4-Integracion_numerica

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CALCULO AVANZADO – MODULO IV 
 
INTEGRACION NUMERICA – VERSION REDUCIDA 
 
Si bien existen distintos métodos para aproximar una integral definida, consideraremos 
solo las llamadas Fórmulas Cerradas de Newton Cotes. 
Sea ∫
b
a
dxxf )( . 
Elegimos en el intervalo [a,b], n valores equiespaciados: 
a = x1 , x2 = x1 + h, x3 = x2 + h, …… xn = xn-1 + h = b 
 
Utilizando la función integrando y = f(x), construimos la tabla: 
 x1 x2 x3 …… xn 
 f(x1) f(x2) f(x3)…..f(xn) 
 
y generamos el Polinomio de Lagrange, P(x), que pasa por esos puntos. Luego 
aproximamos ∫
b
a
dxxf )( por ∫
b
a
dxxP )( , es decir: 
∫
b
a
dxxf )( ≈ dx
x
y
xx
x
i
b
a
n
i
ji
n
ijj
j
n
ijj
∫∑
Π
Π
=
≠=
≠=
−
−
1
,1
,1
)(
)(
 (**) 
Como x1= a 
 x2 = a+h 
 x3 = a+2h 
 ………. 
 xi = a + (i-1)h 
 ……… 
 xj = a + (j-1)h 
 ………. 
 xn = a + (n-1)h = b 
Podemos hacer un cambio de variable: x = a + (t-1)h 
Con lo que: los nuevos extremos de la integral serán: 
Cuando x = a entonces t =1 y cuando x = b entonces t = n. 
dx = h.dt 
Además x – xj = a + (t-1)h –a – (j-1)h = (t – j)h 
Similarmente xi – xj = (i – j)h. Reemplazando en (**) 
∫
b
a
dxxf )( ≈ dth
hji
hjt
y
i
n n
i
n
ijj
n
ijj .
)(
)(
1 1
,1
,1
∫∑
Π
Π
=
≠=
≠=
−
−
 
Notemos que 
1−
−=
n
ab
h y recordemos que la “la integral de una suma es igual a la suma 
de las integrales, por lo que podemos escribir lo anterior como: 
∫
b
a
dxxf )( ≈ dt
ji
jt
n
ab
n
n
ijj
n
ijj
n
i
i
y ∫
Π
Π
∑
−
−
−
−
≠=
≠=
= 1
,1
,1
1 )(
)(
1
1
)( 
Notemos algo muy importante: Supongamos que n = 3 y analicemos para cada valor de 
“i” la expresión : dt
ji
jt
n
n
n
ijj
n
ijj
∫
Π
Π
−
−
−
≠=
≠=
1
,1
,1
)(
)(
1
1
 que aparece en la fórmula anterior. 
Si i = 1 tenemos : 
=
−−
−−
− ∫
dt
tt3
1 )31)(21(
)3)(2(
13
1 =
+−
∫ dt
tt3
1
2
2
65
2
1 =








+−
3
1
23
6
234
1 5 ttt 1/6 (por Barrow) 
 
Similarmente, podemos obtener para i = 2 el valor 4/6, y para i = 3 , el valor 1/6. 
 
Para poder calcular estos valores no utilizamos en ningún momento los valores de la 
función a integrar, ni los extremos de la integral, por lo que para distintos valores de “n” 
los mismos pueden ser tabulados para cada valor de “i”. Si los llamamos In,i tenemos 
entonces que: 
 
∫
b
a
dxxf )( ≈ Iy in
n
i
i
ab
,
1
)( ∑
=
− Que es la fórmula cerrada de Newton-Cotes para 
una determinada elección de “n”. Donde el valor de cada In,i se tiene en la sigte tabla, 
 
TABLA DE In,i 
 
n i = 1 i=2 i=3 i=4 i=5 
2 1/2 1/2 
3 1/6 4/6 1/6 
4 1/8 3/8 3/8 1/8 
5 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90 
 
 
OBSERVACIONES 
 
1) En la fórmula obtenida solo aparecen los extremos de la integral y los valores de las 
imágenes de la función integrando, (además de los valores tabulados) por lo que si sólo 
tenemos una tabla de valores de la función y no su expresión analítica, igual podemos 
aproximar el valor de la integral. 
 
2) Se puede demostrar que si se conoce la expresión analítica, una cota del error está 
dada por: Rmáx n
m
baX
xfE .)( )2(
],[∈
≤ , donde 2m = n si n es par, y 2m = n+1 si n es impar. 
 
Los valores de Rn también están tabulados. 
 
TABLA DE Rn 
n 2 3 4 5 
 
12
3
h− 
90
5
h− 
80
3
5
h− 
945
8
7
h− 
 
 
3) Notemos que si la derivada de orden 2m de la función es cero, la aproximación es 
exacta, y si es una constante podemos calcular el error cometido en forma exacta. 
 
4) De un estudio de las fórmulas de error puede llegarse a conclusiones cualitativas que 
expresan una tendencia no uniforme con respecto al crecimiento de n . El error decrece 
hasta un cierto valor de n y luego vuelve a aumentar y se hace incontrolable. Esto hace 
preferible el uso de fórmulas con n relativamente bajo en forma sucesiva dentro del 
intervalo considerado. 
 
5) Una de las fórmulas más utilizadas es la de n = 3, conocida como FORMULA DE 
SIMPSON. La fórmula para n = 2, se conoce como METODO DE LOS TRAPECIOS. 
 
EJEMPLO : Aproximar � �x + lnx�dx	
 	,		aplicando la fórmula de Simpson con nueve 
puntos como datos y calcular la cota para el error. 
 
Solución: 
Construimos la tabla para los 9 puntos equiespaciados en el intervalo [1,9] 
x y 
1 1 
2 2.69314718 
3 4.09861229 
4 5.386294361 
5 6.609437913 
6 7.79175947 
7 8.94591015 
8 10.07944154 
9 11.19722457 
 
Como tenemos 9 puntos y en la Fórmula de Simpson sólo intervienen tres, podemos 
expresar la integral como suma de 4 integrales, de la siguiente manera 
 

 �x + lnx�dx = 
 �x + lnx�dx
�
	
+
 �x + lnx�dx
�
�
+
 �x + lnx�dx
�
�
+
 �x + lnx�dx
	
�
 
 
y aplicar en cada una de las cuatro integrales que aparecen a la derecha las fórmulas de 
Simpson correspondientes, tanto para el cálculo de la integral como para la cota del 
error (este procedimiento se conoce como Regla compuesta de Simpson). 
 
� �x + lnx�dx ≈ �3 − 1��y
	I�,
 +	
 y�	I�,� + y�	I�,�� + �5 − 3��y�	I�,
 + y�	I�,� + y�	I�,�� +																																�7 − 5��y�	I�,
 + y�	I�,� + y�	I�,�� + �9 − 7��y�	I�,
 + y 	I�,� + y		I�,�� 
 
como I3,1= I3,3 = 1/6 y I3,2 = 4/6 , tendremos 
 

 �x + lnx�dx ≈ 2[16 �y
 + 2y� +
	
2y� + 2y� + y	� + 46 �y� + y� + y� + y �] = &'. )*+,-./+ 
 
Cota de error: el error de la suma será menor o igual que la suma de los errores, por lo 
que calculamos la cota en cada una de las cuatro integrales con h=1 y 012�3� = − �45, 
															|7| ≤ 
	9 �6 + 0.074 + 9.6 × 10<� + 2.5 × 10<�� = =. =*)* 
 
 
 
 
Ejercicios propuestos: 
 
1. Aproximar las siguientes integrales definidas, obtener una cota para el error 
cometido y comparar con el error real, aplicando 
a) Fórmula de los Trapecios (fórmula cerrada de Newton-Cotes para n=2) 
b) Fórmula de Simpson (fórmula cerrada de Newton-Cotes para n=3) 
>
 = 
 3�?<4@3				; 				>� =	
 ?�4B?C	23	@3
D/�
9
9
 
 
 
 Rta: a) I1 = 0.1839397 ; I2 = 4.1432597 b) I1 = 0.16240168 ; I2 = 2.5836964 
 
2. Si se sabe que con la fórmula del trapecio se obtiene que � 0�3�@3	 ≈ 4	�9 y con 
la fórmula de Simpson, � 0�3�@3 ≈ 2	�9 		.	 Determinar, si es posible, cuál es el 
valor de f(1)? 
 Rta: 0.5 
 
3. Demostrar que el error en la Regla compuesta de Simpson puede aproximarse 
por medio de 
F<G
 9 ℎ�max4K[G,F]L012�3�L , donde ℎ =
F<G
M<
 y N es la cantidad 
de puntos considerados en el intervalo [a,b]. 
 
 
4. ¿Cuántos puntos se deberán tomar en el intervalo [1,2] para garantizar que la 
aproximación de la Regla de Simpson para � N44
�
 sea exacta con una diferencia 
menor que 0.0001? Rta: 9 
 
 
5. Determinar la cantidad de puntos N y el valor de h que se requieren para 
aproximar � N44O�
�
9 con una exactitud de 10
-4 usando la regla compuesta de 
Simpson y calcular la aproximación. Rta: N=5, h= 0.5 
 
 
 
Bibliografía: Burden, R. y Faires J.D “Análisis Numérico” (2002)