MECANICA LAGRANGIANA ACTUALIZADA

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2018 
Actualización # 15 (30/03/18) 
Desde el 2016 
S O L D O V I E R I 
LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA 
Con numerosos ejemplos y problemas 
propuestos, además de una presentación 
que facilita la comprensión del contenido. 
(EN REDACCION Y REVISION) 
 
 
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Introducción 
a la 
Mecánica Clásica 
 
 
 
ADVERTENCIA 
TEXTO EN 
REDACCION Y 
REVISION 
 
ACTUALIZACIONES PERIODICAS EN 
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SOLDOVIERI C., Terenzio
INTRODUCCION A LA
MECANICA CLASICA
Con numerosos ejemplos, figuras y una presentación que
facilita la comprensión del contenido
1era edición (preprint)
(EN REDACCION Y REVISION)
Comenzado en el 2016 - Actualización # 15 (30/03/2018)
Escrito usando LATEX
Copyright c
 2018 Terenzio Soldovieri C.
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Einstein
Corregido
Soldovieri C., Terenzio
Profesor Agregado
Departamento de Física
Centro de Modelado Científico (CMC)
Facultad Experimental de Ciencias (FEC)
La Universidad del Zulia (LUZ)
Maracaibo, Estado Zulia
República Bolivariana de Venezuela
tsoldovieri@fec.luz.edu.ve - tsoldovieri@gmail.com
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Colección Soldovieri de textos de Ciencia.
Copyright c
 2018 Soldovieri C., Terenzio.
Todos los derechos reservados.
Editorial: (por establecer)
ISBN: (por establecer)
República Bolivariana de Venezuela.
Gráficos: Soldovieri C., Terenzio.
Portadas: Soldovieri C., Terenzio.
Escritura electrónica: Soldovieri C., Terenzio.
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Colección Soldovieri de textos de
Ciencia
Física General - Una introducción a los Fluidos, Vibraciones y Termodinámica.
Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton.
Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton - Solucionario (En
redacción).
Introducción a la Mecánica Clásica
Introducción a la Mecánica Clásica - Solucionario (En redacción)
El Angulo Sólido y algunas de sus aplicaciones (Coautor).
La Transformación de Legendre para Estudiantes de Ciencias.
Cálculo Variacional con fronteras fijas.
Ligaduras en Mecánica Clásica (En Proyecto)
Coordenadas Generalizadas (En Proyecto).
Principio de los Trabajos Virtuales y Principio de D’Alembert (En Proyecto)
? ? ? ? ? ? ??
DEDICATORIA
El presente texto que he logrado con gran esfuerzo, tenacidad y luchando contra
todas las adversidades que he tenido que enfrentar en mi vida académica y, especial-
mente, personal se lo dedico de todo corazón, al igual que todos mis otros textos:
A mi difunto padre Raffaele Soldovieri Mastursi y a mi madre Rita Elena
Carmona.
A a mis hijos Terenzio José Soldovieri Martínez y Marchello Soldovieri Car-
mona.
A mi compañera de vida Yeldri Yolaura Chourio Herrera. Mi hermosa,
tierna y muy tropical negra-novia. La persona que, con su amor y atención
desinteresada, ha hecho de mi una nueva persona.
Se lo dedico también a todos los que fueron, son y serán mis estudiantes en la Licen-
ciatura de Física de nuestra muy ilustre Universidad del Zulia, nuestra indudable Alma
Máter, a todos aquellos estudiantes que no lo fueron y no lo serán; y aquellos de otras
universidades de nuestro país y del extranjero que estudian Física y carreras afines que,
con esfuerzo y sacrificio, liberan obtáculos tras obtáculos para conseguir sus sueños.
A todos ellos, especialmente, me debo y son la razón de todo el presente esfuerzo
académico.
vi
AGRADECIMIENTOS
vii
INDICE GENERAL
PREFACIO x
1 INTRODUCCION A LA NOTACION INDICIAL - MATRICES, VECTORES Y
CALCULO VECTORIAL 1
1.1 Notación Indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Indices Mudos - Convenio de la suma de Einstein . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Indices Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3 La Delta de Kronecker y el Símbolo de Permutación de Levi Civita . . 19
1.1.3.1 Definición de la Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.3.2 Definición del Símbolo de Permutación de Levi-Civita . . . . 22
1.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.1 Definición y notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.2 Igualdad de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3 Algunas matrices notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3.1 Matriz Real y Matriz Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3.2 Matriz Fila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3.3 Matriz Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3.4 Matriz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.3.5 Matriz Triangular Superior y Triangular inferior . . . . . . . . . . 30
1.2.3.6 Matriz Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.3.7 Matriz Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.3.8 Matriz Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
viii
INDICE GENERAL
1.2.3.9 Matriz Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.3.10 Matriz Transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.3.11 Matriz Opuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.3.12 Matriz Simétrica y Matriz Antisimétrica . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.4 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.4.1 Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.4.2 Resta de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.4.3 Multiplicación de un escalar por una matriz . . . . . . . . . . 36
1.2.4.4 Multiplicacion de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.5 Traza de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.2.6 Determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2.6.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2.6.2 Cálculo del determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . 43
Menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Cofactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.2.6.3 Propiedades de los Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.2.7 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2.7.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2.7.2 Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.2.7.3 Condición de inversibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.2.8 Matriz Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.3 Relación entre la Delta de Kronecker y el Símbolo de Permutación de Levi-
Civita (Relación Epsilon-Delta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.4 Transformaciones de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.4.1 Transformación de coordenadas directa e inversa . . . . . . . . . . . 60
1.4.2 Condiciones de ortogonalidad de las matrices de transformación . . 66
1.4.3 Transformaciones Sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.4.4 Transformaciones Propias e Impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.4.4.1 Transformación Propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.4.4.2 Transformación Impropia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.5 Vectores usando notación indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.5.1 Componentes cartesianas de un vector y su módulo usando no-
tación indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.5.2 Definición de vector y escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.5.2.1 Definición básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.5.2.2 Definición en base a la transformación de sistemas de co-
ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
SOLDOVIERI C., Terenzio. INTRODUCCION A LA MECANICA CLASICA. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2018. Pág.: ix
INDICE GENERAL
1.5.2.3 Definición en base a cómo se transforman . . . . . . . . . . . 89
1.5.3 Operaciones con vectores en notación indicial . . . . . . . . . . . . . 90
1.5.3.1 Suma y resta de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.5.3.2 Producto de un Escalar por un Vector . . . . . . . . . . . . . . 94
1.5.3.3 Producto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.5.3.4 Producto Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.6 Pseudovectores y Pseudoescalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.6.1 Pseudovector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.6.2 Pseudoescalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.7 Cálculo vectorial usando notación indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.7.1 Derivada de una función vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.7.1.1 Derivada Ordinaria de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.7.1.2 Derivada Parcial de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.7.2 Posición, velocidad y aceleración en coordenadas cartesianas, cilín-
dricas y esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.7.2.1 En Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.7.2.2 En Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
1.7.2.3 En Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.7.3 Operador Nabla y el Gradiente en notación indicial . . . . . . . . . . 129
1.7.4 La Divergencia en notación indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1.7.5 El Rotacional en notación indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1.7.6 Operador Laplaciano y el Laplaciano en notación indicial . . . . . . 132
1.7.7 Integración Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
1.7.7.1 Integración indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
1.7.7.2 Integración definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
1.7.7.3 Integrales de Línea de funciones vectoriales . . . . . . . . . . 141
1.7.7.4 Integral Normal de Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
1.7.7.5 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1.7.7.6 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
1.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2 MECANICA NEWTONIANA DE UNA PARTICULA 171
2.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3 DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS 204
3.1 Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
SOLDOVIERI C., Terenzio. INTRODUCCION A LA MECANICA CLASICA. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2018. Pág.: x
INDICE GENERAL
3.2 Clasificación de los sistemas de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.2.1 Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.2.1.1 Sistemas discretos indeformables . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.2.1.2 Sistemas discretos deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.2.2 Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.2.2.1 Sistemas continuos indeformables . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.2.2.2 Sistemas continuos deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.3 Fuerzas en un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.3.1 Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
3.3.1.1 Fuerzas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
3.3.1.2 Fuerzas internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
3.3.2 Aplicadas y de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
3.3.2.1 Aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
3.3.2.2 De reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
3.4 Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.4.1 Para un sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
3.4.2 Para un sistema continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3.4.3 Para un sistema compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3.4.4 Ejemplos del cálculo de la posición del centro de masa de un sistema222
3.5 Centro de Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3.6 Centroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
3.7 Propiedades del Centro de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.8 Movimiento del Centro de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
3.9 Movimiento de un sistema aislado de dos partículas - Masa reducida . . . . 238
3.10 Momento lineal y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
3.11 Momento angular y su conservación - Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.12 Energía y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
3.12.1 Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
3.12.2 Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
3.12.3 Conservación de la energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
3.13 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4 LIGADURAS 281
4.1 Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
4.2 Tipos de ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
4.2.1 Estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
4.2.2 Por modo de activación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
SOLDOVIERI C., Terenzio. INTRODUCCION A LA MECANICA CLASICA. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2018. Pág.: xi
INDICE GENERAL
4.3 Clasificación de las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
4.3.1 Si son o no desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
4.3.1.1 Unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
4.3.1.2 Bilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
4.3.2 Si dependen explícita o implícitamente del tiempo . . . . . . . . . . . 294
4.3.2.1 Ligaduras reónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
4.3.2.2 Ligaduras esclerónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.3.3 Si son o no una relación bilateral algebraica entre las coordenadas 297
4.3.3.1 Ligaduras Holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
4.3.3.2 Ligaduras No-Holónomas y Semi-Holónomas . . . . . . . . . . 297
4.4 Estudio de las ligaduras holónomas, no-holónomas y semi-holónomas . . . . 299
4.4.1 Ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
4.4.2 Ligaduras holónomas en un cuerpo rígido y cómo afectan sus gra-
dos de libertad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
4.4.2.1 Definición de cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
4.4.2.2 Posición de un cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
4.4.2.3 Grados de libertad de un cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . 307
4.4.2.4 Ejemplos de ligaduras holónomas en cuerpos rígidos . . . . . 311
4.4.3 Ligaduras No-Holónomas y Semi-Holónomas . . . . . . . . . . . . . . . 314
4.5 Fuerza de ligadura y fuerza aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
4.5.1 Ligaduras lisas o ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
4.5.2 Ligaduras rugosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
4.6 Ejemplos de determinación de ligaduras y grados de libertad . . . . . . . . 329
4.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
5 COORDENADAS GENERALIZADAS 359
5.1 Definición de variables dependientes del tiempo en un sistema mecánico
y su relación con las coordenadas estándares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.2 Descripción de un sistema mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
5.3 Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
5.3.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
5.3.2 Ecuaciones de transformación entre las coordenadas estándares y
las coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
5.4 Espacio de Configuración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
5.5 Algunas magnitudes físicas en Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . 394
5.5.1 Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
5.5.2 Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
SOLDOVIERI C., Terenzio. INTRODUCCION A LA MECANICA CLASICA. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2018. Pág.: xii
INDICE GENERAL
5.5.3 Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
5.5.4 Trabajo Mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
5.5.5 Energía Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
5.6 Forma general en coordenadas generalizadas de las ligaduras holóno-
mas, no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
5.6.1 Ligaduras holónomas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . 400
5.6.2 Ligaduras no-holónomas y semi-holónomas en coordenadas gener-
alizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
5.7 Un método para determinar si una ligadura en forma de diferencial o de
velocidad es holónoma o no-holónoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
5.8 Ejemplos de determinación de nuevos sistemas de coordenadas emple-
ando nuevas variables dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 409
5.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
6 BREVE INTRODUCCION AL CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS
FIJAS 430
6.1 Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
6.2 Variación de una función y de una funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
6.2.1 Variación de una función de una variable independiente . . . . . . . 434
6.2.2 Variación de una funcional de n variables dependientes y una vari-
able independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
6.3 Problema variacional a estudiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
6.4 Cálculo de extremales sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
6.4.1 Ecuaciones de Euler sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
6.4.2 Ejemplos con funcionales de una variable dependiente . . . . . . . . 445
6.4.3 Ejemplos con funcionales de varias variables dependientes . . . . . . 459
6.5 Cálculo de extremales con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
6.5.1 Ecuaciones de Euler con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
6.5.2 Ecuaciones de Euler con restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 . . . . . 466
6.5.2.1 Uso implícito de las restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
6.5.2.2 Ejemplos con restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 usadas
en forma implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
6.5.2.3 Uso explícito de las restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
6.5.2.4 Ejemplos con restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 usadas
en forma explícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
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INDICE GENERAL
6.5.3 Ecuaciones de Euler con restricciones del tipoDl =
nP
j=1
Alj [yi (x) ; x] y
0
j (x)+
Bl [yi (x) ; x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
6.5.3.1 Ejemplos con restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 tratadas
como del tipo Dl =
nP
j=1
Alj [yi (x) ; x] y
0
j (x) +Bl [yi (x) ; x] = 0 . . . 492
6.5.3.2 Ejemplos con restricciones del tipoDl =
nP
j=1
Alj [yi (x) ; x] y
0
j (x)+
Bl [yi (x) ; x] = 0 no-integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
6.6 Resumen de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
6.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
7 MECANICA LAGRANGIANA 514
7.1 Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
7.2 Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
7.2.1 Ecuaciones de Lagrange para sistemas mecánicos sin ligaduras . . . 521
7.2.2 Ecuaciones de Lagrange para sistemas mecánicos con ligaduras
holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
7.2.2.1 Cuando las ligaduras holónomas se usan en forma implícita 522
7.2.2.2 Cuando las ligaduras holónomas se usan en forma explícita 523
7.2.3 Ejemplos de aplicación de las ecuaciones de Lagrange en sistemas
mecánicos sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en forma
implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
7.2.4 Ejemplos de aplicación de las ecuaciones de Lagrange en sistemas
mecánicos con ligaduras holónomas usadas en forma explícita . . . 556
7.2.5 Ecuaciones de Lagrange para sistemas mecánicos con ligaduras
no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
7.2.6 Ejemplos de aplicación de las ecuaciones de Lagrange en sistemas
mecánicos con ligaduras semi-holónomas y ligaduras holónomas
expresadas en forma semi-holónoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
7.2.7 Ejemplos de aplicación de las ecuaciones de Lagrange en sistemas
mecánicos con ligaduras no-holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
7.3 Resumen de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
7.4 Condición de integrabilidad de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . 611
7.5 Propiedades del Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
7.5.1 Invariancia bajo una transformación de Gauge . . . . . . . . . . . . . 612
7.5.2 Aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
7.5.3 Invariancia bajo una transformación de coordenadas . . . . . . . . . 617
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INDICE GENERAL
7.6 Coordenadas cíclicas - Momentos Generalizados y su conservación . . . . 618
7.6.1 Coordenadas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
7.6.2 Momentos Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
7.6.3 Conservación de los MomentosGeneralizados . . . . . . . . . . . . . 620
7.7 Integrales Primeras de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
7.8 Integrales Primeras de Movimiento para un sistema cerrado . . . . . . . . . . 622
7.9 Teoremas de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
7.9.1 Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
7.9.2 Conservación del momento lineal y angular . . . . . . . . . . . . . . . 626
7.9.2.1 Conservación del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 627
7.9.2.2 Conservación del momento angular . . . . . . . . . . . . . . 630
7.10 Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
7.10.1 Forma simplificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
7.10.2 Forma más general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
7.11 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
8 MECANICA HAMILTONIANA 656
8.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
I APENDICES Y BIBLIOGRAFIA 659
A FUNCION VECTORIAL EN R3 Y CONTINUIDAD 660
A.1 Función Vectorial en el espacio R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660
A.2 Continuidad de una función vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
A.2.1 De una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
A.2.2 De varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
B SUPERFICIES 663
B.1 Definición y clasificación de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
B.2 Tipos de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
B.2.1 Superficie abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
B.2.2 Superficie Cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664
B.3 Representacion vectorial de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665
C TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS 668
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INDICE GENERAL
D FORMA PFAFFIANA 671
E TEOREMA DE EULER 673
F LEMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO DE VARIACIONES 674
G MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 676
G.1 Procedimiento 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
G.2 Procedimiento 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681
H TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y DE CONTACTO 682
H.1 Transformaciones correlativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682
H.2 Transformaciones de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
I EL ESPACIO Y EL TIEMPO EN LA MECANICA CLASICA 693
J BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO 695
J.1 ALBERT EINSTEIN 1879 - 1955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
J.2 LEOPOLD KRONECKER 1823 - 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699
J.3 TULLIO LEVI-CIVITA 1873 - 1941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
J.4 PIERRE FREDERIC SARRUS 1798 - 1861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
J.5 PIERRE-SIMON LAPLACE 1749 - 1827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
J.6 RENE DESCARTES 1596 - 1650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
J.7 LEONHARD EULER 1707 - 1783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
J.8 JOHN HENRY POYNTING 1852 - 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
J.9 SIR WILLIAM ROWAN HAMILTON 1805 - 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
J.10 KARL FRIEDRICH GAUSS 1777 - 1855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
J.11 GEORGE GABRIEL STOKES (SIR) 1819 - 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
J.12 SIR ISAAC NEWTON 1642 - 1727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717
J.13 HENDRIK ANTOON LORENTZ 1853 - 1928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721
J.14 JAKOB STEINER 1796 - 1863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723
J.15 JOHANN FRIEDRICH PFAFF 1765 - 1825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724
SOLDOVIERI C., Terenzio. INTRODUCCION A LA MECANICA CLASICA. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2018. Pág.: xvi
INDICE GENERAL
J.16 GIUSEPPE LODOVICO LAGRANGIA (JOSEPH LOUIS LAGRANGE) 1736 - 1813 . 727
J.17 JOHANN BERNOULLI 1667 - 1748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734
J.18 JEAN LE ROND D’ALEMBERT 1717 - 1783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737
J.19 PIERRE-LOUIS MOREAU DE MAUPERTUIS 1698 - 1759 . . . . . . . . . . . . . . . . 740
J.20 PIERRE DE FERMAT 1601 - 1665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741
J.21 AMALIE EMMY NOETHER 1882 - 1935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744
J.22 GEORGE FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN 1826 - 1866 . . . . . . . . . . . . . . 745
J.23 EUCLIDES DE ALEJANDRIA 325 a.C. - 265 a.C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
BIBLIOGRAFIA 751
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INDICE DE FIGURAS
1.1 (a) Una forma de visualizar el símbolo de permutación de Levi-Civita, como
un arreglo 3 � 3 � 3. (b) y (c) Obtención de los valores de "ijk cuando los
índices son explícitamente numéricos: (b) ciclo en sentido del avance de
las agujas de un reloj y (c) ciclo en sentido contrario del avance de las
agujas de un reloj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Obtención de los signos de "ijk cuando los índices son literales: (a) ciclo en
sentido del avance de las agujas de un reloj y (b) ciclo en sentido contrario
del avance de las agujas de un reloj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Regla nemotécnica para calcular el determinante de una matriz 2� 2. . . 43
1.4 Regla nemotécnica de Sarrus para calcular el determinante de una matriz
3� 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5 (a) Sistema de coordenadas cartesianas en notación ordinaria (x; y; z). (b)
Sistema de coordenadas cartesianas en notación indicial (x1; x2; x3). . . . . 61
1.6 (a) Rotación, en sentido antihorario, del sistema S (x1; x2) alrededor de su
origen un ángulo � para obtener el nuevo sistema S 0 (x01; x
0
2). Se muestran
las coordenadas de un punto P con respecto a ambos sistemas. (b) Cál-
culo de las nuevas coordenadas (x01; x
0
2) de P en función de las viejas (x1; x2). 62
1.7 Sistema S (x1; x2; x3) rotado � = 15� alrededor de su eje x2 en sentido anti-
horario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.8 (a) Semirrecta L ubicada en un sistema S (x1; x2; x3). Se indican los ángulos
que forma L con respecto a cada uno de los ejes. (b) Semirrectas LA y
LB que forman un ángulo � entre sí, ubicadas de la misma forma anterior.
También se indican los ángulos correspondientes con respecto a los ejes. . 66
xviii
INDICE DE FIGURAS
1.9 (a) Sistema S (x1; x2; x3). (b) Nuevo sistema S 0 (x01; x
0
2; x
0
3) que se obtiene, a
partir del anterior, mediante una rotación arbitraria alrededor de un eje
arbitrario E que pasa por su origen. (c) Los nuevos ejes x01x
0
2x
0
3 vistos como
segmentos de recta ubicados en el viejo sistema S (x1; x2; x3). . . . . . . . . . 67
1.10 (a) Los nuevos ejes x01x
0
2 vistos como segmentos de recta ubicados con
respecto al viejo sistema S (x1; x2; x3). (b) Los nuevos ejes x01x
0
3 vistos como
segmentos de recta ubicados con respecto al viejo sistema S (x1; x2; x3).
(c) Los nuevos ejes x02x
0
3 vistos como segmentos de recta ubicados con
respecto al viejo sistema S (x1; x2; x3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.11 Ejemplo de no conmutatividadde las rotaciones. (a) De un paralelepípedo
se efectúan dos rotaciones sucesivas de �
2
en sentido antihorario, primero
alrededor del eje x3 y luego alrededor del eje x1. (b) Partiendo de la misma
orientación del paralelepípedo, se efectúan las dos rotaciones anteriores
en orden inverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.12 (a) Sistema S (x1; x2; x3). (b) Sistema S 0 (x01; x
0
2; x
0
3). (c) Sistema S
00 (x001; x
00
2; x
00
3). . 72
1.13 Sistema S (x1; x2; x3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.14 (a) Rotación del sistema S (x1; x2; x3) para obtener el sistema S 0 (x01; x
0
2; x
0
3).
(b) Rotación del sistema S 0 (x01; x
0
2; x
0
3) para obtener el sistema S
00 (x001; x
00
2; x
00
3).
(c) Rotación del sistema S 00 (x001; x
00
2; x
00
3) para obtener el sistema S
000 (x0001 ; x
000
2 ; x
000
3 ). 75
1.15 Angulos de Euler vistos en conjunto. Se muestra el sistema S (x1; x2; x3) fijo
en el espacio y el sistema S 000 (x0001 ; x
000
2 ; x
000
3 ) ligado al cuerpo rígido. . . . . . . . 77
1.16 Se muestran el sistema inercial S (X1; X2; X3) externo al cuerpo rígido, el
sistema S (x1; x2; x3) de ejes paralelos al del sistema S (X1; X2; X3) y cuyo
origen está en el cuerpo rígido (por ejemplo, en su centro de masa) y el
sistema S 000 (x0001 ; x
000
2 ; x
000
3 ) sujeto firmemente al cuerpo rígido (rota sujeto a él)
y cuyo origen coincide con el de S (x1; x2; x3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.17 (a) Sistema de mano derecha: se le llama así debido a que, si los dedos
de la mano derecha se doblan de modo que se curven desde el eje x1
positivo hacia el eje x2 positivo, entonces el pulgar apunta en la dirección
del eje x3 positivo. (b) Sistema de mano izquierda: llama así debido a que,
si los dedos de la mano izquierda se doblan de modo que se curven desde
el eje x1 positivo hacia el eje x2 positivo, entonces el pulgar apunta en la
dirección del eje x3 positivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.18 (a) Sistema S (x1; x2; x3) al que se le aplica una reflexión con respecto a un
plano espejo � contenido en el plano x2x3. (b) Resultado de la transforma-
ción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
SOLDOVIERI C., Terenzio. INTRODUCCION A LA MECANICA CLASICA. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2018. Pág.: xix
INDICE DE FIGURAS
1.19 (a) Rotación del sistema S (x1; x2; x3) un ángulo de � rad alrededor del eje
x2 y en sentido antihorario. (b) Sistema S (x01; x
0
2; x
0
3) resuldado de la anterior
rotación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.20 (a) Reflexión del eje x03, del sistema S (x
0
1; x
0
2; x
0
3), con respecto a un plano
espejo � contenido en el plano x01x
0
2. (b) Sistema S (x
00
1; x
00
2; x
00
3) resuldado de
la anterior reflexión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.21 (a) Sistema S (x1; x2; x3) dado. (b) Nuevo sistema S (x01; x
0
2; x
0
3) (el de ejes
resaltados), obtenido del anterior mediante una Inversión. . . . . . . . . . . 83
1.22 (a) Rotación del sistema S (x1; x2; x3) un ángulo de � rad alrededor del eje
x3 y en sentido antihorario. (b) Sistema S (x01; x
0
2; x
0
3) resuldado de la anterior
rotación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.23 (a) Reflexión del eje x03, del sistema S (x
0
1; x
0
2; x
0
3), con respecto a un plano
espejo � contenido en el plano x01x
0
2. (b) Sistema S (x
00
1; x
00
2; x
00
3) resuldado de
la anterior reflexión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.24 (a) Componentes de un vector en notación común. (b) Componentes de
un vector en notación indicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.25 Vector de posición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.26 (a) Partícula de masa m ubicada en un sistema S (x1; x2; x3) con respecto
a su origen mediante un vector
�!
V . (b) Lo mismo pero en un sistema
S 0 (x01; x
0
2; x
0
3) que es el resultado de la rotación de S (x1; x2; x3) alrededor
de un eje que pasa por su origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.27 (a) Coordenadas de un punto P en el sistema S (x1; x2; x3). (b) Coorde-
nadas del extremo de un vector
�!
V ubicado en el sistema anterior de tal
forma que su punto de aplicación coincide con el origen del mismo. . . . . 89
1.28 (a) Dos vectores
�!
A y
�!
B que forman un ángulo ]�!
A
�!
B
entre sí. (b) Módulo
de la proyección Proy
�!
A�!
B
del vector
�!
A sobre la dirección del vector
�!
B .
(c) Módulo de la proyección Proy
�!
B�!
A
del vector
�!
B sobre la dirección del
vector
�!
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1.29 (a) Producto vectorial
�!
C =
�!
A � �!B . (b) Regla de la mano derecha para
encontrar el sentido del vector resultante del producto vectorial. . . . . . . 100
1.30 Vectores unitarios be1, be2, be3, �be1, �be2 y �be3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.31 Regla nemotécnica para calcular el producto vectorial entre los vectores
unitarios be1, be2 y be3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.32 Productos vectoriales entre los vectores unitarios be1, be2 y be3. (a) be1 � be2, (b)be1 � be3, (c) be2 � be1, (d) be2 � be3, (e) be3 � be1, (f) be3 � be2. . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.33 Paralelogramo formado por
�!
A y
�!
B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
SOLDOVIERI C., Terenzio. INTRODUCCION A LA MECANICA CLASICA. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2018. Pág.: xx
INDICE DE FIGURAS
1.34 Curva continua C en la que se posicionan dos puntos P1 y P2 mediante un
vector
�!
A que es una función continua del escalar s. . . . . . . . . . . . . . . 112
1.35 Partícula de masam que se mueve en el espacio describiendo una trayec-
toria T y cuya posión con respecto al origen de un sistema S (x1; x2; x3) es
dada por el vector de posición �!r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.36 (a) Coordenadas Cilíndricas (r; '; x3) y Cartesianas (x1; x2; x3) de una partícula
móvil de masa m. (b) Producto beer � be' = be3. (c) Producto be3 � beer = be'. . . . . 123
1.37 (a) Coordenadas Esféricas (r; '; �) y Cartesianas (x1; x2; x3) de una partícula
móvil de masa m. (b) Producto be� � be' = ber. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
1.38 (a) Triada ortogonal formada por ber, be' y be� de tal manera que su origen
coincide con el de la triada ortogonal formada por be1, be2 y be3. Se muestran
también las componentes cartesianas de be'. (b) Producto be' � ber = be�. . . . 127
1.39 Integral de Línea a lo largo de la curva �. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
1.40 Teorema de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
1.41 Problema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
1.42 Problema 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
1.43 Problema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1.44 Problema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1.45 Problema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1.46 Problema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
1.47 Problema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
1.48 Problema 16. (a) Coordenadas cilíndricas. (b) descomposición de los vec-
tores unitarios beer, be' y be� en función de los vectores unitarios cartesianos be1,be2 y be3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
1.49 Problema 17. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.1 Problema 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2.2 Problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
2.3 Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
2.4 Problema 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
2.5 Problema 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.6 Problema 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
2.7 Problema 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
2.8 Problemas 30 y 39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2.9 Problema 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
2.10 Problema 60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
2.11 Problema 61. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
2.12 (a) Problema 62. (b) Problema 63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
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INDICE DE FIGURAS
2.13 Problema 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
2.14 Problema 67. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
2.15 Problema 69. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
2.16 Problema 71. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
2.17 Problema 77. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
2.18 Problema 78. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.1 Frontera de un sistema de partículas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.2 Tipos de fuerzas en un sistema de partículas. Aquí �!r i y �!r j son los vectores
de posición de la i-ésima y j-ésima partícula respectivamente,
�!
F
(int)
ij es la
fuerza ejercida por la j-ésima partícula sobre i-ésima,
�!
F
(int)
ji es la fuerza ejer-
cida por la i-ésima partícula sobre j-ésima y las
�!
F (ext) representan fuerzas
externas ejercidas sobre el sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
3.3 (a) Sistema S con tres partículas de masas m1, m2 y m3. (b) Sistema S 0 con
dos partículas de masas m2 y m3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
3.4 (a) Sistema de dos bloques de masas m1 y m2, donde m1 se desplaza sobre
la superficie de m2 y éste último sobre una superficie lisa �. Hay fricción
entre los bloques. (b) Fuerzas sobre el bloque m1. (c) Fuerzas sobre el
bloque m2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
3.5 Forma fuerte de la tercera ley de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
3.6 Fuerzas de interacción electromagnética de entre dos partículas cargadas
qi y qj en movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.7 Posición del centro de masa de un sistema de N partículas. . . . . . . . . . . 216
3.8 Distribución de materia continua, de masa m y densidad �. . . . . . . . . . 218
3.9 Sistema S discreto de N partículas subdividido (por completo) en s subsis-
temas S1,S2,S3,...,Ss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
3.10 Sistema discreto formado por tres partículas situadas en los vértices de un
triángulo rectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
3.11 Alambre semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal �. . . . . . . 223
3.12 Cálculo de la posición del centro de masa de la placa homogénea r =
ACos (2'). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
3.13 Cono sólido homogéneo de altura h y base de radio a . . . . . . . . . . . . . 225
3.14 Cálculo del centro de masa de un sistema compuesto por una concha
hemisférica y un hemisferio sólido homogéneo acoplados. . . . . . . . . . . 226
3.15 Centro de masa de una lámina cuadrada homogénea de densidad � y
lado c con orificio semicircular de radio a < c
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
3.16 Posición
�!
R cg del centro de gravedad de un sistema de partículas. Aquí
M =
P
mi y �M�!g es el peso �!w total del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . 229
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INDICE DE FIGURAS
3.17 Cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra de tamaño no despre-
ciable respecto al de la misma, en el cual se han representado varios dm
y a los cuales se les han representado las �!g en sus respectivas posiciones. . 230
3.18 Dos partículas de masas iguales m1 = m2 = m que se deslizan sobre corred-
eras lisas en ángulo recto y se atraen entre sí mediante una fuerza
�!
F ij =
k
r2ij
berij , k > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
3.19 Representación de los vectores de posición �!r 1, �!r 2 de las partículas m1 y
m2, de las fuerzas
�!
F 12,
�!
F 21 y de los versores ber12 , ber21 . . . . . . . . . . . . . . . . 237
3.20 Sistema aislado de dos partículas interactuantes de masas m1 y m2. . . . . . 239
3.21 Vector de posición �!r 0i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.22 Aro homogéneo de masa M y radio a, que rueda sobre una superficie lisa
con frecuencia angular constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
3.23 Vector de posición �!r ij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
3.24 Problema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
3.25 Problema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
3.26 Problema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
3.27 Problema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
3.28 Problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
3.29 Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
3.30 Problema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
3.31 Problema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
3.32 Problema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
3.33 Problema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
3.34 Problema 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3.35 Problema 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
3.36 Problema 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
3.37 Problema 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
3.38 Problema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
3.39 Problema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
3.40 Problema 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
3.41 Problema 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
3.42 Problema 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
3.43 Problema 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
3.44 Problema 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
3.45 Problema 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
3.46 Problema38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3.47 Problema 39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
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INDICE DE FIGURAS
3.48 Problema 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
3.49 (a) Problema 41 y (b) problema 42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
3.50 (a) Problema 43 y (b) problema 44. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
3.51 Problema 45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
3.52 (a) Problema 46 y (b) problema 47. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
3.53 Problema 48. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
3.54 (a) Problema 49 y (b) problema 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
3.55 (a) Problema 51 y (b) problema 52. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
3.56 Problemas 54 y 58. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
3.57 Problema 57. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3.58 (a) Problema 59 y (b) problema 60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
3.59 Problema 62. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
3.60 Problema 63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.1 Péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
4.2 Un bloque de masa m que se mueve sobre un plano inclinado. . . . . . . . 287
4.3 Cuerpo rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
4.4 Dos masas m1 y m2 unidas por una barra rígida de longitud `. . . . . . . . . 288
4.5 Sistema donde una canica con orificio se desliza a través de un alambre
rígido y curvo que pasa a través del mencionado orificio. . . . . . . . . . . . 289
4.6 Movimientos posibles de un péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
4.7 Movimientos posibles de un péndulo elástico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
4.8 Masa puntual m en un punto de equilibrio inestable como la cima de una
montaña. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
4.9 Moléculas de gas encerradas en una esfera de radio R. . . . . . . . . . . . . 292
4.10 Partícula de masa m que se desliza sobre la superficie de una esfera de
radio R. Se muestra su posición en los tiempos t0 cuando comienza a
moverse, t1 cuando comienza a despegarse de la superficie de la esfera
y t2 cuando ya se ha despegado de la superficie de la misma. . . . . . . . . 293
4.11 Dos esferitas de masas m1 y m2 unidas por una cuerda de longitud `. . . . . 294
4.12 Una partícula de masa m que se mueve en un aro cuyo radio R cambia
con el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.13 Partícula que se mueve sobre un plano inclinado cuyo ángulo de incli-
nación � varía con el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.14 Partícula de masa m obligada a moverse sobre una superficie S(x; y; z) = 0. 302
4.15 Una partícula de masa m moviéndose sobre una mesa. . . . . . . . . . . . . 303
4.16 Partícula de masa m obligada a moverse sobre una curva. . . . . . . . . . . 304
4.17 Partícula de masa m moviéndose sobre una recta. . . . . . . . . . . . . . . . 304
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4.18 Cuerpo rígido j�!r i ��!r jj =constante 8i; j � cuerpo. . . . . . . . . . . . . . . . 306
4.19 (a) Cuerpo rígido tridimensional. (b) Cuerpo rígido plano en su propio plano.307
4.20 Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene. . . . . . . . . . . . . . . . . 312
4.21 Los 3 grados de libertad de un cuerpo rígido plano, en el plano que lo
contiene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
4.22 Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene, con un punto fijo. . . . . 313
4.23 El único grado de libertad de un cuerpo rígido plano, en el plano que lo
contiene, con un punto fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
4.24 Dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano que los contiene, con un
punto móvil común. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
4.25 Los 4 grados de libertad de dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano
que los contiene, con un punto común. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.26 Partícula de masam obligada a moverse en el interior de un paralelepípedo
de dimensiones d1, d2 y d3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
4.27 Sistema formado por un disco homogéneo de masa M y radio R que
rueda sin resbalar sobre el plano horizontal xy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4.28 Posición del disco en coordenadas Cartesianas dadas por la posición de
su centro de masa y su orientación dada por los ángulos �, � y 
. . . . . . . 321
4.29 Vista desde la parte superior del movimiento del disco. Componetes de la
velocidad �!v del disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
4.30 Movimiento de un disco sólido homogéneo de masa M y radio R que se
desplaza sin resbalar sobre un plano inclinado un ángulo �. . . . . . . . . . . 323
4.31 En coordenadas Cartesiana, movimiento de un disco sólido homogéneo
de masaM y radioR que se desplaza sin resbalar sobre un plano inclinado
un ángulo �. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
4.32 Dos masas m1 y m2 acopladas por un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
4.33 (a) Ligadura lisa y (b) ligadura rugosa. Para el movimiento permitido por
la ligadura (deslizamiento horizontal) la reacción lisa no realiza trabajo,
mientras que en el caso rugoso sí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
4.34 En coordenadas Cartesianas, sistema de dos masas m1 y m2 unidas por
un hilo de masa despreciable y de longitud constante `. La masa m1 se
mueve a lo largo del eje x con una velocidad constante �!v impuesta. . . . 330
4.35 En coordenadas cilíndricas, sistema de dos masas m1 y m2 unidas por un
hilo de masa despreciable y de longitud constante `. La masa m1 se
mueve a lo largo del eje x con una velocidad constante �!v impuesta. . . . 331
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INDICE DE FIGURAS
4.36 En coordenadas esféricas, sistema de dos masas m1 y m2 unidas por un hilo
de masa despreciable y de longitud constante `. La masa m1 se mueve a
lo largo del eje x con una velocidad constante �!v impuesta. . . . . . . . . . 332
4.37 En coordenadas Cartesianas, sistema formado por una varilla lisa en la
cual está ensartada una cuenta de masam. La cuenta realiza un movimiento
pre-establecido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
4.38 En coordenadas cilíndricas, sistema formado por una varilla lisa en la cual
está ensartada una cuenta de masa m. La cuenta realiza un movimiento
pre-establecido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
4.39 En coordenadas esféricas, sistema formado por una varilla lisa en la cual
está ensartada una cuenta de masa m. La cuenta realiza un movimiento
pre-establecido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
4.40 (a) Representación de un regulador centrífugo genérico. (b) Regulador
centrífugo con masas m1 = m2 = m que gira con velocidad angular con-
stante !. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
4.41 En coordenadas Cartesianas, regulador centrífugocon masas m1 = m2 =
m que gira con velocidad angular constante !. . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
4.42 En coordenadas esféricas, regulador centrífugo con masas m1 = m2 = m
que gira con velocidad angular constante !. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
4.43 Sistema formado por dos partículas de masas m1 y m2 unidas por una barra
rígida de masa despreciable y de longitud `. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
4.44 En coordenadas Cartesianas, sistema formado por dos partículas de masas
m1 y m2 unidas por una barra rígida de masa despreciable y de longitud `. 341
4.45 Disco sólido homogéneo de masa M , centro 00 y radio R1 que rueda sin
resbalar dentro de la superficie semicircular fija y lisa con centro 0 y radio
R2 > R1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
4.46 En coordenadas Cartesianas, disco sólido homogéneo de masaM , centro
00 y radio R1 que rueda sin resbalar dentro de la superficie semicircular fija
y lisa con centro 0 y radio R2 > R1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
4.47 En coordenadas Cartesianas, partícula de masam1 lanzada en un campo
de potencial mgy con velocidad inicial �!v 0 y un ángulo de elevación �0 y
partícula de masa m2 es lanzada de tal manera que su vector velocidad
�!v 2 para cualquier tiempo siempre esté dirigido hacia m1. . . . . . . . . . . . 345
4.48 Problema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
4.49 Problema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
4.50 (a) Problema 3 y (b) problema 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
4.51 Problema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
SOLDOVIERI C., Terenzio. INTRODUCCION A LA MECANICA CLASICA. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2018. Pág.: xxvi
INDICE DE FIGURAS
4.52 Problema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
4.53 Problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
4.54 Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
4.55 Problema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
4.56 Problema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
4.57 Problema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
4.58 Problema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
4.59 Problema 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
4.60 Problema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
4.61 Problema 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
4.62 Problema 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
4.63 Problema 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
4.64 Problema 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.1 Dos masas puntuales m1 y m2 unidas por una cuerda (cuya deformación y
masa son despreciables). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.2 Péndulo simple de masa pendular m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
5.3 Partícula de masa m obligada a moverse sobre la superficie interna del
cono liso
p
x2 + y2 = zTg�, con � un ángulo constante: (a) partícula
posicionada usando coordenadas Cartesianas, (b) usando coordenadas
cilíndricas y (c) usando coordenadas esféricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
5.4 Partícula de masa m obligada a moverse sobre la superficie interna del
cono liso
p
x2 + y2 = zTg�, con � un ángulo constante: (a) relación entre
las coordenadas Cartesianas (x; y; z) y las nuevas variables L, � y ', (b)
relación entre las coordenadas cilíndricas (r; '; z) y las nuevas variables L,
� y ' (aquí la nueva variable ' coincide con la coordenada cilíndrica '). . 383
5.5 El historial temporal de un sistema es representado mediante una curva
en el espacio de configuración. Se muestran cuatro posibles. . . . . . . . . 393
5.6 Sistema mecánico formado por un péndulo simple de masa pendular m,
ubicada mediante coordenadas Cartesianas y en el cual se definen las
nuevas variables � y S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
5.7 Sistema mecánico formado por un péndulo simple de masa pendular m,
ubicada mediante coordenadas esféricas y en el cual se definen las nuevas
variables � y s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
5.8 Sistema mecánico formado por un péndulo simple de masa pendular m,
ubicada mediante coordenadas Cartesianas y en el cual se definen las
nuevas variables s y A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
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INDICE DE FIGURAS
5.9 Sistema mecánico formado por dos masas puntuales m1 y m2 unidas por
una cuerda (cuya deformación y masa son despreciables), ubicadas me-
diante coordenadas Cartesianas y en el cual se definen las dos nuevas
variables L y �. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
5.10 Sistema mecánico formado por dos masas puntuales m1 y m2 unidas por
una cuerda (cuya deformación y masa son despreciables), ubicadas me-
diante coordenadas Cartesianas y en el cual se definen las dos nuevas
variables L y A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
5.11 Sistema mecánico formado por dos masas puntuales m1 y m2 unidas por
una cuerda (cuya deformación y masa son despreciables), ubicadas me-
diante coordenadas Cartesianas y en el cual se definen las dos nuevas
variables � y U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
5.12 Péndulo simple donde la masa pendular m es ubicada mediante las coor-
denadas esféricas r, ' y �. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
6.1 Superficie de revolución generada por una curva y = y (x). . . . . . . . . . . 434
6.2 Camino real y (x) y camino variado ey (x). Se muestra la diferencia concep-
tual entre �y y dy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
6.3 La función y (x) es el camino que hace que el funcional J tome un valor
extremal. Las funciones y (�; x) = y (x) + �� (x) = y (x) + �y (x) son las fun-
ciones vecinas, donde � (x) se anula en las fronteras del intervalo [x1; x2]. . . 436
6.4 Superficie de revolución generada por una curva que une a los puntos
(x1; y1).y (x1; y1), haciéndola trasladarse entrono al eje y. . . . . . . . . . . . . 450
6.5 Partícula de masa m que se desplaza sobre una rampa lisa desde el punto
P1 hasta el punto P2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
6.6 Planteamiento gráfico del problema de la Braquistócrona. . . . . . . . . . . 454
6.7 Camino resultante para que la partícula se mueva desde (x1; y1) = (0; 0)
hasta (x2; y2) = (d;�h) en el menor tiempo posible. . . . . . . . . . . . . . . . 455
6.8 Película de jabón entre dos anillos concéntricos de radio a y separados
por una distancia 2d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
6.9 Geodésicas sobre una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
6.10 Distancia más corta entre dos puntos del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
6.11 Geodésicas en un cilindro circular recto de radio R. . . . . . . . . . . . . . . 474
6.12 Problema 42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
6.13 Problema 52. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
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INDICE DE FIGURAS
7.1 Ilustración del Principio de Hamilton. Para pasar de A hasta B, el sistema
mecánico escogerá aquél camino donde la variación de la acción se
anule, es decir, �S = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
7.2 Partícula de masa m que se desplaza hacia abajo en un plano inclinado
un ángulo � con respecto a la horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
7.3 Partícula de masa m inmersa en un campo de fuerza conservativo. . . . . . 528
7.4 La máquina simple de Atwood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
7.5 Anillo de masa m que se desliza por un alambre, de masa despreciable,
que gira uniformemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
7.6 Movimieno en dos dimensiones de un proyectil de masa m bajo la acción
de la gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
7.7 Partícula de masa m que está obligada a moverse sobre la superficie in-
terna de un cono liso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
7.8 Dos partículas de masas m1 y m2 unidas por tres resortes de constantes de
elasticidad k1, k2 y k3 a dos soportes fijos que está a una distancia D entre sí.541
7.9 Coordenadas generalizadas del sistema formado por dos masas m1 y m2
unidas por tres resortes de constantes de elasticidad k1, k2 y k3 a dos so-
portes fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
7.10 Péndulo simple colocado dentro de un vagón que se mueve con una
aceleración constante a en la dirección +x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
7.11 Coordenadas Cartesianas para el pédulo simple de la figura 7.10. . . . . . . 544
7.12 Cuenta de masa m se desplaza a lo largo de un alambre liso, de masa
despreciable, que tiene la forma de la parábola z = cr2. . . . . . . . . . . . . 548
7.13 Máquina de Atwood doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
7.14 Disco sólido de centro 00 y radio R1 que rueda sin resbalar dentro de la
superficie semicircular fija con centro 0 y radio R2 > R1. . . . . . . . . . . . . 553
7.15 Coordenadas del centro de masa del disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
7.16 Disco de masa M y radio R rueda, sin resbalar, hacia abajo en un plano
inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
7.17 Detalles para encontrar las ecuaciones de ligadura f (h)4 y f
(h)
5 para el sis-
tema mostrado en la figura 7.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
7.18 Partícula de masa m que comienza a moverse desde el reposo, partiendo
de la parte más alta de un hemisferio fijo y liso. . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
7.19 Partícula de masa m que se mueve sobre un plano inclinado móvil. . . . . . 577
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INDICE DE FIGURAS
7.20 (a) Movimiento de un disco homogéneo de radioR y masa M rodando sin
resbalar sobre el plano xy. (b) Proyección del movimiento sobre el plano
xy. La velocidad del centro de masa del disco tiene las componentes�
�R
�
� Sen �;R
�
�Cos �
�
sobre las direcciones x y y. . . . . . . . . . . . . . . . . 595
7.21 Carrito rectangular homogéneo de masa M inmerso en un campo eléc-
trico uniforme
�!
E dirigido a lo largo del eje x. Las ruedas no resbalan, así la
fuerza de fricción estática entre ellas y la superficie proporcionan fuerzas
�!
F a y
�!
F b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
7.22
�!
F 1,
�!
F 2 y
�!
F Q son las fuerzas eléctricas ejercidas por el campo eléctrico
�!
E
sobre las cargas q1, q1 y Q respectivamente. La fuerza de fricción estática
entrelas ruedas y la superficie proporcionan fuerzas
�!
F a y
�!
F b. . . . . . . . . . 606
7.23 Cambio del vector de posición debido una traslación del sistema. . . . . . 628
7.24 Variación del vector de posición al rotar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
7.25 Problema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
7.26 Problema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
7.27 Problema 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
7.28 Problema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
7.29 Problema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
7.30 Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
7.31 Problema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
7.32 Problema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
7.33 Problema 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
7.34 Problema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
7.35 Problema 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
7.36 Problema 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
7.37 Problema 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
A.1 Punto P en 4 distintas posiciones P1, P2, P3 y P4 sobre una curva C para los
valores s1, s2, s3 y s4, respectivamente, de la variable real s. . . . . . . . . . . 661
B.1 Cinta de Möbius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664
B.2 Botella de Klein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665
B.3 Representación vectorial de una superficie abierta S de dos caras. . . . . . 665
B.4 Representación vectorial de la superficie abierta de dos caras S y la defini-
ción del vector unitario bu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
B.5 Representación vectorial de una superficie diferencial dS, abierta y de dos
caras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
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INDICE DE FIGURAS
B.6 Orientación de bu en una superficie cerrada S de dos caras. Cada trozo
dibujado sobre S representa un diferencial de la misma. . . . . . . . . . . . . 667
B.7 Caras de S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
C.1 Demostración del Teorema de Steiner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
F.1 Función arbitraria � (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675
G.1 Paralelepípedo que encierra un volumen V = xyz. . . . . . . . . . . . . . . . 676
H.1 Recta polar del punto P 0 (x0; y0) respecto de la circunferencia x2 + y2 = 1,
con centro en el origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
H.2 (a) Se fija P en el plano � obteniéndose su curva asociada C 0P en el plano
�0. (b) Se fija P 0 en el plano �0 obteniéndose su curva asociada CP 0 en el
plano �. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
H.3 (a) Movimiento de P en el plano � y sus consecuencias en el plano �0. (b)
Movimiento de P 0 en el plano �0 y sus consecuencias en el plano �. . . . . . 688
H.4 (a) Si se tiene un punto Q0 que pertenece a la curva C 0P , entonces su curva
asociada CQ0 debe pasar por P. (b) Si se tiene un punto Q que pertenece
a la curva CP 0 , entonces su curva asociada C 0Q debe pasar por P 0. . . . . . . 690
H.5 Visión analítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
H.6 Dos curvas K y K1 que están en contacto en un punto P se transforman
en otras dos K0 y K01 que también se tocan pero ahora en un punto P 0.. . . 692
J.1 Pierre-Simon Laplace 1749 - 1827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
J.2 John Henry Poynting 1852 - 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
J.3 Sir William Rowan Hamilton 1805 - 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711
J.4 Karl Friedrich Gauss 1777 - 1855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
J.5 Sir George Gabriel Stokes 1819 - 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
J.6 George Friedrich Bernhard Riemann 1826 - 1866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 746
J.7 Euclides de Alejandría 325 a.C. - 265 a C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
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PREFACIO
E
Terenzio Soldovieri C.
Albert Einstein 1879 - 1955
“Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos
las mismas cosas”. “Lo más incomprensible del Universo, es que sea compren-
sible”. “Lo importante es no dejar de hacerse preguntas”. “Nunca consideres
el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar
en el bello y maravilloso mundo del saber”. “La alegría de ver y entender es
el más perfecto don de la naturaleza”.
xxxii
CAPITULO 1
INTRODUCCION A LA NOTACION
INDICIAL - MATRICES, VECTORES Y
CALCULO VECTORIAL
Contenido
1.1 Notación Indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Indices Mudos - Convenio de la suma de Einstein . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Indices Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3 La Delta de Kronecker y el Símbolo de Permutación de Levi Civita . . . . 19
1.1.3.1 De�nición de la Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.3.2 De�nición del Símbolo de Permutación de Levi-Civita . . . . . . 22
1.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.1 De�nición y notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.2 Igualdad de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3 Algunas matrices notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3.1 Matriz Real y Matriz Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3.2 Matriz Fila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3.3 Matriz Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3.4 Matriz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.3.5 Matriz Triangular Superior y Triangular inferior . . . . . . . . . 30
1
CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA NOTACION INDICIAL - MATRICES, VECTORES Y
CALCULO VECTORIAL
1.2.3.6 Matriz Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.3.7 Matriz Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.3.8 Matriz Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.3.9 Matriz Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.3.10 Matriz Transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.3.11 Matriz Opuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.3.12 Matriz Simétrica y Matriz Antisimétrica . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.4 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.4.1 Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.4.2 Resta de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.4.3 Multiplicación de un escalar por una matriz . . . . . . . . . . . . 36
1.2.4.4 Multiplicacion de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.5 Traza de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.2.6 Determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2.6.1 De�nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2.6.2 Cálculo del determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . 43
Menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Cofactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.2.6.3 Propiedades de los Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.2.7 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2.7.1 De�nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2.7.2 Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.2.7.3 Condición de inversibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.2.8 Matriz Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.3 Relación entre la Delta de Kronecker y el Símbolo de Permutación
de Levi-Civita (Relación Epsilon-Delta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.4 Transformaciones de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.4.1 Transformación de coordenadas directa e inversa . . . . . . . . . . . . . . 60
1.4.2 Condiciones de ortogonalidad de las matrices de transformación . . . . . . 66
1.4.3 Transformaciones Sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.4.4 Transformaciones Propias e Impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.4.4.1 Transformación Propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
SOLDOVIERI C., Terenzio. INTRODUCCION A LA MECANICA CLASICA. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2018. Pág.: 2
CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA NOTACION INDICIAL - MATRICES, VECTORES Y
CALCULO VECTORIAL
1.4.4.2 Transformación Impropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.5 Vectores usando notación indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.5.1 Componentes cartesianas de un vector y su módulo usando notación indicial 85
1.5.2 De�nición de vector y escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.5.2.1 De�nición básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.5.2.2 De�nición en base a la transformación de sistemas de coordenadas 87
1.5.2.3 De�nición en base a cómo se transforman . . . . . . . . . . . . . 89
1.5.3 Operaciones con vectores en notación indicial . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.5.3.1 Suma y resta de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.5.3.2 Producto de un Escalar por un Vector . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.5.3.3 Producto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.5.3.4 Producto Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.6 Pseudovectores y Pseudoescalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.6.1 Pseudovector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.6.2 Pseudoescalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.7 Cálculo vectorial usando notación indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.7.1 Derivada de una función vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.7.1.1 Derivada Ordinaria de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.7.1.2 Derivada Parcial de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.7.2 Posición, velocidad y aceleración en coordenadas cartesianas, cilíndricas y
esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.7.2.1 En Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.7.2.2 En Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
1.7.2.3 En Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.7.3 Operador Nabla y el Gradiente en notación indicial . . . . . . . . . . . . . 129
1.7.4 La Divergencia en notación indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1.7.5 El Rotacional en notación indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1.7.6 Operador Laplaciano y el Laplaciano en notación indicial . . . . . . . . . 132
1.7.7 Integración Vectorial . . . . . . . . . .