Ecuacion_unidimensional_de_onda

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Ecuación unidimensional de 
onda
CA – FAS
FRSF – UTN
2014
� Vamos a deducir la ecuación diferencial que 
gobierna las vibraciones transversales de 
una cuerda elástica, que se estira hasta una 
longitud L y se la fija en los extremos.
� Supongamos que la deformamos 
transversalmente y luego de cierto tiempo, 
asignamos t=0, la soltamos y la dejamos 
vibrar.
� El objetivo es determinar las vibraciones de 
la cuerda, su deformación u(x,t) en cualquier 
punto x ∈ [0, L] y para t>0.
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Ecuación unidimensional de onda
� Sea una cuerda elástica de longitud L, con extremos 
fijos en el eje x, en x=0 y en x=L.
� En t=0 la cuerda tiene un desplazamiento dado por f(x) y 
éste ocurre con una velocidad g(x). 
� Al soltarla, la cuerda vibrará y su desplazamiento será
una función u(x, t).
Ecuación unidimensional de onda
El modelo matemático se obtiene realizando los siguientes 
supuestos:
La masa de la cuerda por unidad de longitud (δ ) es 
constante.
La cuerda es perfectamente elástica y no ofrece resistencia a 
la deformación transversal.
La acción gravitatoria es despreciable frente al esfuerzo al 
que se somete la cuerda al deformarla y fijarla.
El movimiento de la cuerda es vertical (oscila verticalmente) y 
sus oscilaciones son pequeñas.
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0 x x+∆x
P
Q
T1
T2
L
u
Ecuación unidimensional de onda
Ecuación unidimensional de onda
Tomemos el trozo de cuerda PQ:
P
Q
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Ecuación unidimensional de onda
Como solo se acepta movimiento vertical, la componente 
horizontal de la tensión tangencial debe ser constante:
β = α = =2 1T cos T cos T constante
Las componentes verticales de la tensión tangencial 
tienen signo contrario:
β − α2 1T sen , y T sen
Por la segunda Ley de Newton: Fuerza = masa x aceleración 
que, en este caso:
∂= δ∆
∂
2
2
u
F ( x).
t
(1)
Ecuación unidimensional de onda
El movimiento de la cuerda se produce por la diferencia 
de fuerzas verticales:
Dividiendo miembro a miembro por T:
Usando (1) y distribuyendo T en el primer miembro
∂β − α = = δ∆
∂
2
2 1 2
u
T sen T sen F ( x).
t
β − α δ∆ ∂=
∂
2
2 1
2
T sen T sen ( x) u
.
T T t
β α δ∆ ∂− =
β α ∂
2
2 1
2
2 1
T sen T sen ( x) u
.
T cos T cos T t
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Ecuación unidimensional de onda
Simplificando y reemplazando senα/cosα por tgα y 
senβ/cos β por tg β
Recordando la interpretación geométrica de la derivada en 
un punto:
Operando algebraicamente con ∆x
∂ = α
∂
x
u
tg
x
δ∆ ∂β − α =
∂
2
2
( x) u
tg tg .
T t
+∆
∂ = β
∂
x x
u
tg
x
∂ ∂
∂ ∂ +∆ δ ∂− =
∆ ∆ ∂
u u 2
x xx x x
2
u
.
x x T t
Ecuación unidimensional de onda
Si hacemos que ∆x →0 y haciendo pasaje de términos, la 
última expresión nos queda:
Como T/δ es una constante positiva, se acostumbra 
reemplazarla por c2 . Finalmente, la expresión final queda:
∂ ∂=
δ ∂ ∂
2 2
2 2
T u u
.
x t
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Ecuación unidimensional de onda
∂ ∂− =
∂ ∂
2 2
2
2 2c u(x,t) u(x,t) 0x t
Esta ecuación gobierna las pequeñas vibraciones 
transversales de una cuerda elástica de longitud L, fija en 
los extremos, que se la deforma transversalmente y luego 
de cierto tiempo (asignamos t=0) se la suelta y se la deja 
vibrar.
El objetivo es determinar las vibraciones de la cuerda, 
mediante la obtención de una función u(x,t) que mide las 
deformaciones en cualquier punto de la cuerda y para t>0.
=
ρ
2 Tc
Ecuación unidimensional de onda
Para resolver este problema es necesario establecer algunas 
condiciones.
Como la cuerda está fija en los extremos, surgen las 
Condiciones de Frontera: u(0, t) = u(L, t) = 0 ∀ t ≥ 0.
La forma de la deformación de la cuerda va a depender de la 
deformación inicial y la velocidad inicial, surgen así las 
Condiciones Iniciales: ∀ x ∈ [0 ; L]
Deformación inicial: u(x, 0) = f(x) 
Velocidad inical: u(x, 0) = g(x)
Ahora tenemos planteado el problema completo.
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Ecuación unidimensional de onda
2
''
(x ) ( t )2
u(x,t)
X .T
x
∂ =
∂
Se propone para resolverlo el método del producto o solución 
de Fourier.
Suponemos que u(x, t) = X(x).T(t).
La derivamos dos veces respecto a t y a x, nos queda:
2
(t)(x )2
u(x,t)
X .T
t
••∂ =
∂
Reemplazamos esto en la eddp inical
)()()(
''2 ..
)(
txt TXTXc x
••
= k
T
T
X
Xc
tx
x ==
••
)()(
''2
)(
Ecuación unidimensional de onda
En definitiva nos quedan dos edo, una que depende de X y 
otra de T
Tomemos la edo que depende de x y agreguemos las 
condiciones de frontera: u(0, t) = u(L, t) = 0, t ≥ 0.
Nos queda un problema a valores iniciales, cuya solución 
depende de k.
Se puede demostrar que este problema solo tiene soluciones 
no triviales si k<0, lo que da por resultado raíces complejas 
conjugadas, la forma general de la solución es:
0)(2
''
)(
=− xX
c
k
X
x 0)()( =−
••
tKTT t
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Ecuación unidimensional de onda
Para evaluar las constantes, usemos las condiciones de 
frontera:
)cos()( 21)( xCxsenCX c
k
c
k
x
−− +=
00)0cos()0( 221)0( =⇒=+= −−= CCsenCX c
k
c
k
x
0)(00)( 11)( =⇒≠→== −−= LsenCLsenCX c
k
c
k
Lx
2
222
0)(
L
cn
knLLsenSi
c
k
c
k π−=⇒π=⇒= −−
Ecuación unidimensional de onda
Para cada n (entero) hay una solución X(x), por lo tanto
)(
)(
xsenCX
L
n
n
n
x
π=
2
222
L
cn
kcon
π−=
Nos falta todavía evaluar la otra parte de u(x,t) = T(t).X(x)
0)()( =−
••
tkTT t
0)(2
222
)( =
π+
••
tT
L
cn
T t
Que es una edo con raíces 
complejas conjugadas que, 
en este caso,
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Ecuación unidimensional de onda
Para cada n (entero) la solución T(t) tiene la forma:
)cos()(
)(
tEtsenDT
L
cn
nL
cn
n
n
t
ππ +=
Si ahora armamos la u(x,t) = T(t).X(x), nos queda
)]cos()()[(. )()( tEtsenDxsenCTX L
cn
nL
cn
nL
n
n
n
x
n
x
πππ +=
Si llamamos nnDCB n =
*
nnn ECB =
)cos()()()(),( * txsenBtsenxsenBtxu
L
cn
L
n
nL
cn
L
n
n n
ππππ +=
Para cada n, es una solución del problema planteado, si 
queremos todas las soluciones, es posible plantear: 
Ecuación unidimensional de onda
Que debe satisfacer las condiciones iniciales
)]cos()([)(
),(),(
*
1
1
tBtsenBxsen
txutxu
L
cn
nL
cn
n
n
L
n
n
n
ππ
∞
=
π
∞
=
+=
=
∑
∑
)]0cos()0([)()()0,( *
1
L
cn
nL
cn
n
n
L
n BsenBxsenxfxu ππ
∞
=
π +== ∑
∑
∞
=
π==
1
)()()0,(
n
L
n
n xsenBxfxu
Los Bn son los coeficientes 
del desarrollo senoidal de 
Fourier de f(x) 
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Ecuación unidimensional de onda
Las otra condición inicial
)]0()0cos([)(
)()0,(
*
1
L
cn
L
cn
nL
cn
L
cn
n
n
L
n
t
senBBxsen
xgxu
ππππ
∞
=
π
∂
∂
−=
=
∑
∑
∞
=
ππ=
1
* )()(
n
L
n
L
cn xsenBxg
n
Los B*n son los coeficientes del desarrollo senoidal de 
Fourier de g(x).
Ecuación unidimensional de onda
Resumiendo, la solución de 
dxxsenxgB
L
cn
L
LL
cn
n
)()(
0
2* ππ ∫=
Con extremos fijos, u(0, t)=u(L,t) = 0, con posición inicial f(x) 
y velocidad inicial g(x) es:
0),(),( 2
2
2
22 =−
∂
∂
∂
∂ txutxuc
tx
)]cos()([)(),( *
1
tBtsenBxsentxu
L
cn
nL
cn
n
n
L
n ππ
∞
=
π +=∑
Con
dxxsenxfB
L
n
L
Ln
)()(
0
2 π∫=
δ
= Tc 2 0≤ x ≤ L ; t ≥ 0
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Ecuación unidimensional de onda - ejemplo
� Hallar u(x,t) de una cuerda vibrante de longitud L = π, 
extremos fijos, c=1, posición inicial f(x) = 0,02senx y 
velocidad inicial g(x)=0.
� La solución que estamos buscando es:
)]cos()([)(),( *
1
ntBntsenBnxsentxu nn
n
+=∑
∞
=
10)()(02,0
0
2 ≠∀== π
π
π ∫ ndxxsenxsenB Lnn
0)(0
0
2* == ∫
π
π dxnxsennB nB1=0,02
Ecuación unidimensional de onda - ejemplo
� Finalmente, la solución u(x,t) que estamos buscando es:
)cos()(02,0),( txsentxu =
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
x
u
t=0 t=1 t=2 t=3
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Ecuación unidimensional de onda - ejercicios
1) Hallar la deformación u(x,t) de una cuerda vibrante de longitud L=π, extremos 
fijos, c2=1, con las condiciones de frontera e iniciales siguientes:
i) f(x)=u(x,0)= k[sen(x)-sen(2x)]; g(x)=0
ii) f(x)=0.01x(π-x); g(x)=0
2) Resolver 
2 2
2 2
u u
9 con 0 x 3; t 0
t x
∂ ∂= < < >
∂ ∂
u(0;t) u(3;t) 0 t 0
u(x,0) f(x) 0
u(x,0)
g(x) x(3 x); 0 x 3
t
= = ≥
= =
∂ = = − ≤ ≤
∂