Operaciones con subespacios

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Álgebra y Geometría Analítica, año 2023 
Clase 12: operaciones con subespacios vectoriales. 
 
Dado que los subespacios son conjuntos, podemos operar entre ellos. Algunas operaciones entre 
subespacios dan como resultado un nuevo subespacio, como la intersección de dos o más subespacios. En 
cambio, otras dan como resultado un nuevo conjunto que no es un subespacio, como la unión de 
subespacios. Nosotros sólo estudiaremos las que dan como resultado un subespacio vectorial. 
 
Inclusión de subespacios 
Sean  y  dos subespacios incluidos en el mismo espacio vectorial . Veamos cómo darnos cuenta si uno 
de ellos está adentro del otro, esto es, si uno está incluido en el otro. 
Como los subespacios son conjuntos, la definición de inclusión que se usa aquí es la usual para inclusión de 
conjuntos, que seguramente ustedes vieron en el secundario. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si bien esta es la definición usual de inclusión de conjuntos, que utilizaremos también en subespacios, tiene 
un problema: para ver si un subespacio  está incluido en otro subespacio , no podemos analizar si todos 
los elementos de  pertenecen al subespacio , pues un subespacio, en general, tiene infinitos elementos. 
Por suerte, cualquier subespacio puede expresarse con sus generadores, y estos generadores nos ayudarán a 
decidir si un subespacio  está incluido en otro subespacio : si los generadores de  están dentro de , 
todas sus combinaciones lineales estarán también en  (esto es así pues  es un subespacio  cumple las 
condiciones necesarias y suficientes  cualquier combinación lineal de elementos que estén en él, también 
pertenecerán a él). Y todas las combinaciones lineales de los generadores de  son, justamente, todos los 
elementos de . Entonces, si los generadores de  pertenecen a , todos los elementos de  también 
pertenecerán a . 
 
Inclusión de subespacios:     todos los generadores de  pertenecen a . 
 
 
Vemos que lo más práctico para ver si un subespacio  está incluido en otro subespacio  es tener al 
subespacio  expresado con sus generadores, y al subespacio  expresado con ecuaciones o con generadores. 
Vayamos a algunos ejemplos: 
 
Ejemplo 1: decidir si   , siendo  = gen{ (1 ; 1 ; 0) } y  = { (x ; y ; z)  3 / x – y – z = 0 } 
Resolución: como  está dado por una ecuación, sabemos que un vector está en  si verifica su ecuación. 
 Un conjunto A está incluido en un conjunto B si y sólo si 
todos los elementos de A pertenecen al conjunto B. 
La notación para decir que A está incluido en B es A  B. 
 
Existe un símbolo que además incluye la posibilidad de que 
los conjuntos puedan ser iguales. A está incluido o es igual 
a B se simboliza como A  B. 
B 
A 
 
Entonces, para ver si  está incluido en , simplemente debemos reemplazar los generadores de 
 en la ecuación de  y ver si la verifica. En este ejercicio, hay un solo generador de , pero si 
hubiera más de uno, todos ellos deberían verificar la ecuación de : 
 = gen{ (1 ; 1 ; 0) } 
Ecuación de : x – y – z = 0  1 – 1 – 0 = 0  0 = 0 Verifica!!!  (1 ; 1 ; 0)       
 
Observación sobre este ejemplo: 
 
Como este ejercicio contiene conjuntos en 3, podemos interpretarlo geométricamente, y podríamos 
resolverlo como si fuera un ejercicio de la práctica 1. 
 dim() = 1   es una recta que pasa por el origen y su vector dirección es 𝐯 = (1 ; 1 ; 0) 
 Por su ecuación, vemos que  es un plano, y por lo tanto dim() = 2. 
Entonces, el ejercicio es ver si una recta que pasa por el origen está incluida en un plano que también pasa 
por el origen. Como ven, tranquilamente podría ser un ejercicio de la práctica 1: para que la recta esté 
apoyada sobre el plano y ambos pasan por el origen, alcanza con ver si el vector dirección de la recta es 
perpendicular a la normal del plano. 
 
Pero hay algo interesante para notar: ¿podría ser que se diera la inclusión opuesta? Es decir, ¿podría pasar que 
 estuviera incluido en ? Bueno... es un plano, y un plano no puede estar metido adentro de una recta 
(como lo es ), pues físicamente un plano es un objeto de “mayor tamaño” que una recta. 
Si bien un plano y una recta están formados por la misma cantidad de puntos (aunque no lo crean, es así, y 
se puede demostrar matemáticamente), la recta es un objeto unidimensional de 3 (sólo tiene una 
dimensión física: longitud) y un plano es un objeto bidimensional de 3 (sólo tiene dos dimensiones físicas: 
longitud y ancho, no tiene espesor). Este es el sentido de “tamaño de un conjunto” que nos proporciona el 
concepto de dimensión de un subespacio: no corresponde a la cantidad de puntos que forman al conjunto, 
sino a la dimensión física del objeto geométrico que representa el conjunto. Por supuesto, esto vale cuando 
trabajamos en 2 y en 3. 
Pero de aquí podemos inferir intuitivamente una propiedad útil, que nos servirá después para ver si dos 
subespacios son el mismo. 
 
Propiedad: 
a) si   , entonces dim()  dim() (cuidado: la recíproca no es cierta) 
b) si   , entonces dim()  dim()(cuidado: la recíproca no es cierta) 
 
Ejemplo 2: decidir si   , siendo  = gen{ (1 ; 1 ; 0) } y  = gen{ (1 ; 1 ; 1) ; (2 ; 2 ; -2) } 
Resolución: ahora  está dado por generadores, entonces sabemos que un vector está en  si es 
 combinación lineal de sus generadores. 
Entonces, para ver si  está incluido en , simplemente debemos ver si el generador de  es 
combinación lineal de los de . En este ejercicio, hay un solo generador de , pero si hubiera 
más de uno, cada uno de ellos debería ser combinación lineal de los de : 
 
(1 ; 1 ; 0) = 1.(1 ; 1 ; 1) + 2.(2 ; 2 ; -2) 
 
 
𝛂𝟏 + 𝟐.𝛂𝟐 = 𝟏
𝛂𝟏 + 𝟐.𝛂𝟐 = 𝟏
𝛂𝟏 − 𝟐.𝛂𝟐 = 𝟎
  𝛂𝟏 =
𝟏
𝟐
; 𝛂𝟐 = 𝟏/𝟒 
 
Como el sistema tiene solución, (1 ; 1 ; 0) es combinación lineal de (1 ; 1 ; 1) y (2 ; 2 ; -2) 
 (1 ; 1 ; 0)       
Ejemplo 3: decidir si el subespacio  = { p(x)  2 / p(1) = 0 ; p(-1) = 0 } está incluido en el subespacio 
  = gen{ x2 – 1 ; x + 2 } 
Resolución: este ejercicio tiene dos complicaciones:  no está expresado con generadores, y además los 
elementos son polinomios de grado menor o igual que 2. El segundo problema lo podemos 
solucionar convirtiendo los polinomios en vectores, gracias al concepto de coordenadas 
respecto de una base, y entonces el ejercicio se convertirá en uno equivalente pero planteado 
en 3. Pero primero necesitamos expresar a  con sus generadores, y para ello, vamos a 
desarrollar sus ecuaciones: 
 
 = { p(x)  2 / p(1) = 0 ; p(-1) = 0 } 
 
 = { p(x)= a2.x2 + a1.x + a0 / p(1) = 0 ; p(-1) = 0 } 
 
  = { p(x)= a2.x2 + a1.x + a0 / a2.12 + a1.1 + a0 = 0 ; a2.(-1)2 + a1.(-1) + a0 = 0 } 
 
  = { p(x)= a2.x2 + a1.x + a0 / a2 + a1 + a0 = 0 ; a2 - a1 + a0 = 0 } 
 
Los polinomios que pertenecen al subespacio  son aquellos cuyos coeficientes verifican dos 
ecuaciones lineales homogéneas: como tenemos dos ecuaciones independientes entre sí con tres 
incógnitas, nos quedará un coeficiente sin despejar, como variable libre. 
 
 
𝐚𝟐 + 𝐚𝟏 + 𝐚𝟎 = 𝟎
𝐚𝟐 − 𝐚𝟏 + 𝐚𝟎 = 𝟎
 𝐚𝟐 = −𝐚𝟎 ; 𝐚𝟏 = 𝟎 𝐜𝐨𝐧 𝐚𝟎  
 
Los polinomios p(x) que pertenecen a  son de la forma p(x) = -a0.x2 + 0.x + a0 = -a0.x2 + a0 
Los convertimos en vectores como vimos en la clase 10: 
p(x) = -a0.x2 + a0  (-a0 ; 0 ; a0) = a0.(-1 ; 0 ; 1) (ahí apareció el generador de ) 
Y los generadores de  serán 
x2 –1  (1 ; 0 ; -1) 
x + 2  (0 ; 1 ; 2) 
 
Entonces, el ejercicio de polinomios se convierte en el siguiente ejercicio equivalente, pero de 
vectores en 3 : 
Decidir si ’ = gen{ (-1 ; 0 ; 1) } está incluido en ’ = gen{ (1 ; 0 ; -1) ; (0 ; 1 ; 2) } 
A simple vista, el generador de ’ es combinación lineal de los generadores de ’, pues es 
múltiplo de uno de ellos  ’  ’     
 
 
Igualdad de subespacios 
En teoría general de conjuntos, hay una manera de ver si dos conjuntos son exactamente iguales (o sea, si 
son el mismo conjunto): dos conjuntos A y B son exactamente iguales si A  B y B  A. Esta forma de ver 
la igualdad de conjuntos se denomina “por doble inclusión”, y puede usarse para ver si dos subespacios son 
iguales. 
Pero gracias al concepto de dimensión, hay otra manera que, en la mayoría de los casos, es más sencilla de 
aplicar: dos subespacios son el mismo si uno está adentro del otro y además tienen la misma dimensión (es 
como pedir que un conjunto esté adentro del otro pero demás que los dos tengan el mismo tamaño). 
 
Igualdad de subespacios:  =      y dim() = dim() 
 
 (equivalentemente  =      y dim() = dim()) 
 
 
En los ejemplos 1, 2 y 3 que hicimos antes, los subespacios no son iguales pues, aunque uno está incluido en 
el otro, no tienen la misma dimensión. En sus respuestas, podríamos reemplazar el símbolo  por el 
símbolo , que no incluye la igualdad. 
 
Ejemplo 4: decidir si  = , siendo  = { (x ; y ; z)  3 / 2x + 2y = 0 } ,  = gen{ (-1 ; 1 ; 1) ; (1 ; -1 ; 3) } 
Resolución: 
 dim() = 2 pues sus dos generadores son L.I., entonces forman una base de  con dos elementos. 
 dim() = 2 pues  es un plano que pasa por el origen. 
 Veamos si un subespacio está incluido en el otro. Yo elijo ver    porque  está expresado con 
generadores: 
1º generador de : (-1 ; 1 ; 1). Lo reemplazamos en la ecuación de : 2.(-1) + 2.1 = 0 ¡verifica! 
2º generador de : (1 ; -1 ; 3). Lo reemplazamos en la ecuación de : 2.1 + 2.(-1) = 0 ¡verifica! 
Entonces    
Conclusión: como dim() = dim() y    , efectivamente  =  
 
 
Ejemplo 5: decidir si  = , siendo  = { (x ; y ; z ; w)  4 / x + 2y - z = 0 ; x + z = 0 } y 
  = gen{ (-1 ; 1 ; 1 ; 0) ; (1 ; -1 ; 1 ; 0) } 
Resolución: 
 dim() = 2 pues sus dos generadores son L.I., entonces forman una base de  con dos elementos. 
 dim() = 2 (esto sale hallando los generadores de  y viendo que hay solamente dos L.I.) 
 Veamos si   : 
1º generador de : (-1 ; 1 ; 1 ; 0). Lo reemplazamos en las dos ecuaciones de : 
-1 + 2.1 – 1 = 0 ¡verifica! 
-1 + 1 = 0 ¡verifica! 
2º generador de : (1 ; -1 ; 1 ; 0). Lo reemplazamos en las dos ecuaciones de : 
 1 + 2.(-1) - 1 = 0  queda -2 = 0 ¡ no verifica! 
Conclusión: como un generador de  no verifica una de las ecuaciones de , ya podemos asegurar 
que  no está contenido en      (aunque tienen la misma dimensión, son distintos 
conjuntos) 
 
 
Intersección de subespacios (ej. 17 de la guía 3) 
La noción de intersección de dos subespacios es la misma que conocemos para conjuntos en general. Lo 
interesante es que cuando hacemos la intersección de dos subespacios incluidos en el mismo espacio 
vectorial , lo que obtenemos también es un subespacio de , y le podremos calcular, por ejemplo, su base 
 
y dimensión. La demostración de que la intersección de dos subespacios da como resultado un conjunto 
que también es un subespacio la pueden consultar en el libro de Kozak o en el apunte AGA Virtual de la 
unidad 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cómo calcular la intersección de dos subespacios 
Este cálculo puede ser más o menos cuentoso, de acuerdo a si los subespacios están expresados con 
ecuaciones o con generadores. Pero siempre nos basamos en la definición de intersección de conjuntos. 
 
Sean  y  dos subespacios incluidos en el mismo espacio vectorial . 
Entonces    = { x  / x    x   }, y es un subespacio incluido en  
 
 
Ejemplo 1: ambos subespacios expresados con ecuaciones. 
 
Sean  = { (x ; y ; z)  3 / x + y = 0} y  = { (x ; y ; z)  3 / x + 2z = 0} . Calcular    
Resolución: este es el caso más simple. Veamos cómo es el razonamiento para calcular la intersección. 
 
 Si (x ; y ; z)    verifica la ecuación x + y = 0. 
Si (x ; y ; z)    verifica la ecuación x + 2z = 0. 
 
Por lo tanto, si (x ; y ; z)      verifica la ecuación x + y = 0 y la ecuación x + 2z = 0 en forma 
simultánea. 
Conclusión:    = { (x ; y ; z)  3 / x + y = 0  x + 2z = 0 } 
 
Noten que  es un plano,  es otro plano que no es paralelo a , y    es una recta, lo que está acorde al 
hecho geométrico de que la intersección de dos planos no paralelos tiene que ser una recta. 
 
Ejemplo 2: un subespacio expresado con ecuaciones y otro con generadores. 
 
Sean  = { (x ; y ; z)  3 / x + y – 3z = 0} y  = gen{ (1 ; 1 ; 2) ; (-1 ; 2 ; 0) } . Calcular    
Resolución: acá se presentan dos opciones: hallar las ecuaciones del subespacio que está expresado con 
generadores, y hacer la intersección como en el ejemplo 1, o trabajar los subespacios como se presentan. 
Desarrollemos esta segunda opción: 
 
 
Si A y B son dos conjuntos, definimos la intersección 
de A con B (y la notamos como A  B) como un 
nuevo conjunto formado por los elementos que están 
en forma simultánea en A y en B. 
En símbolos: 
A  B = { x / x  A  x  B } 
 
A B 
A  B 
 
Si (x ; y ; z)    verifica la ecuación x + y – 3z = 0. 
Si (x ; y ; z)    es combinación lineal de sus dos generadores 
  (x ; y ; z) = .(1 ; 1 ; 2) + . (-1 ; 2 ; 0) 
 
Por lo tanto, si (x ; y ; z)      verifica la ecuación x + y – 3z = 0 por estar en , y la ecuación 
vectorial (x ; y ; z) = .(1 ; 1 ; 2) + . (-1 ; 2 ; 0) por estar en , en forma simultánea. Así que los vectores 
(x ; y ;z) que pertenecen a    son las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones: 
 
 
𝐱 + 𝐲 − 𝟑𝐳 = 𝟎
𝐱 = 𝛂 − 𝛃 
𝐲 = 𝛂 + 𝟐𝛃
𝐳 = 𝟐𝛂
 
 
De este sistema despejaremos los valores de los coeficientes  y  que nos permiten obtener los vectores que 
pertenecen a la intersección (noten que es exactamente lo mismo que vimos en la guía 1 para calcular la 
intersección de dos objetos cuando uno está escrito con ecuación cartesiana general y el otro está escrito en 
forma vectorial paramétrica) 
En las tres ecuaciones de abajo ya tenemos despejadas las componentes x, y, z, en función de  y . 
Reemplazamos estos despejes en la primera ecuación. Como queda una sola ecuación con dos incógnitas, 
vamos a poder despejar un solo coeficiente, y el otro quedará como variable libre: 
 
( - ) + ( + 2) - 3.(2) = 0  -4 +  = 0   = 4 con    
 
Y ahora reemplazamos este despeje del parámetro  en la expresión de las componentes x, y, z: 
 
𝐱 = 𝛂 − 𝛃 = 𝛂 − 𝟒𝛂 = −𝟑𝛂 
𝐲 = 𝛂 + 𝟐𝛃 = 𝛂 + 𝟐.𝟒𝛂 = 𝟗𝛂
𝐳 = 𝟐𝛂
 
 
Si (x ; y ; z)      (x ; y ; z) = (-3 ; 9 ; 2) = .(-3 ; 9 ; 2) con   , o sea, los vectores (x ; y ; z) 
que están en la intersección serán combinación lineal del vector (-3 ; 9 ; 2) 
 
Conclusión:    = gen{ (-3 ; 9 ; 2) } 
 
 
Ejemplo 3: los dos subespacios dados con generadores 
Sean  = gen{ (1 ; 1 ; 0) ; (3 ; -1 ; 0) } y  = gen{ (1 ; 1 ; 2) ; (-1 ; 1 ; 1) } . Calcular    
 
Resolución: ahora se presentan tres opciones: hallar las ecuaciones de los dos subespacios y hacer la 
intersección como en el ejemplo 1, pasar un solo subespacio a ecuaciones y hacer la intersección como en el 
ejemplo 2, o trabajar los subespacios como se presentan. Desarrollemos esta tercera opción: 
 
Si (x ; y ; z)    es combinación lineal de sus dos generadores 
  (x ; y ; z) = .(1 ; 1 ; 0) + .(3 ; -1 ; 0) 
 
Si (x ; y ; z)    es combinación lineal de sus dos generadores 
  (x ; y ; z) = .(1 ; 1 ; 2) + .(-1 ; 1 ; 1) 
Si (x ; y ; z)      (x ; y ; z) = .(1 ; 1 ; 0) + .(3 ; -1 ; 0) = .(1 ; 1 ; 2) + .(-1 ; 1 ; 1) 
 
De la últimaigualdad despejaremos los coeficientes , ,  y  que nos permiten obtener los vectores de la 
intersección. Igualando componente a componente, nos queda el siguiente sistema: 
 
 
𝛂 + 𝟑𝛃 = 𝛄 − 𝛅
𝛂 − 𝛃 = 𝛄 + 𝛅
𝟎 = 𝟐𝛄 + 𝛅
  
𝛂 + 𝟑𝛃 − 𝛄 + 𝛅 = 𝟎
𝛂 − 𝛃 − 𝛄 − 𝛅 = 𝟎
𝟐𝛄 + 𝛅 = 𝟎
 
 
Este sistema homogéneo tiene más incógnitas que ecuaciones, así que tendrá infinitas soluciones. Se puede 
resolver con Gauss-Jordan, y van a ver que se pueden despejar tres incógnitas, y una queda como variable 
libre. Yo hice el despeje dejando a  como variable libre y me quedó:  = -2 ;  =  ;  = 0. Entonces, 
reemplazando estos despejes en la igualdad vectorial para (x ; y ; z), obtenemos la expresión general de los 
elementos de la intersección: 
 
Si (x ; y ; z)      (x ; y ; z) = 0.(1 ; 1 ; 0) + .(3 ; -1 ; 0) = .(1 ; 1 ; 2) + (-2).(-1 ; 1 ; 1) 
Si (x ; y ; z)      (x ; y ; z) = .(3 ; -1 ; 0) con    
 
Conclusión:    = gen{ (3 ; -1 ; 0) } 
 
 
Ejemplo 4: ejercicio de parcial. 
Sean los subespacios  = { (x ; y ; z)  3 / -x + k.y = 0  (k-1).z = 0 } y  = { (x ; y ; z) 3 / y – k.x = 0 } 
Hallar todos los valores de k   para los cuales dim(  ) = 1 
 
Resolución: 
 Primero calculamos la intersección de los subespacios: 
 
 ∩  = 𝐱, 𝐲, 𝐳  𝟑 ∶ −𝐱 + 𝐤. 𝐲 = 𝟎 ∧ 𝐤 − 𝟏 . 𝐳 = 𝟎 ∧ 𝐲 − 𝐤. 𝐱 = 𝟎 
 
 Si queremos que este subespacio tenga dimensión 1, debemos hallar primero para qué valores de k el 
sistema tiene infinitas soluciones, pero sin pasar ninguna incógnita dividiendo: ni x, ni y, ni z, ni k. 
Para ello, vamos a resolver el sistema triangulando la matriz ampliada: 
 
 
−𝟏 𝐤 𝟎 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟎 𝐤 − 𝟏 ⋮ 𝟎
−𝐤 𝟏 𝟎 ⋮ 𝟎
  
−𝟏 𝐤 𝟎 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟎 𝐤 − 𝟏 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟏 − 𝐤𝟐 𝟎 ⋮ 𝟎
  
−𝟏 𝐤 𝟎 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟏 − 𝐤𝟐 𝟎 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟎 𝐤 − 𝟏 ⋮ 𝟎
 
 
El sistema tiene infinitas soluciones si k = 1 ó si k = -1 (esto también se puede obtener usando 
determinante, pues la matriz de coeficientes del sistema es cuadrada) 
 
 Para k = 1 obtenemos: 
 
 
−1 1 0 ⋮ 0
0 0 0 ⋮ 0
0 0 0 ⋮ 0
  
−𝑥 + 𝑦 = 0
0 = 0
0 = 0
  ∩  = 𝐱, 𝐲, 𝐳  𝟑 ∶ −𝐱 + 𝐲 = 𝟎  𝐝𝐢𝐦  ∩  = 𝟐 
 
 Para k = -1 obtenemos: 
 
−1 −1 0 ⋮ 0
0 0 0 ⋮ 0
0 0 −2 ⋮ 0
  
−𝑥 − 𝑦 = 0
0 = 0
−2𝑧 = 0
  
 
  ∩  = 𝐱, 𝐲, 𝐳  𝟑 ∶ −𝐱 − 𝐲 = 𝟎 ∧ 𝐳 = 𝟎  𝐝𝐢𝐦  ∩  = 𝟏 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐤 = −𝟏 
 
 
 
Unión de subespacios 
La unión de dos subespacios no da como resultado, en general, un subespacio, así que no trabajaremos con 
esta operación en este curso. 
Ejemplo: 
 = { (x ; y)  2 / x = 0} = { los vectores de 2 con primera componente nula} es un subespacio, y 
 = { (x ; y)  2 / y = 0} = { los vectores de 2 con segunda componente nula} también es un 
subespacio. Ambos son dos rectas que pasan por el origen. 
Pero    = { (x ; y)  2 / x = 0 o y = 0 } = { los vectores de 2 con alguna componente nula} no es 
un subespacio, ya que no cumple la segunda condición necesaria y suficiente de subespacios. Y esto 
podemos verlo con un ejemplo numérico: 
(1 ; 0)     ; (0 ; 1)     ; pero (1 ; 0) + (0 ; 1) = (1 ; 1)     (pues ninguna de sus 
componentes es nula). 
 
 
Suma de subespacios (ej. 18 de la guía 3) 
Esta operación solamente puede realizarse entre conjuntos que estén incluidos es espacios donde esté 
definida la suma de elementos. Entonces, se puede efectuar entre subespacios, y el resultado es un nuevo 
conjunto que también es un subespacio. 
La suma de subespacios se simboliza con el símbolo “+”, y su definición es la siguiente: 
 
 Sean  y  dos subespacios incluidos en el mismo espacio vectorial . 
 Entonces  +  = { v   / v = vS + vT con vS   y vT   }, y es un subespacio incluido en 
 
 
Es decir, la suma de dos subespacios  y  es el conjunto formado por todos los elementos que pueden 
obtenerse como suma de un elemento cualquiera de  con un elemento cualquiera de . Noten que la 
suma de subespacios no tiene nada que ver con la unión: la unión de dos conjuntos es un conjunto 
formado por los elementos del primero junto a los elementos del segundo, pero sin sumarlos entre sí. La 
suma de subespacios contiene muchos más elementos, porque contiene elementos que son “mezclas” de 
elementos de los dos conjuntos. 
La demostración de que  +  es un subespacio también la pueden ver en el apunte AGA Virtual o en el 
Kozak. 
 
Lo que sí vamos a deducir es un método muy práctico para calcular la suma de dos o más subespacios, a 
partir de su definición. Aquí va: 
Sabemos que si un elemento v está en  + , entonces puede calcularse como v = vS + vT, con vS   y vT  . 
Pero además, si vS   , entonces vS es combinación lineal de los generadores de . De la misma manera, si 
vT  , entonces vT es combinación lineal de los generadores de . 
Entonces, v deberá ser combinación lineal de todos los generadores de  y de todos los generadores de . 
Esto nos dice que  +  está generado por todos los generadores de  y todos los generadores de . 
 
 
Propiedad útil: 
Si  = gen{ v1 ; v2 ; ......; vn } y  = gen{ w1 ; w2 ;.......; wk }   +  = gen{ v1 ; v2 ;......; vn ; w1 ; w2 ;....; wk } 
 
 
De esta propiedad vemos que, para calcular la suma de subespacios, vamos a tener que conocer sus 
generadores. 
 
Ejemplo 1: calcular  + , una base de  +  y dim( + ), con  = gen{ (1 ; 1 ; 0) ; (1 ; -1 ; 1) ; (1 ; 0 ; 0) } 
y  = gen{ (0 ; 0 ; 1) ; (1 ; 0 ; 1) } 
 
Resolución: 
 de acuerdo a la propiedad útil, tenemos que: 
 +  = = gen{ (1 ; 1 ; 0) ; (1 ; -1 ; 1) ; (1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1) ; (1 ; 0 ; 1) } 
 
 Base de  + : obviamente, los cinco generadores no pueden ser L.I., pues en 3, el subespacio de 
mayor tamaño es todo el espacio 3, cuya dimensión es 3. No puede haber un subespacio de 
dimensión 5 adentro de 3. Entre los cinco generadores de la suma, debe haber algunos L.D. que 
debemos eliminar para llegar a la base de  + . El asunto es...¿cuáles y cuántos hay que descartar? Si a 
simple vista notan que alguno es combinación lineal de los demás, ya lo pueden descartar. El quinto 
es el tercero más el cuarto, así que  +  = = gen{ (1 ; 1 ; 0) ; (1 ; -1 ; 1) ; (1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1) } 
Todavía sobran generadores, pero ya no sé cuáles descartar...no importa. ¡Usemos el método trucho! 
 
 
𝟏 𝟏 𝟎
𝟏 −𝟏 𝟏
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
 
𝐅′𝟐=𝐅𝟐−𝐅𝟏
 
𝟏 𝟏 𝟎
𝟎 −𝟐 𝟏
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
 
𝐅′𝟑=𝐅𝟑−𝐅𝟏
 
𝟏 𝟏 𝟎
𝟎 −𝟐 𝟏
𝟎 −𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
 
𝐅′𝟑=𝟐.𝐅𝟑−𝐅𝟐
 
𝟏 𝟏 𝟎
𝟎 −𝟐 𝟏
𝟎 𝟎 −𝟏
𝟎 𝟎 𝟏
 
𝐅′𝟒=𝐅𝟒+𝐅𝟑
 
𝟏 𝟏 𝟎
𝟎 −𝟐 𝟏
𝟎 𝟎 −𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
 
 
 El último vector es el L.D., y los tres que quedan son L.I, entonces forman una base de la suma. 
Base de  + : B = { (1 ; 1 ; 0) ; (1 ; -1 ; 1) ; (1 ; 0 ; 0) } y dim( + ) = 3 
(también es válido armar la base con los vectores que quedaron en la matriz del método trucho) 
 
Ejemplo 2: calcular  + , una base de  +  y dim( + ), con  = { (x ; y ; z ; w)  4 / x – y = 0 ; w = 0} 
y  = gen{ (0 ; 0 ; 1 ; 1) ; (1 ; 1 ; 1 ; 0) } 
 
Resolución: 
 para calcular la suma, necesitamos los generadores de ambos subespacios. Los de  ya los tenemos. 
Calculemos los de . 
Sus ecuaciones son: x – y = 0 ; w = 0  x = y ; w = 0 con y   ; z    
 
 
(x ; y ; z ; w) = (y ; y ; z ; 0) = (y ; y ; 0 ; 0) + (0 ; 0 ; z ; 0) = y.(1 ; 1 ; 0 ; 0) + z.(0 ; 0 ; 1 ; 0) 
  = gen{ (1 ; 1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1 ; 0) } 
  +  = gen{ (1 ; 1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1 ; 1) ; (1 ; 1 ; 1 ; 0) } 
 
 Base de  + : nos quedaron cuatro generadores en 4, pero podrían ser L.D. y no formar una base 
de la suma. Efectivamente, el cuarto vector es el primero más el segundo, entonces lo descartamos y 
queda  +  = gen{ (1 ; 1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1 ; 1) }. Ahora hay que ver si los tres que 
quedaron son L.I. o L.D. Ante la duda, si nada sale a simple vista, usamos nuestro método trucho: 
 
 
𝟏 𝟏 𝟎𝟎
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏 𝟏
 
𝐅′𝟑=𝐅𝟑−𝐅𝟐
 
𝟏 𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
 
 
Los tres vectores son L.I., entonces forman una base de la suma. 
Base de  + : B = { (1 ; 1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1 ; 1) } y dim( + ) = 3 
 
 
Teorema de la dimensión de la suma de subespacios 
Dado que la suma de dos subespacios se calcula a partir de ellos, nos preguntamos qué relación hay entre 
los subespacios que estamos sumando y el subespacio que obtenemos al sumarlos. 
En principio, como  +  contiene a los generadores de  y también a los generadores de , podemos 
asegurar que    +  y    + , entonces dim()  dim( + ) y dim()  dim( + ). 
Pero más aún, los matemáticos demostraron que hay una relación exacta entre la dimensión de , la 
dimensión de , y la dimensión de  + , que se cumple en todos los ejercicios de suma de subespacios. Si en 
un ejercicio no se cumple esta relación, el ejercicio está mal resuelto o el ejercicio no tiene soluciones (cosa 
que suele pasar en álgebra). 
 
Teorema: dim( + ) = dim() + dim() – dim(  ) 
 
 
Caso particular de suma de subespacios: suma directa 
Cuando dim(  ) = 0, es decir,    = { 0 }, se cumple que dim( + ) = dim() + dim(). 
En tal caso, como la dimensión de la suma es directamente la suma de las dimensiones de los dos 
subespacios que estamos sumando, decimos que la suma de los subespacios es directa, o bien que los 
subespacios están en suma directa. Y entonces, en lugar del símbolo “+”, se usa el símbolo “”. La suma 
directa se calcula igual que la suma común, la diferencia es el simbolito que se usa, y en algunos ejercicios es 
necesario verificar que la intersección tiene dimensión cero para decidir si la suma es directa o no. Y en el 
teorema podemos poner el símbolo de suma directa : dim(  ) = dim() + dim() 
 
Ejemplo 1: decir si  = gen{ (1 ; 1 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) } y  = gen{ (0 ; 0 ; 1) } están en suma directa, y calcular 
dicha suma. 
Resolución: para decidir si dos subespacios forman una suma directa al sumarse, debemos ver si su 
intersección es el subespacio trivial nulo, o si la dimensión de la intersección es cero. Cualquiera de las dos 
cosas sirve. 
Tenemos entonces dos posibilidades: calcular la intersección, o calcular la suma de los subespacios y con la 
ayuda del teorema deducir la dimensión de la intersección. 
 
Como los dos subespacios están dados por generadores, esta segunda opción será más rápida. Allá vamos. 
 Del enunciado vemos que dim() = 2 y dim() = 1 
  +  = gen{ (1 ; 1 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1) } 
 
1 1 0
0 1 0
0 0 1
  los tres vectores son L.I.  dim( + ) = 3 
 Por teorema de la dimensión: 3 = 2 + 1 – dim(  )  dim(  ) = 0   y  están en suma 
directa 
 Entonces    = gen{ (1 ; 1 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1) } = 3 
 
 
Ejemplo 2: sea  = gen{ (1 ; 1) } . Dar un subespacio   2 tal que    = 2 
Resolución: este ejercicio es opuesto al anterior: nos dan un subespacio, el resultado de la suma directa, y 
 nosotros tenemos que inventar el otro subespacio que participa de la suma directa. 
 Hay infinitas posibles respuestas. Vamos a dar una de ellas. pero cuidado: en todo ejercicio de 
 suma de subespacios, debe verificarse el teorema de la dimensión, entonces  no puede tener 
 cualquier dimensión. 
 del enunciado tenemos que dim() = 1 y dim(  ) = dim(2) = 2  2 = 1 + dim()  
dim() = 1  a  le pondremos un solo generador no nulo (y ya será la base de ) 
 La suma debe ser directa  el generador de  debe ser tal que no esté en   no puede ser un 
múltiplo del (1 ; 1), debe ser cualquier vector L.I. con el (1 ; 1), y aquí vienen las infinitas 
posibilidades para inventar el generador de . A mí se me ocurre el (1 ; 0). 
 
Conclusión: un posible subespacio que cumple lo pedido es  = gen{ (1 ; 0) } 
 
 
Propiedad útil para ver si la intersección de dos subespacios tiene dimensión cero. 
Supongamos que tenemos dos subespacios  y , de los cuales conocemos su base (es decir, los tenemos 
expresados por generadores L.I.) 
Ponemos en la matriz del método trucho la base de  y la base de . Si al triangular y escalonar la matriz no 
se anula ninguna fila, entonces la base de  es totalmente independiente de la base de , y la intersección de 
los dos subespacios será    = { 0 }. Por lo tanto, los subespacios podrán estar en suma directa. 
 
Ejemplo 3 ( de aplicación de esta propiedad) 
Sea el subespacio  = 𝐀  2x2 ∶ 𝐀 = 𝐀𝐭 . Hallar un subespacio   2x2 tal que ⊕  = 2x2 
 
Resolución: 
 Primero sacamos los generadores de . Sea 𝐀 = 
𝐚 𝐛
𝐜 𝐝
  𝐀𝐭 = 
𝐚 𝐜
𝐛 𝐝
 . Los elementos de  deben 
cumplir la siguiente condición: 
𝐀 = 𝐀𝐭 
𝐚 𝐛
𝐜 𝐝
 = 
𝐚 𝐜
𝐛 𝐝
  
𝐚 = 𝐚
𝐛 = 𝐜
𝐜 = 𝐛
𝐝 = 𝐝
 𝐛 = 𝐜 ,𝐚 ,𝐝𝐀 = 
𝐚 𝐜
𝐜 𝐝
 = 
𝐚 𝟎
𝟎 𝟎
 + 
𝟎 𝐜
𝐜 𝟎
 + 
𝟎 𝟎
𝟎 𝐝
 
Entonces 
 = gen 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎
 ; 
𝟎 𝟏
𝟏 𝟎
 ; 
𝟎 𝟎
𝟎 𝟏
 . Las tres matrices generadoras son L.I. (se ve con método 
trucho) y dim()=3 
 
 Queremos que ⊕  = 2x2. Aplicamos el teorema de la dimensión de la suma de subespacios: 
dim(2x2) = dim  + dim  − dim( ∩ )  4 = 3 + dim() – 0  dim() = 1 
 
 Ahora sabemos que  debe tener un solo generador L.I. (o sea no nulo) y para que la suma sea 
directa, debe ser L.I. con el conjunto de generadores de  (por la propiedad útil). Entonces debemos 
inventar una matriz que con el método trucho, al poner primero los tres generadores de  y abajo el 
de  (lo voy a escribir con rojo para no perderlo de vista), nos queden todos L.I. A lo mejor hay que 
aplicar algún pasito de triangulación: 
 
 
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 0 1
0 0 1 0
  ahora cambiamos fila 4 con fila 3 y nos queda todo triangulado y escalonado, 
 por lo tanto quedan todos L.I.: 
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 
 
Conclusión: un posible subespacio que cumple lo pedido es  = 𝐠𝐞𝐧 
𝟎 𝟎
𝟏 𝟎
 
 
 
Complemento ortogonal de un subespacio (ej. 22 y 23 de la guía 3) 
En la unidad 1, vimos una definición de ortogonalidad o perpendicularidad entre vectores en 2 y en 3: 
dos vectores son ortogonales si y sólo si su producto escalar da cero. 
Aunque no tenga significado geométrico, esta definición de ortogonalidad puede extenderse a vectores de 
mayor cantidad de componentes, extendiendo también la forma en que hacemos el producto escalar con 
ellos. 
Si x = (x1 ; x2 ; x3 ; ...... ; xn) y z = (z1 ; z2 ; z3 ; ..... ; zn) son dos vectores de n, definiremos el producto escalar 
entre ellos de la siguiente manera: 
x.z = x1.z1 + x2.z2 + x3.z3 + ..... + xn.zn 
Al igual que en 2 y en 3, el producto escalar en n da como resultado un número real, y cumple las 
mismas propiedades que vimos en la unidad 1. 
 
Diremos que los vectores x y z son ortogonales si y sólo si x.z = 0, aunque esta noción ya no tiene 
significado geométrico de perpendicularidad, salvo en 2 y en 3. 
 
Sea ahora un subespacio  incluido en n. Se llama complemento ortogonal del subespacio  al conjunto 
de todos los vectores de n que son ortogonales a todos los vectores de . A este nuevo conjunto lo 
notamos como : 
 
Si   n, entonces  = { v  n / v. vS = 0 para todo vS   } 
 
Puede demostrarse fácilmente que si  es un subespacio de n , entonces  también es un subespacio de 
n. 
Para calcular el complemento ortogonal de un subespacio , la definición no es muy práctica, porque como 
 tiene, en general infinitos vectores, deberíamos hallar todos los vectores que fueran ortogonales a los 
infinitos vectores de . Sin embargo, al igual que en suma de subespacios, hay una propiedad que nos 
permite calcular todos los vectores del complemento ortogonal sin tener que plantear infinitas cuentas. 
 
Propiedad: sea  = gen{ v1 ; v2 ; ... ; vk} un subespacio incluido en n. Si un vector v es ortogonal a todos los 
generadoresde , entonces v será ortogonal a todos los vectores de . 
La demostración de esta propiedad es muy simple, y se basa en el hecho de que todos los vectores de  se 
expresan como combinación lineal de sus generadores: 
Sea w    w = 1.v1 + 2.v2 + ..... + k.vk  v.w = v.( 1.v1 + 2.v2 + ..... + k.vk) 
 = v.1.v1 + v.2.v2 + ..... + v.k.vk 
 = 1.v.v1 + 2.v.v2 + ..... + k.v.vk 
 = 1.0 + 2.0 + ..... + k.0 
= 0  v es ortogonal a cualquier w   
 
Lo importante de esta propiedad no es su demostración, sino lo que nos dice: para calcular todos los 
vectores perpendiculares a todos los vectores de , no hace falta plantear infinitas condiciones de 
ortogonalidad: alcanza con calcular todos los vectores perpendiculares a todos los generadores de . Y esa es 
la forma más práctica de calcular el complemento ortogonal de . 
 
Propiedad útil: 
Si  = gen{ v1 ; v2 ; ... ; vk}, entonces  = { v n / v.v1 = 0  v.v2 = 0 ..... v.vk = 0 } 
 
 
Ejemplo 1: sea  = gen{ (1 ; 1 ; 0) ; (0 ; 1 ; 3) }. Calcular  
Resolución: como  tiene dos generadores, para calcular el complemento ortogonal debemos pedir que se 
 cumplan dos condiciones de ortogonalidad, una con cada generador: 
  = { (x ; y ; z)  3 / (x ; y ; z).(1 ; 1 ; 0) = 0  (x ; y ; z).(0 ; 1 ; 3) = 0 } 
 Desarrollando los dos productos escalares, obtenemos las ecuaciones de  

 = { (x ; y ; z)  3 / x + y = 0  y + 3z = 0 } 
 
 
 
Observación sobre este ejemplo: este ejercicio está planteado en 3, entonces puede interpretarse 
geométricamente.  tiene dimensión 2, es un plano que pasa por el origen. Noten que  es una recta que 
pasa por el origen. Y está bien que esto sea así, ya que el subespacio que contiene al origen y a todos los 
vectores que son perpendiculares al plano forman una recta que es perpendicular al plano, no queda otra 
posibilidad. El vector dirección de la recta es (1 ; 1 ; 0) x (0 ; 1 ; 3) = (3 ; -3 ; 1), que justo coincide con la 
normal del plano. Es decir, el subespacio perpendicular a un plano de 3 es la recta que pasa por el origen y 
que es perpendicular al plano. Y viceversa: si  es una recta, entonces  es el plano que pasa por el origen y 
es perpendicular a la recta. 
 
Entonces, en 3, tenemos las siguientes situaciones: 
 Si dim() = 1   es una recta   es el plano perpendicular a la recta . 
 Si dim() = 2   es un plano   es la recta perpendicular al plano . 
 Si dim() = 0   = { (0 ; 0 ; 0) }   es todo el espacio 3 (pues todo vector de 3 es 
perpendicular al (0 ; 0 ; 0) ) 
 Si dim() = 3   = 3   ={ (0 ; 0 ; 0) } (pues el único vector perpendicular a cualquier vector 
de 3 es el (0 ; 0 ; 0) ). 
 
Ejemplo 2: sea  = {(x ; y ; z ; w)  4 / x + y = 0 }. Calcular , una base y su dimensión. 
Resolución: como no tenemos los generadores de , primero vamos a calcularlos: 
 x + y = 0  x = -y con y   ; z   , w    
 (x ; y ; z ; w) = (-y ; y ; z ; w) = (-y ; y ; 0 ; 0) + (0 ; 0 ; z ; 0) + (0 ; 0 ; 0 ; w) 
 = y.(-1 ; 1 ; 0 ; 0) + z. (0 ; 0 ; 1 ; 0) + w.(0 ; 0 ; 0 ; 1) 
   = gen{ (-1 ; 1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0 ; 1) } 
 y ahora sí podemos calcular el complemento ortogonal: 

 = {(x;y;z ;w)  4 / (x;y;z;w). (-1;1;0;0) = 0  (x;y;z;w).(0;0;1;0) = 0  (x;y;z;w).(0;0;0,1)=0 } 
Entonces: 

 = {(x;y;z ;w)  4 / x - y = 0  z = 0  w = 0 } 
Base de : primero necesitamos calcular los generadores de  a partir de sus tres ecuaciones: 
x – y = 0 ; z = 0 ; w = 0  x = y con y  , z = 0 ; w = 0 
(x ; y ; z ; w) = (y ; y ; 0 ; 0) = y.(1 ; 1 ; 0 ; 0) 
  = gen{ (1 ; 1 ; 0 ; 0) } 
Como hay un solo generador no nulo, ese generador forma la base. 
Base de  : B = { (1 ; 1 ; 0 ; 0) } y dim() = 1 
 
Propiedades especiales del complemento ortogonal 
Sea  un subespacio incluido en n. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: 
1) () =  
2)    = { 0 }, es decir, dim(  ) = 0 
3)  y  siempre están en suma directa, y además    = n 
4) Por el teorema de la dimensión de la suma de subespacios, dim() + dim() = dim(n) = n 
La propiedad 4 es especialmente útil para calcular la dimensión del complemento ortogonal rápidamente, y 
eso también nos permite calcular una base de otra manera, sin pasar por sus ecuaciones. Veámoslo con un 
ejemplito. 
 
Ejemplo 3: calcular una base de , siendo  = gen{ (1 ; 0 ; -1) ; (1 ; 0 ; 0) } 
Resolución: en este ejercicio, el espacio vectorial es 3, y sabemos que dim(3) = 3. Además, del enunciado 
 se ve que dim() = 2. Entonces: 2 + dim() = 3  dim() = 1 
 Cualquier base de  deberá estar formada por un vector L.I., es decir, no nulo, que pertenezca a 
 , es decir, un vector que sea ortogonal a (1 ; 0 ; -1) y a (1 ; 0 ; 0) en forma simultánea. 
 Podría ser el (0 ; 1 ; 0), ya que (0 ; 1 ; 0).(1 ; 0 ; -1) = 0 y (0 ; 1 ; 0).(1 ; 0 ; 0) = 0 
 Entonces: 
Base de  : B = { (0 ; 1 ; 0) } y dim() = 1 
 
 
Todo lo visto hasta aquí sirve para completar la guía 3, pero los ejercicios 19, 20, 21 y 23 combinan varias 
operaciones en el mismo ejercicio (son de parcial). Pueden resolverlos a lo último, después de estudiar los 
temas de esta clase.