Ecuaciones_diferenciales_en_derivadas_parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas 
parciales 
– algunas aplicaciones-
FAS – CA
FRSF – UTN
2014
Definiciones
� Una ecuación diferencial en derivadas parciales (eddp) 
es una ecuación diferencial que involucra derivadas 
parciales de una o más variables dependientes respecto 
de una o más variables independientes. 
� El orden de una eddp es el de la derivada de mayor 
orden presente en la ecuación.
� Una solución de la eddp es una función que satisface la 
ecuación en alguna región del espacio de las variables 
independientes.
� Vamos a estudiar los tipos más comunes y las 
resolveremos aplicando el método de separación de 
variables.
2
Definiciones
� A diferencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias 
(edo), en las soluciones de las eddp aparecen funciones 
arbitrarias, tantas, como sea el orden de la ecuación.
� En las aplicaciones se buscan soluciones que satisfagan 
condiciones iniciales (valores de la solución o sus 
derivadas para t=0) y 
condiciones de frontera (valores de la solución o sus 
derivadas en la frontera de la región de variación de las 
variables independientes.
Eddp que se usan habitualmente en las 
aplicaciones físicas:
� Ecuación unidimensional de onda
0),(),(
2
2
2
2
2 =
∂
∂−
∂
∂
txu
t
txu
x
c
Se la usa para modelar vibraciones longitudinales de un 
vástago, oscilaciones eléctricas en un conductor, 
oscilaciones torsionales de un árbol, oscilaciones de 
una gas, …
3
Eddp que se usan habitualmente en las 
aplicaciones físicas:
� Ecuación unidimensional de conducción de calor
0),(),(
2
2
2 =
∂
∂−
∂
∂
txu
t
txu
x
c
Se la usa para modelar la propagación de calor, 
filtración de líquidos y gases en un medio poroso (por 
ejemplo: filtración de petróleo y gas en arenas 
subterráneas, algunos problemas de teorías de 
probabilidad, ….
Eddp que se usan habitualmente en las 
aplicaciones físicas:
� Ecuación de Laplace
0),(),(
2
2
2
2
=
∂
∂+
∂
∂
txu
t
txu
x
Se la usa para modelar problemas sobre campos 
eléctricos y magnéticos, estados térmicos 
estacionarios, problemas de hidrodinamia, de 
difusión, …..
4
Ecuación unidimensional de onda
� Sea una cuerda elástica de longitud L, con extremos 
fijos en el ese x, en x=0 y en x=L.
� En t=0 la cuerda tiene un desplazamiento dado por f(x) y 
éste ocurre con una velocidad g(x). 
� Al soltarla, la cuerda vibrará y su desplazamiento será
una función u(x, t).
Ecuación unidimensional de onda
0),(),(
2
2
2
2
2 =
∂
∂−
∂
∂
txu
t
txu
x
c
Esta ecuación gobierna las pequeñas vibraciones 
transversales de una cuerda elástica de longitud L, fija en 
los extremos, que se la deforma transversalmente y luego 
de cierto tiempo (asignamos t=0) se la suelta y se la deja 
vibrar.
El objetivo es determinar las vibraciones de la cuerda, 
mediante la obtención de una función u(x,t) que mide las 
deformaciones en cualquier punto de la cuerda y para t>0.
δ
= Tc 2
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Ecuación unidimensional de onda
El modelo matemático se obtiene realizando los siguientes 
supuestos:
La masa de la cuerda por unidad de longitud (δ ) es 
constante.
La cuerda es perfectamente elástica y no ofrece resistencia a 
la deformación transversal.
La acción gravitatoria es despreciable frente al esfuerzo al 
que se somete la cuerda al deformarla y fijarla.
El movimiento de la cuerda es vertical (oscila verticalmente) y 
sus oscilaciones son pequeñas.
Ecuación unidimensional de onda
Para resolver este problema es necesario establecer algunas 
condiciones.
Como la cuerda está fija en los extremos, surgen las 
condiciones de frontera: u(0, t) = u(L, t) = 0 ∀ t ≥ 0.
La forma de la deformación de la cuerda va a depender de la 
deformación inicial y la velocidad inicial, surgen así las 
condiciones iniciales: ∀ x ∈ [0 ; L]
Deformación inicial: u(x, 0) = f(x) 
Velocidad inical: u(x, 0) = g(x)
Ahora tenemos planteado el problema completo.
6
Ecuación unidimensional de onda
)(
''
)( .),(2
2
txx
TXtxu =
∂
∂
Se propone para resolverlo el método del producto o solución 
de Fourier.
Suponemos que u(x, t) = X(x).T(t).
La derivamos dos veces respecto a t y a x, nos queda:
)()( .),(2
2
txt
TXtxu
••
∂
∂ =
Reemplazamos esto en la eddp inical
)()()(
''2 ..
)(
txt TXTXc x
••
= k
T
T
X
Xc
tx
x ==
••
)()(
''2
)(
Ecuación unidimensional de onda
En definitiva nos quedan dos edo, una que depende de X y 
otra de T
Tomemos la edo que depende de x y agreguemos las 
condiciones de frontera: u(0, t) = u(L, t) = 0, t ≥ 0.
Nos queda un problema a valores iniciales, cuya solución 
depende de k.
Se puede demostrar que este problema solo tiene soluciones 
no triviales si k<0, lo que da por resultado raices complejas 
conjugadas, la forma general de la solución es:
0)(2
''
)(
=− xX
c
k
X
x 0)()( =−
••
tKTT t
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Ecuación unidimensional de onda
Para evaluar las constantes, usemos las condiciones de 
frontera:
)cos()( 21)( xCxsenCX c
k
c
k
x
−− +=
00)0cos()0( 221)0( =⇒=+= −−= CCsenCX c
k
c
k
x
0)(00)( 11)( =⇒≠→== −−= LsenCLsenCX c
k
c
k
Lx
2
222
0)(
L
cn
knLLsenSi
c
k
c
k π−=⇒π=⇒= −−
Ecuación unidimensional de onda
Para cada n (entero) hay una solución X(x), por lo tanto
)(
)(
xsenCX
L
n
n
n
x
π=
2
222
L
cn
kcon
π−=
Nos falta todavía evaluar la otra parte de u(x,t) = T(t).X(x)
0)()( =−
••
tkTT t
0)(2
222
)( =
π+
••
tT
L
cn
T t
Que es una edo con raíces 
complejas conjugadas que, 
en este caso,
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Ecuación unidimensional de onda
Para cada n (entero) la solución T(t) tiene la forma:
)cos()(
)(
tEtsenDT
L
cn
nL
cn
n
n
t
ππ +=
Si ahora armamos la u(x,t) = T(t).X(x), nos queda
)]cos()()[(. )()( tEtsenDxsenCTX L
cn
nL
cn
nL
n
n
n
x
n
x
πππ +=
Si llamamos nnDCB n =
*
nnn ECB =
)cos()()()(),( * txsenBtsenxsenBtxu
L
cn
L
n
nL
cn
L
n
n n
ππππ +=
Para cada n, es una solución del problema planteado, si 
queremos todas las soluciones, es posible plantear: 
Ecuación unidimensional de onda
Que debe satisfacer las condiciones iniciales
)]cos()([)(
),(),(
*
1
1
tBtsenBxsen
txutxu
L
cn
nL
cn
n
n
L
n
n
n
ππ
∞
=
π
∞
=
+=
=
∑
∑
)]0cos()0([)()()0,( *
1
L
cn
nL
cn
n
n
L
n BsenBxsenxfxu ππ
∞
=
π +== ∑
∑
∞
=
π==
1
)()()0,(
n
L
n
n xsenBxfxu
Los Bn son los coeficientes 
del desarrollo senoidal de 
Fourier de f(x) 
9
Ecuación unidimensional de onda
Las otra condición inicial
)]0()0cos([)(
)()0,(
*
1
L
cn
L
cn
nL
cn
L
cn
n
n
L
n
t
senBBxsen
xgxu
ππππ
∞
=
π
∂
∂
−=
=
∑
∑
∞
=
ππ=
1
* )()(
n
L
n
L
cn xsenBxg
n
Los B*n son los coeficientes del desarrollo senoidal de 
Fourier de g(x).
Ecuación unidimensional de onda
Resumiendo, la solución de 
dxxsenxgB
L
cn
L
LL
cn
n
)()(
0
2* ππ ∫=
Con extremos fijos, u(0, t)=u(L,t) = 0, con posición inicial f(x) 
y velocidad inicial g(x) es:
0),(),( 2
2
2
22 =−
∂
∂
∂
∂ txutxuc
tx
)]cos()([)(),( *
1
tBtsenBxsentxu
L
cn
nL
cn
n
n
L
n ππ
∞
=
π +=∑
Con
dxxsenxfB
L
n
L
Ln
)()(
0
2 π∫=
δ
= Tc 2 0≤ x ≤ L ; t ≥ 0
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Ecuación unidimensional de onda - ejemplo
� Hallar u(x,t) de una cuerda vibrante de longitud L = π, 
extremos fijos, c=1, posición inicial f(x) = 0,02senx y 
velocidad inicial g(x)=0.
� La solución que estamos buscando es:
)]cos()([)(),( *
1
ntBntsenBnxsentxu nn
n
+=∑
∞
=
10)()(02,0
0
2 ≠∀== π
π
π ∫ ndxxsenxsenB Lnn
0)(0
0
2* == ∫
π
π dxnxsennB nB1=0,02
Ecuación unidimensional de onda - ejemplo
� Finalmente, la solución u(x,t) que estamos buscando es:
)cos()(02,0),( txsentxu =
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Ecuación unidimensional de calor
� El flujo unidimensional de calor de un cuerpo de material 
homogéneo está modelado por la ecuación
),(),(
2
2
2 txu
t
txu
x
c
∂
∂=
∂
∂
� Donde c2= k/(σδ)
Con k: coeficiente de conductividad térmica
σ: calor específico y δ: densidad
� Vamos a estudiar el caso particular de la difusión de 
calor en una barra delgada, de sección constante y 
longitud L, de material homogéneo; horizontal, 
totalmente aislada lateralmente y con extremos a 
temperatura 0.
Ecuación unidimensionalde calor
� La solución de la eddp planteada es una función u(x,t) 
que modela la temperatura en cada punto x ∈ [o; L] y t ≥ 0
� En este caso, como en la ecuación unidemensional de 
onda, proponemos la solución u(x,t) = X(x).T(t) que cumple 
con:
� Condiciones de frontera: u(0,t)= u(L,t) = 0 (bordes a 
temperatura 0)
� Condición inicial: u(x, 0)= f(x) (temperatura inicial)
� Derivando respecto a t y a x, y reemplazando en la eddp
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Ecuación unidimensional de calor
)(
''
)()()( .).(2
2
txtxx
TXTX =
∂
∂
)()()()( .).( txtxt TXTX
•
∂
∂ =
•
= )()()(
''
)(
2
txtx TXTXc
k
Tc
T
X
X
t
t
x
x ==
•
)(
2
)(
)(
''
)(
Con k una constante
Quedan dos edo, una que depende de x y otra de t
)(
''
)( . xx XkX = )(
2
)( tt TckT =
•
Ecuación unidimensional de calor
Que tienen soluciones no triviales si la constante k, es 
negativa, para asegurarnos de esto hacemos k = -p2, 
reemplazando esto en las edo
(1) 0. )(
2''
)( =+ xx XpX 0)(
22
)( =+
•
tt TcpT(2)
La solución general de la edo (1), con raíces complejas 
conjugadas x=±pi, nos quedan
)()cos( 21)( pxsenCpxCF x +=
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Ecuación unidimensional de calor
L
n
pnpL
π=∴π=
Que debe satisfacer las condiciones de frontera u(0, t) = 
u(L,t) = 0
De donde surge que:
00)0()0cos( 121)0( =⇒=+== CpsenCpCX x
0)(00)( 22)( =⇒≠=== pLsenCsipLsenCX Lx
Sin pérdida de generalidad hacemos C2=1, la solución 
buscada, depende de n, entero,queda:
)()( xsenX L
nn
x
π=
Ecuación unidimensional de calor
Volviendo a la eddp original, la temperatura en la barra, 
para cada n entero es
)(
2
222
)()(),( xseneBTXu L
n
t
L
nc
n
n
t
n
x
n
tx
π
π−
==
Si queremos la solución para cualquier n, surge:
∑∑
∞
=
π
π−∞
=
==
11
)()(),( )(
2
222
n
L
n
t
L
nc
n
n
n
t
n
xtx xseneBTXu
Que satisface las condiciones de frontera, falta determinar 
los Bn, para que la u(x,t) hallada también satisfaga las 
condiciones iniciales
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Ecuación unidimensional de calor
Entonces: 
Vemos entonces que los Bn deben ser los coeficientes 
del desarrollo senoidal de Fourier de f(x).
)()(
1
0
1
)0()()0,(
2
222
xfxseneBTXu
n
L
nL
nc
n
n
nn
xx === ∑∑
∞
=
π
π−∞
=
)()(
1
xfxsenB
n
L
n
n =∑
∞
=
π
dxxsenxfB
L
n
L
Ln
)()(
0
2 π∫=
Ecuación unidimensional de calor
Resumiendo, la solución de 
Con extremos a temperatura 0, u(0, t)=u(L,t) = 0 t con 
temperatura inicial u(x,0)= f(x) es:
),(),(2
22 txutxuc
tx ∂
∂
∂
∂ =
Con
dxxsenxfB
L
n
L
Ln
)()(
0
2 π∫=
σδ
= kc 2 0≤ x ≤ L ; t ≥ 0
∑
∞
=
π
π−
=
1
),( )(
2
222
n
L
n
t
L
nc
ntx xseneBu