Practico 9 Estructura algebraica

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Matemática para Informática
Primer Cuatrimestre 2017
Trabajo Práctico N� 9: Estructuras Algebraicas
Objetivos
� Reconocer las propiedades que debe cumplir un conjunto para que de�na una estructura de grupo.
� Probar las condiciones que debe cumplir un conjunto para que sea un subgrupo.
� Identi�car propiedades de los grupos.
� Reconocer si un grupo es cíclico.
� Distinguir las propiedades que debe cumplir un conjunto para que de�na una estructura de anillo
y/o cuerpo.
Duración: Seis (6) horas.
1. Dado el conjunto A = fa; b; cg y el conjunto partes P (A) Muestra que (P (A) ;\) y (P (A) ;[) son
monoides
2. Dados los siguientes conjuntos y su correspondiente operación binaria.
i) (Q; �) donde a � b = a+ b+ 2ab
ii) (N; �) donde a � b = a� b+ ab
iii) (R; �) donde a � b = ab� a� b+ 1
iv) (N; �) donde a � b = ab+ 1
v) (Z� f0g ; �) donde a � b = a
b
+ 1
(a) Encuentra el elemento neutro y los elementos que tengan inversos.
(b) Muestra si cumplen o no la propiedad asociativa y conmutativa.
(c) De los resultados del los item (a) y (b); decide en cada caso si es un monoide, semi grupo o
grupo.
3. Dado el conjunto A = fa; b; cg con las operaciones de�nidas por las siguientes tablas.
� a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
� a b c d
a a a a a
b a b c d
c a c a c
d a d c b
Decide si (A;�) o (A; �) son semigrupos ¿Son conmutaivos?. Justi�ca.
4. Dado el conjunto A = fa; b; cg y el conjunto partes P (A) Muestra que (P (A) ;\) y (P (A) ;[) son
semigrupos. ¿son conmutativos?
5. Sea Z5 = f0; 1; 2; 3; 4g, de�nimos las siguientes operaciones suma y producto
+ : Z� Z ! Z
a+ b 7! a+ bmod5 y
� : Z� Z ! Z
a � b 7! abmod5
(a) Con las operaciones de�nidas completa las siguientes tablas.
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 0
2 3
3 1
4 0 1 3
� 0 1 2 3 4
0 0
1 0 1 2 3 4
2 2 1
3 3 1
4 1
1
(b) Decide si (Z5;+) y (Z5; �) son grupos. Justi�ca.
(c) Muestra que (Z5 � f0g ; �) es grupo. ¿Es abeliano (conmutativo)?
(d) Muestra que (Z4 � f0g ; �) no es grupo.
(a) Decide si el conjunto de los N; Z; Q; R con las operaciones suma usual y producto usual son
grupos. En el caso en que no lo sea indica cuál/es propiedad/es no cumple/n.
(b) Muestra que (Q�f0g ;+) es un grupo. ¿Es (Z�f0g ; �) un grupo abeliano? Justi�ca.
(a) Muestra que cada elemento de un grupo tiene un único inverso.
(b) Sea (G; �) un grupo no necesariamente abeliano y sean a; b 2 G: Demuestra que el inverso de
a � b es b�1 � a�1:
(c) Sea (G; �) un grupo con elemento neutro e y a; b 2 G. Muestra que:
i. si a2 = a; entonces a = e.
ii. si a � b = e, entonces b � a = e.
(a) Sea (Z;+) el grupo aditivo de los números enteros. Demuestra que A = fx j x = 5k; k 2 Zg
es un subgrupo de Z.
(b) Sea B = fx j x = 3n+ 6m con n;m 2 Zg :
i. Enumera algunos elementos de B y otros que no pertenezcan a B.
ii. Demuestra que (B;+) es un subgrupo de (Z;+) :
(c) Sea E =
�
x j x = a+ b
p
2; con a; b 2 Q�f0g
	
:
i. Enumera algunos elementos pertenecientes a S y otros no pertenencientes a E.
ii. Decide si E es un subgrupo de (R�f0g ; �) :
6. Determina el subgrupo generado por cada uno de los elementos de (Z4;+). Idem para (Z�5; �) : ¿son
grupos cíclicos?.
7. Decide si los siguientes grupos son cíclicos, en caso a�mativo indica algún generador:
(i) (Z;+) (ii) (Zn;+) con n 2 N (iii) (Q+; �) (iv) (Z�5; �)
8. Sea A = f0; e; b; cg con las operaciones de adición y multiplicación de�nida por las siguientes tablas.
+ 0 e b c
0 0 e b c
e e 0 c b
b b c 0 e
c c b e 0
� 0 e b c
0 0 0 0 0
e 0 e b c
b 0 b e c
c 0 c c 0
Asumiendo que se cumplen las propiedades asociativas y distributivas,¿(A;+; �) es un anillo con
identidad? ¿Es A conmutativo?.
9. Decide si los siguientes conjuntos con la operación suma y producto indicadas son anillos. ¿Cuáles
de ellos son cuerpos?.
(a) (N; ;+; �), (Z;+; �) ; (Q;+; �) y (R;+; �)con la suma y producto usuales
(b) A = fx j x = 2n; n 2 Zg con la suma y producto usuales.
(c) (Z2;+; �) y (Z4;+; �)
(d) E =
�
x j x = a+ b
p
2; con a; b 2 Q�f0g
	
con la suma y producto usuales.
10. Sea el conjunto C = fa+ bi : a; b 2 Rg, de�niremos sobre él las siguientes operaciones:
+ : C� C ! C
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
y
� : C� C ! C
(a+ bi) � (c+ di) = (ac� bd) + (ad+ bc)i
Muestra que (C;+; �) es un cuerpo, llamado cuerpo de los números complejos.
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