Ecuaciones Paramétricas

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Caṕıtulo 10
Ecuaciones paramétricas de Superficies y Curvas
Adriana Frausin
26 de mayo de 2016
Resumen
En este caṕıtulo se presentan y analizan ecuaciones paramétricas en
el espacio. El propósito es que el alumno logre no sólo identificar lugares
geométricos a partir de sus ecuaciones paramétricas sino también que
sea capaz de parametrizar superficies y curvas en el espacio para aplicar
luego al cálculo de áreas, volúmenes, flujos, centros de masa, etc . Estas
habilidades facilitarán a los alumnos el estudio del cálculo en varias
variables que se desarrollará en la asignatura Análisis Matemático II.
1. Introducción
Recordemos las ecuaciones paramétricas que ya conocemos en R3.
Para una recta que pasa por el punto fijo P0(x0, y0, z0) y es paralela al
vector ~u =
 u1u2
u3
 podemos escribir las siguientes ecuaciones paramétricas

x = x0 + u1t
y = y0 + u2t con t ∈ R
z = z0 + u3t
(1)
Ahora teniendo en cuenta que el espacio generado en R3 por dos vectores
linealmente independientes (o no paralelos) ~u y ~v, es un plano que pasa por
el origen de coordenadas y que contiene a dichos vectores, podemos escribir
una ecuación vectorial para este plano usando dos parámentros, t y s , de
la siguiente manera
1
 xy
z
 = t
 u1u2
u3
 + s
 v1v2
v3
 con t, s ∈ R (2)
Luego, igualando las componentes correspondientes, obtenemos sus ecua-
ciones paramétricas 
x = u1t+ v1s
y = u2t+ v2s con t, s ∈ R
z = u3t+ v3s
(3)
Ahora, un plano paralelo al anterior y que pasa por el punto P0(x0, y0, z0)
tendrá las siguientes ecuaciones paramétricas
x = x0 + u1t+ v1s
y = y0 + u2t+ v2s con t, s ∈ R
z = z0 + u3t+ v3s
(4)
Comparando (1) con (3) y (4), notamos que la cantidad de parámetros
es una de las diferencias entre las ecuaciones paramétricas de una recta y
las de un plano:
Lugar geométrico Cantidad de parámetros
Recta UN parámetro
Plano DOS parámetros
Cuadro 1: Para NO OLVIDAR
La cantidad de parámetros (o grados de libertad) también caracteriza
las ecuaciones paramétricas de cualquier curva y de cualquier superficie.
Veamos:
2. Cuádricas y Curvas en R3
Del cáṕıtulo anterior, sabemos que en R2 las ecuaciones paramétricas de
un circunferencia con centro en (h, k) y radio r fijo son{
x = h+ r cos t
y = k + r sin t con t ∈ [0, 2π) (5)
Ahora pensemos: Qué lugar geométrico representan en R3 las siguien-
tes ecuaciones paramétricas?
2

x = r cos t con r fijo
y = r sin t con t ∈ [0, 2π)
z = s con s ∈ R
(6)
Notemos que: El parámetro s está asignado únicamente a la variable z,
es decir que z es una variable LIBRE y esto significa que z no aparecerá en
la ecuación impĺıcita correspondiente a este lugar geométrico. En efecto,
al eliminar el parámetro t de las dos primeras ecuaciones (elevando ambos
miembros al cuadrado y luego sumando miembro a miembro) obtenemos
x2 + y2 = r2 (7)
Figura 1: Superficie ciĺındrica circular con generatriz paralela al eje z
Observación: Notemos que las ecuaciones paramétricas (6) nos dicen
que en cada plano z = s se recorre una circunferencia de radio r y centro
en (0, 0, s), para todo s ∈ R. Por otra parte, las ecuaciones cartesianas que
describen estas circunferencias en cada plano z = s fijo son{
x2 + y2 = r2
z = s
(8)
Justamente, este sistema de ecuaciones expresa la curva intersección de
la superficie ciĺındrica (7) con el plano z = s. Comparando (7) y (8) notamos
una caracteŕıstica que diferencia las ecuaciones cartesianas de superficies y
curvas en el espacio, que podemos expresar en el Cuadro 2 de la página
siguiente.
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Lugar geométrico Cantidad de ecuaciones cartesianas
Superficie UNA ecuación
Curva DOS ecuaciones
Cuadro 2: Para NO OLVIDAR 2
Seguimos pensando: Si ahora modificamos las ecuaciones de (6) de
manera que z vaŕıe junto con el parámetro t (ángulo de giro), las ecuaciones
paramétricas ahora tienen un sólo parámetro. Qué lugar geométrico descri-
ben estas ecuaciones?
Una ayuda: primero pensar si es una superficie o una curva. Observar,
además, que z aumenta con t, es decir, aumenta según se gira.
x = r cos t con r fijo
y = r sin t con t ≥ 0
z = t
(9)
Esta curva es una hélice llamada Hélice ciĺındrica ya que está incluida
en la superficie ciĺındrica (6). Es, efectivamente, la curva que describe un
punto de la hélice de un avión cuando este vuela en ĺınea recta, donde r es
el radio de giro de la espiral.
La gráfica de esta hélice puede verse en la Figura 2 que sigue
Figura 2: Hélice ciĺındrica
En general, la variable z puede estar definida como un múltiplo del
parámetro t , o sea z = kt. Al variar k las espiras se aprietan más o menos.
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Más aún, el argumento t de las funciones seno y coseno puede ser un múlti-
plo de t, de manera que las ecuaciones paramétricas más generales para una
hélice ciĺındrica son : 
x = r cosωt con r fijo
y = �r sinωt con t ≥ 0
z = kt
(10)
En cuyo caso seŕıa ω el ángulo girado por unidad de tiempo,t es el tiem-
po y k es el avance en el sentido z por unidad de tiempo, � = ±1 según el
sentido sea antihorario (+1) u horario (−1).
Actividad 1: Modifica las ecuaciones de (9) de manera que r también
vaŕıe junto con el ángulo de giro t. Qué lugar geométrico se obtiene? Por qué?
Ahora debemos preguntarnos: qué papel juega el parámetro t sustitu-
yendo al radio constante de la hélice ciĺındrica en las ecuaciones?
x = t cos t
y = t sin t con t ≥ 0
z = t
(11)
Notamos que al girar con t se sube también con z y, el radio que comien-
za siendo 0 va aumentando, por lo cual esta hélice está contenida en una
superficie cónica y se la llama hélice cónica. La gráfica de esta hélice puede
verse en la Figura 3 que sigue
Figura 3: Hélice cónica
Actividad 2: Cómo deben modificarse las ecuaciones paramétricas de
5
la hélice cónica anterior, si se desea obtener las ecuaciones paramétricas de
la superficie cónica que la contiene? Por qué?
Lo primero que debemos notar es que para describir una superficie ne-
cesitamos dos parámetros. Entonces nos preguntamos: Cuál es el parámetro
que debemos independizar?
Es el ángulo de giro el que debe variar entre 0 y 2π para recorrer todos
los puntos de una circunferencia de radio 0 ≤ s ≤ +∞ en cada plano z = s.
Entonces, podemos proponer las siguientes ecuaciones paramétricas para la
superficie cónica que contiene la hélice cónica dada en (11)
x = s cos t
y = s sin t con t ∈ [0, 2π)
z = s con s ∈ R
(12)
Conclusión: Generalizando el Cuadro 1 para caracterizar las ecuaciones
paramétricas en el espacio, tenemos:
Lugar geométrico Cantidad de parámetros
Ĺınea (Recta o Curva) UN parámetro
Superficie (Plano o Cuádrica) DOS parámetros
Cuadro 3: Para RECORDAR
Finalmente, notemos que de las últimas ecuaciones paramétricas (12) es
posible eliminar ambos parámetros, s y t, para obtener la ecuación impĺıcita
de la superficie cónica
x2 + y2 = z2 (13)
Según lo ya estudiado en el caṕıtulo anterior, podemos describir a esta
superficie cónica como la generada por una recta que pasa por el origen de
coordenadas y recorre la circunferencia de radio 1 y centro en (0, 0, 0) en el
plano z = 1, llamada directriz de la superficie cónica, y cuyas ecuaciones
son {
x2 + y2 = 1
z = 1
(14)
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3. Ejercicios propuestos:
1. Hallar una ecuación impĺıcita para la superficie dada por las siguientes
ecuaciones paramétricas. Identificar y graficar.
x = s cos t con 0 ≤ s <∞
y = s sin t con 0 ≤ t ≤ 2π
z = s2
(15)
2. (a) Sabiendo que r > 0 es un valor fijo en las siguientes ecuaciones,
eliminar los parámetros ϑ y ϕ, identificar y graficar
x = r cosϑ sinϕ con r fijo
y = r sinϑ sinϕ con 0 ≤ ϑ < 2π
z = r cosϕ con 0 ≤ ϕ ≤ π
(16)
(b) Si r también vaŕıa tomando valores en el intervalo cerrado [0; 1],
de qué lugar geométrico se trata? Y si r ≥ 0 ?
3. Identificar, graficar y parametrizar las siguientes superficies:
(a) x2 + y
2
4 +
z2
9 = 1 (b) x
2 + y
2
4 = (z − 1)
2
4. Una part́ıculase mueve siguiendo una trayectoria dada por
x = t
y = 2
z =
√
2− t2
(17)
Determinar el rango de valores posibles para el parámetro t y graficar
dicha trayectoria.
5. Demostrar que 2π
√
k2 + r2 es el valor de la longitud de una espira de
la hélice ciĺındrica 
x = r cos t con r fijo
y = r sin t con t ≥ 0
z = kt
(18)
Ayuda: Suponer la hélice dibujada sobre un cilindro que cortamos por
una de sus generatices y luego desenrollamos.
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Referencias
1. de Guzmán M. y Cólera J. Matemática I. COU. Grupo Anaya S.A.
Madrid (1988)
2. Smith R. Minton R. Cálculo. Vol. 2. 2a edición. Mc Graw Hill. México
(2003)
3. Stewart J. Cálculo Multivariable. 4a ed Thomson. México (2002)
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