P2-25-06-11

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 2do PARCIAL 25/06/2011 
 Tiempo máximo: 2 hs y media. Resolver un problema por hoja 
 
Problema 1 Puntos: a) 5 – b) 6 - c) 3 - 3 - 3 
a) Obtener una ecuación cartesiana para el lugar geométrico descrito por los puntos del 
plano que satisfacen las siguientes ecuaciones paramétricas 
 +∞<<∞−





=
−=
t
t
y
t
x
2
4
8
2
 
b) Graficar el lugar geométrico de (a) indicando su lado recto y dos de sus elementos 
geométricos. 
c) Indicar en cada caso los lugares geométricos que representaría la ecuación de 
segundo grado Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 si: 
 c1) A = C 0≠ c2) signo(A) ≠ signo(C) c3) A 0≠ , C = 0 y E 0≠ 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Problema 2 Puntos : a) 5 – 15 - b) 10 
a) Dada la siguiente ecuación 3x2 – y2 + 9z2 – 54z + 72 = 0, se pide: 
a1) Completar cuadrados para obtener una ecuación en forma ordinaria 
a2) Determinar y describir sus intersecciones con los planos coordenados yz , xz y 
con los planos y = ± 3. Esbozar la gráfica de la superficie resultante. 
b) Escribir ecuaciones paramétricas para la superficie cilíndrica con generatriz paralela 
al eje z, cuya directriz es la circunferencia 



=
=+
0
1x 22
z
y
. ¿Cuál es la ecuación de esta 
superficie en coordenadas cilíndricas? 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Problema 3 Puntos : a) 4 b) 4 – 4 – 8 
a) Proponer un subconjunto de R2 que sea cerrado bajo la suma pero no bajo la 
multiplicación por un escalar ¿es un subespacio de R2? Justificar. 
b) Sea H = {(x,y,z)∈R3 : y.z = 0}, se pide : 
 b1) Escribir H como unión de dos subespacios de R
3 (es decir, determinar los dos 
 subespacios H1 y H2 tales que H = H1 ∪ H2) 
 b2) Decidir si H es un subespacio de R
3. Justificar. 
 b3) Determinar H1 ∩ H2 y demostrar que es un subespacio de R
3 (si no respondiste b1, 
 demuestra el Teorema: Si H1 y H2 son subesp. de V ⇒ H1 ∩ H2 es subesp. de V) 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Problema 4 Puntos: 6 c/inciso. Decidir por verdadero o falso justificando la respuesta 
a) La matriz 










c
b
da
00
00
0
 tiene columnas linealmente independientes para Rdcba ∈,,, . 
b) El espacio generado por los vectores i + j + k y -i + 3k es el plano 3x – 4y + z = 0. 
c) El conjunto 


















5
2
,
3
1
es una base de R2. 
d) 




 −
01
11
 es la matriz de transición de la base B1= {i, j} a la base B2= {-j, i + j}. 
e) Si {u, v, w}es linealmente independiente entonces {v – w, u – w, u – v} también es li.