Método-de-Ruffini-para-Primero-de-Secundaria

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DIVISIÓN ALGEBRAICA III
1. MÉTODO DE RUFFINI
	Es un caso particular del Método de Horner. Se emplea para dividir un polinomio entre otro de primer grado.Un polinomio de primer grado es aquel cuyo mayor exponente es igual a uno.
Ejemplos:
	De polinomios de primer grado:
	2x – 4 ; 7x + 5 ; x – 4 ; 3x + 5 ; x + 1
2. ESQUEMAVariable del Divisor Despejada
Coeficientes del Dividendo
 El Coeficiente Principal del Divisor
Resto
Siempre un Espacio
+

Coeficientes del Cociente
El coeficiente principal es la parte constante del término de mayor grado.
Ejemplo:
P(x) = 2x2 – 5x + 3x4 – 2 + 5x3
Donde: 3 x4. Es el término de mayor 
Ejemplos: 
Dividir: 
Paso 1	:	Igualamos el divisor a cero.
			4x – 1 = 0Observa que en este ejemplo el divisor es:
4x – 1 El coef. Principal es 4.
Paso 2	:	Despejamos la variable.
			4x – 1 = 0
			
Paso 3 	:	Planteamos el esquema:
Multiplicamos:
12
5
3
12
12
5
3
12
5
3
12
3
x
12
5
3
12
3
Sumamos:
8
2
5
+
12
5
3
12
3
Multiplicamos:
8
2
x
12
5
3
12
3
Sumamos:
8
+
Luego:
12
5
3
12
3
8
2
5
3
2
4
Coef. del Cociente
			Q(x) = 3x + 2En este ejemplo el divisor es 2x + 1
 El coeficiente principal es 2.
			R(x) = 5
· 
Dividir: 
Paso 1	:	Igualamos el divisor a cero.
			2x + 1 = 0
Paso 2	:	Despejamos la variable.
			2x + 1 = 0
			
Paso 3 	:	Planteamos el esquema:
Multiplicamos:
4
2
0
2
7
4
-2
4
2
0
2
7
4
4
2
0
2
7
Multiplicamos:
4
2
0
2
7
4
-2
0
0
x
Sumamos:
4
2
0
2
7
4
-2
0
+
Sumamos:
4
2
0
2
7
4
-2
0
0
+
2
Sumamos:
4
2
0
2
7
4
-2
0
-1
0
2
+
6
Multiplicamos:
4
2
0
2
7
4
-2
0
-1
0
2
x
Multiplicamos:
4
2
0
2
7
4
-2
0
-1
0
2
6
x
-3
Sumamos:
4
2
0
2
7
4
-2
0
-1
0
2
6
-3
-3
+
4
2
0
2
7
4
-2
0
-1
0
2
6
-3
-3
2
0
1
3
 2
Coef. del Cociente
		Q(x) = 2x3 + 0x2 + 1 . x + 3
		Q(x) = 2x3 + x + 3
		R(x) = -3
Abreviando:Sabías que
En 1799 Ruffini publicó el Libro “Teoría General de las Funciones” en el cual aparecen la regla que lleva su nombre. Con prioridad se han encontrado documentos antiguos de matemáticos chinos y árabes donde aparecen aplicaciones de la regla atribuida a Ruffini.
4
2
0
2
7
4
-2
0
-1
0
2
6
-3
-3
2
0
1
3
 2
+
+
+
+
x
· 
Dividir: 	Aquí divisor es:
x – 2 = 1 . x – 2
 Coef. Principal = 18
-12
-14
-1
8
16
8
4
7
14
0
x – 2 = 0
x = 2
 1
8
4
7
+
+
 Q(x) = 8x2 + 4x + 7
	R(x) 0
Ahora tu
· 
Dividir: 			Q(x) = 10
-3
7
2x – 1 = 0
2x= 1
 2
Resto 
Coef. del 
Cociente
			R(x) = 
Desde 1814 Ruffini fue rector de la Universidad de Módena (Itlaia), a la vez que trata a sus pacientes de una Epidemia de Tifus, el mismo contrae la enfermedad de la que muere unos años más tarde.
Sabías que
· 
Dividir: 			Q(x) = 21
5
8
3x – 1 = 0
3x= 1
 3
			R(x) = 
· 
Dividir: 			Q(x) = 10
3
4
5x – 1 = 0
5x= 1
 5
-5
1
5
			R(x) = 
· 
Dividir: 			Q(x) = 10
-13
-5
2x – 3 = 0
2x= 3
 2
7
-2
15
			R(x) = 
· 
Dividir: 			Q(x) = 7
11
-6
x + 2 = 0
x = -2
 2
			R(x) = 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
www.RecursosDidacticos.org
I.	Efectuar las siguientes divisiones por el Método de Ruffini e indicar por respuesta el cociente:
1. 
a) x + 1		b) x – 1		c) x - 2
d) x + 3		e) 2x + 1
2. 
a) x – 2		b) x + 3		c) 2x - 1
d) 2x + 1		e) x + 7
3. 
a) 2x – 3		b) 3x – 2	c) 3x + 2
d) 2x + 3		e) 2x + 5
4. 
a) 4x – 3		b) 4x + 3	c) 3x + 4
d) 3x – 4		e) -4x + 4
5. 
a) -7x – 2		b) 2x + 7	c) -7x + 2
d) 2x – 7		e) 7x – 2
II.	Efectuar las siguientes divisiones por el método de Ruffini:
6. 
Indicar la suma de coeficientes del cociente.
a) 0		b) 4		c) -2
d) 3		e) 2
7. 
Dar por respuesta el mayor coeficiente del cociente.
a) 2		b) 3		c) 1
d) -2		e) 4
8. 
Indicar el término independiente del cociente.
a) 5		b) -2		c) -4
d) -3		e) 1
9. 
Señalar el menor coeficiente del cociente.
a) 8		b) 4		c) 3
d) -4		e) -1
10. En la siguiente división:
Se obtiene por resto: 3
Hallar: b
a) 7		b) -5		c) 3
d) 5		e) -3
11. 
En la división: el resto es -4
Hallar: m
a) 0		b) 3		c) -10
d) 1		e) -1
12. 
La siguiente división: es exacta.
Hallar: “b”
a) 7		b) -35		c) -15
d) 14		e) -7
13. 
La siguiente división: es exacta.
Hallar: “b”
a) -5		b) 5		c) 3
d) -3		e) -4
14. 
La siguiente división: tiene residuo 3. 
Hallar la suma de coeficientes del cociente.
a) 3		b) 2		c) 1
d) 0		e) 4
15. 
La siguiente división: tiene resto 7. Hallar: “b”
a) 2		b) -3		c) -5
d) 7		e) -7
TAREA DOMICILIARIA Nº 3
I.	Efectuar las siguientes divisiones por el Método de Ruffini e indicar por respuesta el cociente:
1. 
a) 4x		b) 3x – 1	c) 2x + 1
d) x – 1		e) x + 1
2. 
a) x – 2		b) x + 1		c) x - 3
d) x + 4		e) 3x + 2
3. 
a) x + 3		b) 3x – 5	c) 5x + 1
d) x – 5		e) 5x - 1
4. 
a) 3x – 5		b) x + 5		c) x - 5
d) 5x + 1		e) 5x – 1
5. 
a) 4x + 3		b) 4x – 3	c) 3x - 4
d) 3x + 4		e) -3x - 4
II.	Efectuar las siguientes divisiones por el Método Ruffini:
6. 
Dar la suma de coeficientes del cociente.
a) 0		b) -1		c) 7
d) 6		e) 5
7. 
Dar por respuesta el mayor coeficiente del cociente.
a) -2		b) 3		c) -4
d) 5		e) 1
8. 
Indicar el término independiente del cociente.
a) 3		b) 4		c) -5
d) -7		e) 8
9. 
Indicar el menor coeficiente del cociente.
a) 3		b) -1		c) -2
d) 4		e) -7
10. Hallar “b” en la siguiente división: 
Si el resto que se obtiene es 4.
a) 15		b) 1		c) 7
d) 10		e) 14
11. Hallar “b” en la siguiente división:
Si el resto es 7.
a) 14		b) 13		c) 15
d) 10		e) 11
12. 
La siguiente división: es exacta
Hallar: “b”
a) -2		b) -7		c) -6
d) -5		e) -4
13. 
La siguiente división: es exacta.
Hallar: “b”
a) -4		b) -5		c) -2
d) -6		e) -7
14. 
La siguiente división: tiene residuo 7.
Hallar la suma de coeficientes del cociente.
a) 8		b) 5		c) 4
d) -3		e) -2
15. 
La siguiente división: tiene resto 9.
Hallar: “b”
a) 4		b) -3		c) 8
d) -2		e) -5
Glosario
· DESPEJAR	:	Proceso mediante el cual la incógnita se traslada a un miembro de la igualdad y los números al otro miembro.
· TÉRMINO ALGEBRAICO	:	Expresión que une parte constante y parte variable mediante la multiplicación.
2
x
3
b
x
4
x
15
2
+
+
+
1
x
2
b
x
5
x
8
x
10
3
4
-
+
-
-
1
x
4
12
x
3
bx
x
12
2
3
-
+
-
+
1
x
7
x
2
bx
x
5
3
4
-
+
+
+
1
x
4
3
x
5
x
12
2
-
+
+
4
1
x
=
4
1
x
=
1
x
2
0
x
7
x
2
x
2
x
4
1
x
2
x
2
x
7
x
2
x
4
2
3
4
2
3
4
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
2
1
x
-
=
2
1
x
-
=
2
x
14
x
x
12
x
8
2
3
-
-
-
-
2
1
x
=
2
1
x
=
1
x
2
7
x
3
x
10
2
-
+
-
3
1
x
=
3
1
x
=
1
x
3
8
x
5
x
21
2
-
+
+
5
1
x
=
5
1
x
=
1
x
5
5
x
4
x
3
x
10
2
3
-
-
+
+
2
3
x
=
2
3
x
=
3
x
2
7
x
5
x
13
x
10
2
3
-
+
-
-
2
x
6
x
11
x
7
2
+
-
+
1
x
2
6
x
x
2
2
+
+
-
1
x
3
5
x
7
x
3
2
-
-
-
2
x
5
1
x
11
x
10
2
-
-
+
3
x
9
x
9
x
4
2
-
-
-
3
x
6
x
19
x
7
2
+
-
+
1
x
5
x
x
x
2
3
-
-
+
-
1
x
5
x
2
x
3
x
2
3
4
+
-
+
+
2
x
5
x
6
12
x
10
x
15
4
5
-
-
+
-
x
3
2
18
x
8
x
24
x
12
4
5
+
+
+
+
2
x
b
x
3
x
2
+
+
+
2
x
3
m
x
9
x
4
x
6
2
-
-
+
-
3
x
7
b
x
29
x
14
2
+
+
-
1
x
3
x
15
b
x
2
x
6
3
4
-
+
+
-
1
x
5
2
bx
x
2
x
10
2
3
-
+
+
-
1
x
11
x
4
bx
x
3
3
4
-
+
-
+
1
x
2
1
x
x
2
2
-
+
+
1
x
5
1
x
9
x
5
2
+
+
-
4
x
3
3
x
17
x
15
2
-
+
-
5
x
3
x
x
25
x
5
2
-
+
+
-
2
x
1
x
11
x
4
2
+
-
+
1
x
5
x
5
x
x
2
3
-
+
+
-
1
x
5
x
2
x
3
x
3
3
4
+
+
-
+
3
x
4
8
x
6
x
12
x
8
4
5
-
-
-
+
x
5
2
7
x
6
x
5
x
15
4
5
+
-
+
-
5
x
b
x
7
x
2
+
+
+
3
x
4
b
x
15
x
8
x
20
2
-
+
-
-