Practico 1 Logica

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Matemática para Informática
Primer Cuatrimestre 2017
Trabajo Práctico N� 1: Lógica Proposicional
Objetivos
El estudiante deberá ser capaz de:
Adquirir y a�anzar el lenguaje matemático.
Traducir proposiciones del lenguaje verbal al lenguaje simbólico.
Determinar condiciones necesarias, su�cientes o necesarias y su�cientes.
Demostrar o refutar proposiciones utilizando el método más conveniente.
Duración: Doce (12) horas
1. Para las expresiones dadas, analiza cuál es una proposición. Cuando corresponda decide su valor
de verdad.
(a) 3 > �3 + 6 (b) El número 42 es múltiplo de 3.
(c) José Martí escribió Cien Años de Soledad. (d) La luna es un satélite de la tierra.
(e) ¡Qué amable! (f) El número 13 es divisible por 3.
(g) ¿Bajaste de peso? (h) 49 es un cuadrado perfecto.
(i) Por favor, abra esa puerta. (j) ¡Llegó la primavera!
2. Representa a cada uno de los siguientes enunciados, usando notación lógica.
(a) Mauricio es sano o rico, pero no sabio. (b) Mauricio no es rico pero, es sano y sabio.
(c) Mauricio ni es sano, rico ni sabio. (d) Mauricio ni es rico ni sabio, pero es saludable.
(e) Mauricio es rico, pero no es sano ni sabio. (f) Mauricio es rico si es sano y sabio.
(g) Mauricio es rico solo si es sano y sabio.
3. Elabora la tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones compuestas e indica si se
trata de tautología, contradiccion o contingencia.
(a) (p ^ q) ! (p! q0) (b) p0 _ (q ^ r0)
(c) [p _ (q ^ r)] ! [(p _ q) ^ (p _ r)] (d) (r ! s)! [(r _ t)! (s _ t)]
4. Para cada inciso establezca si los siguientes pares de frases son lógicamente equivalentes. En primer
lugar expréselas en lenguaje simbólico y luego mediante tabla de verdad o usando propiedades
conocidas, justi�que su respuesta.
(a) Frase1: No es cierto que, haya sol y haga calor.
Frase2: No hay sol y no hace calor.
(b) Frase1: Si Matemática es difícil, voy a estudiar mucho.
Frase2: Matemática no es difícil o voy a estudiar mucho.
(c) Frase1: Si la ejecución del programa da como resultado una división entre cero, entonces la
sintaxis del programa es defectuosa o la computadora genera un mensaje de error.
Frase2: La ejecución del programa no da como resultado una división entre cero o la sintaxis
del programa es defectuosa, y la computadora genera un mensaje de error.
(d) Frase1: Cristina va al cine, o estudia y descansa.
Frase2: Cristina va al cine o estudia, y va al cine o descansa.
5. En cada uno de los incisos siguientes demuestra la equivalencia de las proposiciones, usando para
ello tautologías y/o equivalencias lógicas.
(a) [(p! q) ^ (p! r)] � [p! (q ^ r)]
(b) (p! q) � (p0 _ q)
(c) [p ^ (s _ r0)] �
�
p! (s _ r0)0
�0
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6. La proposición: �Las notas de Juan son excelentes aunque no es un buen deportista�es equivalente
a:
(a) No es cierto que, Las notas de Juan sean excelentes o sea un buen deportista.
(b) No es cierto que, Las notas de Juan no sean excelentes o sea un buen deportista.
(c) No es cierto que, Juan no sea un buen deportista o sus notas no sean excelentes.
(d) No es cierto que, Juan no sea un buen deportista o sus notas sean excelentes.
(e) No es cierto que, Juan es un buen deportista y sus notas no sean excelentes.
7. Indique cuáles de las siguientes proposiciones se la puede expresar simbólicamente como � (p _ q)
(a) Si arroja basura aquí, se multa.
(b) Prohibido arrojar basura o pegar carteles.
(c) Prohibido arrojar basura y pegar carteles.
8. Establece la conclusión de los siguientes argumentos lógicos. Indica la regla de inferencia que uti-
lizaste.
(a) Si los alumnos realizan los trabajos prácticos, entonces aprenderán bastante. Si los alumnos
estudian la teoría, ellos realizarán los trabajos prácticos. En consecuencia...
(b) Manuel estudia mucho Matemática para Informática. Si Manuel estudia mucho Matemática
para Informática, entonces Manuel aprueba Matemática para Informática. En consecuencia. . .
(c) Si Pedro utiliza sitios en intrenet, acepta el uso de cookies. Pedro no acepta el uso de cookies.
En consecuencia. . .
(d) Un número es divisible por 3 o es divisible por 2. Un número no es divisible por 3. En conse-
cuencia. . .
9. Determina la validez o no de los siguientes enunciados:
(a) (q0 _ p0) ^ (r ^ q) =) (p$ r0)
(b) (r ! p0) ^ (q0 _ r0) =) (p0 ! q)
10. Decide si los siguientes argumentos son válidos o no son válidos:
(a) Si voy al cine, no voy a terminar mi tarea. Si no termino mi tarea, no voy a hacer bien el
examen de mañana. En consecuencia, si voy al cine, no voy a hacer bien el examen de mañana.
(b) Si me levanto temprano, estudio mucho. Si estudio mucho puedo hacer deportes. No hago
deportes. Me levanto tarde solo si, estudio mucho y hago deportes. Por lo tanto no estudié
mucho o no hice deportes.
(c) Si Jeremías está retrasado entonces no jugará el partido. Si el colectivo llega tarde entonces
Jeremías está retrasado. El colectivo llega tarde. Por lo tanto, Jeremías jugará el partido.
(d) Sebastián ayuda a Gabriela o, juega con Sarah y Tomás. Si Sebastián ayuda a Gabriela entonces
juega con Tomás. Sebastián no juega con Tomás. Por lo tanto: Sebastián juega con Sarah y
Tomás.
(e) Si yo estaba leyendo el periódico en la cocina, entonces mis lentes están sobre la mesa de la
cocina. Si los lentes están sobre la mesa de la cocina, entonces los vi en el desayuno. No he
visto mis lentes en el desayuno. Yo estaba leyendo el periódico en la sala o estaba leyendo el
periódico en la cocina. Si yo estaba leyendo el periódico en la sala, entonces mis lentes están
sobre la mesa del café. Por lo tanto mis lentes están sobre la mesa del café.
11. En la parte trasera de un viejo armario se descubre una nota �rmada por un viejo pirata, famoso
por su extraño sentido de humor y amor a los rompecabezas lógicos. En la nota, escribió que
él había escondido el tesoro en algún lugar de la propiedad. Hizo una lista de cuatro enunciados
verdaderos (del (a) al (d) que se muestran a continuación) y desa�ó al lector a usarlos para averiguar
la ubicación del tesoro.
(a) Si esta casa está al lado de un lago, entonces el tesoro no está en la cocina.
(b) Si el árbol en el patio delantero es un olmo entonces el tesoro está en la cocina.
(c) Esta casa está al lado de un lago.
(d) El árbol del patio delantero es un olmo o el tesoro está enterrado bajo el mástil de la bandera.
¿Dónde está escondido el tesoro?
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12. Demuestra los siguientes teoremas:
(a) p ^ (p! q) ^ (q0 _ r)) r
(b) r ^ [s! (t _ s)] ^ (r ! s)) (t _ s)
(c) (r _ t) ^ [s! (r0 ^ t0)] ^ [s0 ! (t ^ s)]) t
(d) [(p ^ q)! r] ^ (q0 ! s0)) [(r0 ^ s)! p0]
(e) [p! (q ^ r)] ^ [(q _ s)! t] ^ (p _ s)) (r _ t)
13. Demuestre por contradición o reducción al absurdo el teorema de cada uno de los siguientes incisos.
(a) [p! (q ^ r)] ^ [q ! r]) (p! r)
(b) (p ^ q)) (p _ q)
(c) [p! (p _ q)] ^ p) (p _ q)
14. Para cada una de las implicaciones dadas:
(a) Escribe sus implicaciones asociadas y da en cada caso su valor de verdad.
(b) Indica si el antecedente de la proposición es su�ciente, necesario o necesario y su�ciente para
el consecuente.
(i) Un número termina en cero sólo si es divisible por cinco.
(ii) Todo rectángulo es un cuadrado.
(iii) Si un número es múltiplo de 4 entonces su consecutivo es múltiplo de 5.
(iv) 8x 2 R; x2 � 16 = 0 si x� 4 = 0
15. Sea U = fxjx es alumno de Matemática para Informáticag
(a) Escribe en forma simbólica las siguientes proposiciones:
1) Algunos alumnos de Matemática para Informática aprobaron el 1� parcial.
2) A todos los alumnos de Matemática para Informática le gusta programar.
3) Algunos alumnos de Matemática para Informática aprobaron el 1� parcial y les gusta
programar.
4) Todos los alumnos de Matemática para Informática aprobaron el 1� parcial o no estudi-
aron.
5) Si un alumno de Matemática para Informática estudió, entonces aprobará el 1� parcial o
le gusta programar.
6) Algunos alumnos de Matemática para Informática no les gusta programar pero estudian.
(b) Para cada una de las expresiones dadas, escribe su negación.
(c) Expresa, en palabras, las negaciones obtenidasen (b).
16. Traduce cada una de las siguientes frases a expresiones lógicas, usando predicados, cuanti�cadores
y conectivos lógicos.
(a) Alguien de tu clase habla francés.
(b) Todos en tu clase son amigables.
(c) Hay una persona en tu clase que nació en Brasil.
(d) Ningún estudiante de tu clase ha cursado una asignatura de Programación.
(e) Todos los estudiantes de tu clase saben resolver ecuaciones de segundo grado.
(f) Algunos estudiantes de tu clase tienen teléfono celular.
17. Para las implicaciones dadas, demuestra las verdaderas y refuta las falsas. Aplica el método que
creas conveniente.
(a) La suma de dos números consecutivos es un número par.
(b) El producto de dos números consecutivos es un número par.
(c) La suma de dos números impares es un número impar.
(d) El consecutivo de un número que es múltiplo de 4, es un número impar.
(e) Si el producto de dos números enteros es par, por lo menos uno de ellos es par.
(f) Si el cuadrado de un número es par, el número es par.
(g) Es necesario que un número entero sea impar para que su cuadrado sea impar.
(h) Que x2 = 0 es su�ciente para que x = 0:
(i) n2 � n es divisible por 2.
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