay una discontinuidad de salto finito en x = 0.
Discontinuidad de Salto Infinito
Decimos que existe una discontinuidad de salto infinito en x0
cuando existe f (x0) y alguno de los ĺımites laterales es infinito.
Gráficamente:
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Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Según la gráfica, f (0) = 1 y ĺım
x→0−
f (x) = 1, ĺım
x→0+
f (x) = +∞.
Tenemos una discontinuidad de salto infinito en x = 0.
DiscontinuidadEsencial
Decimos que existe una discontinuidad esencial en x0 cuando no
existe f (x0) o alguno de los ĺımites laterales. De forma gráfica:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Según la gráfica, f (0) = 1 y ĺım
x→0−
f (x) = 1, ĺım
x→0+
f (x) = +∞.
Tenemos una discontinuidad de salto infinito en x = 0.
Discontinuidad Esencial
Decimos que existe una discontinuidad esencial en x0 cuando no
existe f (x0) o alguno de los ĺımites laterales. De forma gráfica:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Según la gráfica, f (0) = 1 y ĺım
x→0−
f (x) = 1, ĺım
x→0+
f (x) = +∞.
Tenemos una discontinuidad de salto infinito en x = 0.
Discontinuidad Esencial
Decimos que existe una discontinuidad esencial en x0 cuando no
existe f (x0) o alguno de los ĺımites laterales. De forma gráfica:
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad de Funciones Conocidas
Tenemos ĺım
x→0−
f (x) = ĺım
x→0+
f (x) = +∞ pero f (0) no existe. Hay
una discontinuidad esencial en x = 0.
Continuidad de Funciones Conocidas
Una función polinómica es continua en todos los números
reales.
Un función racional es continua en todo su dominio, es decir,
en todo número excepto donde el denominador es cero.
La función valor absoluto es continua en todos los reales.
La funciones seno y coseno son continuas en todo número real.
Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante son
continuas en todo su dominio, es decir en todo número
excepto donde el denominador es cero.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad de Funciones Conocidas
Tenemos ĺım
x→0−
f (x) = ĺım
x→0+
f (x) = +∞ pero f (0) no existe. Hay
una discontinuidad esencial en x = 0.
Continuidad de Funciones Conocidas
Una función polinómica es continua en todos los números
reales.
Un función racional es continua en todo su dominio, es decir,
en todo número excepto donde el denominador es cero.
La función valor absoluto es continua en todos los reales.
La funciones seno y coseno son continuas en todo número real.
Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante son
continuas en todo su dominio, es decir en todo número
excepto donde el denominador es cero.
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Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad de Funciones Conocidas
Tenemos ĺım
x→0−
f (x) = ĺım
x→0+
f (x) = +∞ pero f (0) no existe. Hay
una discontinuidad esencial en x = 0.
Continuidad de Funciones Conocidas
Una función polinómica es continua en todos los números
reales.
Un función racional es continua en todo su dominio, es decir,
en todo número excepto donde el denominador es cero.
La función valor absoluto es continua en todos los reales.
La funciones seno y coseno son continuas en todo número real.
Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante son
continuas en todo su dominio, es decir en todo número
excepto donde el denominador es cero.
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad de Funciones Conocidas
Tenemos ĺım
x→0−
f (x) = ĺım
x→0+
f (x) = +∞ pero f (0) no existe. Hay
una discontinuidad esencial en x = 0.
Continuidad de Funciones Conocidas
Una función polinómica es continua en todos los números
reales.
Un función racional es continua en todo su dominio, es decir,
en todo número excepto donde el denominador es cero.
La función valor absoluto es continua en todos los reales.
La funciones seno y coseno son continuas en todo número real.
Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante son
continuas en todo su dominio, es decir en todo número
excepto donde el denominador es cero.
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Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad de Funciones Conocidas
Tenemos ĺım
x→0−
f (x) = ĺım
x→0+
f (x) = +∞ pero f (0) no existe. Hay
una discontinuidad esencial en x = 0.
Continuidad de Funciones Conocidas
Una función polinómica es continua en todos los números
reales.
Un función racional es continua en todo su dominio, es decir,
en todo número excepto donde el denominador es cero.
La función valor absoluto es continua en todos los reales.
La funciones seno y coseno son continuas en todo número real.
Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante son
continuas en todo su dominio, es decir en todo número
excepto donde el denominador es cero.
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad de Funciones Conocidas
Tenemos ĺım
x→0−
f (x) = ĺım
x→0+
f (x) = +∞ pero f (0) no existe. Hay
una discontinuidad esencial en x = 0.
Continuidad de Funciones Conocidas
Una función polinómica es continua en todos los números
reales.
Un función racional es continua en todo su dominio, es decir,
en todo número excepto donde el denominador es cero.
La función valor absoluto es continua en todos los reales.
La funciones seno y coseno son continuas en todo número real.
Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante son
continuas en todo su dominio, es decir en todo número
excepto donde el denominador es cero.
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Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en Operaciones con Funciones
Teorema 1
Si f y g son funciones continuas en el punto x0, entonces también
lo son las siguientes funciones:
kf , f ±g , f ·g , f /g (g(x0) 6= 0), f n, n
√
f (f (x0) > 0, si n es par).
Teorema 2
Si f y g son funciones continuas en el punto x0, tales que
ĺım
x→x0
g(x) = L y f es continua en L entonces,
ĺım
x→x0
f (g(x)) = f (L).
En particular, si g es continua en x0 y f es continua en g(x0),
entonces f ◦ g es continua en x0.
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Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en Operaciones con Funciones
Teorema 1
Si f y g son funciones continuas en el punto x0, entonces también
lo son las siguientes funciones:
kf , f ±g , f ·g , f /g (g(x0) 6= 0), f n, n
√
f (f (x0) > 0, si n es par).
Teorema 2
Si f y g son funciones continuas en el punto x0, tales que
ĺım
x→x0
g(x) = L y f es continua en L entonces,
ĺım
x→x0
f (g(x)) = f (L).
En particular, si g es continua en x0 y f es continua en g(x0),
entonces f ◦ g es continua en x0.
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Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
a) Sea f (x) = 1/x . Podemos observar que la función f no está
definida en x = 0, pero está definida para cualquier otro valor
de x cercano a cero. Aśı, f es discontinua en 0.
Además,
ĺım
x→0+
f (x) =∞ y ĺım
x→0−
f (x) = −∞
Por lo tanto, conclúımos que la función f tiene una
discontinuidad de salto infinito en el punto x = 0.
b) Sea
f (x) =

1, si x > 0,
0, si x = 0,
−1, si x < 0.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
a) Sea f (x) = 1/x . Podemos observar que la función f no está
definida en x = 0, pero está definida para cualquier otro valor
de x cercano a cero. Aśı, f es discontinua en 0.
Además,
ĺım
x→0+
f (x) =∞ y ĺım
x→0−
f (x) = −∞
Por lo tanto, conclúımos que la función f tiene una
discontinuidadde salto infinito en el punto x = 0.
b) Sea
f (x) =

1, si x > 0,
0, si x = 0,
−1, si x < 0.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
a) Sea f (x) = 1/x . Podemos observar que la función f no está
definida en x = 0, pero está definida para cualquier otro valor
de x cercano a cero. Aśı, f es discontinua en 0.
Además,
ĺım
x→0+
f (x) =∞ y ĺım
x→0−
f (x) = −∞
Por lo tanto, conclúımos que la función f tiene una
discontinuidad de salto infinito en el punto x = 0.
b) Sea
f (x) =

1, si x > 0,
0, si x = 0,
−1, si x < 0.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
a) Sea f (x) = 1/x . Podemos observar que la función f no está
definida en x = 0, pero está definida para cualquier otro valor
de x cercano a cero. Aśı, f es discontinua en 0.
Además,
ĺım
x→0+
f (x) =∞ y ĺım
x→0−
f (x) = −∞
Por lo tanto, conclúımos que la función f tiene una
discontinuidad de salto infinito en el punto x = 0.
b) Sea
f (x) =

1, si x > 0,
0, si x = 0,
−1, si x < 0.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
a) Sea f (x) = 1/x . Podemos observar que la función f no está
definida en x = 0, pero está definida para cualquier otro valor
de x cercano a cero. Aśı, f es discontinua en 0.
Además,
ĺım
x→0+
f (x) =∞ y ĺım
x→0−
f (x) = −∞
Por lo tanto, conclúımos que la función f tiene una
discontinuidad de salto infinito en el punto x = 0.
b) Sea
f (x) =

1, si x > 0,
0, si x = 0,
−1, si x < 0.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Aunque f está definida en x = 0, ĺım
x→0
f (x) no existe, pues:
ĺım
x→0+
f (x) = 1 y ĺım
x→0−
f (x) = −1.
De este modo, los ĺımites laterales existen, son finito, pero son
diferentes de f (0). Por lo tanto, f es discontinua en en 0.
Ejemplo
Encontrar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
a) f (x) = x
2 − 3
x2 + 2x − 8.
b) g(x) = x + 4x2 + 4
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Aunque f está definida en x = 0, ĺım
x→0
f (x) no existe, pues:
ĺım
x→0+
f (x) = 1 y ĺım
x→0−
f (x) = −1.
De este modo, los ĺımites laterales existen, son finito, pero son
diferentes de f (0). Por lo tanto, f es discontinua en en 0.
Ejemplo
Encontrar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
a) f (x) = x
2 − 3
x2 + 2x − 8.
b) g(x) = x + 4x2 + 4
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Aunque f está definida en x = 0, ĺım
x→0
f (x) no existe, pues:
ĺım
x→0+
f (x) = 1 y ĺım
x→0−
f (x) = −1.
De este modo, los ĺımites laterales existen, son finito, pero son
diferentes de f (0). Por lo tanto, f es discontinua en en 0.
Ejemplo
Encontrar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
a) f (x) = x
2 − 3
x2 + 2x − 8.
b) g(x) = x + 4x2 + 4
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Aunque f está definida en x = 0, ĺım
x→0
f (x) no existe, pues:
ĺım
x→0+
f (x) = 1 y ĺım
x→0−
f (x) = −1.
De este modo, los ĺımites laterales existen, son finito, pero son
diferentes de f (0). Por lo tanto, f es discontinua en en 0.
Ejemplo
Encontrar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
a) f (x) = x
2 − 3
x2 + 2x − 8.
b) g(x) = x + 4x2 + 4
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Aunque f está definida en x = 0, ĺım
x→0
f (x) no existe, pues:
ĺım
x→0+
f (x) = 1 y ĺım
x→0−
f (x) = −1.
De este modo, los ĺımites laterales existen, son finito, pero son
diferentes de f (0). Por lo tanto, f es discontinua en en 0.
Ejemplo
Encontrar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
a) f (x) = x
2 − 3
x2 + 2x − 8.
b) g(x) = x + 4x2 + 4
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
a) f (x) = x
2 − 3
x2 + 2x − 8.
Esta función racional tiene denominador:
x2 + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2)
que es 0 cuando x = −4 o x = 2.
Por lo tanto, f sólo es discontinua en −4 y 2.
b) g(x) = x + 4x2 + 4.
Para esta función racional, el denominador nunca es cero
(siempre es positivo). De este modo, g no tiene puntos de
discontinuidad.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
a) f (x) = x
2 − 3
x2 + 2x − 8.
Esta función racional tiene denominador:
x2 + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2)
que es 0 cuando x = −4 o x = 2.
Por lo tanto, f sólo es discontinua en −4 y 2.
b) g(x) = x + 4x2 + 4.
Para esta función racional, el denominador nunca es cero
(siempre es positivo). De este modo, g no tiene puntos de
discontinuidad.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
a) f (x) = x
2 − 3
x2 + 2x − 8.
Esta función racional tiene denominador:
x2 + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2)
que es 0 cuando x = −4 o x = 2.
Por lo tanto, f sólo es discontinua en −4 y 2.
b) g(x) = x + 4x2 + 4.
Para esta función racional, el denominador nunca es cero
(siempre es positivo). De este modo, g no tiene puntos de
discontinuidad.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
a) f (x) = x
2 − 3
x2 + 2x − 8.
Esta función racional tiene denominador:
x2 + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2)
que es 0 cuando x = −4 o x = 2.
Por lo tanto, f sólo es discontinua en −4 y 2.
b) g(x) = x + 4x2 + 4.
Para esta función racional, el denominador nunca es cero
(siempre es positivo). De este modo, g no tiene puntos de
discontinuidad.
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Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
a) f (x) = x
2 − 3
x2 + 2x − 8.
Esta función racional tiene denominador:
x2 + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2)
que es 0 cuando x = −4 o x = 2.
Por lo tanto, f sólo es discontinua en −4 y 2.
b) g(x) = x + 4x2 + 4.
Para esta función racional, el denominador nunca es cero
(siempre es positivo). De este modo, g no tiene puntos de
discontinuidad.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
a) f (x) = x
2 − 3
x2 + 2x − 8.
Esta función racional tiene denominador:
x2 + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2)
que es 0 cuando x = −4 o x = 2.
Por lo tanto, f sólo es discontinua en −4 y 2.
b) g(x) = x + 4x2 + 4.
Para esta función racional, el denominador nunca es cero
(siempre es positivo). De este modo, g no tiene puntos de
discontinuidad.
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
a) f (x) = x
2 − 3
x2 + 2x − 8.
Esta función racional tiene denominador:
x2 + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2)
que es 0 cuando x = −4 o x = 2.
Por lo tanto, f sólo es discontinua en −4 y 2.
b) g(x) = x + 4x2 + 4.
Para esta función racional, el denominador nunca es cero
(siempre es positivo). De este modo, g no tiene puntos de
discontinuidad.
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Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en (a, b)
DefiniciónUna función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es
continua en todo punto interior de (a, b). Es decir:
∀ x0 ∈ (a, b), ĺımx→x0 f (x) = f (x0).
Gráficamente:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en (a, b)
Definición
Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es
continua en todo punto interior de (a, b). Es decir:
∀ x0 ∈ (a, b), ĺımx→x0 f (x) = f (x0).
Gráficamente:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en (a, b)
Definición
Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es
continua en todo punto interior de (a, b). Es decir:
∀ x0 ∈ (a, b), ĺımx→x0 f (x) = f (x0).
Gráficamente:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en (a, b)
Definición
Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es
continua en todo punto interior de (a, b). Es decir:
∀ x0 ∈ (a, b), ĺımx→x0 f (x) = f (x0).
Gráficamente:
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Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en [a, b]
Definición
Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es
continua en (a, b) y además es continua a la derecha de a
( ĺım
x→a+
f (x) = f (a)) y a la izquierda de b ( ĺım
x→b−
f (x) = f (b)).
Gráficamente:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en [a, b]
Definición
Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es
continua en (a, b) y además es continua a la derecha de a
( ĺım
x→a+
f (x) = f (a)) y a la izquierda de b ( ĺım
x→b−
f (x) = f (b)).
Gráficamente:
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Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en [a, b]
Definición
Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es
continua en (a, b) y además es continua a la derecha de a
( ĺım
x→a+
f (x) = f (a)) y a la izquierda de b ( ĺım
x→b−
f (x) = f (b)).
Gráficamente:
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Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en [a, b)
Definición
Una función f es continua en un intervalo semiabierto [a, b) si es
continua en (a, b) y además es continua a la derecha de a.
Gráficamente:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en [a, b)
Definición
Una función f es continua en un intervalo semiabierto [a, b) si es
continua en (a, b) y además es continua a la derecha de a.
Gráficamente:
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Preliminares
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Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en [a, b)
Definición
Una función f es continua en un intervalo semiabierto [a, b) si es
continua en (a, b) y además es continua a la derecha de a.
Gráficamente:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en (a, b]
Definición
Una función f es continua en un intervalo semiabierto (a, b] si es
continua en (a, b) y además es continua a la izquierda de b.
Gráficamente:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en (a, b]
Definición
Una función f es continua en un intervalo semiabierto (a, b] si es
continua en (a, b) y además es continua a la izquierda de b.
Gráficamente:
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Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad en (a, b]
Definición
Una función f es continua en un intervalo semiabierto (a, b] si es
continua en (a, b) y además es continua a la izquierda de b.
Gráficamente:
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Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Analizar la continuidad de la función:
f (x) =
√
9− x
x − 6
Solución.
En primer lugar, determinamos el dominio de la función f , el cual
viene dado por el conjunto solución de las inecuaciones:
9− x
x − 6 ≥ 0 ∧ x 6= 6⇔
x − 9
x − 6 ≤ 0 ∧ x 6= 6⇔ x ∈ (6, 9]
Por tanto, f tendrá su gráfica en el intervalo (6, 9] el cual será
también el intervalo donde la función es continua.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Analizar la continuidad de la función:
f (x) =
√
9− x
x − 6
Solución.
En primer lugar, determinamos el dominio de la función f , el cual
viene dado por el conjunto solución de las inecuaciones:
9− x
x − 6 ≥ 0 ∧ x 6= 6⇔
x − 9
x − 6 ≤ 0 ∧ x 6= 6⇔ x ∈ (6, 9]
Por tanto, f tendrá su gráfica en el intervalo (6, 9] el cual será
también el intervalo donde la función es continua.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Analizar la continuidad de la función:
f (x) =
√
9− x
x − 6
Solución.
En primer lugar, determinamos el dominio de la función f , el cual
viene dado por el conjunto solución de las inecuaciones:
9− x
x − 6 ≥ 0 ∧ x 6= 6⇔
x − 9
x − 6 ≤ 0 ∧ x 6= 6⇔ x ∈ (6, 9]
Por tanto, f tendrá su gráfica en el intervalo (6, 9] el cual será
también el intervalo donde la función es continua.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Analizar la continuidad de la función:
f (x) =
√
9− x
x − 6
Solución.
En primer lugar, determinamos el dominio de la función f , el cual
viene dado por el conjunto solución de las inecuaciones:
9− x
x − 6 ≥ 0 ∧ x 6= 6⇔
x − 9
x − 6 ≤ 0 ∧ x 6= 6⇔ x ∈ (6, 9]
Por tanto, f tendrá su gráfica en el intervalo (6, 9] el cual será
también el intervalo donde la función es continua.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Continuidad de una función en un intervalo
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Teorema del Valor Intermedio para Funciones Continuas
Teorema
Sea f definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea c un número
entre f (a) y f (b). Si f es continua en [a, b], entonces existe al
menos un número x0 entre a y b tal que f (x0) = c.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Teorema del Valor Intermedio para Funciones Continuas
Teorema
Sea f definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea c un número
entre f (a) y f (b). Si f es continua en [a, b], entonces existe al
menos un número x0 entre a y b tal que f (x0) = c.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Demuestre que la ecuación x3 + 3x − 2 = 0 tiene una solución real
entre “0” y “1”.
Solución.
Si definimos f (x) = x3 + 3x − 2 = 0, observamos que
f (0) = −2 y f (1) = 2
Como f es continua en [0, 1], por ser polinómica, aplicando el
Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si c = 0 existirá un
x ∈ [0, 1] que lo satisfaga, esdecir:
∃ x ∈ [0, 1] tal que f (x) = x3 + 3x − 2 = 0.
Por lo tanto, la ecuación x3 + 3x − 2 = 0 tiene una solución real
entre “0” y “1”.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Demuestre que la ecuación x3 + 3x − 2 = 0 tiene una solución real
entre “0” y “1”.
Solución.
Si definimos f (x) = x3 + 3x − 2 = 0, observamos que
f (0) = −2 y f (1) = 2
Como f es continua en [0, 1], por ser polinómica, aplicando el
Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si c = 0 existirá un
x ∈ [0, 1] que lo satisfaga, es decir:
∃ x ∈ [0, 1] tal que f (x) = x3 + 3x − 2 = 0.
Por lo tanto, la ecuación x3 + 3x − 2 = 0 tiene una solución real
entre “0” y “1”.
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Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Demuestre que la ecuación x3 + 3x − 2 = 0 tiene una solución real
entre “0” y “1”.
Solución.
Si definimos f (x) = x3 + 3x − 2 = 0, observamos que
f (0) = −2 y f (1) = 2
Como f es continua en [0, 1], por ser polinómica, aplicando el
Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si c = 0 existirá un
x ∈ [0, 1] que lo satisfaga, es decir:
∃ x ∈ [0, 1] tal que f (x) = x3 + 3x − 2 = 0.
Por lo tanto, la ecuación x3 + 3x − 2 = 0 tiene una solución real
entre “0” y “1”.
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Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Demuestre que la ecuación x3 + 3x − 2 = 0 tiene una solución real
entre “0” y “1”.
Solución.
Si definimos f (x) = x3 + 3x − 2 = 0, observamos que
f (0) = −2 y f (1) = 2
Como f es continua en [0, 1], por ser polinómica, aplicando el
Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si c = 0 existirá un
x ∈ [0, 1] que lo satisfaga, es decir:
∃ x ∈ [0, 1] tal que f (x) = x3 + 3x − 2 = 0.
Por lo tanto, la ecuación x3 + 3x − 2 = 0 tiene una solución real
entre “0” y “1”.
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Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Demuestre que la ecuación x3 + 3x − 2 = 0 tiene una solución real
entre “0” y “1”.
Solución.
Si definimos f (x) = x3 + 3x − 2 = 0, observamos que
f (0) = −2 y f (1) = 2
Como f es continua en [0, 1], por ser polinómica, aplicando el
Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si c = 0 existirá un
x ∈ [0, 1] que lo satisfaga, es decir:
∃ x ∈ [0, 1] tal que f (x) = x3 + 3x − 2 = 0.
Por lo tanto, la ecuación x3 + 3x − 2 = 0 tiene una solución real
entre “0” y “1”.
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Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Demuestre que la ecuación x3 + 3x − 2 = 0 tiene una solución real
entre “0” y “1”.
Solución.
Si definimos f (x) = x3 + 3x − 2 = 0, observamos que
f (0) = −2 y f (1) = 2
Como f es continua en [0, 1], por ser polinómica, aplicando el
Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si c = 0 existirá un
x ∈ [0, 1] que lo satisfaga, es decir:
∃ x ∈ [0, 1] tal que f (x) = x3 + 3x − 2 = 0.
Por lo tanto, la ecuación x3 + 3x − 2 = 0 tiene una solución real
entre “0” y “1”.
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Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Demuestre que la ecuación x3 + 3x − 2 = 0 tiene una solución real
entre “0” y “1”.
Solución.
Si definimos f (x) = x3 + 3x − 2 = 0, observamos que
f (0) = −2 y f (1) = 2
Como f es continua en [0, 1], por ser polinómica, aplicando el
Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si c = 0 existirá un
x ∈ [0, 1] que lo satisfaga, es decir:
∃ x ∈ [0, 1] tal que f (x) = x3 + 3x − 2 = 0.
Por lo tanto, la ecuación x3 + 3x − 2 = 0 tiene una solución real
entre “0” y “1”.
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Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Un mayorista vende azúcar a 50c el kilo en el caso de cantidades
hasta de 100 kilos. Si se trata de cantidades entre 100 y 200 kilos
la tarifa es de 45c el kilo y para órdenes por encima de los 200 kilos
el precio es de 40c el kilo. Si f (x) el costo en pesos de x kilos de
azúcar, estudie la continuidad de la función y bosqueje su gráfica.
Solución.
Sea y = f (x) el costo en pesos de x kilos de azúcar. Entonces si
x ≤ 100, y = (0,5)x .
Para 100 < x ≤ 200, el costo es de $0.45 por kilo, de modo que
y = 0,45x .
Por último, si x > 200, y = 0,4x .
La gráfica de esta función se muestra a continuación:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Un mayorista vende azúcar a 50c el kilo en el caso de cantidades
hasta de 100 kilos. Si se trata de cantidades entre 100 y 200 kilos
la tarifa es de 45c el kilo y para órdenes por encima de los 200 kilos
el precio es de 40c el kilo. Si f (x) el costo en pesos de x kilos de
azúcar, estudie la continuidad de la función y bosqueje su gráfica.
Solución.
Sea y = f (x) el costo en pesos de x kilos de azúcar. Entonces si
x ≤ 100, y = (0,5)x .
Para 100 < x ≤ 200, el costo es de $0.45 por kilo, de modo que
y = 0,45x .
Por último, si x > 200, y = 0,4x .
La gráfica de esta función se muestra a continuación:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Un mayorista vende azúcar a 50c el kilo en el caso de cantidades
hasta de 100 kilos. Si se trata de cantidades entre 100 y 200 kilos
la tarifa es de 45c el kilo y para órdenes por encima de los 200 kilos
el precio es de 40c el kilo. Si f (x) el costo en pesos de x kilos de
azúcar, estudie la continuidad de la función y bosqueje su gráfica.
Solución.
Sea y = f (x) el costo en pesos de x kilos de azúcar. Entonces si
x ≤ 100, y = (0,5)x .
Para 100 < x ≤ 200, el costo es de $0.45 por kilo, de modo que
y = 0,45x .
Por último, si x > 200, y = 0,4x .
La gráfica de esta función se muestra a continuación:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Un mayorista vende azúcar a 50c el kilo en el caso de cantidades
hasta de 100 kilos. Si se trata de cantidades entre 100 y 200 kilos
la tarifa es de 45c el kilo y para órdenes por encima de los 200 kilos
el precio es de 40c el kilo. Si f (x) el costo en pesos de x kilos de
azúcar, estudie la continuidad de la función y bosqueje su gráfica.
Solución.
Sea y = f (x) el costo en pesos de x kilos de azúcar. Entonces si
x ≤ 100, y = (0,5)x .
Para 100 < x ≤ 200, el costo es de $0.45 por kilo, de modo que
y = 0,45x .
Por último, si x > 200, y = 0,4x .
La gráfica de esta función se muestra a continuación:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Un mayorista vende azúcar a 50c el kilo en el caso de cantidades
hasta de 100 kilos. Si se trata de cantidades entre 100 y 200 kilos
la tarifa es de 45c el kilo y para órdenes por encima de los 200 kilos
el precio es de 40c el kilo. Si f (x) el costo en pesos de x kilos de
azúcar, estudie la continuidad de la función y bosqueje su gráfica.
Solución.
Sea y = f (x) el costo en pesos de x kilos de azúcar. Entonces si
x ≤ 100, y = (0,5)x .
Para 100 < x ≤ 200, el costo es de $0.45 por kilo, de modo que
y = 0,45x .
Por último, si x > 200, y = 0,4x .
La gráfica de esta función se muestra a continuación:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Un mayorista vende azúcar a 50c el kilo en el caso de cantidades
hasta de 100 kilos. Si se trata de cantidadesentre 100 y 200 kilos
la tarifa es de 45c el kilo y para órdenes por encima de los 200 kilos
el precio es de 40c el kilo. Si f (x) el costo en pesos de x kilos de
azúcar, estudie la continuidad de la función y bosqueje su gráfica.
Solución.
Sea y = f (x) el costo en pesos de x kilos de azúcar. Entonces si
x ≤ 100, y = (0,5)x .
Para 100 < x ≤ 200, el costo es de $0.45 por kilo, de modo que
y = 0,45x .
Por último, si x > 200, y = 0,4x .
La gráfica de esta función se muestra a continuación:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
A partir de la gráfica de la función, podemos observar que la
función es discontinua en x = 100 y x = 200. En efecto:
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
La función f puede escribirse como
f (x) =

0,5x , si 0 < x ≤ 100,
0,45x , si 100 < x ≤ 200,
0,4x , si x > 200.
Calculando los ĺımites laterales para x = 100 y x = 200:
ĺım
x→100+
f (x) = ĺım
x→100
0,45x = 45
ĺım
x→100−
f (x) = ĺım
x→100
0,5x = 50
Como ambos ĺımites existen pero son diferentes, la función f es
discontinua en x = 100.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
La función f puede escribirse como
f (x) =

0,5x , si 0 < x ≤ 100,
0,45x , si 100 < x ≤ 200,
0,4x , si x > 200.
Calculando los ĺımites laterales para x = 100 y x = 200:
ĺım
x→100+
f (x) = ĺım
x→100
0,45x = 45
ĺım
x→100−
f (x) = ĺım
x→100
0,5x = 50
Como ambos ĺımites existen pero son diferentes, la función f es
discontinua en x = 100.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
La función f puede escribirse como
f (x) =

0,5x , si 0 < x ≤ 100,
0,45x , si 100 < x ≤ 200,
0,4x , si x > 200.
Calculando los ĺımites laterales para x = 100 y x = 200:
ĺım
x→100+
f (x) = ĺım
x→100
0,45x = 45
ĺım
x→100−
f (x) = ĺım
x→100
0,5x = 50
Como ambos ĺımites existen pero son diferentes, la función f es
discontinua en x = 100.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
La función f puede escribirse como
f (x) =

0,5x , si 0 < x ≤ 100,
0,45x , si 100 < x ≤ 200,
0,4x , si x > 200.
Calculando los ĺımites laterales para x = 100 y x = 200:
ĺım
x→100+
f (x) = ĺım
x→100
0,45x = 45
ĺım
x→100−
f (x) = ĺım
x→100
0,5x = 50
Como ambos ĺımites existen pero son diferentes, la función f es
discontinua en x = 100.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
ĺım
x→200+
f (x) = ĺım
x→000
0,4x = 80
ĺım
x→200−
f (x) = ĺım
x→100
0,45x = 90
Como ambos ĺımites existen pero son diferentes, la función f es
discontinua en x = 200.
Por lo tanto, la función es discontinua en x = 100 y x = 200.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
ĺım
x→200+
f (x) = ĺım
x→000
0,4x = 80
ĺım
x→200−
f (x) = ĺım
x→100
0,45x = 90
Como ambos ĺımites existen pero son diferentes, la función f es
discontinua en x = 200.
Por lo tanto, la función es discontinua en x = 100 y x = 200.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
ĺım
x→200+
f (x) = ĺım
x→000
0,4x = 80
ĺım
x→200−
f (x) = ĺım
x→100
0,45x = 90
Como ambos ĺımites existen pero son diferentes, la función f es
discontinua en x = 200.
Por lo tanto, la función es discontinua en x = 100 y x = 200.
Uceda, R.A. Funciones Continuas
Preliminares
Funciones Continuas
Continuidad en un Punto
Tipos de Discontinuidad
Teorema del Valor Intermedio
ĺım
x→200+
f (x) = ĺım
x→000
0,4x = 80
ĺım
x→200−
f (x) = ĺım
x→100
0,45x = 90
Como ambos ĺımites existen pero son diferentes, la función f es
discontinua en x = 200.
Por lo tanto, la función es discontinua en x = 100 y x = 200.
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