Forma_compleja_de_la_Serie_de_Fourier

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Forma compleja de la Serie de 
Fourier
FAS – CA
FRSF – UTN
2014
Introducción
� En aplicaciones de ingeniería suele ser 
conveniente trabajar en términos de números 
complejos aunque las cantidades de interés 
son reales.
� Por ejemplo en Ingeniería Eléctrica se usan 
cantidades complejas para calcular 
corrientes y al final sólo se utiliza la parte 
real.
2
Recordemos
� Sea f(x) una función real, periódica de período 
fundamental T= 2L, definida en el intervalo [-L; L], la 
Serie de Fourier (SF) que le corresponde es:
)](senb)(COSa[a
2
1
L
xn
nL
xn
1n
n0
ππ
∞
=
++∑
� Si hacemos π/L= ω0, la SF queda:
)](senb)(COSa[a
2
1
L
xn
nL
xn
1n
n0
ππ
∞
=
++∑
� Además:
2
ee
)xncos(
xinxin
0
00 ω−ω +=ω
i2
ee
)xn(sen
xinxin
0
00 ω−ω −=ω
� Reemplazando todo en la expresión de la SF, queda:
=−+++
ω−ω∞
=
ω−ω
∑ )]
i2
ee
(b)
2
ee
(a[a
2
1 xinxin
n
1n
xinxin
n0
0000
)]
i2
b
2
a
(e)
i2
b
2
a
(e[a
2
1 nnxinn
1n
nxin
0
00 −+++ ω−
∞
=
ω∑
2
bia
d nnn
−=
2
bia
d nnn
+=
2
a
d 00 =Llamamos: 
La SF nos queda: 
]ed[]ed[d
1n
xin
n
1n
xin
n0
00 ∑∑
∞
=
ω−
∞
=
ω ++
3
Recordando cómo se calculan los coeficientes de la SF real, 
∫∫
−−
ω−ω=−=
L
L
0T
2
2
i
L
L
0T
2
2
1nn
n dt)tn(sen)t(fdt)tncos()t(f
2
iba
d
∫
−
ω−ω=
L
L
00T
1
n dt)]tn(seni)tn[cos()t(fd
∫
−
ω−=
L
L
tni
T
1
n dte)t(fd
0
n
L
L
tin
T
1
L
L
tin
T
1nn
n ddte)t(fdte)t(f
2
iba
d 00 −
−
ω
−
ω− ===−= ∫∫
=++ ∑∑
∞
=
ω−
−
∞
=
ω ]ed[]ed[d
1n
xin
n
1n
xin
n0
00
Volviendo a la expresión del principio de la SF
=++ ∑∑
−
−∞=
ω
∞
=
ω ]ed[]ed[d
1
n
xni
n
1n
xin
n0
00
Llegamos así a la expresión final de la SF en forma compleja.
∑
∞
≠−∞=
ω+
0n,n
xin
n0 ]ed[d
0
Resumiendo:
f(x) seccionalmente continua, periódica de periodo fundamental 
T=2L, con ω0=π/L, su desarrollo en SF complejo es:
...,2,1,0n;]ed[
n
xin
n
0 ±±=∑
∞
−∞=
ω ∫
−
ω−=
L
L
tin
T
1
n dte)t(fd
0
4
Convergencia de la serie hallada
La SF en forma compleja converge puntualmente, en cada valor de 
x, a la semisuma de límites laterales.
Que lo expresamos: 
2
)x(f)x(f −+ +
Ejemplo 
Hallar el desarrollo en SF en forma compleja de la función 
2π-periódica: 
f(x)= x2 + x; -π < x < π
La gráfica de f(x) es:
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-8.5 -6.5 -4.5 -2.5 -0.5 1.5 3.5 5.5 7.5
5
Ejemplo
Calculemos los coeficientes dn
0n)]1int(
)in(
e
[](e[d
2
int
2
1
)in(
2
)in(
t2
in
tint
2
1
n 32
2 ≠−−
−
+++= ππ−
−
π
π
π−−−−
−
π
∫∫
π
π−
−
π
−
ω− +== dte)tt(dte)t(fd int2
2
1
L
L
tin
T
1
n
0
Operando algebraicamente y recordando que 
einπ = e-inπ= (-1)n , se obtiene finalmente:
])1(
n
2
i)1(
n
4
[d nn
22
1
n −
π+−π= π
2
3
12
2
1
L
L
T
1
0 dt)tt(dt)t(fd π=+== ∫∫
π
π−
π
−
1
2
2
T
2
0 ===ω πππ
∑∑
∞
≠−∞=
∞
−∞=
ω +−+π=
0n;n
inx
n
i
n
2n2
3
1
n
xin
n ]e)()1([]ed[ 2
0
Ejemplo 
Finalmente, la serie en forma compleja nos queda 
Convergencia:
La SF encontrada converge puntualmente, en cada valor de x, 
� Si la f(x) es continua, al valor que toma la f en ese punto y
� a semisuma de límites laterales en los puntos de discontinuidad de 
la f(x) dada.