PROBLEMA 7 CS MATERIALES

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Sea el compuesto KCl se pide: 
a) Identificar la estructura cristalina. 
b) calcular el factor de compactación. 
c) densidad plana más compacta. 
Solución 
 
a) Para identificar la estructura cristalina se debe determinar la cantidad de átomos por celda 
unitaria y para ello se usa la fórmula de densidad: 
 
𝜌 =
𝑁𝑇 × 𝑀
𝑉𝑐𝑢 × 𝑁𝑎
 
Donde: 
𝜌 = 1.98 
𝑔
𝑐𝑚3
, densidad del KCl 
𝑁𝑇, cantidad de átomos por celda unitaria, a determinar. 
𝑀 = 74.5
g
mol
, masa atómica del KCl. 
𝑉𝑐𝑢 = 𝑎0
3, volumen de la celda unitaria. 
𝑎0 = 6.29 × 10
−8 cm, parámetro de red del KCl. 
𝑁𝑎 = 6.0223 × 10
23 átomos
mol
, numero de Avogadro. 
Se despeja 𝑁𝑇: 
𝑁𝑇 =
𝜌 × 𝑉𝑐𝑢 × 𝑁𝑎 
𝑀
 
Sustituyendo: 
𝑁𝑇 =
1.98 
g
cm3
× (6.29 × 10−8 cm)3 × 6.0223 × 1023
átomos
mol
 
74.5
g
mol
= 3.98 ≈ 4 átomos 
Se sabe que la estructura cristalina FCC es la que tiene una cantidad de átomos por celda 
unitaria igual a 4. Por lo tanto, el KCl tiene una estructura cristalina FCC, ya que el valor obtenido 
es muy próximo. 
 
b) Para calcular el factor de compactación se utiliza la siguiente fórmula: 
 
Factor de compactación = 
𝑁𝑇 × Volumen del átomo
𝑉𝑐𝑢
 
 
Sabiendo que el volumen de un átomo viene dado por: 
 
Volumen del átomo =
4
3
× 𝜋 × 𝑟3 
Y que el volumen de la celda unitaria para una estructura FCC es igual a: 
 
𝑉𝑐𝑢 = 𝑎0
3 = (2 × √2 × 𝑟)3 
Sustituyendo: 
 
Factor de compactación = 
4 × 
4
3
× 𝜋 × 𝑟3
(2 × √2 × 𝑟)3
= 0.7405 
 
Es decir, que el volumen de los átomos ocupa un 74.05% del volumen de la celda unitaria. 
c) El plano más compacto de una estructura FCC es el (1 1 1), por lo tanto, se halla la densidad 
plana para este plano mediante la siguiente fórmula: 
 
𝜌 =
𝐴átomos
𝐴plano
 
Donde: 
𝐴átomos, área del total de átomos que hay en el plano. 
𝐴plano, área del plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la figura se aprecia que la cantidad de átomos que hay en el plano (1 1 1) en una estructura 
FCC es igual a 2. El área de los átomos viene dada por: 
 
𝐴átomos = 2 × 𝜋 × 𝑟
2 = 2 × 𝜋 × (
𝑎0
2 × √2
)
2
= 2 × 𝜋 × (
6.29 × 10−8 cm
2 × √2
)
2
 
= 3.1073 × 10−15cm2 
 
Y que el área del plano viene dada por: 
 
𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 =
𝑏 × ℎ
2
=
√2 × 𝑎0 × √
3
2
× 𝑎0
2
=
√2 × 6.29 × 10−8 cm × √
3
2
× 6.29 × 10−8 cm
2
= 3.4263 × 10−15cm2 
 
Se halla la densidad plana: 
 
𝜌 =
3.1073 × 10−15cm2
3.4263 × 10−15cm2
= 0.9068 
 
Es decir, que el área de los átomos ocupa un 90.68% del área del plano (111).