(práctica) Integración numérica

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Cálculo numérico 
Bernal Sergio 
 
 
INTEGRACIÓN NUMÉRICA 
 (Modelo de práctica) 
 
(Es conveniente entender la teoría ya existente en el campus​) 
Ejercicio modelo: 
 Hallar un valor aproximado de la siguiente integral definida por el método de NEWTON-COTES. 
 = d∫
2
1
f (x) x d∫
2
1
x
1
x 
Formas de resolución: 
.) ÁLCULO CON n (TRAPECIO) 1 − C = 2 
.) ÁLCULO CON n 2 − C = 3 (SIMPSON ) 
 
En cualquiera de los posibles tipos de cálculo partimos de la fórmula cerrada de Newton-Cotes: 
≈ d ∫
b
a
f x x (b )− a I∑
n
i=1
yi n,i 
Resolución: 
a) Búsqueda de valores de (Utilizar tabla de teoría)In,i 
Vemos que para: 
● n=2 (trapecio)→ = ; =I2,1 2
1 I2,2 2
1 
● n=3 (Simpson)→ = ; = ; =I3,1 6
1 I3,2 6
4 I3,3 6
1 
b) Valores de = f (x)i yi 
 = = 1 f (a) f (1) 
 = = = 0.5 f (b) f (2) 2
1 
 = (punto equidistante que utilizaremos en el cálculo por simpson) f (1.5) 3
2 
 
 ≈ = 1 =​ ​0.75) A 1 Trapecio (2 )− 1 y I I( 1 2,1 + y2 2,2) 1 ( 21 + 21 21) 
 ≈ = 1 = )A2 Simpson (2 )− 1 y I I I( 1 3,1 + y2 3,2 + y3 3,3) 1 ( 61 + 32 64 + 21 61) 3625 
Los resultados obtenidos en 1) y en 2) poseen errores, a estos errores los tengo que acotar, es decir expresar el valor 
real dentro de un intervalo de valores. 
Aplicando la fórmula dada en teoría: 
 
 
 ≤ . Donde si n es par → 2m = n si n es impar → 2m = n+1ε| | f || (x)
(2m) |
| máx R| n| 
 (de tabla) si n = 2 → = - si n = 3 → - Rn Rn h
3
12 Rn
h5
90 
 
 
 
 
 
Continuamos con 1) : 
Error en cálculo con fórmula del trapecio (n=2) (n:par→2m=n=2) 
Cálculo auxiliar: 
 = → = = = 2 f (x) x−1 f
,
(x) (− )1 x
−2 f → ,,
(x) (− )1 (− )2 x
−3 x−3 
Entonces: 
 = = = 2 f
|
|
|
,,
(x)
|
|
|máx en I(1,2)
 f
|
|
|
,,
(1) 
|
|
|
2
13 
 = = = (siempre h = )R| n| ||
h3
12
|
|
|
|
13
12
|
|
1
12 n−1
b−a 
 ≤ 2 = = 0.16666 ⇒ ε| | 112 6
1 
 ≤ 075+0.166660.75 .16666≤ A ⇒ − 0 T 
 ​≤​ ​0.91666.58334 ≤ 0 At 
 
Continuando con 2) : 
Error en el cálculo con fórmula de simpson (n=3) (n: impar→ 2m = n+1) 
Cálculo auxiliar: 
 = 2 = -6 → = f (x)
III ,, (− )3 x−4 x −4 f (x)
IV (− )6 (− )4 x−5 
Entonces: 
 = = = 24 f||
IV
(x) 
|
|máx en I(1,2) f 
|
| (1)
IV |
| 1
24 
 = = = ( en este caso: h = = 0.5)R| n| ||
h5
90
|
|
|
|
| 90
(0.5)5 ||
|
1
2880 3−1
2−1 
 ≤ 24 = = 0.00833⇒ ε| | 12880
1
120 
 - ≤ +⇒ 36
25 1
120 36
25 1
120 
 ≤ 0.70277.686110 ≤ A 
 
Lo interesante en este tipo de cálculos es poder controlar el error, de tal forma que los resultados obtenidos sean 
aceptables para utilizarlos en el problema a resolver. Cuanto mayor sea el número n sabemos que más aproximado 
es el resultado al valor real. Sumaremos entonces varios cálculos realizados con el método simpson ,y en 
consecuencia con un número de n que resulta de aplicar la fórmula de simpson compuesta lograremos nuestro 
objetivo. 
La ecuación a aplicar es: 
cota ≥ siendo: y n siempre impar.ε| | 180
(b−a) h4 f|| (x)
IV |
|máx en I(a,b) n−1
b−a 
(No está en teoría, la llamamos ecuación de simpson compuesta). 
 
Ejemplo modelo: 
 Resolución del mismo problema dando como error admisible = 0.001ε| | 
Aplicando la ecuación: 0.001 ≥ 24 180
(2−1) 
(n−1)4
(2−1)4
 
⇒ ≥ 24 + 1 =4.39 Adopto n = 5 ( en consecuencia h= = 0.25)(n )− 1 4 1180
1
0.001 n ≥ ⇒ √4 240.180 ⇒ 41 
Datos para : = 1; = = ; = = A1 y1 y2
1
1.25 5
4 y3 11.5 3
2 
 
Datos para : = ; = ; = A2 y3 3
2 y4 7
4 y5 2
1 
 = + = + As comp A1 A2 ∫
1.5
1
x
dx ∫
2
1.5
x
dx 
= + Asc (1.5 )− 1 1( 61 + 54 64 + 32 61) (2 .5)− 1 ( 32 61 + 74 64 + 21 61) 
 = = 0.69325397Asc 2520
1747 
.001 ≤ A ≤ .0012520
1747 − 0 2520
1747 + 0 
0.692 ≤ A ≤ 0.694 
 
Gráficas: 
 
 
Fig 1 – ​Área aproximada por trapecio. Fig 2 –​ Área aproximada por simpson (función parabólica) 
 
 
 
Fig 3 – ​Área aproximada por simpson compuesta (dos funciones parabólicas)