Ejemplo P3

Vista previa del material en texto

/ UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
ANÁLISIS MATEMÁTICO I Tercer Parcial Fecha 11-12-2018 
 
 
I II III TOTAL 
25 45 30 100 
 
 
APELLIDO Y NOMBRE ................................................................................................... 
 
Especialidad:..........................................Comisión: ....................................................... 
Realizar un ejercicio por hoja. Trabajar en forma prolija y ordenada. 
Numerar todas las hojas sobre el total de hojas entregadas. En todas las 
hojas colocar: nombre, apellido y especialidad. 
 
 
Ejercicio I: 
a) Graficar y calcular el área encerrada dentro de ambas curvas dadas en coordenadas polares 
 𝜌1(𝜃) = 3 sen(𝜃) y 𝜌2(𝜃) =
3
2
. Hallar analíticamente las intersecciones necesarias. 
b) Graficar la región cuya área puede calcularse mediante las integrales 
𝐴 =
1
2
∫ 1𝑑𝜃
𝜋
𝜋
2
 − 
1
2
∫ (1 + cos (𝜃))2𝑑𝜃
𝜋
𝜋
2
. 
 
Ejercicio II: 
a) Determinar y Justificar la convergencia o divergencia de cada una de las siguientes sucesiones de 
término general : 
a1) 𝑎𝑛 = co s(𝑛𝜋) n=1,2,3,…….. 
a2) 𝑎𝑛 = 𝑛𝑠𝑒𝑛 (
1
𝑛
) n=1,2,3, …….. 
 
b) Determinar el intervalo de convergencia de la serie ∑
2𝑛(𝑥+2)𝑛
𝑛2
∞
𝑛=1 
c) Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 centrado en a=1, de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛(𝑥) 
 
Ejercicio III: 
a) Justificar la verdad o falsedad de las siguientes implicancias: 
 
a1) Si una sucesión numérica }{ na es acotada }{ na es convergente. 
a2) Si la serie 

=1n
na es convergente  𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0. 
a3) Sea 𝑎𝑛 > 0, podemos asegurar que si ∑ (−1)
𝑛𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge  ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge 
 
b) Definir suma parcial de una serie. Indicar cuándo una serie numérica es convergente.