integracion numerica

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Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el
Análisis de Señales
Docentes: Cavalieri Federico - Contini Liliana
Ayudantes: Fabio Tibaldo - Maciel Martı́n
INTEGRACION NUMERICA
October 1, 2014
mailto:cavafede@gmail.com
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
Motivación
La integración numérica se usa para evaluar valores aproximados de
integrales que no pueden calcularse analı́ticamente. Por ejemplo:
I =
∫ x
0
t3
et − 1
dt
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
La integración numérica se usa cuando se dispone de una función
tabulada donde los valores de x de y f(x) están dados como un
conjunto discreto de puntos, lo cual es el caso cuando se tienen
datos experimentales de campo.
Un topógrafo podrı́a necesitar saber el área de un campo limitado por
una corriente zigzagueante y dos caminos.
Un ingeniero en hidráulica tal vez requiera conocer el área de la sección
transversal de un rı́o.
Un ingeniero en estructuras quizá necesite determinar la fuerza neta
ejercida por un viento no uniforme que sopla contra un lado de un
rascacielos.
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
FORMULAS CERRADAS DE
NEWTON-COTES
Si he hecho descubrimientos invaluables ha sido más por tener
paciencia que cualquier otro talento.
Isaac Newton.
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
Cuadratura Numérica
Utilizaremos las fórmulas de Newton-Cotes para derivar los esquemas
de integración más comunes.
La estrategia de Newton-Cotes se basa en reemplazar una función
complicada por un polinomio más fácil de integrar.
I =
∫ b
a
f(x)dx ∼=
∫ b
a
Pn(x)dx =
n∑
i=0
aif(xi)
donde Pn(x) es un polinomio de grado n, ai son denominados pesos
y los xi se llaman nodos de integración o de cuadratura.
Al término:
n∑
i=0
aif(xi)
se lo conoce como cuadratura numérica. La integral exacta se
puede escribir como:
I =
∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
Pn(x)dx + E(f) =
n∑
i=0
aif(xi) + E(f)
donde E(f) es el error de truncamiento.
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
Regla del Trapecio
Primero seleccionamos un conjunto de nodos distintos {x0, x1 . . . , xn}
igualmente espaciados del intervalo de integración [a, b].
La regla del trapecio se forma con un polinomio interpolante de
Lagrange de grado 1. Por ejemplo, el polinomio interpolador lineal para
los puntos x0, x1 es:
P1(x) =
1∑
i=0
f(xi)L1,i(x) =
x− x1
x0 − x1
f(x0) +
x− x0
x1 − x0
f(x1)
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
A1 =
∫ x1
x0
f(x)dx =
∫ x1
x0
P1(x)dx +
∫ x1
x0
E1(f)dx =
=
∫ x1
x0
1∑
i=0
f(xi)L1,i(x)dx +
∫ x1
x0
E1(f)dx =
=
1∑
i=0
f(xi)
∫ x1
x0
L1,i(x)dx +
∫ x1
x0
E1(f)dx⇒
El área A1 resulta
A1 =
1∑
i=0
aif(xi) +
∫ x1
x0
E1(f)dx
donde los pesos se calculan como
ai =
∫ x1
x0
L1,i(x)dx para i = 0, 1
y el error local está dado por
E1(f) =
∫ x1
x0
f (n+1)(ξ(x))
(n + 1)!
n∏
i=0
(x−xi) =
∫ x1
x0
(x−x0)(x−x1)
f2(ξ(x))
2
dx
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
Fórmula General
a0 =
∫ x1
x0
L1,0(x)dx =
∫ x1
x0
(x− x1)
(x0 − x1)
dx =
x1 − x0
2
=
h
2
a1 =
∫ x1
x0
L1,1(x)dx =
∫ x1
x0
(x− x0)
(x1 − x0)
dx =
x1 − x0
2
=
h
2
Por lo tanto el A1 será
A1 ≈ a0f(x0) + a1f(x0) =
h
2
[f(x0) + f(x1)]⇒ Fórmula del trapecio
El área total en el intervalo [a, b] de f(x) se obtiene como
A ≈
n∑
i=0
Ai = h
[f(x0) + f(x1)]
2
+h
[f(x1) + f(x2)]
2
+. . .+h
[f(xn−1) + f(xn)]
2
o agrupando términos
A ≈ h
2
[
f(x0) + f(xn) + 2
n−1∑
i=1
f(xi)
]
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
Análisis del Error
E1(f) =
1
2
∫ x1
x0
f2(ξ(x))(x− x0)(x− x1)dx
Por el Teorema del Valor Medio ponderado para integrales
f2(ξ(x)) = f2(ξ)
E1(f) =
f2(ξ)
2
∫ x1
x0
(x− x0)(x− x1)dx = −
h3
12
f2(ξ)
El error local es de orden h3. Luego, f2(ξ) nos indica que la regla del
trapecio da un resultado exacto cuando se aplica una función cuya
derivada segunda sea cero, es decir, cualquier polinomio de grado
1 o menor. El error global será:
E =
n∑
i=0
Ei(f) =
h3
12
n∑
i=0
f2(ξi) ≤ n
h3
12
max‖f2(ξ)‖ a ≤ x ≤ b
Teniendo en cuenta que hn = b− a
E ≤ h
2
12
(b− a)max‖f2(ξ)‖ a ≤ x ≤ b
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
Regla de Simpson
Se obtiene al integrar en [a, b] el segundo polinomio de Lagrange,
P2(x) =
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
f(x0) +
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
f(x1)+
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
f(x2)
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
El área debajo del polinomio entre los puntos x0, x2 es
A1 =
2∑
i=0
aif(xi)+
∫ x2
x0
E1(f)dx con ai =
∫ x2
x0
L2,i(x)dx para i = 0, 2
Luego, teniendo en cuenta que los puntos están igualmente
distanciados en h,
x2 − x0 = 2h→ x0 = x2 − 2h
x2 − x1 = h→ x1 = x2 − h
Los factores de peso resultan,
a0 =
∫ x2
x0
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
dx =
h
3
a1 =
∫ x2
x0
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
dx =
4
3
h
a2 =
∫ x2
x0
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
dx =
h
3
y el error
E1(f) = f3(ξ)
∫ x2
x0
(x− x0)(x− x1)(x− x2)
6
dx = 0
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
Reemplazando los valores calculados, se tiene el área A1
A1 ≈
2∑
i=0
aif(xi) +
∫ x2
x0
E1(f)dx =
h
3
[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)] + 0
Notar que el error dio 0. Para tener una estimación del error,
tomamos un punto más, esto es,
E1(f) = f3(ξ)
∫ x2
x0
(x− x0)(x− x1)(x− x2)(x− x3)
4!
dx =
h5
90
f4(ξ)
Luego, el error global será
E =
n∑
i=0
Ei(f) =
h5
90
n∑
i=0
f4(ξi) ≤ m
h5
90
max‖f4(ξ)‖ a ≤ x ≤ b
Teniendo en cuenta que hn = b− a y m = n/2
E ≤ h
4
180
(b− a)max‖f4(ξ)‖ a ≤ x ≤ b
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
La regla de Simpson es más exacta de lo esperado. En lugar de ser
proporcional a la tercera derivada, el error es proporcional a la cuarta
derivada. En otras palabras,
La regla de Simpson
proporciona resultados exactos para polinomios cúbicos aun
cuando se utilice una parabola.
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
El área total en el intervalo [a, b] de f(x) se obtiene como
o agrupando términos
A ≈ h
3
[E + 4I + 2P ]
Donde, si n es par
Valores correspondientes a los puntos Extremos:
E = f(a) + f(b)
Valores correspondientes a los puntos Impares:
I =
n/2∑
j=1
f(x2j−1)
Valores correspondientes a los puntos Pares:
P =
n/2−1∑
j=1
f(x2j)
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CUADRATURA DE
GAUSS-LEGENDRE
No es el conocimiento, sino el acto de aprendizaje; y no la posesión,
sino el acto de llegar a ella, lo que concede el mayor disfrute.
Carl Friedrich Gauss
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
Motivación
La regla del trapecio utiliza la siguiente expresión para evaluar una
integral
I ≈ h
2
[f(x0) + f(x1)]
Debido a que la regla del trapecio necesita los puntos extremos,
existen casos como el de la Figura a) donde la fórmula puede dar un
gran error.
Si tuvieramos la libertad de evaluar el área bajo una lı́nea recta que
uniera dos puntos ubicados en forma inteligente, definirı́amos una
lı́nea recta que equilibrara los errores negativos y positivos.
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Polinomios de Legendre
Antes de empezar con la demostración, es necesario recurrir a los
polinomios de Legendre.
La expresión general de los polinomios de Legendre son:
φj(x) =
j!
(2j)!
dj
dxj
(x2 − 1)j
φ0(x) = 1 φ1(x) = x φ2(x) = x2 −
1
3
φ3(x) = x3 −
3x
5
∫ 1
−1
φi(x)φj(x)dx = 0 si i 6= j
∫ 1
−1
φi(x)φj(x)dx > 0 si i = j
Indicándonos que φj(x) son ortogonales.
IntroducciónNewton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
Teorema
Si P2n−1(x) es un polinomio de grado 2n− 1, entonces la fórmula∫ b
a
P2n−1(x)dx =
n∑
j=0
ajP2n−1(xj)
es exacta si los puntos xj (j = 0, 1, . . . , n) son los ceros del polinomio
ortogonal de Legendre φn y las aj son los pesos.
Comparación del método de Gauss-Legendre con Trapecios y
Simpson
Método Puntos n Máximo Grado: Int. exacta
Trapecios 2 1
Simpson 3 3
Gauss-Legendre 2 3
Gauss-Legendre 3 5
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Demostración
El polinomio P2n−1 puede escribirse en la forma
P2n−1(x) = qn−1(x)φn(x) + rn−1(x)
donde qn−1(x) y rn−1(x) son los polinomios de grado máximo n− 1.
Puesto que las xj (j = 0, 1, . . . , n) son los ceros de φn(x), esto es:
(φn(xj) = 0) se desprende que,
P2n−1(xj) = qn−1(xj)φn(xj) + rn−1(xj) = rn−1(xj)
Conisedérese ahora
I(P2n−1) =
∫ b
a
P2n−1dx =
∫ b
a
qn−1(x)φn(x)dx + rn−1(x)dx
=
∫ b
a
qn−1(x)φn(x)dx +
∫ b
a
rn−1(x)dx
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
qn−1(x) y rn−1(x) tiene representación única (Atkinson/Harley) si
qn−1(x) =
n−1∑
j=0
γjφj(x) rn−1(x) =
n−1∑
j=0
βjφj(x)
es decir qn−1(x) y rn−1(x) se forma como una combinación lineal de
funciones ortogonales hasta grado n− 1. Entonces
I(P2n−1) =
∫ b
a
n−1∑
j=0
γjφj(x)φn(x)dx +
∫ b
a
rn−1(x)dx =
∫ b
a
rn−1(x)dx
puesto que
=
n−1∑
j=0
γj
∫ b
a
φj(x)φn(x)dx = 0
ya que φn(x) es ortogonal a todos los demás polinomios φj(x)
(j = 0, 1, . . . , n− 1).
I(P2n−1) =
∫ b
a
rn−1(x)dx =
n∑
j=0
ajrn−1(xj) =
n∑
j=0
ajP2n−1(xj) =
=
∫ b
a
P2n−1(x)dx = I(P2n−1) y el teorema queda demostrado.
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
Los coeficientes aj se obtienen de resolver la integral,
aj =
∫ 1
−1
Lj,k(x)dx siendo Lj,k los pols. de Lagrange.
Por ejemplo, el polinomio de Legendre:
φ2 = x2 −
1
3
sus raı́ces son: x1,2 =
±1√
3
= ±0.57735
Luego,
a0 =
∫ 1
−1
L1,0(x)dx =
∫ 1
−1
x− x1
x0 − x1
dx =
∫ 1
−1
x− 0.57735
−0.57735− 0.57735
dx = 1
a1 =
∫ 1
−1
L1,1(x)dx =
∫ 1
−1
x− x0
x1 − x0
dx =
∫ 1
−1
x + 0.57735
0.57735 + 0.57735
dx = 1
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En la tabla se muestran algunos resultados con polinomios de
Legendre de mayor orden
n Raices xj Coeficientes aj
2 0.5773502692 1
-0.5773502692 1
3 0.7745966692 0.5555555556
0 0.8888888886
-0.7745966692 0.5555555556
4 0.8611363116 0.3478548451
0.3399810436 0.6521451549
-0.3399810436 0.6521451549
-0.8611363116 0.3478548451
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
La ortogonalidad de los polinomios de Legendre se obtiene en el
intervalo [−1, 1], pero, ¿qué sucede cuando la integral la queremos
hacer en un intervalo genérico [a, b]? Hacemos un cambio de
variables:
a→ 1
b→ −1
x→ t
luego:
t =
2x− a− b
b− a
⇒ x = 1
2
[(b− a)t + a + b]
dx =
b− a
2
dt
y finalmente∫ b
a
f(x)dx =
∫ 1
−1
f
[
(b− a)t + b + a
2
]
(b− a)
2
dt
Introducción Newton-Cotes Regla del Trapecio Simpson 1/3 Cuadratura de Gauss
Ejemplo
Integrar por cuadratura de Gauss-Legendre con n = 2 la siguiente
integral
I =
∫ 1,5
1
e−x
2
dx
Solución
Hacemos el cambio de variable
x =
1
2
[(b− a)t + a + b] = 0, 25t + 1, 25
∫ 1
−1
1
4
e−(0,25t+1,25)
2
dt = a0f(x0) + a1f(x1)
donde los pesos a0, a1, x0 y x1 se obtienen de la tabla. Luego,∫ 1,5
1
e−x
2
dx ≈ 1
4
e−(0,25 0,557735+1,25)
2
+
1
4
e−(−0,25 0,557735+1,25)
2
= 0, 109
	Introducción
	Newton-Cotes
	Regla del Trapecio
	Simpson 1/3
	Cuadratura de Gauss