Teoria 7 Funciones racionales y polinomicas

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Capítulo 1
Otras funciones de variable
real
1.1 Función racional
Si p(x) y q(x) son polinomios, entonces:
f(x) =
p(x)
q(x)
recibe el nombre de función racional y está definida para todo x tal
que q(x) �= 0.
Nos interesarán, particularmente, los valores de x para los cuales
p(x) = 0 y q(x) = 0 y también los grados de p(x) y q(x). Supondremos
que p(x) y q(x) no tienen factores comunes y, por lo tanto, tampo-
co tienen ceros comunes. Los siguientes son ejemplos de funciones
racionales:
r(x) =
2
x− 4 g(x) =
x2 − 1
x3 + 8
h(x) =
x− 1
3x+ 3
1
2 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
Como la división por cero no está permitida, el dominio de f es
el conjunto de todos los números reales tales que q(x) �= 0. Si, por
ejemplo, q(a) = q(b) = q(c) = 0, entonces a, b y c están excluídos del
dominio de f . Esto quiere decir que f(a), f(b) y f(c) no están defini-
dos. Esto lleva a una propiedad importante de las funciones racionales:
q(x) = 0
La gráfica de f consiste en k + 1 ramas,
o partes separadas, si q(x) = 0 tiene k
raíces reales distintas.
Los números reales en los que p(x) = 0 también son importantes
porque f(x) = 0⇔ p(x) = 0. Esta es la segunda propiedad básica de
las funciones racionales.
p(x) = 0
Las intersecciones del eje x con la función f
ocurren precisamente donde p(x) = 0.
La gráfica de la función racional f(x) = 2/x es una curva llamada
hipérbola y puede verse en la figura.
Las funciones racionales pueden exhibir dos tipos de comporta-
miento imposibles de encontrar en las funciones polinomiales de grado
positivo: las asíntotas verticales y horizontales, que se definirán con
1.1. FUNCIÓN RACIONAL 3
rigor en el curso de Cálculo. Veamos las funciones siguientes y sus
tablas de valores. Sean:
r(x) =
2
x− 4 y h(x) =
x− 1
2x+ 3
x r(x)
3 −2
3, 9 −20
3, 99 −200
3, 999 −2.000
. . . . . .
4 indefinido
. . . . . .
4, 001 2.000
4, 01 200
4, 1 20
5 2
x h(x)
5 0, 30
10 0, 39
50 0, 47
100 0, 48
200 0, 49
500 0, 497
1.000 0, 498
10.000 0, 499
100.000 0, 4999
En la tabla de r(x) se aprecia que cuando x se acerca a 4, ya sea por
la derecha o por la izquierda, | r(x) | se hace arbitrariamente grande.
La tabla de h(x) indica que cuando x se hace más y más grande, h(x)
se acerca más y más a 1
2
. Estas dos observaciones se pueden indicar
de la siguinte manera:
Si x→ 4, entonces | r(x) |→ ∞
Si x→∞, entonces h(x)→ 1
2
La notación general que se utiliza es la siguiente:
x→ a significa “x tiende a a” (x se aproxima a a)
x→ a+ significa “x > a y x se aproxima a a por valores mayores que a”
x→ a− significa “x < a y x se aproxima a a por valores menores que a”
x→∞ significa “x se hace arbitrariamente grande, siendo x positivo”
x→ −∞ significa “x se hace arbitrariamente pequeño, siendo x negativo”
4 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
1.1.1 Asíntotas
Supongamos que f(x) = p(x)/q(x) es una función racional en su ex-
presión mínima y que a ∈ R, b ∈ R:
i. Se dice que la recta vertical x = a es una asíntota
vertical de la gráfica de f si x→ a implica | f(x) |→ ∞.
ii. Se dice que la recta horizontal y = b es una asínto-
ta horizontal de la gráfica de f si | x |→ ∞ implica
f(x)→ b.
En la figura se muestra una gráfica que tiene una asíntota horizon-
tal (AH) y dos asíntotas verticales (AV ). La gráfica nunca cruza las
AV ya que esos valores de x no están en el dominio de la función. Por
otra parte, la gráfica sí puede cruzar una AH.
Las funciones racionales se pueden reescribir para averiguar qué
pasa cuando | x |→ ∞. Simplemente, el numerador y el denominador
se dividen por la máxima potencia que ocurre en el denominador. Por
supuesto, se supone x �= 0 ya que nuestro interés está puesto en saber
qué pasa cuando | x |→ ∞. Es evidente que cuando x → ∞, 1/x,
1.1. FUNCIÓN RACIONAL 5
1/x2, 1/x3, . . .→ 0. Esto permite determinar las AH. Por ejemplo,
f(x) =
3x+ 2
4x− 1 =
3 + 2/x
4− 1/x →
3 + 0
4− 0 =
3
4
cuando x→∞
Por lo tanto, la recta horizontal y = 3/4 es una AH de la gráfica
de f . Por otra parte, si g(x) = 1
x−3 se tiene entonces una AV . Es la
recta x = 3 porque conforme x→ 3, x− 3→ 0 y | g(x) |→ ∞.
También hay una AH, que es el eje x, ya que si | x |→ ∞, entonces
g(x)→ 0.
Regla de las
asíntotas
Suponiendo la función racional
f(x) =
p(x)
q(x)
=
anx
n + . . .+ a0
bnxm + . . .+ b0
que está en su expresión mínima.
Si q(a) = 0, entonces x = a es AV .
Si n < m, entonces el eje x es AH.
Si n = m, entonces la recta de ecuación
y = an/bm es AH.
Si n > m, entonces la gráfica no tiene AH.
Si hay k asíntotas verticales, entonces la gráfica se divide en k + 1
ramas. Observemos que las funciones racionales pueden tener varias
asíntotas verticales pero una sola asíntota horizontal.
Al dibujar la gráfica es muy útil conocer el signo de f(x). Si se
hallan todos los ceros de p(x) = 0 y q(x) = 0 y se indica la ubicación
de cada uno de ellos en el eje x, entonces en cada uno de los intervalos
definidos por estos ceros de p y q, f(x) tendrá el mismo signo. Es
decir, la gráfica siempre estará arriba o abajo del eje x en cada uno
de tales intervalos. En estos intervalos se pueden utilizar valores de
prueba.
Ejemplo 1 Sea f : A → R |f(x) = x
2 − 1
x− 1 · Determine dominio,
imagen y gráfico.
6 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
Solución El dominio de f excluye los valores de x que anulan el de-
nominador. Para hacer el gráfico es necesario observar primero si
numerador y denominador tienen factores comunes. En ese caso pue-
den simplificarse, indicándose la función con una nueva regla donde se
aclare el dominio correspondiente. Aquí, si factorizamos el numerador
resulta:
f(x) =
(x+ 1)(x− 1)
x− 1
También:
f(x) = x+ 1 ∧ x �= 1
Resulta:
A = R− {1} y I = R − {2}
El gráfico es una recta a la que le falta un punto, aquél que repre-
senta al par (1, 2).
Ejemplo 2 Sea f : A → R |f(x) = x+ 2
x2 − 4 · Determine dominio,
imagen y gráfico.
1.1. FUNCIÓN RACIONAL 7
Solución La función f(x) =
x+ 2
x2 − 4 =
x+ 2
(x+ 2)(x− 2) es también:
f(x) =
1
x− 2 ∧ x �= −2
Resulta: A = R − {−2, 2}. La imagen es I = R− {−1
4
, 0} pues:
f(x) = −1
4
⇒ x+ 2
x2 − 4 = −
1
4
⇒ 1
x− 2 = −
1
4
⇒ x− 2 = −4⇒
⇒ x = −2 y −2 /∈ Df
f(x) = 0⇒ x+ 2
x2 − 4 = 0⇒ x+ 2 = 0⇒ x = −2 y −2 /∈ Df
Por otra parte, en las cercanías de 2 el conjunto de valores de f
no está acotado. La recta x = 2 es una asíntota vertical al gráfico.
Además, al igual que x−2, los valores de f cambian de signo a derecha
e izquierda de la asíntota.
Por otra parte, para valores cada vez mayores de x, en valor ab-
soluto, y = 1
x−2 → 0. Se indica que la recta de ecuación y = 0 es
asíntota horizontal al gráfico.
8 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
Ejemplo 3 Sea f : A → R |f(x) = 3x+ 2
x− 2 · Determine dominio,
imagen y gráfico.
Solución El dominio es A = R−{2}. Los valores de f cambian de signo
a ambos lados del punto 2. La recta de ecuación x = 2 es AV . Para
hacer el gráfico, buscamos las intersecciones con los ejes: (−2/3, 0) y
(0,−1). Por otro lado, observemos lo siguiente:
f(x) =
3x+ 2
x− 2 =
3x
x− 2 +
2
x− 2 =
3x− 6 + 6
x− 2 +
2
x− 2 =
=
(3x− 6) + 6
x− 2 +
2
x− 2 =
3(x− 2) + 6
x− 2 +
2
x− 2 =
= 3 +
6
x− 2 +
2
x− 2 = 3 +
8
x− 2
Si x crece mucho en valor absoluto, f(x) se acerca a 3. La recta
de ecuación y = 3 es asíntota horizontal al gráfico. La imagen es
R− {3}.
Ejemplo 4 Sea f : A → R |f(x) = x− 2
(x+ 5)(x− 7) · Determine do-
minio, imagen y gráfico.
1.1. FUNCIÓN RACIONAL 9
Solución Para encontrar el dominio, excluímos los valores de x que
anulan al denominador, con lo que resulta:
A = R− {−5, 7}
Las rectas x = −5 y x = 7 son AV al gráfico de la función. Si
reescribimos la expresión dada y dividimos numerador y denominador
por la mayor potencia de x en el denominador, resulta:
f(x) =
x− 2
(x+ 5)(x− 7) =
x− 2
x2 − 2x− 35 =
1/x− 2/x2
1− 2/x− 35/x2
que → 0 cuando x → ∞. Luego, la recta de ecuación y = 0 (el eje
x) es AH al gráfico de f . Los resultados señalados se reflejan en la
figura.
10 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
Para determinar laimagen despejamos x:
f(x) = y =
x− 2
(x+ 5)(x− 7) =
x− 2
x2 − 2x− 35 ⇒ y(x
2 − 2x− 35) = x− 2⇒
⇒ yx2 − (2y + 1)x− (35y − 2) = 0⇒
⇒ x =
2y + 1±
√
[−(2y + 1)]2 − 4y[−(35y − 2)]
2y
⇒
⇒ x = 2y + 1±
√
4y2 + 4y + 1 + 140y2 + 8y
2y
⇒
⇒ x = 2y + 1±
√
144y2 + 12y + 1
2y
⇒
⇒ x =
2y + 1±
√
144y2 + 2 · 12y · 1
2
+
(
1
2
)2
+ 1−
(
1
2
)2
2y
⇒
⇒ x =
2y + 1±
√(
12y + 1
2
)2
+ 3
4
2y
Como el radicando no es nunca negativo, el único valor que no
puede tomar y en esta expresión es el 0, por lo que la imagen de
f parece ser R − {0}. Sin embargo, en la regla que define a f(x)
observamos que
f(x) = 0⇔ x = 2
por lo que nos encontramos ante una función cuyo gráfico corta a su
AH. Finalmente, resulta I = R, lo que podemos confirmar si “leemos”
el gráfico.
1.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 11
1.2 Funciones trigonométricas
Uno de los comportamientos más frecuentes en la naturaleza es el efec-
to oscilatorio periódico. Por ejemplo, piense en las mareas que ocurren
en una costa y que se suceden, mareas altas y mareas bajas, con una
regularidad de doce horas. Si la marea baja ocurre a la medianoche,
la alta lo hace cerca de las seis de la mañana y la baja vuelve aproxi-
madamente al mediodía, lo que sigue así, indefinidamente. El gráfico
de este comportamiento periódico se muestra en la figura.
De manera similar, consideremos el número de horas de luz que
hay en un día en una localidad del hemisferio sur (Salta en este caso).
El mínimo de horas de luz ocurre en el llamado solsticio de invierno
(21 de junio); a partir de esta fecha, esta cantidad va aumentando
lentamente hasta que llega a su máximo en el solsticio de verano (21
de diciembre). A partir de allí comienza a decrecer en dirección al
mínimo que sucederá el siguiente 21 de junio. Este comportamiento
periódico se repite año a año, dando lugar a un gráfico similar al de
las mareas.
Nos damos cuenta fácilmente que este comportamiento difiere del
lineal, polinomial o exponencial ya vistos. En este tema veremos cómo
12 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
modelar estas situaciones, para lo que requeriremos de las funciones
trigonométricas.
1.2.1 Distancia en el plano
Identifiquemos como P y Q a dos puntos del plano elegidos de tal
forma que no estén ubicados sobre una recta paralela a alguno de los
ejes coordenados (figura).
La distancia PQ puede calcularse aplicando el teorema de Pitágo-
ras, mediante la construcción del triángulo rectángulo RPQ, trazando
por P una recta paralela al eje y y por Q una paralela al eje x; ambas
rectas se cortan en un punto que llamamos R, cuyas coordenadas son,
como podemos apreciar, x1 e y2. Por el teorema mencionado:
PQ
2
= RQ
2
+ PR
2
Además, sabemos que:
RQ = |x2 − x1| y PR = |y2 − y1|
1.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 13
Luego:
PQ
2
= |x2 − x1|2 + |y2 − y1|2
Por propiedad del módulo:
PQ
2
= (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Observemos que ésto es verdad aún en el caso en que la recta PQ
sea paralela a alguno de los ejes (compruébelo). En base al resultado
obtenido podemos enunciar el siguiente teorema:
Teorema 5 La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano P (x, y)
y Q(x, y) está dada por:
d =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Ejemplo 6 Hallar la distancia entre M(−2, 5) y N(3,−4).
Solución
Si llamamos (x1, y1) a las coordenadas de M y (x2, y2) a las de N ,
resulta:
d =
√
[3− (−2)]2 + [−4− 5]2 =
√
52 + (−9)2 =
√
25 + 81 =
√
106 � 10, 296
Ejercicio 1.2.1 Pruebe que el triángulo ABC, con A(1, 1); B(2, 4) y
C
(
3+3
√
3
2
, 5−
√
3
2
)
es equilátero. Grafique.
1.2.2 Definiciones generales
Consideramos el círculo unidad (de radio igual a 1) centrado en el
origen del sistema de coordenadas. Por el teorema anterior, un punto
P (x, y) está en el círculo si x2 + y2 = 1; es decir, que las coordenadas
(x, y) de un punto del círculo satisfacen esa ecuación.
14 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
Sobre la circunferencia marcamos un arco de longitud θ (positiva),
que parte del punto (1, 0) y se genera en sentido contrario al giro de
las agujas de un reloj. A un arco generado en sentido horario, lo
llamaremos arco de longitud negativa.
El conjunto de todos los arcos está en correspondencia 1 a 1 con
el conjunto de todos los números reales. Es decir que cada arco puede
asociarse con un único número real que representa su longitud (núme-
ros reales positivos cuando los arcos se miden en sentido contrario al
giro de las agujas de un reloj) o el opuesto de su longitud (números
reales negativos cuando se generan en sentido horario). Por otro lado,
cada número real puede pensarse como la longitud de algún arco o co-
mo el número opuesto de esta longitud. Aceptaremos que la longitud
total de la circunferencia de un círculo de radio unidad es 2π unidades
y que L = 2πr, donde π � 3, 14159, si se trata de un círculo de radio
r.
En la figura podemos observar que cada número real θ tiene asocia-
do un único par ordenado (x, y), que son las coordenadas del extremo
del arco θ de origen (1, 0).
Ejercicio 1.2.2 ¿Existe un único arco de origen (1, 0) y tal que las
coordenadas de su extremo sean un par (x, y) dado?
1.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 15
1.2.3 Definiciones
Definimos x e y, respectivamente, como cos θ y sen θ, y lo escribimos
así:
x = cos θ y = sen θ
Se lee: “x es el coseno del número real θ” e “y es el seno del número
real θ”. El seno y el coseno son, por lo tanto, funciones del número
real θ y se expresarán como tales.
Como consecuencia de estas definiciones tenemos el siguiente teo-
rema:
Teorema 7
sen2 θ + cos2 θ = 1 (1)
Esto es, para todo número real θ, el cuadrado del seno de θ más el
cuadrado del coseno de θ es igual a la unidad.
Recordemos que una ecuación como la (1), que se verifica para
todo valor de la variable, se llama identidad, por lo que esta expre-
sión se refiere muchas veces como la identidad pitagórica o identidad
fundamental de la trigonometría.
Prueba
Se deduce que (x, y) pertenece a la circunferencia si y sólo si:
x2 + y2 = 1
Sustituyendo y por sen θ e x por cos θ la identidad (1) queda demos-
trada.
Ejercicio 1.2.3 En la figura anterior puede observarse que sen(nπ) =
0, con n ∈ Z. ¿Para qué valores de θ es cos θ = 0?
Ejercicio 1.2.4 ¿Para qué valores de θ es: (a) sen θ = 1; (b) cos θ =
1; (c) sen θ = −1; (d) cos θ = −1?
16 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
Ejercicio 1.2.5 Determine dominio e imagen de las funciones seno
y coseno.
La relación (1) muestra que seno y coseno no son independientes:
conociendo uno puede calcularse, salvo el signo, el otro.
1.2.4 Otras funciones trigonométricas
Veremos, además, otras funciones trigonométricas, que se definen en
términos del seno y del coseno, como sigue:
tg θ =
sen θ
cos θ
(cos θ �= 0); sec θ = 1
cos θ
(cos θ �= 0);
cosec θ =
1
sen θ
(sen θ �= 0) y cotg θ = cos θ
sen θ
(sen θ �= 0).
Ejercicio 1.2.6 Determine el dominio de estas funciones trigono-
métricas.
Ejercicio 1.2.7 Pruebe que, para los valores de θ en que están defi-
nidas: (a) 1 + tg2 θ = sec2 θ; (b) 1 + cotg2 θ = cosec2 θ
1.2.5 Números reales especiales
Estudiaremos las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente
para los números reales especiales θ = π/4, θ = π/6 y θ = π/3.
i. θ = π/4
1.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 17
El arco BA es dado e igual a π/4. Como el
el arco BC es un cuarto de la circunferencia,
es igual a π/2.
El triángulo OAD es isósceles. Luego, x = y.
Como x2 + y2 = 1, tenemos:
x = y =
√
2/2 (en la figura, x e y son positivos).
Por lo tanto:
sen
π
4
=
√
2
2
; cos
π
4
=
√
2
2
; tg
π
4
= 1.
Para estudiar los otros dos casos, podemos basarnos en el siguiente
lema.
Lema 8 En un círculo, el triángulo BOA formado por los dos ra-
dios BO y AO y la cuerda AB que subtiende un arco igual a π/3, es
equilátero.
Ejercicio 1.2.8 Demostrar el lema anterior.
ii. θ = π/6
18 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
Colocamos el triángulo BOA en el
círculo unidad como en la figura y
trazamos la mediatriz OD de AB.
El arco BA = π
3
; luego, ĈA = π
6
.
De aquí resulta que:2y = 1⇒ y = 1
2
y de:
x2 + y2 = 1⇒ x =
√
3
2
Por tanto:
sen
π
6
=
1
2
cos
π
6
=
√
3
2
tg
π
6
=
√
3
3
iii. θ = π/3
Situamos al triángulo BOA en el
círculo unidad como en la figura.
y trazamos la mediatriz AD de OB.
Así,
x = 1
2
y y =
√
3
2
.
Por tanto:
sen
π
3
=
√
3
2
cos
π
3
=
1
2
tg
π
3
=
√
3
1.2.6 Signos, imágenes y gráficas
Podemos observar fácilmente que cuando el arco θ crece de 0 a 2π, las
funciones trigonométricas varían. Veremos las variaciones del seno, el
coseno y la tangente.
1.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 19
Tracemos el círculo unidad y consideremos varios arcos tales que
se cumpla que: 0 < θ1<θ2 < θ3 . . . < π/2 (ver figura). Recordemos
que para un θ dado, que es un número real, el cos θ es la abcisa x y el
sen θ es la ordenada y.
Levantemos ahora una tangente al círculo en P (1, 0).
Unamos, mediante rectas, el origen con los extremos
de θ1, θ2, . . . y prolonguemos estas rectas hasta
cortar a la tangente en A1, A2, . . ., respectivamen-
te. Se ve, por la proporcionalidad de los lados de los
triángulos OCB y OPA1, que la longitud del segmento
de tangente PA1 es igual a tg θ1. Este es el origen del
nombre de “tangente” de θ1 dado a esta función
trigonométrica.
Observando la variación de las longitudes PA1, PA2, etc., al variar
θ, podemos obtener la curva que describe tg θ cuando varía θ. En la
misma figura podemos ver, además, las variaciones de sen θ y cos θ.
Los resultados se dan en el cuadro.
Es evidente que a medida que θ se acerca a π/2 (cuando 0 < θ <
π/2), tg θ se hace cada vez más grande. Cuando el arco vale exac-
tamente π/2, no existe un valor para la tangente. Esto lo indicamos
escribiendo: tg π
2
=∞.
Sin embargo, en el segundo cuadrante la tangente es negativa; de
ahí que aparezca−∞ para la tangente. Igualmente para los cuadrantes
III y IV :
Signos
Cuadrante Seno Coseno Tangente
I + + +
II + − −
III − − +
IV − + −
20 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
Valores
Cuadrante Seno Coseno Tangente
I 0 a 1 1 a 0 0 a ∞
II 1 a 0 0 a −1 −∞ a 0
III 0 a −1 −1 a 0 0 a ∞
IV −1 a 0 0 a 1 −∞ a 0
Las variaciones de una función son esencialmente las mismas para
todos los cuadrantes: una función puede crecer o decrecer, ser positiva
o negativa, pero la imagen es siempre la misma si se prescinde del signo
(por ejemplo, 0 a 1 para el seno o el coseno).
Para el primer cuadrante podemos hacer, con más detalle, la si-
guiente tabla de valores:
θ sen θ cos θ tg θ
0 0 1 0
π
6
1
2
√
3
2
√
3
3
π
4
√
2
2
√
2
2
1
π
3
√
3
2
1
2
√
3
π
2
1 0 ∞
Como ejercicio conviene extender esta tabla a los otros cuadrantes
1.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 21
y, con esta información, construir las gráficas de las funciones:
22 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
Observemos que el seno, el coseno, la secante y la cosecante se
repiten después de 2π y que la tangente y la cotangente lo hacen
después de π. Esta propiedad se conoce como periodicidad.
Definición La función de variable real f es periódica si existe un
número real y positivo p tal que,∀x : f(x + p) = f(x), siendo p el
menor número positivo que verifica la condición.
Es decir, para cualquier otro número positivo p′, si p′ < p, entonces
∀x : f(x + p′) �= f(x). El número p se llama período fundamental,
período primario o simplemente período.
Observemos, por ejemplo, para la función seno, que:
sen x = sen(x+ 2π) = sen(x+ 6π) = sen(x+ 2nπ), con n ∈ Z,
siendo 2π el período, pues es el menor número positivo que cumple
con la condición.
Conocido el período p de una función de este tipo, el gráfico puede
construirse sobre cualquier intervalo de longitud p y repetirlo luego, a
derecha e izquierda.
1.2.7 Amplitud, período y fase
En la introducción a este tema notamos que las funciones trigono-
métricas pueden usarse como modelos matemáticos para representar
un comportamiento periódico, como es el caso del número de horas de
luz en un determinado lugar. En particular, el número H de horas de
luz de cada día del año en la ciudad de Salta, puede modelarse por la
ecuación:
H(t) = 12 + 2, 4 sen
[
2π(t− 1.055
4
)
365
]
donde t es el número de días a partir del 1 de enero de un año dado,
por ejemplo 1990. Si queremos calcular el número de horas de luz del
1.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 23
15 de febrero de 1990, que es el día número 46, resulta:
H(46) = 12 + 2, 4 sen
[
2π
(
46− 1055
4
)
365
]
= 13, 37 horas
El 21 de marzo, que es el día 80, obtendremos:
H(80) = 12 horas
Como el día 21 de marzo corresponde al equinoccio de invierno,
podemos esperar para ese día 12 horas de luz y 12 de oscuridad. El
día más corto, que ocurre durante el solsticio de invierno, el 21 de
junio que es el número 172, es de 9, 6 horas y el día más largo, el 21 de
diciembre, llamado solsticio de verano, que es el número 355, tendrá:
H(172) = 14, 40 horas
El gráfico es como se muestra en la figura:
Tiene la misma forma de la gráfica del seno o del coseno pero no
se centra sobre el eje x sino sobre la línea horizontal y = 12, que re-
presenta el número de horas promedio de luz en el curso de un año.
24 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
El máximo y el mínimo tampoco son 1 y −1, sino 14, 4 y 9, 6 res-
pectivamente. Además, la curva está corrida: no comienza en el eje
vertical donde t = 0 y H = 12. Finalmente, el período no es el usual
de 2π = 360◦, sino de 365. Estas cuatro variaciones con respecto a la
función normal seno se deben a que estamos considerando la función:
s(x) = D +A sen(Bx+ C)
donde A, B, C y D son constantes y x la variable independiente.
Investiguemos cómo afectan cada uno de estos parámetros a la gráfica
básica de la función seno. Consideraremos ésto por separado.
Sea la función:
s(x) = D + sen x
El efecto de agregar una
constante D es levantar o
bajar la curva básica del
seno en esa cantidad. Por
ejemplo, el gráfico de
s(x) = 2 + sen x tiene la
misma forma del seno pero
se eleva 2 unidades hacia
arriba. Se centra en la recta
y = 2 y oscila entre 1 y 3.
El siguiente aspecto que investigaremos es el efecto de la constante
multiplicativa A en
s(x) = A sen x
1.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 25
Por ejemplo, si A = 2, en-
tonces tenemos el gráfico de
s(x) = 2 sen x mostrado en
la figura, comparado con la
curva básica de la función
seno. También vemos el
gráfico de t(x) = 1
2
sen x.
Notemos que mientras la función seno oscila entre −1 y 1, la fun-
ción transformada s(x) oscila entre −2 y 2 y la función transformada
t(x) lo hace entre −1/2 y 1/2. Es evidente que el efecto de multiplicar
la función seno por una constante A es incrementar su altura por un
factor | A |. Por ejemplo, el gráfico de
s(x) = −4 sen x
tiene la misma forma que la curva básica, pero su altura es el cuádru-
ple; ella se extiende verticalemente desde −4 a +4. Sin embargo, tiene
el mismo período (2π) y los mismos ceros (x = 0, ±π, ±2π, . . .) que
la curva básica de la función seno.
El parámetro A es conocido como la amplitud de la función seno.
En nuestra expresión para el número de horas de luz de día en Salta,
la amplitud es 2, 4.
¿Qué sucede cuando combinamos las dos operaciones? Por ejem-
plo, grafiquemos la función:
s(x) = 2 + 3 sen x
Vemos que el efecto de multiplicar la función seno por 3 es triplicar
su altura. Además, al sumar la constante 2 a la función se eleva toda la
curva dos unidades. Consecuentemente, el efecto combinado produce
26 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
una función sinusoidal centrada verticalmente sobre la recta y = 2,
que oscila 3 unidades sobre y bajo esta línea. Es decir, de −1 a 5
como muestra la figura:
Ahora consideremos el efecto que causa el parámetro B que mul-
tiplica a x en
s(x) = D +A sen(Bx+ C)
En particular, consideremos ahora la función:
s(x) = sen(2x)
y la comparemos con la curva básica, como se muestra en la figura.
1.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 27
Notemos que la curva sinusoidal resultante realiza dos ciclos com-
pletos entre x = 0 y x = 2π, comparada con un ciclo completo para
la curva de la función senobásica. Análogamente, el gráfico de
s(x) = sen(3x)
mostrado en la figura completa tres ciclos completos en el intervalo
desde 0 a 2π. En base a estos dos resultados podemos concluir que el
gráfico de
s(x) = sen(nx)
para cualquier entero positivo n, realizará n ciclos completos entre
x = 0 y x = 2π.
Sin embargo, ¿qué pasa si el factor B no es entero? Para inves-
tigar ésto consideremos los casos en los que B = 1
2
y B = 2, 5. Los
correspondientes gráficos se muestran en la figura siguiente.
Podemos ver que, en la primera figura, la curva sinusoidal completa
medio ciclo entre 0 y 2π y que se requiere, para x, un rango de valores
entre 0 y 4π para realizar un ciclo completo. Así, en la otra figura
vemos que la función desarrolla 21
2
ciclos completos entre 0 y 2π; por
lo tanto, realiza un ciclo completo en 2/5 de este intervalo.
El parámetro B en sen(Bx) es llamado la frecuencia de la función
sinusoidal. Ella nos muestra el número de ciclos completos que ocurren
entre x = 0 y x = 2π. Por ejemplo, la función sen(6x) realiza seis ciclos
28 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
completos dentro de este intervalo, mientras que la función sen
(
3
8
x
)
completa 3
8
de un ciclo.
El período de una función sinusoidal sen(Bx) es la longitud del
intervalo necesario para realizar un ciclo completo. Para sen(2x),
el período es π puesto que un ciclo completo se desarrolla en cual-
quier intervalo de valores de x de longitud π; para sen(3x), el período
es 1
3
(2π) = 2π/3; para sen(1
2
x), el período es 4π. En general, para
sen(Bx) para cualquier B, el período es:
Período =
2π
B
=
2π
frecuencia
En particular, para sen(2, 5x), el período es:
período =
2π
2, 5
= 0, 8π =
4π
5
puesto que ésta es la longitud del intervalo en el cual esta sinusoide
realiza un ciclo completo.
De manera similar, siempre que tenemos una función periódica el
período es la longitud del intervalo necesario para completar un ciclo.
Puesto que la curva del coseno se repite también cada 2π, vemos que
igualmente él tiene período 2π.
En nuestra expresión del número de horas de luz diarias en Salta:
H = 12 + 2, 4 sen
[
2π
(
t− 1.055
4
)
365
]
la frecuencia de la curva sinusoidal es:
frecuencia =
2π
365
= 0, 0172;
ella completa esta fracción de un ciclo para t entre 0 y 2π. El período
de la curva sinusoidal es:
período =
2π
frecuencia
=
2π
0, 0172
= 365 días;
1.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 29
así, como esperábamos, el período es un año.
Finalmente, consideremos el rol del parámetro C en:
s(x) = D +A sen(Bx+ C)
En la figura, mostramos el gráfico de s(x) = sen(x+ 1
4
π) comparado
con la curva básica. Notemos que ambas curvas sinusodales parecen
idénticas, pero una aparece como la transformada de la otra, tras
haberla corrido a la izquierda (hacia atrás) un octavo de un ciclo; esto
es, 1
8
de 2π o 1
4
π. Análogamente, la otra figura muestra el gráfico de
s(x) = sen(x− 1
3
π). Comparada con la curva básica, ésta parece haber
sido corrida hacia la derecha (hacia adelante) un sexto de un ciclo;
esto es, 1
6
de 2π = 1
3
π. Como consecuencia de ésto concluimos que el
parámetro C hace desplazar la curva, a la izquierda o a la derecha,
una cantidad C. Si C es positivo, la curva se corre a la izquierda y, si
es negativo, a la derecha. Este parámetro es llamado cambio de fase
para la curva sinusoidal. En nuestra expresión del número de horas de
luz diarias en Salta:
H = 12 + 2, 4 sen
[
2π(t− 1.055
4
)
365
]
el cambio de fase es:
−2π · 80
365
= −1, 377
30 CAPÍTULO 1. OTRAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL
El cambio de fase es el responsable de ajustar la curva a la derecha,
tomando en cuenta el hecho de que el 21 de marzo, el equinoccio de
invierno (cuando hay igual número de horas de día y de noche) es el
ochentavo día del año. En esta fecha, el gráfico de la función sinusoidal
corta la media o nivel promedio de D = 12 horas.
En la curva s(x) = D+A sen(Bx+C), vemos que cuandoBx+C =
0, x = −C
B
y cuando Bx+ C = 2π, x = 2π−C
B
= 2π
B
− C
B
. De aquí que
el cambio de fase venga dado por el número −C
B
.
Ejercicio 1.2.9 Encuentre el número de horas de luz día en Salta el
1 de enero, el 12 de febrero y el 4 de julio.
Ejercicio 1.2.10 En la localidad de Metrópolis, el número de horas
de luz día está dado por:
H(t) = 12 + 3, 6 sen
[
2π(t− 80)
365
]
(a) ¿Cuál es la amplitud de esta función?
(b) ¿Cuál es su período?
(c) ¿Cuántas horas de luz tiene el día más corto del año?
(d) ¿Cuántas el día más largo?
Ejercicio 1.2.11 El día más corto del año en Fairbanks, Alaska, tiene
3, 70 horas de luz día. Encuentre una ecuación para determinar el
número de horas de luz día en ese lugar en cualquier día del año.