MDF_Teo_convergencia

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El Método expĺıcito de Diferencias Finitas y la
Ecuación del Calor: Un teorema de Convergencia
Sea (P ) el siguiente problema continuo que modela la evolución de la temperatura u(x, t) en un “cilindro unidi-
mensional” de longitud L, homogéneo, con difusividad k, temperaturas prescritas en los bordes dadas por A(t)
y B(t) y temperatura inicial f(x),
(P )

EDP :
∂u
∂t
= k
∂2u
∂x2
, 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t ≤ T
CB : u(0, t) = A(t) , u(L, t) = B(t)
CI : u(x, 0) = f(x)
Asumimos que se cumplen las condiciones laterales, A(0) = f(0) y B(0) = f(L), de manera que (P ) tiene
una solución u(x, t). Denotando con umj a la solución numérica de este problema por el método de diferencias
finitas en el punto (xj , tm) = (j△x,m△t), donde para N y M enteros positivos, △x = L/N, △t = T/M, y
s = k△t/(△x)2, la aproximación umj resuelve el siguiente problema discreto, donde con edp se indica la Ecuación
en Diferencias Parcial (también llamada Ecuación en Diferencias Finitas, edf) :
(p)

edp : um+1j = su
m
j−1 + (1− 2s)umj + sumj+1, j = 1, ..., N − 1; m = 0, 1, ...,M − 1
cb : um0 = A(m△t) , umN = B(m△t), m = 0, 1, ...,M
ci : u0j = f(j△x), j = 0, 1, ..., N
Estabilidad y Convergencia: El error local de discretización Emj en el punto (j,m) de la malla está
definido por Emj =
∣∣u(xj , tm)− umj ∣∣ . Se dice que el método usado para producir las aproximaciones umj con-
verge, si max Emj → 0 cuando △x → 0 (y△t = s(△x)2 → 0), donde el máximo se toma sobre todos los puntos
(j,m) de la grilla (malla). Puede demostrarse que para asegurar la convergencia y estabilidad (es decir, que
el error disminuye conforme avanza el cálculo) es SUFICIENTE con que s ≤ 1/2. Esto significa que cuando
s > 1/2, el método puede (aunque NO necesariamente) volverse inestable (es decir oscilante en espacio y tiempo).
Teorema de Estimación del error: Si (P ) tiene una solución u(x, t) que es 4 veces continuamente diferencia-
ble en el dominio (u ∈ C4([0, L]× [0, T ]) y umj resuelve (p) con s ≤ 1/2, entonces el error local de discretización
en cada punto, satisface la siguiente desigualdad para j = 0, 1, ...N ; m = 0, 1, ...M
Emj ≤
KT
2
(
△t+ (△x)
2
6
)
donde K = max
0≤x≤L, 0≤t≤T
{|A′′(t)| , |B′′(t)| , |f ′′′′(x)|} (1)
Es decir, el error local de discretización tiende a cero cuando M,N → ∞, si s = kTN2/L2N ≤ 1/2, donde k es
el coeficiente de difusividad de la ecuación del calor del problema (P ).
BIBLIOGRAFIA:
• Bleecker D., Csordas G. “Basic Partial Differential Equations” - Ed. Internacional - 1996
• Haberman R. “Applied Partial Differential Equations” - Prentice Hall - 2004
Material elaborado por A. Frausin - Octubre 2011
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