NM3_Ecuacion de cuarto grado

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Ecuación de cuarto grado
I El caso general
Una ecuación de cuarto grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la 
forma canónica:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, 
donde a, b,c, d y e (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a 
&#8450. Sea K un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y 
por lo tanto también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces caudradas dos veces 
seguidas). En este cuerpo, es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la identidad siguiente es válida:
(a - b)4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4. 
En un cuerpo algebráicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro 
raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.
El método sigiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo, eso sí, depués de un largo 
cálculo.
Los pasos de la resolución son:
 Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0 ). Se obtiene: 
x4 + b'x3 + c'x2 + d'x + e' = 0 , con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a y e' = e/a 
 Proceder al cambio de incógnita z = x + b'/4, para suprimir el término cúbico. En efecto, 
al desarollar (z - b'/4)4 con la identidad precedente, vemos aparecer el término -b'z3, 
compensado exactamente por b'z3 que aparece en b'(z - b'/4)3. Se obtiene: 
z4 + pz2 + qz + r = 0, con p, q y r números del cuerpo. 
 Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior en (z2 + αz + β )( z2 - αz + γ), lo que es
posible porque no hay z3 en el polinomio. 
Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos las condiciones:
β + γ - α2 = p (coeficiente de x2) 
α( γ - β ) = q (coeficiente en x) 
βγ = r (término constante) 
Después de algunos cálculos, hallamos :
α6 + 2pα4 + (p2 - 4r)α2 - q2 = 0 Es una ecuación del sexto grado, pero si miramos bien, α sólo 
aparece con potencias pares.
Pongamos A = α2. Entonces:
A3 + 2pA2 + (p - 4r)A - q2 = 0, lo que se sabe resolver porque es una ecuación de 
tercer grado. 
Luego se encuentra α, β y γ, y se resuelven z2 + αz + β= 0 y z2 - αz + γ = 0, y para rematar, 
no se olvide que x = z - b'/4.
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http://100cia.com/enciclopedia/Ecuaci%F3n_de_tercer_grado
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