Semestral Uni - Trigonometría semana 17

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Cónicas
Trigonometría
DEFINICIÓN DE LA PARÁBOLA
Una parábola es el conjunto de puntos del plano que
equidistan de una recta fija (la directriz) y un punto
fijo (foco) que no pertenece a la recta.
Directriz
V: Vértice
F: Foco
:Punto genérico 
𝓛𝟏
Distancia de Q a la 
directriz: d(Q; 𝓛𝑫)
RL
B
V
F
A
 ℒ1
 ℒD
ELEMENTOS
 ℒ1: Eje focal
 ℒ𝐷:Directriz
𝐿𝑅: lado recto
𝐴𝐵: cuerda focal
𝐹𝑄: radio focal 
p: parámetro
p
p
𝐝 𝐐,𝐅 = 𝐝(𝐐,𝓛𝐃)
Además:
𝐋𝐑 = 𝟒 𝐩
Q
𝓛𝑫
𝐝 𝐐, 𝐅
𝐕𝐅 = 𝐩 ;𝐩 ≠ 𝟎
Se define:
Definición general: toda cónica es un conjunto de
puntos del plano tales que :
𝐝 𝐐, 𝐅 = 𝒆 ∙ 𝐝(𝐐,𝓛𝐃)
Donde 𝒆 se llama excentricidad.
Q
Ecuación de la parábola de vértice 𝐕 𝐡;𝐤
con eje focal paralelo al eje Y 
𝓟: (𝐱 − 𝐡)𝟐 = 𝟒𝐩(𝐲 − 𝐤) 𝓟: (𝐲 − 𝐤)𝟐 = 𝟒𝐩(𝐱 − 𝐡)
p > 0
p < 0
p > 0 p < 0
𝓟: 𝐱𝟐 + 𝐃𝐱 + 𝐄𝐲 + 𝐅 =0 𝓟: 𝐲
𝟐 + 𝐃𝐱 + 𝐄𝐲 + 𝐅 = 𝟎
Ecuaciones de la parábola
Ecuación de la parábola de vértice 𝐕 𝐡;𝐤
con eje focal paralelo al eje X
V(h; k)
F
 ℒ1
 ℒ𝐷
p
p
V(h; k)
F
 ℒ𝐷
 ℒ1
X
Y
 ℒ1 ℒ1
 ℒ𝐷 ℒ𝐷
V(h; k)
V(h; k)F F
X
Y
p p
Ejercicio 1
Se tiene la parábola de ecuación
𝑃: 𝑦2 − 20𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, cuyo vértice
es el punto de intersección de las rectas
𝐿1: 2𝑥 + 𝑦 + 7 = 0
𝐿2: 𝑥 − 3𝑦 − 7 = 0
Si la longitud del lado recto de P mide
20u, calcule 𝐸 + 𝐹
RESOLUCIÓN
∴ E + F = −25
Vértice: V(h; k)
V es punto de intersección de 𝐿1 ∩ 𝐿2
2ℎ + 𝑘 + 7 = 0
ℎ − 3𝑘 − 7 = 0
ℎ = −2
𝑘 = −3
La ecuación de la parábola es de la forma
(𝐲 − 𝐤)𝟐= 𝟒𝐩 𝐱 − 𝐡 …(𝐈)
Dato: lado recto = 20 → 4𝑝 = 20
𝑝 = 5
Reemplazando en (I)
(𝐲 + 𝟑)𝟐= 𝟒(𝟓) 𝐱 + 𝟐 …(𝐈)
Desarrollando
𝑦2 − 20𝑥 + 6𝑦 − 31 = 0
𝐸 = 6, 𝐹 = −31
DEFINICIÓN DE LA ELIPSE
Una elipse es el conjunto de todos los puntos P del
plano tales que la suma de sus distancias a dos
puntos fijos 𝐹1 𝑦 𝐹2 llamados focos, es constante.
ELEMENTOS
 Eje mayor V1V2
 Eje menor B1B2
 Directrices L1 y L2
 Cuerda focal: AB
 Diámetro: DE
 Radio focal: F1Q
 Lado recto: LR
𝒅 𝑷;𝑭𝟏 + 𝒅 𝑷;𝑭𝟐 = 𝟐𝒂
Q
F1
F2
Centro
V2
V1
𝑽𝟏𝑽𝟐 = 𝟐𝒂
Donde
F1 F2V1 V2
A
B
L
R
D
EB1
B2
L1 L2
𝒃
𝒃
𝑐 𝑐
C
𝒄
𝒄 Q
𝒂𝟐= 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
Tenemos
𝐋𝐑 =
𝟐𝒃𝟐
𝒂
𝐞 =
𝒄
𝒂
; 𝐞 < 𝟏
𝐝 𝑳𝟏; 𝑳𝟐 =
𝟐𝒂
𝒆
ℰ:
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
+
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
ℰ:
𝑥 − ℎ 2
𝑏2
+
𝑦 − 𝑘 2
𝑎2
= 1
𝑋
𝑌
ℎ
𝑘
𝐶 ℎ; 𝑘
V1 ℎ − 𝑎; 𝑘 y V2 ℎ + 𝑎; 𝑘 son los vértices.
B1 ℎ; 𝑘 + 𝑏 y B2 ℎ; 𝑘 − 𝑏 son los extremos del eje menor.
F1 ℎ − 𝑐; 𝑘 𝑦 F2 ℎ + 𝑐; 𝑘 son los focos.
𝑥 = ℎ ±
𝑎
𝑒
es la ecuación de la directríz.
𝑋
𝑌
V1 ℎ; 𝑘 − 𝑎 y V2 ℎ; 𝑘 + 𝑎 son los vértices.
B1 ℎ − 𝑏; 𝑘 y B2 ℎ + 𝑏; 𝑘 son los extremos del eje menor.
F1 ℎ; 𝑘 − 𝑐 𝑦 F2 ℎ; 𝑘 + 𝑐 son los focos.
𝑦 = 𝑘 ±
𝑎
𝑒
es la ecuación de la directríz.
ℎ
𝑘
𝐶 ℎ; 𝑘
𝑉1
𝑉2
𝑉1
𝑉2
𝐵1
𝐵1
𝐵2
𝐵2
𝐹1
𝐹1 𝐹2
𝐹2
EJE FOCAL PARALELO AL EJE X EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y
𝑐 𝑐
𝑏
𝑏
𝑐
𝑐
𝑏 𝑏
Ecuaciones de la elipse
Ejercicio 2
Una elipse tiene como centro el
punto (2; 0) y un foco en (5; 0).
Si la longitud de eje menor de la
elipse mide 8u. Calcule la
distancia del centro de la elipse a
la recta L que pasa por el punto
de menor abscisa y el extremo
del eje menor de la elipse, tal que
la pendiente de la recta L sea
negativa.
RESOLUCIÓN
∴ D =
20
41
u
(2; 0)
(5; 0)𝒄 = 𝟑
𝒃 = 𝟒
𝒂 = 𝟓(−3; 0)
(2;−4)
Y
X
D
F
Ecuación de la recta
𝑦 − 0
𝑥 − (−3)
=
0 − (−4)
−3 − 2
L: 4𝑥 + 5𝑦 + 12 = 0
Distancia del centro de la elipse a la recta L
𝐷 =
4 2 + 5 0 + 12
52 + 42
𝒃 = 𝟒
𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙
Ecuación 
canónica 
de la 
parábola
𝒙𝟐
𝒂𝟐
+
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏
Ecuación 
canónica 
de la 
elipse
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