RESUMEN-SUPREMO-Cálculo-Avanzado

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Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
UNIDAD 1 – Solución numérica de E.D.O.s 
 
La modelación Matemática 
 
La modelación matemática se trata de tomar un 
problema real, extraer los datos relevantes, e idealizarlo a través 
de ecuaciones diferenciales. La resolución de dicho problema 
ideal, debe ser comparada con la solución del problema real para 
verificar haber resuelto el problema inicial. 
 
Las ecuaciones diferenciales 
Las leyes fundamentales de la física, mecánica, 
electricidad y termodinámica están basadas con frecuencia 
en observaciones experimentales que explican variaciones en 
las propiedades físicas y estados de los sistemas. Estas leyes, 
mas que describir directamente el estado de los sistemas 
físicos se expresan en términos de los cambios espaciales y 
temporales de las variables intervinientes. 
Entonces no se puede establecer una relación directa entre 
dos variables, pero si la dependencia con sus derivadas, es decir 
del cambio de una variable respecto de otra. Finalmente, la 
relación directa se obtendrá de integrar dichas ecuaciones. 
La principal característica es que en ellas aparecen derivadas. 
Las incognitasson ecuaciones. 
La forma de escribirlas: 
 
 
Si en una ecuación diferencial hay una sola variable 
independiente, las derivadas son totales y a la ecuación se la 
denomina ordinaria. Por el contrario, si aparecen dos o más 
variables independientes las derivadas serán parciales y la 
ecuación será diferencial parcial. 
Se dice que una variable de una ecuación diferencial es 
independiente si existen una o más derivadas con respecto a esa 
variable. Una variable es dependiente cuando existen derivadas 
de esa variable. 
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Caracterización de las ecuaciones 
Orden de una Ecuación diferencial: es la derivada de 
mayor orden que aparece en la ecuación. 
Una ecuación es no homogénea cuando hay algún 
término que no dependa de las incógnitas (las variables 
dependientes) 
Los coeficientes de las incógnitas de una ecuación 
pueden ser constantes o variables. 
Ecuación diferencial lineal: Una ecuación diferencial es lineal 
si: 
- en ella no aparecen potencias de la variable dependiente 
ni de sus derivadas 
- ni productos de la variable dependiente por sus derivadas 
- productos entre derivadas. 
Una manera sencilla de probarlo es que los coeficientes no 
dependan de la variable dependiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS 
 
(Este ejercicio se repitió en exámenes) 
Es de primer orden debido a que la derivada de orden mayor es 
de orden 1. Es no lineal, debido a que aparece potencia y 
producto de sus derivadas. Sus coeficientes son constantes, ya 
que no aparecen variables independientes en los mismos. Es 
homogénea, ya que no existe ningún término que no dependa de 
las incognitas 
 
 
 
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(Esta pregunta se repitió en exámenes) 
a. la variable “y” es variable independiente, con lo cual su 
producto o potencia no influye. Es lineal 
b. Como no sabemos a que función corresponde f(x,y) no 
podemos decir si es igual a u, con lo cual el producto del 
mismo por la derivada uy no podemos determinarlo 
como no lineal. 
c. Al haber una que sea no lineal, esta no es correcta 
d. Hay un producto entre derivadas. Es no lineal 
e. No hay pontencia ni producto entre derivadas, es lineal. 
 
a. Es lineal, no hay productos entre incognitas y derivadas. 
b. Es no lineal, hay producto entre incognita y derivada. 
c. Es no lineal, hay potencia de incognita. 
d. Es lineal, no hay producto ni potencia entre derivaas e 
incognita 
e. Es lineal, no hay producto ni potencia entre derivaas e 
incognita 
 
a. Es de orden 2 
b. No es a coeficientes constantes, basta solo con distribuir 
el 3x 
c. Si es lineal, ya que no hay productos ni potencias de 
variables dependientes o derivadas. 
d. Si es de orden 2 (orden de la derivada) 
e. Es a coefcientes variables (3x) 
f. Es lineal 
g. Es no homogénea, ya que nos queda el termino 
independiente 6x, el cual no depende de la incógnita o 
sus derivadas 
h. Es no homogénea. 
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E.D.Os 1° Orden 
Dada una ecuación diferencial ordinaria de orden n, cuya 
forma general puede escribirse como: F(x,y,y’,y’’.........y(n)) = 0 ; 
su solución general resulta dependiente de n constantes 
arbitrarias y puede escribirse en la forma: G (x,y,c1, c2, ...., cn) = 
0 ; Se requiere de n condiciones para obtener una solución única. 
Gráficamente, la ecuación de la solución representa a una 
familia de curvas planas, cada una de ellas obtenidas para 
valores particulares de las n constantes c1, c2, ...., cn. 
Cada una de estas curvas corresponde a una solución 
particular de la ecuación general y analíticamente puede 
obtenerse “sujetando” la solución general a n condiciones 
independientes que permitan valuar las constantes arbitrarias. 
Dependiendo de cómo se establezcan estas condiciones, se 
distinguen dos tipos de problemas: los llamados de valores 
iniciales y los de valores de frontera. 
 La solución de una ecuación diferencial es cualquier 
relación funcionalque no incluya derivadas o integrales de 
funciones desconocidas y que la verifique idénticamente 
por sustitución directa. 
Por medio del análisis matemático, podemos obtener la 
solución analítica de aquellas ecuaciones lineales a coeficientes 
constantes. A partir de la integración encontramos una solución 
general a constantes indeterminadas, la cual tiene infinitas 
soluciones. Aplicándole una condición inicial obtenemos una 
solución particular, al hallar los valores de dichos coeficientes y 
definir la curva 
Básicamente, la solución numérica de ecuaciones 
diferenciales consiste en sustituir el dominio continuo de 
soluciones por uno discreto, es decir formado por puntos 
igualmente espaciados entre sí, obteniendo valores para esta 
serie de puntos a través de algoritmos (secuencia finita de 
operaciones algebraicas y lógicas que producen una solución 
aproximada del problema matemático). 
 
 
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Problemas de valores iniciales 
Un problema de valores iniciales está gobernado por una 
ecuación diferencial de orden n y un conjunto de n condiciones 
independientes, todas ellas válidas para el mismo punto inicial, 
obteniendo valores aproximados de la función solución de una 
ecuación diferencial en m puntos de un intervalo (solución 
discreta) del dominio de la misma 
Los métodos que estudiaremos están limitados a la 
solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. 
Sin embargo, cualquier ecuación diferencial ordinaria de orden n 
puede ser transformada en un sistema de n ecuaciones 
diferenciales ordinarias de primer orden 
 
Métodos de un paso 
ECUACION: 
Dada una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la 
forma: 
 
la solución numérica tendrá la forma: 
yi1 yiφ h 
Valor final del intervalo = Valor inicial del intervalo + 
pendiente x paso (magnitud del intervalo) 
El valor de la función en el primer punto interior del 
intervalo se calcula a partir del valor conocido de la función en 
punto inicial del intervalo. De la misma forma el valor de la 
función incógnita en el i-ésimo punto del dominio, xi, se calcula a 
partir del valor de la función en el punto xi-1. A su vez la función 
en el punto i+1 se calcula a partir del valor de la función en el 
punto i,. Es decir que se calcula la función en un punto cualquiera 
del intervalo partiendo de la solución obtenida para el punto 
anterior, y así sucesivamente. 
 
JUSTIFICACIÓN TEÓRICA: 
De acuerdo con esta ecuación, una pendiente estimada φse usa 
para extrapolar desde unvalor anterior yia un nuevo valor 
yi+1(sobre el cateto vertical)en una distancia h (cateto 
horizontal).Todoslos denominados métodos de un paso, que 
veremos en este capítulo, se pueden expresar en esta forma 
general, que solo va a diferir en la manera en la cual se estima la 
pendiente. 
 
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Serie de Taylor 
ECUACIÓN 
La serie de Taylor es una serie polinómica (sumatoria de términos 
de aproximación) que aproxima a la función f(x). 
 
 
 
JUSTIFICACIÓN TEÓRICA 
Descomponiendo la serie de Taylor, la misma básicamente se 
trata de: 
0- Aproximación de orden cero, es el valor de la función en el 
punto inicial. 
1- Aproximación de primer orden, es la multiplicación de una 
pendiente por una distancia (el paso), con lo cual obtengo 
una línea recta que representa el incremento o 
decremento de la función (aproxima solo una línea, osea 
una función lineal) 
2- Voy agregando términos adicionales para obtener algo de 
curvatura, que aproxime más a la función. 
3- Si la serie es infinita, la misma representa exactamente la 
función original. 
4- Si no es infinita y truncamos la serie, aparece un residuo 
que resulta de comparar la función y la serie, es decir 
representa la diferencia entre el valor real de la función y 
el valor de la aproximación del polinomio. 
Siempre tengo la solución numérica. 
Una de las ventajas del método es que es directamente aplicable 
a orden superior a 1. 
La desventaja es que tiene el dominio muy limitado. 
 
PASOS DEL MÉTODO 
 El método de la serie de Taylor se utiliza cuando 
desconozco la expresión de la función, por eso la 
aproximo a través de una serie. 
 Tengo una condición inicial y0=f(x0) y una expresión de la 
derivada de la función Y’0=f’(x0)... 
 Defino un paso h=(x-x0). La convergencia viene dada por 
h <1 . Para cada valor de x, h va cambiando. 
 Desarrollo las sucesivas derivadas de la serie de Taylor 
utilizando la regla de la cadena, y armo la serie. 
0 1 2 
 
4 
 
3 
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ANALISIS DEL ERROR 
 Definir una “aproximación razonable” implica decidir qué 
tan lejos de x0 deseo evaluar f(x) y el número de términos 
(n) que agregamos a la serie de Taylor para disminuir el 
error. 
 El error equivale a Rn = O(hn+1),donde la nomenclatura 
O(hn+1) significa que el error de truncamiento es de orden 
h
n+1. Es decir, el error es proporcional al incremento h 
elevado a la (n+1)ésima potencia.El error disminuye al 
achicar h y aumentar el número de términos (n). 
 Se tiene control sobre el valor h. 
 El valor del error es desconocido, pero su magnitud es útil 
para para evaluar el error comparativo de los métodos 
numéricos que se basan en expansiones de la serie de 
Taylor. 
Por ejemplo, si el error es O(h) y el incremento se reduce a la 
mitad, entonces el error también se reducirá a la mitad. Por 
otro lado, si el error es O(h2) y el incremento se reduce a la 
mitad, entonces el error se reducirá a una cuarta parte. 
Tipos de errores: 
De truncamiento: depende del método utilizado. 
- Local: el error correspondiente a un solo paso. 
- Propagado: el correspondiente a pasos previos. 
- Global: suma del local y el propagado. Su magnitud 
determina la forma en que se reduce el error total del 
intervalo al achicar el paso. Determina las cifras 
significativas 
De redondeo: cantidad de cifras que la maquina retiene. 
Los métodos de orden n-ésimo darán resultados perfectos si la 
función solución de la ecuación diferencial a resolver es un 
polinomio de orden n-ésimo. 
 
 
 
EJERCICIOS 
 
(este punto se repitió en exámenes) 
b. y e. no pueden resolverse por el método de Taylor ya que para 
hacerlo, las condiciones iniciales deben estar dadas para el 
mismo valor inicial. El hecho de que haya ecuaciones de orden 
mayor a 1 no influye ya que se aplica directamente. 
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a. Depende de cuán lejos llevemos el error de la serie. Al 
sumar varios términos, esta pierde completamente la 
sencilles. 
b. Incorrecto, al ser el valor de h=x-x0 , este va variando en 
cada paso. 
c. Es cierto, ya que podemos controlar el error o achicando 
el paso, o aumentando términos n. 
d. Correcto, es directamente aplicable para EDOs de orden 
superior. 
e. No puede resolver problemas de contorno, ya que para 
desarrollarla necesitamos saber un valor inicial y la 
expresión de la derivada. 
 
 
 
 
 
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Método de Euler 
 
ECUACIÓN 
 
 
JUSTIFICACIÓN TEÓRICA 
 Resulta de truncar la serie de Taylor en el término de 2do 
orden. Todo lo posterior pasa a ser error de 
truncamiento. 
 La pendiente de la recta es la tangente a la curvatura en el 
punto inicial. Precisamente el error del método de Euler es 
tomar a la pendiente como aproximación de la pendiente 
promedio, es decir, suponer que se mantiene igual en 
todo el intervalo. Por ello, para tener un resultado 
aceptable con el método de Euler se deben realizar 
muchos pasos (osea que el valor de paso sea pequeño). 
 El paso es de valor constante h=xi+1-xi 
 Lo que hace el segundo término de la ecuación es 
extrapolar linealmente sobre el tamaño de paso. 
 Método de primer orden 
 
PASOS DEL MÉTODO 
 A partir de una condición inicial y la expresión de la 
derivada, reemplazo en la ecuación y obtengo el valor al 
final del intervalo. Voy realizando el mismo paso para 
sucesivos puntos 
 
 
ANÁLISIS DEL ERROR 
 
- Como el paso se mantiene constante, el error se 
mantiene acotado. Y por ende es proporcional a al 
cuadrado del tamaño de paso y proporcional a la 
primer derivada de la ecuación diferencial 
- Por ello el error se puede reducir reduciendo el paso. 
- Es un método de primer orden 
- Este método da predicciones sin error si la función es 
lineal (la segunda derivada es=0, donde comienza el 
error de truncamiento). 
- Deducción del error global:El error global es de 
magnitud O(h). Hacer el número de intervalos por el 
error local (n*O(h2)) es igual a multiplicar todo el 
intervalo por el error global ((xn-xo)*O(h)), deducido 
al descomponer el error local en (h*O(h)) y 
multiplicar n*h = (xn-xo) 
 
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EJERCICIOS 
a. No es cierto, ya que necesita de valores iniciales para ser 
resuelto. 
b. No es método predictor-correctos, ya que solo entrega el 
resultado final sin pasos intermedios. 
c. Tiene error local O(h2) correspondiente a truncar la serie 
de Taylor en la segunda derivada 
d. Como tiene el error de suponer la pendiente constante 
en el intervalo, para mayor exactitud se necesitan 
muchos pasos, lo que equivale a trabajar con un h 
pequeño. 
e. H se mantiene constante. 
 
(Este problema se repitió en exámenes) 
El intervalo va de 0 a 5, como sabemos el error local en el 
método de Euler es O(h2), y el global que es el que determina las 
cifras significativas es O(h). Con lo cual para tener resultados con 
3 cifras significativas, debemos trabajar con un h=0,001. 
Diviendo 5 por un paso 0,001 llegamos a 5000 pasos o 
iteraciones. 
 
 
El primer termino de aproximación cero, y el termino de la 
primer derivada = 2 términos en total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Método de Heun (o Euler modificado) 
 
ECUACIÓN 
 
 
PASOS DEL MÉTODO 
A partir de un valor inicial y la expresión de la primera derivada 
 
 
Calcula un valor predictor al final de la pendiente per medio del 
método de Euler, a partir del valor de la función al inicio, el de su 
derivada, y el tamaño de paso. Con dicho predictor se calcula el 
valor de la pendiente al final del intervalo. Con ambas 
pendientes se saca el promedio y se obtiene el valor correcto al 
final de la pendiente. 
 
JUSTIFICACIÓN TEÓRICA 
 Metodocorrector-predictor 
 Método de segundo orden Mejora la estimación de la pendiente ya que hace un 
promedio entre el valor de la pendiente al inicio y al final 
del intervalo 
 Como el punto Yi+1 aparece a ambos lados de la igualdad, 
se puede plantear la ecuación de forma iterativa. 
ANALISIS DEL ERROR 
 La magnitud delerror local es de orden 3 y el del error 
global es 2. Su deducción se obtiene de reemplazar en la 
serie de Taylor la segunda derivada por la obtenida por 
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medio de aproximación. Reordenando y reemplazando se 
llega a la fórmula de Heun. 
 
EJERCICIOS 
 
Sabemos que el error global es de orden 2, con lo cual O(h2). 
 
Para tener 2 cifras significativas, debemos tomar un paso h=0,1, 
de modo tal que h2 = 0,12 = 0,01 (dos cifras significativas). 
Dividimos 5 por el paso 0,1, llegando a un total de 50 iteraciones. 
 
 
El paso faltante es calcular la derivada al final del intervalo con el 
valor predictor. La expresión seria: 
Y’i+1= f(xi+1, y
0
i+1) 
 
Sabemos que el error global de Euler modificado es de orden 2. 
Con lo cual para el intervalo de 0 a 1, O(h2)=0,128 
Ahora si dividimos h por 4, obtenemos (h/4)2 = (h2 /16) = 
0,128/16 = 0,008 
 
 
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Método de Runge-Kutta 
Forma general. 
 
Donde la función incremento es: 
 
Donde a son contantes y k son los factores de corrección 
 
 Utiliza una función incremento que es la pendiente 
representativa en el intervalo. Esta se multiplica por el 
paso. Dicha función es una combinación lineal de 
coeficientes denominados factores de corrección, 
 Los factores de corrección kson pendientes, establecen 
relaciones de recurrencia ya que la primera interviene en 
la segunda, a su vez la primera y la segunda intervienen 
en la tercera y así sucesivamente. 
 Es posible concebir varios tipos de métodos de Runge – 
Kutta al emplear diferentes números de términos en la 
función incremento, que en general tiene n. 
Método de rungekutta de segundo orden 
 
 
 Para resolverlo debemos encontrar los valores de las 
contantes a y los valores p y q de los factores de 
corrección k2 
 Para ello: 
o Desarrollamos la segunda derivada como suma de 
derivadas parciales y reemplazamos en serie de 
Taylor hasta termino de segundo orden 
 
o Por otro lado desarrollamos k2 en serie de Taylor 
para dos variables hasta el término de primer 
orden, reemplazo la ecuación de Runge-kutta 
o Comparo ambas ecuaciones y encuentro que: 
 
 Supongo un valor de a para poder hallar el resto de los 
valores. De este modo habrá infinitos métodos de 2do 
orden. 
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Otros métodos de RungeKutta de segundo orden característicos: 
 
 
EJERCICIOS 
 
(Este problema se repitió en exámenes) 
El único que corresponde es el .d 
Prestar atención a cuales son los coeficientes que acompañan 
cada término. 
 
 
 
f. Es la única correcta, en el cual a=1/2 y b=1/2 
 
 
 
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Método de Runge-Kuttaclásico de cuarto orden 
 
 
 
 Es el resultado de establecer con antelación valores de 
constantes. 
 Son desarrolladas estimaciones múltiples de las 
pendientes en el punto medio (k2 y k3), para finalmente, 
combinadas con las pendientes obtenidas al inicio y final 
del intervalo (k1 y k4), obtener una pendiente promedio 
mejorada para el intervalo. 
 Las pendientes k2 y k3 son estimaciones del punto 
medio, y pesan más al estar más próximas a los valores 
de la pendiente de la secante, por eso están 
multiplicadas por 2. 
 El error local es O(h5) (trunca luego de la 4ta derivada), 
con lo cual el error global es O(h4) 
 
 
EJERCICIOS 
 
Ponderar es determinar el peso de algo. 
a. Falso, están pesas más al estar más próximas a los valores 
de la secante. 
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b. Error Global O(h4) 
c. Correcto, al pesar mas 
d. Correcto, al truncar luego de la 4ta derivada. 
e. Incorrecto, se necesita un valor inicial para describirla. 
 
 
Sabemos que el error global es O(h4), con lo cual debemos 
buscar un h que elevado a 4 nos de un resultado con 6 cifras 
decimales. 
a. 0,014 = 0,00000001 (8 cifras) 
b. 0,054 = 0,00000625 (8 cifras) 
c. 0,14= 0,0001 (4 cifras) 
d. 0,024= 0,00000016 (8 cifras) 
e. 0,044=0,00000256 (8 cifras) 
f. Ninguna es correcta. 
Para mi es la f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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E.D.Os de orden superior 
 Se transforma en un sistema de nEDOs de primer orden 
con n-1 sustituciones 
 Cuando tengo ecuación de orden n, tengo que hacer 
sustitución n-1 de las derivadas para formar sistema de n 
ecuaciones con n incognitas. 
Ejemplo: 
m Xtt + c Xt + kx = 0 
 Reemplazo Xt= v 
 Entonces queda 
o m Vt + c V + kx = 0 Vt= (-cv – kx) / m 
o Xt = v 
 Luego aplico el método a cada una de las EDOs. 
 
EJERCICIOS: 
 
(este ejercicio se repitió en exámenes) 
Desarrollamos las sustituciones de la ecuación 
y’ = v 
v’=u 
Reemplazando en la ecuación: 
u’-2v+y=x 
 
Despejamos u’ 
u’=x+2v-y 
 
El sistema queda armado por esta ultima ecuación y las 
dos anteriores resultantes de la sustitución. 
 
Y quedando las condiciones : 
 Y(0)=1, v(0)=-1, u(0)=0 
 
 
Si y’=u, entonces u’= y’’. Reemplazando ambas ecuaciones en la 
expresión u’=2y-3u llegamos a y’’=2y – 3y’. 
Evaluando cada una de las respuestas, vemos que si despejamos 
y’ llegamos a la respuesta .e 
 
 
 
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Al ser una ecuación de orden n=4, deben realizarse n-1= 3 
sustituciones 
Las sustituciones quedarían: 
- y’=u 
- u’=v 
- v’=w 
Reemplazando en la ecuación original 
- w’-3v+1=0 
 
 
Al ser problema de valores iniciales solo podemos resolver EDOs 
de primer orden, por lo cual a las de orden superior debemos 
reducirlas a EDOs de primer orden. 
EDO 2orden= 2 EDOs 1er orden (con 1 sustitución) 
EDO 3er orden= 3 EDOs 1er orden (con 2 sustituciones) 
Total de EDOs = 5 EDOs 1er orden. 
 
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UNIDAD 2: E.D.Os con condiciones de borde. 
 
Problemas de frontera 
En los problemas de valores de frontera deben establecerse 
condiciones en todos y cada uno de los puntos que constituyen la 
frontera del dominio de definición del problema. En particular, 
en el espacio unidimensional hay dos puntos de frontera, por 
ejemplo x = a y x = b si el dominio de definición es el intervalo 
cerrado [a,b]. 
Habiéndose discretizado el problema continuo se tratará de 
obtener una solución para los puntos considerados, y esto se 
hará, en general, sustituyendo las derivadas que aparezcan en la 
ecuación diferencial y en las condiciones de contorno, por 
expresiones numéricas de derivación que proporcionen una 
aproximación a las derivadas o tratando de integrar la ecuación y 
reemplazando al proceso de integración por una fórmula 
numérica que se aproxima a la integral. 
 
Tipo de condiciones de contorno 
- Esenciales o de Dirichlet: Se el valor de la función en los 
extremos 
- Mixtas: Se el valor de la función en un borde y el de la 
derivada en el otro 
- Naturales o de Neumann: Se el valor de la derivada en los 
extremos. Para este caso la condición no debe ser 
homogénea, ya que de serlo no permitiría despejar la 
derivada. 
 
 Los problemas dinámicos tienen al tiempo como una 
variable independiente 
 Los problemas estáticos no varían en el tiempo 
 
 
Derivación numérica 
A partir de la serie de Fourier de primer orden para un valor 
posterior, podemos despejar la derivada primera y obtener una 
expresión de la misma en función a un punto inicial y otro 
posterior, obteniendo: 
OPERADOR DE DERIVACIÓN NUMÉRICA DE 1ER ORDEN HACIA 
ADELANTE 
 
 
Si tomo el paso respecto de un punto anterior 
OPERADOR DE DERIVACIÓNNUMÉRICA DE 1ER ORDEN HACIA 
ATRÁS 
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Si resto miembro a miembro 
OPERADOR DE DERIVACIÓN NUMÉRICA DE 1ER ORDEN 
CENTRADO 
 
 
En cambio si sumamos miembro a miembro 
OPERADOR DE DERIVACIÓN NUMÉRICA DE 2DO ORDEN 
CENTRADO 
 
 
 
 
 
 
 
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Método de diferencias finitas 
Aplican los operadores de derivación. 
 
PASOS DEL MÉTODO: 
1. Discretizo el dominio en n intervalos a partir de un paso 
regular 
2. Reemplazar las derivadas de la ecuación diferencial por 
los operadores de derivación 
3. Reordenando se llega a una ecuación sustituta, cuyos 
coeficientes me forman una molécula de calculo 
4. Aplicando la molécula de cálculo a cada nodo interior 
obtengo un sistema de ecuaciones que resuelvo de 
manera algebraica. Puede resolverse también de forma 
iterativa despejando una incógnita de la ecuación y 
desplazándola en la malla. 
 
JUSTIFICACIÓN TEÓRICA 
 Los operadores deben ser centrados, ya que son los que 
tienen la pendiente más aproximada y en lo posible del 
mismo orden de error que la ecuación. 
 Resuelve problemas de contorno de segundo orden 
 El sistema se transforma en un sistema de ecuaciones 
algebraicas ya que las derivadas se ven eliminadas al ser 
sustituidas 
 Al resolver el sistema obtengo una solución en puntos 
discretos, a diferencia de los métodos de un paso que 
daban el resultado al final del intervalo. Aquí se obtienen 
una serie de valores para distintos puntos. 
 
 
Para problema de contorno de 2° en condiciones esenciales o de 
dirichlet 
MOLÉCULA DEL MÉTODO 
 
 
 Obtengo un sistema de n-1 ecuaciones con n-1 
incognitas., cada una con 3 incognitas. 
 Excepto para el segundo y penúltimo nodo conozco los 
valores extremos a izquierda y derecha respectivamente, 
con lo cual tengo 2 incognitas, y los valores conocidos 
pasan al otro lado de la igualdad en la ecuación. 
 
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Para problema de contorno de 2° con condiciones naturales 
 
 Obtengo n+1 incognitas (el nodo fantasma donde se la 
derivada se suma) 
 La condición de borde se iguala un esquema de 
derivación numérica centradoy se despeja el el nodo 
fantasma. 
 
 
EJERCICIOS 
 
Lo principal de la pregunta está en la palabra centrados 
a. Incorrecto, esta afirmación solo aplica a cuando tengo 
condiciones de borde en la derivada. En caso de 
condiciones de Dirichlet esto no aplica. 
b. Porque si quiero tener la misma precisión o cifras 
significativas, con operadores centrados cuyo error es de 
orden O(h2), necesitaría menos nodos, osea un paso más 
grande, respecto de operadores hacia adelante o atrás de 
orden O(h). 
c. Porque al ser centrado, su error global es de orden O(h2), 
y si mantenemos el paso constante aumenta la precisión 
respecto de operadores hacia atrás o hacia adelante. 
d. De por si,utilizando los operadores hacia adelante o hacia 
atrás, dará tres incognitas de nodos sucesivos generando 
una matriz tridiagonal 
e. Existen operadores de segundo orden hacia adelante y 
hacia atrás. 
 
(esta pregunta se repitió en exámenes) 
a. No, precisamente el nodo fantasma es el nodo posterior 
a este punto. 
b. No, es un nodo que se ubica en una coordenada n+1 
c. Correcto, es lo que indica el método 
d. Correcto, dado que no conocemos el valor de la función y 
por eso lo aplicamos. 
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e. No, es un nodo en el que por medio del operador de 
derivación numérica centrado obtengo su valor. 
 
a. Correcto, tengo tantas condiciones de borde como el 
orden de la ecuación, con lo cual el sistema tiene 
solución. 
b. Correcto, tengo tanas condiciones como el orden de la 
ecuación. 
c. Incorrecto, tengo menos condiciones que las condiciones 
de borde. 
d. Incorrecto, ambas son homogéneas entonces no puedo 
resolver el sistema. 
e. Incorrecto, ambas condiciones están dadas en el mismo 
borde, el sistema no tiene solución. 
 
 
 
 
 
 
 
Si desarrollamos 
𝑦 − 2 
𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖−1
2ℎ
 + 3 
𝑦𝑖+1 − 2𝑦 + 𝑦𝑖−1
ℎ2
 = 𝑥 
𝑦 −
𝑦𝑖+1
ℎ
+
𝑦𝑖−1
ℎ
+
3𝑦𝑖+1
ℎ2
−
6𝑦
ℎ2
+
3𝑦𝑖−1
ℎ2
= 𝑥 
Agrupando términos y sacando factor común ℎ2 
ℎ2 ℎ + 3 𝑦𝑖−1 + ℎ
2 − 6 𝑦 + −ℎ + 3 𝑦𝑖+1 = 𝑥 
Pasando el ℎ2 del otro lado 
 ℎ + 3 𝑦𝑖−1 + ℎ
2 − 6 𝑦 + −ℎ + 3 𝑦𝑖+1 = 𝑥𝑖ℎ
2 
Llegamos a la expresión de e. 
 
 
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a. Incorrecto, obtiene la solución en puntos discretos. 
b. Incorrecto, no permite resolver EDOs con condiciones 
iniciales, solo con condiciones de borde. 
c. Correcto, al reemplazar las derivadas por ecuaciones 
algebraicas. 
d. Correcto, ya que caso contrario la solución es 
inconsistente 
e. Incorrecto, porque me tendría una sola condición de 
borde, el sistema de ecuaciones quedaría sin solución. 
 
Desarrollando 
 
 
 
 
 
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Métodos de aproximación Global o de residuos ponderados 
Supongamos que tenemos un operador diferencial lineal D 
actuando en una función u para producir p. 
 
Queremos aproximar a u con la función û, la cual es una 
combinación lineal de funciones bases seleccionadas de un 
conjunto lineal independiente. Esto es: 
 
 
A medida que i tiende a infinito mejora la aproxmación. 
Ahora cuando sustituimos en el operador diferencial D, el 
resultado de la operación no es en general p(x). Contiene un error 
o residuo existente. 
 
La idea de los métodos de residuos ponderados es forzar el 
residuo hacia cero en algún sentido sobre el dominio. 
 
Wles un conjunto de funciones de peso independientes. La 
condición general de convergencia enunciada anteriormente, es 
decir, que û→ u cuando M → ∞ (anteriormente expresado como 
i) puede ser expresada alternativamente 
mediante la ecuación anterior exigiendo que la misma se 
satisfaga para todo l para M → ∞. Esto sólo será cierto si R_ → 0 
en todos los puntos del dominio como es lo deseable. 
El número de funciones de peso W es exactamente igual al 
número de constantes desconocidas a en la función û. El 
resultado es un conjunto de n ecuaciones algebraicas para las 
constantes desconocidas Hay diferentes métodos de residuos 
ponderados para distintas funciones de peso. 
 
 
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Método de colocación 
 
ECUACIONES DEL MÉTODO 
Para la función de la forma 
 
 
 
 
JUSTIFICACIÓN TEORICA 
Dada una función u, suponemos una solución aproximada û. Si 
yo valuo la función u con la solución û, esta tendrá un valor 
resdiual distinto de 0. Pero si elegimos correctamente el valor û 
podemos hacer que ese residuo tienda a cero. 
El valor de la función û 
 
Donde los coeficientes ai son incógnitas, parámetros que ajustan 
la aproximación.Las funciones deben cumplir con las condiciones 
para los valores de frontera: 
 
 
Al definir 2 puntos de colocación, definimos que el residuo debe 
ser cero en dos puntos interiores del dominio, como lo 
demuestra la gráfica verde de la función residuo. El resto de las 
funciones, la solución particular y las funciones de base se 
corresponden con las condiciones explicitadas. 
Al definir una cantidad de puntos de colocación, suponemos que 
el residuo para dichos puntos es igual a cero. Los puntos de 
colocación no pueden coincidir con los puntos de las condiciones 
de bordes, ya que se obtendría una solución trivial. Estos deben 
pertenecer al dominio. 
Para dos puntos de colocación por ejemplo, cumpliendo con las 
ecuaciones impuestas anteriormente, la solución particular es 
una función lineal que adopta los valores de la función en las 
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condiciones de borde, mientras que las funciones de base o 
forma son tomadas de la familia de funciones polinómicasdeltadiracdel dominio, 
Wi(x) = δ(x−xi). 
La función de Diracδ tiene la propiedad de: 
 
Por lo tanto la integración del residuo compuesto con las 
funciones de peso equivale a forzar el residuo a cero en puntos 
específicos del dominio. 
Resolviendo el sistema de residuos igualados a cero y valuados 
en los puntos de colocación, obtengo los coeficientes (incognitas) 
de las funciones de base y hallo la solución aproximada. 
Para que el sistema tenga solución, debo tener tantos puntos de 
colocación como funciones de base (acompañadas de sus 
respectivos coeficientes). La primera función de base es 
cuadrática, y las sucesivas aumentan de a un grado. 
La solución se asemeja a una solución analítica. 
El método tiene la complicación de la dificultad de encontrar 
funciones de forma adecuadas cuando son muchos los puntos de 
colocación. Para eso surge el método de elementos finitos. 
 
PASOS DEL MÉTODO 
Para ecuaciones de segundo orden con dos puntos de 
colocación. 
1. Defino los 2 puntos de colocación dentro del dominio 
determinado por las condiciones de borde 
2. Defino las funciones que componen a la solución 
aproximada. La función lineal a partir de la ecuación de 
una recta y=ax+b y las funciones de base como funciones 
cuadráticas y cubicas con raíces en las condiciones de 
borde. 
3. Derivo esta solución aproximada y reemplazo en la 
ecuación diferencial originial. Reordenando valores y 
agrupando, hallo la expresión del residuo. 
4. Ahora, como suponemos que los residuos son cero en los 
puntos de colocación, armo un sistema de dos 
ecuaciones residuos igualados a cero y valuados en los 
puntos de colocación. 
5. Resuelvo el sistema algebraicamente y obtengo los 
valores de los coeficientes que acompañan a a las 
funciones de base. De esta manera, obtuve mi solución 
aproximada completamente definida. 
ANALISIS DEL ERROR 
 
EJERCICIOS 
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(se repitió) 
a. Correcto, dado que si tengo menos puntos de colocación 
que ecuaciones de forma o base, me queda un sistema 
de menores ecuaciones que incognitas, con lo cual no se 
podría resolver. En caso de ser más puntos, quedaría un 
problema indeterminado. 
b. En caso de ser iguales a los bordes, obtengo solución 
trivial 
c. Correcto, los puntos de colocación deben pertenecer al 
dominio de la ecuación. 
d. No es necesario que sean equidistantes entre si. 
e. Debe haber tantos como ecuaciones de base, ya que de 
lo contrario el sistema quedaría indeterminado. 
 
 
Si consideramos que las ecuaciones de forma deben tener sus 
raíces en las condiciones de borde, y la primera debe ser 
necesariamente cuadrática para cumplir con estas condiciones, 
entonces 3 ecuaciones posteriores, la 4ta ecuación deberá ser de 
orden 5. 
 
La función Ψ es una recta. 
Al tener dos puntos de coloción, el residuo debe tener dos raíces 
internas en el dominio. 
La grafica que cumple con estas condiciones es la c. 
 
 
 
 
 
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Galerkin o de residuos ponderados 
En el método de Galerkin, la función de peso es la derivada de la 
solución aproximada con respecto al coeficiente desconocido. 
De esta manera, las funciones de peso quedan: 
 
 
Donde por las propiedades de la función de dirac se prueba que 
 
Que para el caso el residuo (obtenido como en el método de 
colocación a partir de una solución aproximada), la integral del 
residuo por la función de peso, debería ser igual a cero que es el 
valor supuesto del residuo. 
De este modo, resolviendo un sistema de tantas integrales como 
ecuaciones de peso, obtenemos los coeficientes de la funciones 
de peso que componen el residuo. 
Al ser la integral de la función por la delta de dirac, el valor de la 
función valuada en el punto, el igualarla a cero nos permite 
hallar un sistema de ecuaciones. 
Las condiciones de las funciones de peso es que sean cero en los 
extremos, para que el producto sea cero independientemente 
de lo que valga el residuo, entonces los puntos son coincidentes. 
Por otro lado las funciones de peso deben ser distintos de cero 
dentro del dominio. 
 
Más sobre la función delta de dirac. 
 
siendo , la función tiende a infinito cuando x = 0, y para 
cualquier otro valor de x es 0, osea que cuando x tienda al punto, 
la función tiende a infinito. 
 
 
EJERCICIOS 
 
(repetido) 
a. INCORRECTO, la función delta dirac es igual a cero para 
cualquier valor distinto de x 
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b. INCORRECTO, la función tiende a infinito cuando x tiende 
a xi 
c. CORRECTA, Cualquier función multiplicada por la función 
delta dirac es igual al valor de la función en el punto 
considerado. 
d. Correcta, la función delta dirac tiende a infinito cuando x 
tiende a xi 
e. INCORRECTO, por el punto anterior. 
f. CORRECTO, por condición de reciprocidad en las 
propiedades de la función delta de dirac. 
 
Todo responde a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(se repitio) 
a. INCORRECTA, esto era asi para el método de colocación, 
pero no asi para el método deGalerkin (que weber lo 
toma como el método de residuos ponderados). 
b. INCORRECTA, no necesariamente, a lo que si deben ser 
iguales es a las funciones delta dirac. 
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c. CORRECTA, es condición en todos los métodos de 
residuos ponderados 
d. CORRECTA, ya que si se hacen cero los coeficientes 
resultantes de la integración responderían solo a la 
solución trivial. 
e. INCORRECTA, similar a la anterior. Si las funciones de 
peso son 0, estos haría que los coeficientes respondan 
solo a solución trivial 
 
Método de elementos finitos 
Es un método de aproximación local. 
Dividir el dominioen subdominios o elementosno superpuestos 
yentonces construir una aproximación ûpor tramos sobre cada 
subdominio 
 
METODOS DEL PASO 
Discretizar el dominio, dividirlo en elementos finitos no 
necesariamente regulares. 
 
Formulación débil: A cada elemento aplico el método de galerkin 
para desarrollar ecuaciones de aproximación de la solución, 
siendo la función de forma a utilizar del tipo polinomios de 
Lagrange: lineales (n=2) o cuadráticos (n=3), o polinomios de 
Hermite. 
Desarrollando los polinomios de Lagrange obtenemos: 
Polinomios Lineales 
 
 
Polinomios cuadráticos 
 
A continuación aplicamos Galerkin 
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Desarrollando ambas integrales, encontramos soluciones 
aproximadas para yL e yR 
Poniendolo en forma matricial, econtramos las ecuaciones del 
elemento lineal 
 
Donde alfa, beta son constantes que aparecen de la fórmula del 
residuo acompañando a las derivadas, y f el termino 
independiente. 
La matriz k es conocida como al matriz de rigidez elementa para 
el elemento omega, de forma análoga 
 
Considerando esto y resolviendo, alfa y beta salen de las 
integrales, y las expresiones (x-R) y (x-L) = h se integran llegando 
a las siguientes expresiones: 
 
Para elementos cuadráticos 
 
 
El siguiente paso es el ensamblado del sistema con su posterior 
resolución. Para ellos, debemos hacer coincidir los bordes de 
cada elemento finito, aplicándole la matriz desarrollada, y 
obteniendo la expresión de la ecuación para el nodo. 
 
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Para el primer y último nodo, la ecuación difiere al no cancelarse 
la condición de borde en la derivada. 
Armando el sistema de ecuaciones de todos los nodos del 
dominio, podemos resolver matricialmente y obtener la serie de 
valores discretos. 
Cuando las condiciones del tipo naturales/ Neumann, 
reemplazamos el valor de las derivadas en la ecuación que las 
contiene. 
 
 
Cuando las condiciones de borde son del tipo esencial o de 
Dirichlet, conozco el valor de la función en el nodo, con lo cual 
no compone el conjuntode incógnitas. Eliminamos de este 
modo la columna que premultiplica dicho valor, y la fila con la 
derivada cuyo valor desconocemos y pasamos al lado del 
término independiente el valor conocido con su coeficiente K 
correspondiente de la que resulta ser la nueva primera fila. 
 
El resultado obtenido es continuo, dado por û. Sin embargo, del 
sistema lo que se obtiene es una serie de puntos. 
 
EJERCICIOS 
 
(repetido) 
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(repetido) 
La respuesta correcta es la d. Ver el desarrollo de la matriz de 
rigidez. 
 
Creo que 5 incognitas. Una en cada nodo donde el valor de la 
función es desconocido. Depende de la cantidad de elementos 
no del tipo de elementos. 
 
a. Correcto, al derivar por partes, al derivar el primer 
término Ny’’, nos quedan dentro del resultado la 
condición de borde en la derivada que luego pasará al 
termino independiente. 
b. Incorrecto, no reduce la complejidad. Es la forma de 
hacerlo. 
c. Incorrecto, se hace para cualquiera de las dos 
condiciones. 
d. INCORRECTO, no los reduce 
e. CORRECTO, en todas las integraciones la derivada de la 
solución aproximada se ve reducida. 
 
 
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El correcto es el termino b. Ver desarrollo de la matriz de rigidez 
 
 
 
a. CORRECTO, no puede resolverse porque al faltar una 
condición de borde el sistema se vuelve indeterminado, 
el método no resuelve EDOs de primer orden. 
b. CORRECTO, Por que al ser un problema de condiciones 
de borde, al estar dadas las condiciones en el mismo 
punto el problema es indeterminado. 
c. INCORRECTO, Si se puede resolver, condiciones dadas en 
los bordes. 
d. INCORRECTO, si se puede resolver, 
e. INCORRECTO, si se puede resolver, condiciones dadas en 
los bordes. 
Cuatro elementos. Cada ecuación representa un nodoincognita, 
le cancelamos la ecuación correspondiente a el nodo en el que 
sabemos el valor de la función. 
 
 
 
 
 
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UNIDAD 3 – Series de Fourier 
La serie de Fourier permite aproximar funciones, pero en vez de 
ser por medio de polinomios como la serie de Taylor, lo hace a 
través de series trigonométricas. 
Para poder ser representada por series trigonométricas, la 
función debe ser monótona por trozos y presentar 
discontinuidad de primer especie. La serie de Fourier representa 
la continuidad de la función. 
Si la función converge, la sumatoria de los coeficientes es igual a 
f(x)=f(x+2pi) 
Dado que coseno y seno son funciones de periodo 2pi 
Y es además integrable. 
 
 
Relaciones de ortogonalidad 
Un conjunto de funciones 𝜙𝑘(𝑡) son ortogonales en un intervalo 
a<t<b si para dos funciones del conjunto 
 𝜙𝑚 (𝑡)𝜙𝑛(𝑡)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑡 
=0 si m≠n 
=r si m=n 
 
Donde las identidades trigonométricas para resolverlas son: 
 
 
EJERCICIOS 
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Por relación de ortogonalidad, si no indica que n=k, entonces es 
cero. 
 
(repetida) 
Por relación de ortogonalidad, si n es distinto de k, la integral es 
cero, con lo cual la expresión es 1. La respuesta correcta es la e. 
 
La respuesta correcta es la a. 
 
 
(repetida) 
La respuesta correcta es la c. ninguna de las restantes. La 
respuesta correcta seria 
½ [ - cos(n+k)x + cos(n-k)x] 
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e.correcta, obsevando las relaciones de ortogonalidad. 
 
 
(se repitió) 
De relaciones de ortogonalidad podemos ver que la integral del 
coseno cuadrado de kx es igual a pi. En la expresión dada se 
puede separar la integral, y resolviendo llegamos a la solución d. 
Fórmulas de los coeficientes 
El coeficiente a0 se obtienede integrar ambos miembros. Las 
integrales que acompañan a los coeficientes ak y bk se vuelven 
cero al ser valuadas en pi y –pi. 
Finalmente el valor del coeficiente es 
 
El coeficiente ak, se obtiene de multiplicar ambos miembros por 
cos(kx), y donde por las relaciones de ortogonalidad se llega a 
que el valor del coeficiente ak es: 
 
El coeficiente bk, de manera similar a ak, se multiplican ambos 
miembros por sen(kx) y resolviendo considerando las relaciones 
de ortogonalidad se llega a: 
 
 
 
EJERCICIOS 
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Del desarrollo de los coeficientes. La respuesta correcta es la c. 
 
(repetido) 
Del desarrollo de los coeficientes. La respuesta correcta es la a. 
 
 
Series de Fourier de funciones pares e impares. 
Una función par es aquella en la que se cumple 
 
Por lo cual es simétrica respecto del eje y. 
 
Una función impar es aquella en la que se cumple 
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Por lo cual es simétrica respecto del origen. 
En función a la paridad de las funciones podemos desarrollar dos 
teoremas. 
El primero dice que si una función es par, la integral de un 
periodo 2l es igual a 2 veces la integral de la función en el 
periodo 0 a l. Equivale a sumar dos veces el área debajo de la 
función 
Por otro lado, la integral de una función impar en un periodo 2l, 
es igual a cero. Se pude tomar como la resta de dos imágenes 
iguales y opuestas. 
 
El segundo teorema dice que si multipliamos dos funciones 
pares, el resultado será otra función par. Si multiplicamos dos 
funciones impares el resultado será otra función par, y si 
multiplicamos una función par y otra impar e resultado será una 
función impar. 
La función coseno es una función par, mientras que la función 
seno es una función impar. 
Con todo esto, analizando la paridad de la función dada, 
podremos determinar más fácilmente los valores de los 
coeficientes de la serie de Fourier que aproxima la función. 
Si la función dada es impar, la aproximación por serie de Fourier 
será una función de solo senos. 
En cambio si la función es par, será una serie de solo cosenos. 
 
EJERCICIOS 
 
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Dado que es una función par, su aproximación puede estar dada 
por una serie de solo cosenos. Con lo cual la respuesta correcta 
es la c. 
 
Al ser el coeficiente bk=0 fue aproximada como una función par. 
Por ello las opciones a y d quedan descartadas inmediatamente. 
La opción b por otro lado 
 
 
 
Nuevamente, al ser el coeficiente bk=0, se trata de una función 
aproximada por una serie par. La única opción que cumple con la 
condición par es la b. 
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(repetido) 
Al ser el coeficiente bk=0 fue aproximada como una función par. 
Por ello las opciones c y d quedan descartadas inmediatamente. 
Por otro lado, la serie par presentada en a no se comporta como 
una función periódica ya que no hay un periodo que se repita. 
La única aproximada de manera par es la e. 
 
 
 
 
 
 
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Series de Fourier de período arbitrario 
Para funciones de periodo arbitrario se debe realizar una 
sustitución del tipo 
 
 
 
 
 
 
 
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Como es una función impar, la opción d queda descartada. 
Reemplazando a la ecuación de funciones de periodo 2l = 2 
llegamos a la respuesta c. 
 
Series de Fourier de funciones no periódicas 
 
 
Analizamos la aproximación. Está compuesta por senos y 
cosenos. El periodo es 3=2l, con lo cual l es igual a 3/2. Si 
desarrollamos. Los limites de integración son l+c (donde c es el 
valor del centro del periodo). La respuesta correcta resulta ser la 
e 
 
 
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UNIDAD 4 – Ecuaciones en Derivadas parciales 
Una ecuación que tiene derivadas parciales de una función 
desconocida, de dos o más variables independientes, se 
denomina ecuación diferencial parcial. 
La notación de las derivadas parciales es: 
 
LasEDPs de 2do orden tienen la forma: 
Auxx+ Buxy+ Cuyy+ Dux+ Euy+ Fu=G 
Donde la expresión general se resume a: 
Auxx+ Buxy+ Cuyy=H(G,F,E,D) 
Donde A, B y U son funciones de x e y. Puede ser a coeficientes 
constantes o coeficientes variables. 
 
Su caracterización es similar a las ecuaciones diferenciales 
ordinarias: 
Orden, el de la derivada parcial de mayor orden. 
Número de variables independientes. 
Linealidad, si: 
- en ella no aparecen potencias de la variable dependiente 
ni de sus derivadas 
- ni productos de la variable dependiente por sus derivadas 
- productos entre derivadas. 
Una manera sencilla de probarlo es que los coeficientes no 
dependan de la variable dependiente. Las ecuaciones lineales 
suelen tener solución analítica, los MDF o MEF dan como 
resultado un sistema de ecuaciones lineales y la ecuación 
característica tiene una solución explicita. 
Por otro lado las ecuaciones no lineales no suelen tener solución 
analítica, sus resoluciones dan lugar a sistemas no lineales que se 
resuelven con métodos iterativos y su ecuación característica no 
tiene solución explicita. 
 
Homogeneidad, es no homogénea si existentérminos que no 
dependan de la variable dependiente o sus derivadas. 
 
Clasificación de las EDPs: ecuación característica. 
Dada la expresión general de las ecuaciones diferenciales de 
segundo orden y la expresión del diferencial de una función: 
 
Las expresamos en forma matricial y obtengo el determinante: 
 
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Si dividimos la expresión por dx2 llegamos a la expresión 
característica: 
 
Si expresamos en los coeficientes A, B y C en forma del 
discriminante de bashkara: 
 
 
Llegamos a que la ecuación puede tener 2 soluciones reales 
iguales, 2 reales distintas, o 2 complejas conjugadas. 
 
Ecuaciones parabólicas, hiperbólicas y elípticas. 
 
Por analogía con las funciones cónicas a las ecuaciones de 
acuerdo a su solución las denominamos parabólicas, hiperbólicas 
y elípticas. 
 
 
(A=1, B=0, C=0) Las ecuaciones parabólicas representan 
problemas de difusión, que se desarrollan en una sola dirección. 
Determina como varia una incógnita tanto en el espacio como en 
el tiempo. Ejemplo barra larga y delgada. Ejemplo, ecuación del 
calor. 
(A=1, B=0, C=-1)Las ecuaciones hiperbólicas representan 
fenómenos oscilatorios, ya que presenta segunda derivada 
respecto del tiempo, ósea una variación en dos sentidos 
respecto del tiempo. Ejemplo, ecuación de la onda. 
(A=1,B=0,C=1) Las ecuaciones elípticas presentan problemas 
estacionarios, en los que no interviene el tiempo pero si 2 
dimensiones. Ejemplo, ecuación de Laplace o Poisson. 
 
Condiciones de contorno. 
Las ecuaciones parabólicas e hiperbólicas, por tener variables 
temporales, requieren de una condición inicial (para t=0). A su 
vez, tienen condiciones de borde. Tienen dominio abierto, con lo 
cual se puede llegar tan lejos como se desee en el tiempo. 
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Por otro lado, las ecuaciones elípticas solo tienen condiciones de 
contorno, simultáneas, las cuales tienen que estar definidas para 
todos los bordes de la ecuación, ya que de otro modo no se 
puede llegar a la resolución del problema. 
Cuando la condiciones se da en la derivada, la misma es normal 
al contorno del borde. 
 
 
EJERICICIOS 
 
(repetido) 
Si comparamos con la ecuación característica, los coeficientes 
valen: A=0, B=3, C=x, con lo cual calculando el discriminante 
(-B)2-4AC =(-3)2-4.0.x=9>0 . Al ser mayor a cero se trata de una 
ecuación hiperbólica, la respuesta correcta es la c. 
 
(repetido) 
A=1, B=-2, C=0, con lo cual el determinante es D=4>0 con lo cual 
la ecuación es hiperbólica. 
 
Primero de todo debemos recordar que los problemas 
estacionarios son los que se corresponden con ecuaciones 
elípticas. Identificando los coeficientes de las derivadas parciales. 
a. INCORRECTO, es parabólica ya que el discriminante es 0 
b. Incorrecto, es hiperbólica ya que el discriminante es 4>0 
c. Correcto, el discrimintante es -8<0 
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d. Incorrecto, el discriminante es 17>0 
e. Correcto, el discriminante es -54>0 
 
Solución analítica: método de separación de variables y 
series de Fourier. 
Las condiciones para la cual se puede resolver por el método de 
separación de variables es cuando suponemos que la EDP es 
lineal y homogénea. En caso de no ser así, no se podría 
establecer como combinación lineal y no se podría separar. 
PASOS DEL MÉTODO 
La idea general del método se basa en hallar una solución que 
satisfaga la ecuación diferencial y las condiciones de borde 
impuestas. 
1. Lo que se buscará realizar es a partir de una EDP u(x,t) 
armar un sistema de EDOs X(x) e T(t). 
2. Se establece una solución fundamental que satisfaga las 
condiciones de borde: 
u(x,y)=X(x).T(t) 
y se la aplica a la ecuación del problema, y resolviendo el 
sistema de EDOs, llegamos a una solución general: 
U(x,t)=∑An.Xn (x) Tn (t) 
3. Sujetando la solución general a las condiciones de borde 
llegamos finalmente a la solución particular. 
 
Ecuación parabólica, ecuación del calor: 
 
La misma tiene 3 condiciones ya que es de dominio abierto, y 
tiene una condición de tiempo inicial. 
Aplicamos la solución fundamental a la ecuación parabólica y 
obtenemos una igualdad, donde la única posibilidad es que sean 
iguales a una constante. 
T’/α 2 T = X’’/X = k 
Armamos el sistema de EDOs: 
1. T’/α 2 T=k  T’-k α 2 T = 0 
2. X’’/X = k  x’’ – kx = 0 
Comenzamos por resolver la 1. Integrando ambos miembros 
llegamos a que T= D.ek α 2 t 
Supongo que k es menor a cero y que k=-λ2 , quedando: 
T= D.e-λ2 α 2 t 
Donde la gráfica de una función exponencial negativa es 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
 
Resolviendo la EDO .2, sabiendo que es una ecuación lineal cuya 
ecuación característica es: r2+ λ2 = 0 llegamos al resultado de que 
X= A. cos λ x + B senλx 
Formamos la solución general 
U(x,t)= D.e-λ2 α 2 t *A. cos λ x + B senλx+ 
Y comenzamos a sujetarla a las condiciones de borde. 
Al aplicar la condición inicial nos queda el coeficiente B que se 
obtiene por desarrollo de serie de Fourier, llegando finalmente a 
la expresión 
 
Ecuación hiperbólica, ecuación de la onda: 
Remplazando la solución fundamental en la ecuación de la onda 
Z.T’’=c2 Z’’T 
T’’/c2T = Z’’/Z = -k 
Armando el sistema de ecuaciones 
T’’- c2Tk=0, Z’’ – kZ=0 
Resolviendo analíticamentese llega a que la solución 
fundamental es: 
U(x,t) = ∑ sen(nπx/l) * *Cn * sen (nπat/l) + Kncos (nπat/l) 
U(x,t) = ∑ Kn . sen ( nπx/l) . cos (nπat/l) 
Donde Kn es equivalente ak en desarrollo de serie de Fourier de 
periodo 2l. 
Ecuación elíptica, ecuación de Laplace: 
Desarrollando del mismo modo que el anterior se llega a: 
 
 
Para condiciones de borde en la derivada a la hora de sujetar la 
solución a las condiciones, debo derivar la solución y valuarla. 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
Si hubiera más de una condición de borde no nula se parte del 
principio de superposición para sumar las soluciones obtenidas 
con una sola condición de borde no nula. 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS 
 
Yo también hubiese dicho que tiende a cero debido a la 
exponencial. 
 
(repetido) 
Se corresponde con la ecuación de Laplace, y tiene 3 condiciones 
distintas de cero, con lo cual se deberán resolver tres series, 
cada una con una única condición distinta de cero. 
 
 
 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
 
(se repitió) 
Representa la ecuación de la onda. Su solución fundamental 
como en el desarrollo indicado es la d. 
 
 
 
Ecuación de Laplace, su solución fundamental es la e. 
 
La solución fundamental es u(x,t)=X(x).T(t), aplicándolo a la 
ecuación dada (ecuación del calor) resulta 
X.T’=a2 X’’.T 
Agrupandotérminos 
T’/ a2T=X’’/X=k 
Armando los sistemas de ecuaciones 
X’’- k.X = 0 , T’ – k. a2 T=0 
Con lo cual la respuesta correcta es la a. 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
 
 
La ecuación de Laplace, da origen al sistema X’’.Y+X.Y’’=0 , X’’Y=-
X.Y’’=k 
Con lo cual armando el sistema de ecuaciones: 
X’’/X=k, -Y’’/Y=k 
X’’- kX=0, Y’’ + kY =0 
La cual se corresponde con la opción e. 
 
 
a. Incorrecto, Las condiciones de borde homogéneas son 
una condición para la resolución del problema, no una 
consecuencia de la linealidad del mismo 
b. Incorrecto, lo que hacen que aparezcan los autovalores 
del problema son las condiciones de borde iniciales no 
homogéneas, habiendo asi infinitas soluciones. 
c. Incorrecto, que el sistema de EDOs resultante no 
necesariamente tiene que ser a coeficientes constantes. 
d. Correcto, la solución particular es una combinación lineal 
de soluciones fundamentaleslo cual no seria posible 
e. Correcto, las EDOs obtenidas son lineales. 
 
(se repitió) 
Ecuación de la onda, reemplazando la solución fundamental se 
obtiene: 
Z.T’’=c2 Z’’T 
T’’/c2T = Z’’/Z = -k 
Armando el sistema obtenemos T’’+ c2Tk=0, Z’’ +kZ=0 
Con lo cual la respuesta correcta es la d. 
 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
UNIDAD 5– Metodos numéricos de resolución 
EDPs de 2do orden 
 
Los métodos de separación de variables se basan en un 
desarrollo analítico, obteniendo una ecuación con la cual valuar 
a cada punto de la ecuación. A continuación, utilizaremos 
métodos numéricos que nos permitirán encontrar una serie de 
valores discretos. 
En el método de diferencias finitas para ecuaciones en derivadas 
parciales de 2 orden, debemos primero tomar dos valores (h y k) 
que subdividan el dominio de manera regular en x e y. 
H y k no necesariamente deben ser iguales. Luego de esta 
división nos queda una malla en diferencias finitas, donde nos 
queda el dominio discretizado en una serie de puntos 
regularmente distribuidos. 
A cada punto lo identificamos con los indices i y j, pertenecientes 
al conjunto de los naturales. 
Para hallar la solución en diferencias finitas, como en el caso de 
las EDOs, debemos utilizar esquemas de derivación centrados, 
de primer y segundo orden, para ambas variables 
independientes x e y. 
ESQUEMA DE DERIVACIÓN CENTRADO DE SEGUNDO ORDEN 
Para X 
 
Para Y 
 
La novedad en el método esta en que también se pueden utilizar 
esquemas para derivadas cruzadas, realizando dos derivaciones 
sucesivas de primer orden, entre un punto anterior y otro 
posterior. 
Uxy= [Uxi(j+1)-Uxi(j-1)]/2k = ([[U(i+1)(j+1) – U(i-1)(j+1)]/2h] - [[U(i+1)(j-1) – 
U(i-1)(j-1)]/2h])/2k 
Puedo reemplazar dichos operadores en la ecuación diferencial 
dada y asi reemplazo las derivadas por una serie de ecuaciones 
algebraicas. 
 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
Ecuaciones elípticas – Metodo de diferencias finitas 
Las ecuaciones elípticas se corresponden con la ecuación de 
Laplace Uxx+Uyy=0 
Como sabemos, estas ecuaciones son de dominio cerrado, con lo 
cual las condiciones tienen que estar dadas para todos los bordes. 
Tomamos un punto genérico ij, y reemplazamos en la ecuación 
de Laplace las derivadas por operadores de segundo orden 
centrados. 
 
Para el caso particular en que h=k, oseaΔx=Δy, la ecuación se 
convierte en 
 
La cual es conocida como la ecuación Laplaciana en diferencias 
finitas. A partir de aquí tenemos dos métodos para hallar los 
valores de la malla de puntos. 
Método de aplicación directa 
1. Armo la malla de puntos discretos 
2. Armo la molécula de cálculo. Para el caso de la ecuación 
de Laplace obtenemos la molécula denominada operador 
de 5 puntos de Laplace 
 
 
 1 
1 -4 1 
 1 
 
3. Voy aplicando la molécula en cada punto incógnita y 
obtengo las ecuaciones que forman mi sistema. 
Quedando una matriz de coeficientes de las incognitas 
que premultiplica a la matriz de las incognitas, 
obteniendo la matriz de términos independientes o 
valores conocidos. 
4. Resolvemos matricialmente el sistema y hallamos los 
valores discretos en los nodos desconocidos. 
 
Método de aplicación indirecta o método de relajación. 
Se trata de un método iterativo en el que: 
1. debo armar la malla con las condiciones de borde 
correspondientes. 
2. Luego despejo de la ecuación laplaciana en diferencias 
finitas el término del punto de interés ij, obteniendo que 
su valor equivale a un promedio de 4 valores o puntos 
vecinos. 
3. Aplico dicha ecuación en cada uno de los puntos y 
comienzo a iterar hasta que se estabilizan los valores. 
 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
Condiciones de borde en la derivada 
Metodo directo 
Cuando las condiciones de borde están dadas en las derivadas, 
desconozco el valor de la función. Supongamos que nos 
encontramos en el borde donde desconocemos el valor de la 
función, que se corresponde con el borde U3j. Si aplicamos la 
ecuación laplaciana en este borde, aparece un nodo que no 
pertenece al dominio, U4j. Dicho nodo es conocido como nodo 
fantasma y nos permitirá hallar el valor de la función en el borde 
a partir del valor en la derivada. Para ello, expresamos la 
derivada en el borde U3j por medio de un esquema centrado de 
primer orden: 
Ux3j = [ U4j – U2j ] / 2h = - U3j 
Despejando el valor U4j hallamos una expresión que puede 
reemplazarlo en la ecuación Laplaciana, la cual nos dara una 
nueva molecula que nos permitirá encontrar el valor en el borde 
desconocido, y que solo deberá ser utilizada en esta posición. 
U4j = - U3j . 2h + U2j 
De este modo, la faja diagonal en la matriz se expande tantas 
posiciones como incognitas dentro de la línea haya. 
Metodo indirecto 
Para el método indirecto tenemos dos posibilidades. La primera 
utilizar la misma ecuación laplaciana en todo los puntos, 
teniendo la precaución de armar efectivamente el borde de 
nodos fantasmas, determinando su valor a partir de 
U4j = - U3j . 2h + U2j 
O utilizar una ecuación especial cuando lleguemos al borde, 
reemplazando el valor de U4j . 
EJERCICIOS 
 
(se repite) 
No tengo idea, busque la respuesta por dos horas 
Condiciones: sean lineales y homogéneas, continuas, 
 
Al tener paso h=0,1 y ser el dominio de 0 a 2 en x, tenemos 20 
intervalos y 21 nodos, de los cuales los extremos son conocidos, 
dejando 19 incógnitas. Debido a que la molécula de cálculo 
considera el nodo Uij+1tendremos un elemento no nulo en la 
posición 19 de la ecuación, que se debe a que se barren los 
valores en el sentido de x. Al subir a la línea superior de la malla, 
tendré que considerar el nodo Uij+1 y el Uij+1 , cada uno a 19 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
posiciones a izquierda y derecha respectivamente del nodo en 
que me encuentro Uij. De esta manera, el ancho de banda nos 
queda : 19 a iquierda, 19 a derecha, 1 de la posición en la que 
me encuentro= 19+19+1=39. 
 
 
 
 
 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
 
 
 
 
Como observamos del desarrollo, ninguna de las respuestas es 
correcta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
Ecuaciones Parabolicas 
Metodo explicito 
 
Las ecuaciones parabólicas se corresponden con la ecuación del 
Calor Ut=Uxx 
Como sabemos, estas ecuaciones son de dominio abierto, con lo 
cual es necesario una condición inicial de tiempo para t=0, y dos 
condiciones de borde para ambos extremos de la variable 
espacial. 
Reemplazamos la derivada Ut por un operador de derivación 
hacia adelante de primer orden, y la derivada Uxx por uno de 
segundo orden 
 
(El libro de donde fue sacada la expresión utiliza el super índice l 
en lugar del subíndice j para denominar una segunda dimensión 
temporal. En definitivaes todo lo mismo) 
A continuación despejamos el valor Ui(j+1) y reagrupando y 
ordenando términos obtenemos la ecuación 
Ui(j+1)= r U(i+1)j + (1-2r) Uij+ r U(i-1)j 
Donde r equivale a k/h2. 
Lo que se traduce en la molécula 
 
 1 
r 1-2r r 
 
Situándonos en un punto posterior en el tiempo. 
Para resolver según el método debemos: 
1- Armar una planilla con las condiciones de borde. 
2- Aplicar la molécula a cada nodo, según la forma indicada 
(a un punto posterior) 
3- Ir trasladando y resolviendo. 
 
Este método en particular tiene la ventaja de que no hay que 
resolver ningún sistema de ecuaciones ni iterar. Sin embargo, 
tienen la condición de que el valor de r está limitado por el 
número de courant, el cual indica los límites de r hasta el cual los 
resultados son confiables. Esto impone un límite en la velocidad 
de cálculo ya que limita el tamaño de los intervalos a utilizar en 
cada sentido. Para la ecuación del calor, el número de Courant es 
0,5. La inestabilidad se manifiesta cuando se intenta avanzar más 
rápido en el tiempo del que se manifiesta el proceso físico. EL 
numero de couran, a su vez, tiene que ver con la ecuación 
característica de la ecuación analizada 
Suponga que Δxse reduce a la mitad para mejorar la 
aproximación de la segunda derivada espacial. De acuerdo con la 
ecuación la expresión de r, el tamaño de paso para el tiempo 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
debe reducirse a un cuarto para mantener la convergencia y la 
estabilidad. Así, para realizar cálculos comparables, los tamaños 
de paso del tiempo deben aumentar por un factor de 4. Es más, 
el cálculo para cada uno de estos tamaños de paso del tiempo 
tomará el doble de tiempo, ya que al dividir Δxa la mitad se 
duplica el número total de nodos para los cuales hay que aplicar 
las ecuaciones. En consecuencia, en el caso unidimensional, 
reducir Δx a la mitad da como resultado un aumento de ocho 
veces en el número de cálculos. 
Al hallando los valores para distintos niveles de tiempo, 
observamos que los valores se mantienen iguales verticalmente 
dispersándose desde el centro a los extremos. Al reducir el valor 
de k, se observa que dichas igualdades se achican, reduciendo 
las oscilasciones del error. 
Método implícito – método de CrankNicolson. 
Este método se resuelve matricialmente como un sistema de 
ecuaciones dado que posee varias incognitas. 
El método de Crank-Nicolsonofrece un esquema implícito 
alternativo que tiene una exactitud de segundo orden, tanto para 
el espacio como para el tiempo. Para alcanzar tal exactitud, se 
desarrollan aproximaciones por diferencias en el punto medio 
del incremento del tiempo. Entonces, la primera derivada 
temporal se aproxima por un esquema de derivación hacia 
delante de primer orden: 
 
La segunda derivada espacial puede determinarse en el punto 
medio promediando las aproximaciones al principio y al final del 
incremento. (Osea sumo la derivada centrada para j con la 
derivada centrada para j+1 y las divido por dos) 
 
Reemplazando en la ecuación del calor, distribuyendo y 
reagrupando 
 
Donde λ=r=k/h2 
Lo que equivale a una molécula 
r -2(1+r) r 
-r 2(1-r) -r 
 
Vamos desplazando la molécula en toda la línea y obtenemos un 
sistema de ecuaciones (una por cada nodo donde nos 
posicionemos). Resolviendo matricialmente obtenemos los 
valores para toda la líneaUi,(j+1).Con este método tendremos 
tantos sistemas como líneas de tiempo haya. 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
Una forma iterativa de realizar el método es despejar el termino 
Ui(j+1) , ir aplicando la ecuación en cada nodo, e iterar hasta que 
los valores se estabilicen. 
Condicion de borde en la derivada 
Para el método explicito 
 
Como en el caso de las elípticas, podemos obtener el desarrollar 
la derivada pro esquema centrado en el nodo del borde donde 
conocemos el valor en la derivada y no en la función. 
Despejando el nodo fantasma, obtenemos la expresión a 
reemplazar en la ecuación general que determina el método. 
Haciendo el reemplazo la molécula queda: 
Ui,j+1 = 2r U i-1j +(1-2r) U i,j + 2hr Uxi,j 
Donde el último término es termino independiente que pasa al 
otro lado de la ecuación. Como observamos, no hay termino con 
Ui+1,j con lo cual queda una molecula de 3 puntos. 
 1 
2r 1-2r 
 
 La otra opción es hacer aparecer la columna de nodos 
fantasmas a partir del esquema de derivación y resolver con la 
ecuación original. 
Para el método implicito 
En este caso, tenemos 2 valores en el nodo fantasma. Lo que 
hacemos es realizar la misma sustitución, quedando dos 
términos independientes gracias a la derivada, en ambos lados 
de la igualdad. 
Agrupando nos queda 
2r U i-1,j+1 – (2r+2) U i,j+1 = -2r U i-1j + (2r-2) U i,j - 2hr ( Uxi,j + 
Uxi,j+1 ) 
Lo que equivale a una molécula de 4 puntos. 
2r -(2r+2) 
-2r (2r-2) 
 
La otra opción, como en los casos anteriores, es materializar la 
columna de nodos fantasmas y resolver comúnmente. 
Tanto para el método explicito como implícito, la molécula de 
cálculo especial se utiliza solo cuando se está en el nodo con 
condición natural. 
 
EJERCICIOS 
 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
 
Se trata de un problema de dominio abierto, necesita 
obligatoriamente una condición inicial para t=0 y dos 
condiciones de contorno para los extremos del dominio en x. 
a. Correcto, da las 3 condiciones indicadas. 
b. 
c. 
d. Incorrecto, da una condición innecesaria. 
 
Si el dominio va de 0 a 2, dividido un paso de h=0,125, nos da 16 
intervalos, osea 17 nodos, de los cuales, el primero es conocido 
por la condición de borde, y el ultimo desconocido por estar 
dado en la derivada. Nos queda un total de 16 nodos incognitas. 
Cada nodo (ecuación o línea de la matriz) tendrá 3 incognitas, 
excepto el primero que tendrá solo 2 y el último, al estar dado 
en la derivada, reemplazando por el esquema de derivación 
centrado, también nos dará una ecuación con solo 2 incognitas. 
Con lo cual, en la matriz de coeficientes tendrá 16 lineas, 14 con 
3 coeficientes, y 2 con 2. 14x3+2x2=46 elementos no nulos 
tendrá la matriz de coeficientes. 
 
a. Correcto, cada ecuación tiene a lo sumo 3 incógnitas 
correspondientes a los 3 puntos superiores de la 
molécula. 
b. Incorrecto, ya que por eso mismo aplico el método. 
c. Incorrecto, se debe modificar si las condiciones de borde 
están dadas en la derivada. 
d. Incorrecto, es un método implícito porque arma un 
sistema de ecuaciones. 
e. Correcto, la matriz es tridiagonal. 
 
La resuelvo y me da nada que ver. 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
 
En t en realidad son 51 nodos, pero 50 son incógnita. El secreto 
del ejercicio esta en la expresión “aplicar como minimo”. 
Sabemos que los pasos más grandes, osea los que dan el 
minimode iteraciones, deben cumplir con la condición del 
número de courant. 
Ecuaciones Hiperbolicas de 2do orden 
Las ecuaciones hiperbólicas responden a la ecuación de onda 
Utt=Uxx 
Para su resolución, la misma requiere dos condiciones iniciales 
(una para la primer derivada de t) y dos condiciones de borde. 
Metodo explicito 
Reemplamos las derivadas por esquemas de derivación centrado 
de segundo orden, y tomando r=k/h llegamos a: 
Uij+1= r
2 Ui+1,j + (2-2r
2) Uij+ r
2 Ui-1,j- Ui,j-1 
Quedando asi una molecula de 5 puntos 
 1 
r2 2-2 r2 r2 
 -1 
 
Para poder resolver la primera línea de incógnitas, debido a la 
forma de la molecula, nos aparece un nodo fantasma que es 
necesario resolver para poder hallar el valor buscado. Para ello 
tenemos dos maneras de resolver: 
La primera, es expresar el valor de la derivada como un operador 
de derivación de primer orden centrado, despejamos el U i,j-1 y 
reemplazamos en la ecuación, obteniendo asi la ecuación: 
 
Uij+1= (r
2/2) Ui+1,j + (1-r
2) Uij + (r
2/2) Ui-1,j + k Uti,j-1 
Lamisma da la molécula de 4 puntos. 
 1 
(r2/2) (1-r2) (r2/2) 
 
La otra forma, es materializar la línea de nodos fantasmas de la 
manera ya descripta y resolver con la molécula de 5 puntos. 
Ambos métodos se utilizan solo para la primera línea de 
incógnitas. 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
 
Método implícito 
Este método se resuelve matricialmente como un sistema de 
ecuaciones dado que posee varias incognitas. 
En el método implícito lo que hago es resolver la derivada 
espacial como un promedio ponderado. 
Uxx= [Uxxj-1 + 2Uxx j + Uxxj+1]/4 
En cambio la derivada temporal se reemplaza por un esquema 
de derivación centrado de segundo orden. 
Reemplazando en la ecuación de la onda queda un pedazo de 
desarrollo: 
 
 
 
 
De la que obtenemos la molécula 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
r2 -(4+2 r2) r2 
-2 r2 4r2+8 -2 r2 
- r2 -(4+2 r2) - r2 
 
Como en el método explicito, se debe resolver el nodo fantasma 
que aparece en la molécula. 
Como en el método implícito de las ecuaciones parabólicas, este 
método resuelve toda una línea de incógnitas a través de un 
sistema de matrices. Se tendrán tantos sistemas de matrices 
como líneas de incógnitas se deseen resolver. 
Para condiciones de borde en la derivada, se despeja el o los 
nodos fantasmas de un esquema de derivación centrado de 
primer orden. 
EJERCICIOS 
 
Condiciones inicales son 2, una para t=0 y otra en la derivada 
para t=0 
 
 
Se trata de una ecuación hiperbólica de segundo orden. 
Debemos desarrollar: 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
 
Valuamos los distintos r 
a. R=3, aplicado a la molécula calcula, nos da la molecula 
del enunciado 
b. R=3, al ser igual que a. también lo comprueba 
c. R=1/3, no la comprueba 
d. R= 1/3, si la anterior no la comprueba esta tampoco 
e. R= 3/20, no la comprueba. 
 
𝑈𝑡𝑡 = 3𝑈𝑥𝑥 − 𝑈𝑡 + 𝑈𝑥𝑝𝑎𝑟𝑎ℎ =
1
2
 ; 𝑘 =
1
4
 
 
 
𝑈𝑖;𝑗+1 − 2𝑈𝑖𝑗 + 𝑈𝑖;𝑗−1
𝑘2
 
= 3 ∗ 
𝑈𝑖+1;𝑗 − 2𝑈𝑖𝑗 + 𝑈𝑖−1;𝑗
ℎ2
 
− 
𝑈𝑖;𝑗+1 − 𝑈𝑖;𝑗−1
2𝑘
 + 
𝑈𝑖+1;𝑗 − 𝑈𝑖−1;𝑗
2ℎ
 
 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
𝑈𝑖;𝑗+1 − 2𝑈𝑖𝑗 + 𝑈𝑖;𝑗−1
 
1
4
 
2
= 3 ∗ 
𝑈𝑖+1;𝑗 − 2𝑈𝑖𝑗 + 𝑈𝑖−1;𝑗
 
1
2
 
2 
− 
𝑈𝑖;𝑗+1 − 𝑈𝑖;𝑗−1
2 ∗ 
1
4
 
 + 
𝑈𝑖+1;𝑗 − 𝑈𝑖−1;𝑗
2 ∗ 
1
2
 
 
 
16 ∗ 𝑈𝑖;𝑗+1 − 32 ∗ 𝑈𝑖𝑗 + 16 ∗ 𝑈𝑖;𝑗−1
= 12 ∗ 𝑈𝑖+1;𝑗 − 24 ∗ 𝑈𝑖𝑗 + 12𝑈𝑖−1;𝑗 − 2 ∗ 𝑈𝑖;𝑗+1
+ 2 ∗ 𝑈𝑖;𝑗−1 + 𝑈𝑖+1;𝑗 −𝑈𝑖−1;𝑗 
 
18 ∗ 𝑈𝑖;𝑗+1 = 8 ∗ 𝑈𝑖𝑗 − 14 ∗ 𝑈𝑖;𝑗−1 + 13 ∗ 𝑈𝑖+1;𝑗 + 11 ∗ 𝑈𝑖−1;𝑗 
 
𝑈𝑖;𝑗+1 =
4
9
∗ 𝑈𝑖𝑗 −
7
9
𝑈𝑖;𝑗−1 +
13
18
∗ 𝑈𝑖+1;𝑗 +
11
18
∗ 𝑈𝑖−1;𝑗 
 
 
Aplicando el desarrollo descripto, en reemplazar las derivadas 
por esquemas de derivación centrado de segundo orden, se llega 
a: Uij+1= r
2 Ui+1,j + (2-2r
2) Uij + r
2 Ui-1,j - Ui,j-1 
Ahora bien, dado que el valor Ui,j-1 está dado en el nodo 
fantasma, hacemos aparece el valor por medio de un esquema 
de derivación centrado de primer orden y lo despejamos: 
Uti,j= (Ui,j+1 - Ui,j-1 )/2k  Ui,j-1 =-2k. Uti,j+ Ui,j+1 
Si reemplazamos en la ecuación 
Uij+1= r
2 Ui+1,j + (2-2r
2) Uij + r
2 Ui-1,j +2k. Uti,j- Ui,j+1 
Uij+1= 1/2 [r
2 Ui+1,j + 2(1-r
2) Uij + r
2 Ui-1,j +2k. g(x)] 
Expresión que se corresponde con la respuesta c. 
 
 
La opción correcta es la b. 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
 
 
Recopilación: Cálculo Avanzado UTN FRC 
Matias Gaveglio 
Ecuaciones Hiperbolicas de 1er orden 
Método explícito de Lax-Wendroff 
 
Las ecuaciones hiperbólicas de primer orden responden a la 
forma 
Ut + a Ux=0 Ut = -a.Ux 
Gracias a esto, podemos desarrollar la serie de Taylor para un 
valor posterior respecto de la variable t hasta el término de 2do 
orden, y luego reemplazar las derivadas temporales por 
derivadas espaciales. Estas derivadas espaciales son expresadas 
mediante operadores de derivación centrada del orden 
correspondiente. 
Haciendo los reemplazos respectivos llegamos a que: 
Ui,j+1 = (a.r)/2 . (ar +1) Ui -1,j +(1-a
2r2) Ui ,j + (a.r)/2 . (ar - 1) Ui+1 , j 
Lo cual se puede expresar mediante la molécula 
 1 
(a.r)/2 . (ar +1) (1-a2r2) (a.r)/2 . (ar - 1) 
 
Donde r=k/h 
En este tipo de ecuaciones solo tenemos una condición inicial 
(para t=0) y una condición de borde. De este modo, ante la 
ausencia de la segunda condición de borde, y en su defecto, un 
valor cierto Ui+1,j los valores obtenidos se van cancelando 
escaladamente. Con lo cual debemos expandir la primera línea 
de valores iniciales de modo tal que se llegue a obtener un valor 
certero dentro del dominio de interés. 
Método semi- implícito de Lax-Wendroff 
El método resuelve problemas de dominio seminfinito. 
Dada la ecuación 
A Ux + b Ut = C 
Se obtienen las derivadas para un punto intermedio p 
 
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EJERCICIOS 
 
Para el método semimplicito, según el desarrolla la expresión se 
que corresponde es la b. 
 
 
 
Resolver dentro de las condiciones de borde. 
 
 
 
 
 
 
 
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Le doy el valor 𝑥 = −1, calculo el radicando y me da 
𝐵2 − 4 ∗ 𝐴 ∗ 𝐶 = 5 > 0 es decir, hiperbólica. 
Le doy el valor 𝑥 = 1, calculo el radicando y me da 𝐵2 − 4 ∗ 𝐴 ∗
𝐶 = −3 < 0 es decir, elíptica. 
Le doy el valor 𝑥 = 5, calculo el radicando y me da 𝐵2 − 4 ∗ 𝐴 ∗
𝐶 = 5 < 0 es decir, hiperbólica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La respuesta correcta es la a. 
 
Las EDPs que poseen esa estructura de molécula de cálculo de 5 
puntos son las elípticas, por medio de diferencias finitas, y las 
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hiperbólicas por el método explicito. Las hiperbólicas sin 
embargo, las hiperbólicas centran el valor 1 en el nodo Uij+1 , 
con lo cual nos encontramos en presencia de una molécula de 
una ecuación elíptica. 
Resolviendo velozmente cada una de las EDPs, observamos que 
la que se corresponde con la molécula dada es la c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDAD 6 – Método de elementos finitos 
Resulve solo problemas elípticos, es decir problemas estáticos. 
Lo primero que se debe hacer es discretizar el dominio en 
triángulos o cuadriláteros. 
Las mallas resultantes pueden ser estructuradas o 
desestructuradas. Requieren que se cumplan los criterios: 
Compatibilidad: que la línea del borde sea compatible para 
ambos elementos. 
Criterio de continuidad: la unión de elementos de cubrir todo el 
dominio de la solución. Que tengan continuidad c0 implica que 
tengan continuidad en la arista, osea una misma función para 
dos elementos continuos. Que tenga continuidad c1 implica que 
tengan continuidad en la derivada normal. 
Los tipos de elementos los clasificamos en lineales o cuadráticos. 
En los primeros, todos sus vértices son nodos. En los segundos, 
no todos los nodos son vértices. 
La solución de un elemento finito en este caso es un plano. 
El método se desarrolla de manera similar a como se realizó en 
el método de elementos finitos para una dimensión 
La manera de encontrar las funciones de base de los elementos 
esta dada por: 
 
Los programas que resuelven problemas de elementos finitos 
están compuestos de las siguientes partes: 
Preprocesador: 
Es el que genera la malla 
Numera la malla 
Asigna parámetros 
Condiciones de borde. 
 
Motor de cálculo: 
Ensambla el sistema 
Resulve los elementos finitos. 
 
Postprocesador 
 Es el que presenta resultados intepretables. 
Realiza todas las acciones luego de haber hallado la 
solución. Guardar los archivos, etc. 
 
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Basandonos en el método para encontrar las ecuaciones de 
forma, nos da que el área de la figura e -6, y reemplazando los 
valores en la formula llegamos a la solución