2016-10-29

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 2do PARCIAL 29/10/2016 
 
 Tiempo máximo:3hs - Resolver UN problema POR HOJA, COLOCAR NOMBRE y COMISIÓN en C/ HOJA!! 
 
Problema 1 Puntos: 5 – 6 – 6 – 5 Total = 22 puntos 
 
A) Definir base y dimensión de un espacio vectorial. Ejemplificar para el espacio R2x2 de las matrices 2x2. 
B) Demostrar que H = ��� �� �� :		�, �	 ∈ 
� es un subespacio de R2x2. 
C) Hallar una base y la dimensión de H. Justificar. 
D) Proponer un conjunto generador de H de cuatro matrices y decir si puede ser una base de R2x2. Justificar. 
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Problema 2 Puntos: 6 – 6 – 7– 7 Total = 26 puntos 
 
A) Definir núcleo de una transformación lineal T: Rn�Rm. Si NuT =Rn, ¿cómo se llama T ? 
B) Si T: R3�R3 es una transformación lineal cuyo Núcleo es la recta x = y = – z. Determinar: 
 B1)¿Cuál es el valor de T� 11−1� ? B2) Una base ortonormal para el núcleo. 
C) Si además se sabe que T�100� = 	�
01−1� y T�
−110 � = 	�
1−11 �. Hallar T�
����. 
D) Determinar: la matriz estándar de T; una base y una ecuación cartesiana para la imagen de T e identificarla 
 geométricamente. OPCIÓN: Si no resolvió (C), responder (D) usandoT����� = 	�
2� + �� + �−� − ��. 
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Problema 3 Puntos: 6 – 4 – 12 Total = 22punt os 
 
A) Sea A una matriz de nxn. Demostrar que: A1)		� es valor propio (o característico) de A si y sólo si det(A – ��) = 0. 
 A2) 0 es valor propio de A si y sólo si A no es invertible. 
B) Sea � = �3/2 0 −3/2� −2 � 0 ! �, hallar una matriz diagonal D similar a A sabiendo que det(A) = 0 y �
−101 � es un vector 
 característico de A. 
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Problema 4 Puntos: 6 c/u Total: 30 puntos 
A) Demostrar: A 1) Tres vectores linealmente dependientes en R
3 son coplanares. 
 A2) Si A es semejante a B y B es semejante a C entonces A semejante a C. 
B) Decidir y justificar: 
 B1) La matriz�a b 00 a 00 0 a�	con b ≠ 0, ¿es diagonalizable? 
 B2)			�0 −11 0 �¿es la matriz estándar de una rotación de 90° en sentido antihorario? 
 B3) Si $%&, 	'%%%&, (%%& 	 ∈ ) son linealmente independientes entonces ¿$%& − '&, '& − (%%& y $%& − (%%&		también son li en )?