Generadores y bases de un subespacio

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Álgebra y Geometría Analítica, año 2023 
Clase 11: Generadores y bases de un subespacio vectorial. 
 
En esta clase veremos otra forma de expresar un subespacio vectorial, utilizando lo que se llaman elementos 
o vectores generadores de un subespacio. Esto será especialmente útil para realizar operaciones con 
subespacios. 
 
Subespacio generado por un conjunto de elementos (ej 9 y 10 de la guía 3) 
 
Sea  un espacio vectorial, y sean v1 ; v2 ; v3 ;.....; vk k elementos pertenecientes a . 
Diremos que el conjunto de elementos { v1 ; v2 ; v3 ;.....; vk } es un conjunto (o sistema) de generadores del 
conjunto  si todos los elementos de  son todas las combinaciones lineales de v1 ; v2 ; v3 ;....; vk. También 
se suele decir que los elementos v1 ; v2 ; v3 ;..... ; vk generan al conjunto , o que  está generado por v1 ; v2 ; 
v3 ;..... ; vk 
La notación que indica que v1 ; v2 ; v3 ;..... ; vk son los generadores de  es la siguiente: 
 
 = gen{ v1 ; v2 ; v3 ;..... ; vk } 
 
Se puede demostrar si un conjunto  está formado por todas las combinaciones lineales que se pueden 
construir a partir de v1 ; v2 ; v3 ;..... ; vk, entonces ese conjunto  es un subespacio, que se denomina 
subespacio generado por { v1 ; v2 ; v3 ;..... ; vk } . Y también sabemos de la clase pasada que todo subespacio 
puede caracterizarse con ecuaciones lineales homogéneas. Entonces nuestra intuición nos lleva a pensar que 
todo subespacio seguramente puede expresarse de dos formas: a través de ecuaciones lineales homogéneas, 
o a través de sus generadores. Efectivamente, esto es así, y para algunos ejercicios, es más práctico tener 
expresado un subespacio a través de sus generadores en lugar de tenerlo expresado con sus ecuaciones. Por 
eso es importante saber trabajar con subespacios expresados de las dos formas posibles. 
 
 
Cómo hallar los generadores de un subespacio a partir de sus ecuaciones 
Vamos a verlo con algunos ejemplos, para que se entienda la idea. 
 
Ejemplo 1: hallar los generadores de  = { (x ; y ; z)  3 / 2x + y – z = 0 } 
 
Los elementos (x ; y ; z) que pertenecen al subespacio  deben verificar la ecuación 2x + y – z = 0, 
que es una ecuación lineal homogénea con tres incógnitas. Podemos despejar una incógnita en 
función de las otras dos, que quedarán como variables libres. Voy a elegir despejar z: 
z = 2x + y 
 
Entonces los elementos (x ; y ; z) pertenecientes a  son de la forma: 
(x ; y ; z) = (x ; y ; 2x + y) con x   ; y   
 
Vamos a escribir estos elementos separando la expresión en suma de vectores, cada uno conteniendo 
el “aporte” de cada variable libre, y sacando factor común en cada vector la variable libre 
correspondiente: 
 
(x ; y ; z) = (x ; y ; 2x + y) = (x ; 0 ; 2x) + (0 ; y ; y) = x.(1 ; 0 ; 2) + y.(0 ; 1 ; 1) con x   ; y   
 
Lo que está remarcado con color nos dice que todos los elementos del subespacio  se construyen 
como combinaciones lineales de los vectores (1 ; 0 ; 2) y (0 ; 1 ; 1), donde la variable libre x juega el 
rol del coeficiente que habíamos llamado 1 la clase pasada, y la variable libre y juega el rol del 
coeficiente 2. Por lo tanto estos dos vectores son los generadores del subespacio , y eso lo 
expresamos de la siguiente manera: 
 
 = gen{ (1 ; 0 ; 2) ; (0 ; 1 ; 1) } 
 
 
Ejemplo 2: hallar los generadores de  = { (x ; y ; z ; w)  4 / -x + 3y – w = 0 } 
 
Los elementos (x ; y ; z ; w) que pertenecen a  ahora deben verificar la ecuación -x + 3y – w = 0, 
que es una ecuación lineal homogénea con cuatro incógnitas (a pesar de que z no aparece, forma 
parte del elemento general de 4 y debe ser considerada como incógnita de la ecuación). Podemos 
despejar una incógnita en función de las otras tres, que quedarán como variables libres. Voy a elegir 
despejar x: 
x = 3y – w 
 
Entonces los elementos (x ; y ; z ; w) pertenecientes a  son de la forma: 
(x ; y ; z ; w) = (3y - w ; y ; z ; w) con y   ; z   ; w   
 
Vamos a escribir estos elementos separando la expresión en suma de vectores, cada uno conteniendo 
el “aporte” de cada variable libre, y sacando factor común en cada vector la variable libre 
correspondiente: 
 
(x ; y ; z ; w) = (3y - w ; y ; z ; w) = (3y ; y ; 0 ; 0) + (0 ; 0 ; z ; 0) + (-w ; 0 ; 0 ; w) = 
= y.(3 ; 1 ; 0 ; 0) + z.(0 ; 0 ; 1 ; 0) + w.(-1 ; 0 ; 0 ; 1) con y   ; z   ; w   
 
Lo que está remarcado con color nos dice que todos los elementos del subespacio  se construyen 
como combinaciones lineales de los vectores (3 ; 1 ; 0 ; 0), (0 ; 0 ; 1 ; 0) y (-1 ; 0 ; 0 ; 1), por lo 
tanto estos tres vectores son los generadores del conjunto , y eso lo expresamos de la siguiente 
manera: 
 
 = gen{ (3 ; 1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1 ; 0) ; (-1 ; 0 ; 0 ; 1) } 
 
 
Ejemplo 3: hallar los generadores de 𝕊 = 
𝐱 𝐲
𝐳 𝐰
 ∈ ℝ𝟐𝐱𝟐 𝐭𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐱 − 𝐲 = 𝟎 ; 𝐳 + 𝐰 = 𝟎 
 
En este ejemplo, el subespacio está dado por un sistema homogéneo de dos ecuaciones lineales, 
entonces los elementos del subespacio son las soluciones del sistema. Si las ecuaciones son muchas, o 
si hay muchas incógnitas, o si el sistema se ve “complicado”, lo pueden resolver con Gauss-Jordan, 
armando la matriz ampliada del sistema y llevándola a la forma triangulada y escalonada. Aquí 
podemos despejar sin usar la matriz ampliada, porque son solamente dos ecuaciones, y cada una 
contiene sólo dos incógnitas. Por ejemplo, podemos despejar la x de la primera y la z de la segunda: 
 
x = y ; z = -w con y   ; w   
Entonces: 
 
𝐱 𝐲
𝐳 𝐰
 = 
𝐲 𝐲
−𝐰 𝐰
 = 
𝐲 𝐲
𝟎 𝟎
 + 
𝟎 𝟎
−𝐰 𝐰
 = 𝐲. 
𝟏 𝟏
𝟎 𝟎
 + 𝐰. 
𝟎 𝟎
−𝟏 𝟏
 𝐜𝐨𝐧 𝐲   ; 𝐰   
 
Por lo tanto 
𝕊 = 𝐠𝐞𝐧 
𝟏 𝟏
𝟎 𝟎
 ; 
𝟎 𝟎
−𝟏 𝟏
 
 
 
Cómo hallar las ecuaciones de un subespacio a partir de sus generadores (ej. 10) 
En la sección anterior vimos ejemplos de cómo pasar de ecuaciones a generadores. Ahora haremos lo 
opuesto, es decir, pasaremos de generadores a ecuaciones, utilizando el concepto de generadores de un 
subespacio: son elementos tales que cualquier elemento del subespacio en combinación lineal de ellos. 
Desarrollemos algunos ejemplos: 
 
Ejemplo 1: hallar el subespacio   3 que está generado por { (1 ; 1 ; 1) ; (1 ; 2 ; -1) }. 
Lo que nos están pidiendo en este ejemplo es hallar las ecuaciones que definen al 
subespacio  = gen{ (1 ; 1 ; 1) ; (1 ; 2 ; -1) }. 
Por definición de generadores, sabemos que cualquier vector (x ; y; z) que pertenezca a  debe ser 
una combinación lineal de { (1 ; 1 ; 1) ; (1 ; 2 ; -1) }. Empecemos planteando esto, para ver qué 
ecuaciones debe cumplir el vector (x ; y; z) pertenecer a . 
Si (x ; y; z) es combinación lineal de { (1 ; 1 ; 1) ; (1 ; 2 ; -1) }, entonces deben existir 1 y 2 de 
forma tal que: 
(x ; y; z) = 1 .(1 ; 1 ; 1) + 2 .(1 ; 2 ; -1) 
 
Si armamos el sistema de ecuaciones que nos permite despejar los coeficientes 1 y 2 como hicimos 
la clase pasada para ver si un vector es combinación lineal de otros, nos queda: 
 
 
𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 = 𝐱
𝛂𝟏 + 𝟐.𝛂𝟐 = 𝐲
𝛂𝟏 − 𝛂𝟐 = 𝐳
 
 
Este sistema debe ser compatible, pues estamos pidiendo que 1 y 2 existan (y los valores de 1 y 2 
son las soluciones de dicho sistema). 
La matriz ampliada de este sistema es: 
 
𝟏 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟏 𝟐 ⋮ 𝐲
𝟏 −𝟏 ⋮ 𝐳
 
 
Noten algo interesante: esta matriz tiene, del lado de la matriz de coeficientes, los vectores 
generadores puestos en columnas, y del lado de los términos independientes, el vector general de  
escrito como columna también. Esto nos ayudará después a automatizar el método para pasar de 
generadores a ecuaciones. 
Vamos a triangular y escalonar la matriz del sistema, para ver qué condiciones se tienen que cumplir 
para que el sistema tenga solución, es decir, sea compatible (no importa si determinado o 
indeterminado, sólo necesitamos que sea no sea incompatible) 
 
 
𝟏 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟏 𝟐 ⋮ 𝐲
𝟏 −𝟏 ⋮ 𝐳
 
𝐅´𝟐=𝐅𝟐−𝐅𝟏
 
𝟏 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟎 𝟏 ⋮ 𝐲 − 𝐱
𝟏 −𝟏 ⋮ 𝐳
 
𝐅´𝟑=𝐅𝟑−𝐅𝟏𝟏 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟎 𝟏 ⋮ 𝐲 − 𝐱
𝟎 −𝟐 ⋮ 𝐳 − 𝐱
 
 
𝐅´𝟑=𝐅𝟑+𝟐.𝐅𝟐
 
𝟏 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟎 𝟏 ⋮ 𝐲 − 𝐱
𝟎 𝟎 ⋮ 𝐳 − 𝐱 + 𝟐. (𝐲 − 𝐱)
 = 
𝟏 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟎 𝟏 ⋮ 𝐲 − 𝐱
𝟎 𝟎 ⋮ −𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝐳
 
 
La matriz ya está triangulada y escalonada. Recordemos que si una fila tiene todos ceros del lado de 
los coeficientes y algo distinto de cero del lado de los términos independientes, aparece un absurdo y 
el sistema será incompatible. Justamente eso es lo que necesitamos que no suceda. Entonces, en 
nuestra matriz triangulada y escalonada, para que el sistema tenga solución, debe cumplirse que en la 
fila 3, el término independiente valga cero, es decir, -3x + 2y + z = 0 
 
Como conclusión, podemos asegurar lo siguiente: cualquier vector (x ; y ; z)   será combinación 
lineal de { (1 ; 1 ; 1) ; (1 ; 2 ; -1) } si y sólo si cumple -3x + 2y + z = 0, entonces  está formado por 
todos los elementos de 3 que cumplen esa ecuación. O sea que -3x + 2y + z = 0 es la ecuación que 
define al subespacio  
 = { (x ; y ; z)  3 / -3x + 2y + z = 0 } 
 
En este ejemplo, ahora podemos interpretar geométricamente a : es un plano de 3. 
 
 
Ejemplo 2: hallar el subespacio   3, generado por { (1 ; 1 ; 1) ; (2 ; 2 ; 2) } 
Si (x ; y; z) es combinación lineal de { (1 ; 1 ; 1) ; (2 ; 2 ; 2) }, entonces deben existir 1 y 2 de forma 
tal que: 
(x ; y; z) = 1 .(1 ; 1 ; 1) + 2 .(2 ; 2 ; 2) 
 
Ahora, haciendo el mismo planteo que en el ejemplo anterior, el sistema de ecuaciones que nos 
permite despejar los coeficientes 1 y 2 tiene la siguiente matriz ampliada: 
 
 
𝟏 𝟐 ⋮ 𝐱
𝟏 𝟐 ⋮ 𝐲
𝟏 𝟐 ⋮ 𝐳
 
 
Este sistema debe ser compatible, y para obtener las ecuaciones del subespacio, vamos a triangularlo 
y escalonarlo: 
 
 
𝟏 𝟐 ⋮ 𝐱
𝟏 𝟐 ⋮ 𝐲
𝟏 𝟐 ⋮ 𝐳
 
𝐅´𝟐=𝐅𝟐−𝐅𝟏
 
𝟏 𝟐 ⋮ 𝐱
𝟎 𝟎 ⋮ 𝐲 − 𝐱
𝟏 𝟐 ⋮ 𝐳
 
𝐅´𝟑=𝐅𝟑−𝐅𝟏
 
𝟏 𝟐 ⋮ 𝐱
𝟎 𝟎 ⋮ 𝐲 − 𝐱
𝟎 𝟎 ⋮ 𝐳 − 𝐱
 
 
Ya tenemos ceros debajo de la diagonal, la matriz ampliada quedó triangulada. No quedó escalonada 
pues la fila 3 debería empezar con 3 ceros, pero no hay manera de ubicar un tercer cero en la fila 3, 
pues en los términos independientes no tenemos números, sino variables. Sin embargo, ya podemos 
decir qué condiciones deben cumplirse para que el sistema tenga solución: como hay dos filas que se 
anularon completamente del lado de los coeficientes, entonces hay dos términos independientes que 
deben valer cero: y – x = 0 y z – x = 0. Por lo tanto el subespacio  estará caracterizado por dos 
ecuaciones: 
 = { (x ; y ; z)  3 / y - x = 0 ; z – x = 0 } 
 
En este ejemplo, geométricamente  corresponde a una recta de 3. 
 
 
Ejemplo 3 - caso especial: hallar el subespacio  generado por { (0 ; 0 ; 0) } 
Este es un caso especial porque sale conceptualmente, sin hacer cuentas: todas las combinaciones del 
vector (0 ; 0 ; 0) son todos los vectores múltiplos del (0 ; 0 ; 0), pero resulta que cualquier 
múltiplo del vector nulo da solamente un resultado: el mismo vector nulo. Entonces  contiene un 
solo elemento: el vector nulo. 
 = gen{ (0 ; 0 ; 0) } = { (0 ; 0 ; 0) } 
Y geométricamente,  corresponde a un punto de 3: el origen. 
 
 
Ejemplo 4: hallar el subespacio  generado por { (1 ; -1 ; 0 ; 1) ; (2 ; 1 ; 0 ; 0) ; (1 ; 1 ; 0 ; 1) } 
 En este ejercicio, aunque el enunciado no lo mencione explícitamente, estamos trabajando con 
 elementos de 4, por lo tanto el elemento general tendrá la forma (x ; y ; z ; w) o (x1 ; x2 ; x3 ; x4). 
A mí no me gusta usar subíndices, entonces prefiero usar la primera opción. 
Ya automatizamos: armo una matriz con los generadores puestos en columnas, del lado de los 
coeficientes del sistema, y el elemento general puesto en columna, del lado de los términos 
independientes. Y empezamos a triangular y escalonar el sistema: 
 
 
𝟏 𝟐 𝟏 ⋮ 𝐱
−𝟏 𝟏 𝟏 ⋮ 𝐲
𝟎 𝟎 𝟎 ⋮ 𝐳
𝟏 𝟎 𝟏 ⋮ 𝐰
 
𝐅´𝟐=𝐅𝟐+𝐅𝟏
 
𝟏 𝟐 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟎 𝟑 𝟐 ⋮ 𝐲 + 𝐱
𝟎 𝟎 𝟎 ⋮ 𝐳
𝟏 𝟎 𝟏 ⋮ 𝐰
 
 
𝐅´𝟒=𝐅𝟒−𝐅𝟏
 
𝟏 𝟐 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟎 𝟑 𝟐 ⋮ 𝐲 + 𝐱
𝟎 𝟎 𝟎 ⋮ 𝐳
𝟎 −𝟐 𝟎 ⋮ 𝐰 − 𝐱
 
𝐅´𝟒=𝐅𝟑
𝐅´𝟑=𝐅𝟒
 
𝟏 𝟐 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟎 𝟑 𝟐 ⋮ 𝐲 + 𝐱
𝟎 −𝟐 𝟎 ⋮ 𝐰 − 𝐱
𝟎 𝟎 𝟎 ⋮ 𝐳
 
 
𝐅′ 𝟑=𝟑.𝐅𝟑+𝟐.𝐅𝟐
 
𝟏 𝟐 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟎 𝟑 𝟐 ⋮ 𝐲 + 𝐱
𝟎 𝟎 𝟒 ⋮ 𝟑. 𝐰 − 𝐱 + 𝟐. (𝐲 + 𝐱)
𝟎 𝟎 𝟎 ⋮ 𝐳
 
 
Como hay una sola fila que se anuló completamente del lado de los coeficientes, entonces hay un 
único término independiente que debe valer cero: z = 0. Por lo tanto el subespacio  estará 
caracterizado por una sola ecuación: 
 = { (x ; y ; z ; w)  4 / z = 0 } 
En este ejemplo, no existe interpretación geométrica de  pues estamos trabajando en 4. 
Ejemplo 5: calcular el subespacio  generado por 𝟏 𝟐
−𝟏 𝟎
 ; 
𝟏 −𝟏
𝟏 𝟎
 
Ahora, los generadores son matrices, entonces...¿cómo armamos la matriz del sistema? Por una vez, 
veamos el detalle, y nos vamos a dar cuenta de que es muy fácil automatizar nuestro método para 
obtener las ecuaciones de un subespacio cuando los generadores son matrices. 
El elemento general del subespacio será de la forma 
𝐱 𝐲
𝐳 𝐰
 , el cual deberá ser combinación lineal de 
las dos matrices generadoras: 
 
𝐱 𝐲
𝐳 𝐰
 = 𝛂𝟏. 
𝟏 𝟐
−𝟏 𝟎
 + 𝛂𝟐. 
𝟏 −𝟏
𝟏 𝟎
 
 
Igualando componente a componente, el sistema de ecuaciones que nos permitiría despejar los 
coeficientes 1 y 2 es: 
 
𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 = 𝐱
𝟐.𝛂𝟏 − 𝛂𝟐 = 𝐲
−𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 = 𝐳
𝟎.𝛂𝟏 + 𝟎.𝛂𝟐 = 𝐰
 
Y la matriz ampliada queda: 
 
𝟏 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟐 −𝟏 ⋮ 𝐲
−𝟏 𝟏 ⋮ 𝐳
𝟎 𝟎 ⋮ 𝐰
 
 
Las columnas de la parte de coeficientes se pueden obtener de la siguiente manera: cada matriz 
generadora se convierte en un vector como en el método trucho, y luego se escribe ese vector como 
una columna. Y lo mismo se hace con el elemento general para obtener la columna de términos 
independientes de la matriz ampliada. 
 
 
𝟏 𝟐
−𝟏 𝟎
  𝟏 𝟐 −𝟏 𝟎  
𝟏
𝟐
−𝟏
𝟎
 es la primera columna 
 
 
𝟏 −𝟏
𝟏 𝟎
  𝟏 −𝟏 𝟏 𝟎  
𝟏
−𝟏
𝟏
𝟎
 es la segunda columna 
 
 
𝐱 𝐲
𝐳 𝐰
  𝐱 𝐲 𝐳 𝐰  
𝐱
𝐲
𝐳
𝐰
 es la columna de términos independientes 
 
 Y ahora el análisis del sistema es igual a si estuviéramos trabajando con vectores de 4 componentes. 
 
 
𝟏 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟐 −𝟏 ⋮ 𝐲
−𝟏 𝟏 ⋮ 𝐳
𝟎 𝟎 ⋮ 𝐰
  
𝟏 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟎 −𝟑 ⋮ 𝐲 − 𝟐𝐱
−𝟏 𝟏 ⋮ 𝐳
𝟎 𝟎 ⋮ 𝐰
  
𝟏 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟎 −𝟑 ⋮ 𝐲 − 𝟐𝐱
𝟎 𝟐 ⋮ 𝐳 + 𝐱
𝟎 𝟎 ⋮ 𝐰
  
𝟏 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟎 −𝟑 ⋮ 𝐲 − 𝟐𝐱
𝟎 𝟎 ⋮ 𝟑. 𝐳 + 𝐱 + 𝟐. 𝐲 − 𝟐𝐱 
𝟎 𝟎 ⋮ 𝐰
 
= 
𝟏 𝟏 ⋮ 𝐱
𝟎 −𝟑 ⋮ 𝐲 − 𝟐𝐱
𝟎 𝟎 ⋮ −𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝟑𝐳
𝟎 𝟎 ⋮ 𝐰
 
 
Entonces 𝕊 = 
𝐱 𝐲
𝐳 𝐰
 ∈ 𝟐𝐱𝟐 𝐭𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐪𝐮𝐞 − 𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝟑𝐳 = 𝟎 ;𝐰 = 𝟎 
 
 
Ejemplo 6: hallar el subespacio   2 , generado por { x2 ; 4 + x } 
 Como   2, el elemento general será un polinomio de grado menor o igual que dos, o sea, 
p(x) = a2.x2 + a1.x + a0 
 
Para trabajar con polinomios como si fueran vectores, podemos usar lo que vimos la clase pasada: los 
ordenamos de mayor a menor grado, los completamos con ceros si les falta algún término, y sus 
coeficientes jugarán el rol de componentes de un vector. 
 
p(x) = a2.x2 + a1.x + a0  (a2 ; a1 ; a0) 
primer generador: x2 = 1.x2 + 0.x + 0  (1 ; 0 ; 0) 
segundo generador: 4 + x = 0.x2 + 1.x + 4  (0 ; 1 ; 4) 
 
Y ahora aplicamos nuestro método para hallar las ecuaciones del subespacio: haciendo F´3 = F3 - 4.F2 
ya nos queda el sistema triangulado. 
 
 
𝟏 𝟎 ⋮ 𝐚𝟐
𝟎 𝟏 ⋮ 𝐚𝟏
𝟎 𝟒 ⋮ 𝐚𝟎
  
𝟏 𝟎 ⋮ 𝐚𝟐
𝟎 𝟏 ⋮ 𝐚𝟏
𝟎 𝟎 ⋮ 𝐚𝟎 − 𝟒.𝐚𝟏
 
 
Entonces  = { p(x) = a2.x2 + a1.x + a0  2 / a0 – 4.a1 = 0 } 
 
 
Algunas observaciones adicionales. 
Veamos con algunos ejercicios más, qué otras cosas podemos realizar con un subespacio expresado con sus 
generadores o con sus ecuaciones, para remarcar algunos detalles a tener en cuenta. 
 
1) Sea  = gen{ (1 ; -1 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (1 ; 0 ; 0) }. 
 
a) Calcular cuatro vectores que pertenezcan a  
Un vector pertenecerá a  si es combinaciónlineal de sus generadores. Entonces, simplemente 
debemos construir cuatro combinaciones lineales cualesquiera de los generadores. Hay infinitas 
posibilidades, pues podemos darle cualquier valor a los coeficientes de la combinación lineal: 
 
v1 = 0.(1 ; -1 ; 0) + 0.(0 ; 1 ; 0) + 0.(1 ; 0 ; 0) = (0 ; 0 ; 0) 
 
Noten que el vector nulo siempre está en un subespacio (como corresponde, de acuerdo a la primera 
condición necesaria y suficiente de subespacios) , pues el vector nulo es combinación lineal de 
cualquier conjunto de vectores: basta con elegir todos los coeficientes de la combinación lineal 
iguales a cero. 
 
v2 = 1.(1 ; -1 ; 0) + 0.(0 ; 1 ; 0) + 0.(1 ; 0 ; 0) = (1 ; -1 ; 0) 
 
Tomando un solo coeficiente de la combinación lineal igual a 1 y los demás iguales a cero, aparece 
una condición importantísima que deben cumplir los generadores de un subespacio: los generadores 
de un subespacio deben pertenecer al subespacio (si no, van a generar cosas que no están en el 
subespacio, o sea, cualquier verdura) 
 
v3 = 1.(1 ; -1 ; 0) + 3.(0 ; 1 ; 0) + (-5).(1 ; 0 ; 0) = (-4 ; 2 ; 0) 
 
v4 = 0.(1 ; -1 ; 0) + 2.(0 ; 1 ; 0) + (-4).(1 ; 0 ; 0) = (-4 ; 2 ; 0) 
Elegir distintos valores de los coeficientes de la combinación lineal no nos garantiza que 
obtendremos distintos elementos del subespacio. De acuerdo a cómo son los generadores (esto lo 
veremos en un par de páginas), un mismo elemento se puede obtener combinando de distintas 
maneras a los generadores de subespacio. 
 
v5 = 8.(1 ; -1 ; 0) + -2.(0 ; 1 ; 0) + (-4).(1 ; 0 ; 0) = (4 ; -10 ; 0) 
 
 
b) Decidir si (3 ; -1 ; 2) pertenece a  
(3 ; -1 ; 2) pertenece a  si y sólo si es combinación lineal de sus generadores. Entonces 
aplicamos lo visto la clase pasada para saber si un vector es combinación lineal de otros: 
 
(3 ; -1 ; 2) = 1.(1 ; -1 ; 0) + 2.(0 ; 1 ; 0) + 3.(1 ; 0 ; 0) 
 
 
𝛂𝟏 + 𝛂𝟑 = 𝟑
−𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 = −𝟏
𝟎 = 𝟐
 
Ya la última ecuación nos muestra un absurdo, entonces el sistema no tiene soluciones, por lo tanto 
(3 ; -1 ; 2) no pertenece a  pues no es combinación lineal de sus generadores. 
 
c) Decidir si (3 ; -1 ; 0) pertenece a  
Hacemos un planteo similar al inciso anterior: 
 
(3 ; -1 ; 0) = 1.(1 ; -1 ; 0) + 2.(0 ; 1 ; 0) + 3.(1 ; 0 ; 0) 
 
 
𝛂𝟏 + 𝛂𝟑 = 𝟑
−𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 = −𝟏 
𝟎 = 𝟎
 
𝛂𝟑 = 𝟑 − 𝛂𝟏
𝛂𝟐 = −𝟏 + 𝛂𝟏
𝟎 = 𝟎
 𝐜𝐨𝐧 𝛂𝟏 ∈ ℝ 
 
d) El sistema tiene infinitas soluciones, pero no importa que sean infinitas: lo importante es que, 
como tiene solución, (3 ; -1 ; 0) pertenece a  por ser combinación lineal de los generadores de 
. 
El hecho de que las soluciones sean infinitas está relacionado con que (3 ; -1 ; 0) puede 
obtenerse como combinación lineal de los generadores de  de infinitas formas distintas. Por 
ejemplo, tres de esas posibilidades son: 
(3 ; -1 ; 0) = 1.(1 ; -1 ; 0) + 0.(0 ; 1 ; 0) + 2.(1 ; 0 ; 0) 
(3 ; -1 ; 0) = 0.(1 ; -1 ; 0) + (-1).(0 ; 1 ; 0) + 3.(1 ; 0 ; 0) 
(3 ; -1 ; 0) = 4.(1 ; -1 ; 0) + 3.(0 ; 1 ; 0) + (-1).(1 ; 0 ; 0) 
 
 
2) Sea  = { (x ; y ; z ; w)  4 / x-2y = 0 ; x + z – w = 0 } Calcular dos conjuntos de generadores 
distintos para . 
Ya vimos que, para obtener los generadores de un subespacio, simplemente tenemos que resolver el 
sistema de ecuaciones que definen al subespacio, despejando algunas incógnitas en función de otras, 
y reemplazando los despejes en la expresión del elemento general. Pero de acuerdo a qué incógnitas 
despejemos, podemos obtener distintos resultados. 
 
Opción 1: 
De la primera ecuación despejamos x en función de y, obteniendo x = 2y (y será una variable libre). 
Lo reemplazamos en la segunda y queda: 2y + z – w = 0, y ahora podemos elegir despejar z o w (y no 
porque es variable libre). Por ejemplo, w = 2y + z. 
Entonces 
(x ; y ; z ; w) = (2y ; y ; z ; 2y + z) = (2y ; y ; 0 ; 2y) + (0 ; 0 ; z ; z) = 
 y.(2 ; 1 ; 0 ; 2) + z.(0 ; 0 ; 1 ; 1) con y   ; z   
 
 = gen { (2 ; 1 ; 0 ; 2) ; (0 ; 0 ; 1 ; 1) } 
 
Opción 2: 
De la primera ecuación despejamos y en función de x, obteniendo y = (1/2).x (x será una variable 
libre). En la segunda tenemos: x + z – w = 0, y ahora podemos elegir despejar z o w (x no porque es 
variable libre). Por ejemplo, z = -x + w. 
Entonces 
(x ; y ; z ; w) = (x ; (1/2).x ; -x + w ; w) = (x ; (1/2).x ; -x ; 0) + (0 ; 0 ; w ; w) = 
 x.(1 ; 1/2 ; -1 ; 0) + w.(0 ; 0 ; 1 ; 1) con y   ; w   
 
 = gen { (1 ; 1/2 ; -1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1 ; 1) } 
 
Como cuestión interesante, podemos remarcar que para un subespacio dado, podemos hallar 
distintos conjuntos generadores. Eso depende de cómo despejemos al resolver el sistema de 
ecuaciones que definen al subespacio. Se dice que los conjuntos generadores son equivalentes, pues 
generan el mismo subespacio. 
En el ejercicio, hemos obtenido dos conjuntos equivalentes de generadores de , que difieren en un 
solo vector. Pero podríamos haber obtenido un conjunto equivalente que tuviera diferencias en sus 
dos vectores respecto de los del primer conjunto. 
Observemos que el vector que hace que el segundo conjunto sea distinto al primero no es cualquier 
cosa: si lo miran fuertemente, van a notar que (1 ; 1/2 ; -1 ; 0) es combinación lineal de los 
generadores del primer conjunto: 
(1 ; 1/2 ; -1 ; 0) = (1/2).(2 ; 1 ; 0 ; 2) + (-1).(0 ; 0 ; 1 ; 1) 
 
Entonces, los vectores que se pueden construir combinando (2 ; 1 ; 0 ; 2) y (0 ; 0 ; 1 ; 1) son 
 los mismos que se pueden construir combinando (1 ; 1/2 ; -1 ; 0) y (0 ; 0 ; 1 ; 1), ya que el 
(1 ; 1/2 ; -1 ; 0) “contiene dentro de sí ” a (2 ; 1 ; 0 ; 2) y (0 ; 0 ; 1 ; 1). Por eso ambos conjuntos 
generan el mismo subespacio. 
 
 
Base y dimensión de un espacio vectorial (ej. 11 de la guía 3) 
Se llama base de un espacio vectorial  a cualquier conjunto de generadores de  que sea linealmente 
independiente. Es decir, es un conjunto de generadores especial. 
Por ejemplo, todo vector de 2 se expresa como (x ; y), con x   ; y   (es decir, cuando no hay ninguna 
ecuación que relacione a las variables, todas las variables son libres). 
Entonces podemos escribir: 
(x ; y) = (x ; 0) + (0 ; y) = x.(1 ; 0) + y.(0 ; 1) ; con x   ; y   
Por lo tanto 
 = 2 = gen{ (1 ; 0) ; (0 ; 1) } 
 
Pero además, el conjunto formado por los dos generadores, {(1 ; 0) ; (0 ; 1)}, es linealmente independiente 
pues está formado solamente por dos vectores que no son múltiplos entre sí. Entonces decimos que el 
conjunto B = {(1 ; 0) ; (0 ; 1)} es una base de 2. 
 
Una base es un conjunto de generadores especial por el siguiente motivo: un espacio vectorial puede estar 
generado por muchos elementos, a veces contienen elementos generadores “de más”, que pueden 
descartarse y los que quedan siguen generando el mismo conjunto. En una base, si descartamos un 
elemento, ya no se genera el mismo conjunto, sino que se genera un subconjunto “más pequeño” (en un 
rato les comento en qué sentido un conjunto es más pequeño que otro). Lo importante es que una base es 
un conjunto de generadores de  donde no sobra ningún elemento, no se puede descartar ningún 
generador. 
 
Para que se entienda qué quiero decir con que a veces se puede descartar un generador y a veces no, sigamos 
trabajando con 2 
Todo vector de 2 se puede escribir como combinación lineal de (1 ; 0) ; (1 ; 1) y (0 ; 0). Esto podemos 
mostrarlo expresando el elemento general (x ; y) como combinación lineal de los tres vectores y viendo 
que el sistema para despejar los coeficientes 1 , 2 y 3 tiene solución: 
(x ; y) = 1.(1 ; 0) + 2.(1 ; 1) + 3.(0 ; 0) 
 
 
𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 + 𝟎.𝛂𝟑 = 𝐱
𝟎.𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 + 𝟎.𝛂𝟑 = 𝐲
 
 
La matriz ampliada del sistema ya está triangulada y escalonada: 
𝟏 𝟏 𝟎 ⋮ 𝐱
𝟎 𝟏 𝟎 ⋮ 𝐲
 . Como no presenta 
incompatibilidades, el sistema tiene soluciones para cualquier valor de x e y, lo que significa que cualquier 
vector (x ; y) puede expresarse como combinación lineal de los tres vectores generadores. 
Sin embargo, entre los tres generadores, hay uno que está de más, pues ya es combinaciónlineal de los 
otros dos, entonces ya contiene en sí la información de los otros: el (0 ; 0) es linealmente dependiente de 
los otros dos, y agregar el (0 ; 0) en una combinación lineal no aporta nada, por lo tanto podemos 
descartarlo. 
(x ; y) = 1.(1 ; 0) + 2.(1 ; 1) + 3.(0 ; 0) = 1.(1 ; 0) + 2.(1 ; 1) 
 
2 = gen{ (1 ; 0) ; (1 ; 1) ; (0 ; 0) } = gen{ (1 ; 0) ; (1 ; 1) } 
 
Una vez descartado el vector L.D., nos quedan dos generadores L.I.: ya no podemos descartar ninguno de 
los dos, pues si descartamos uno de ellos, lo que se genera no será todo el espacio 2. Por ejemplo, si 
descartamos el (1 ; 0), nos queda como conjunto de generadores el conjunto { (1 ; 1) }. Pero las 
combinaciones lineales del (1 ; 1) son solamente los múltiplos del (1 ; 1), y no todo vector de 2 es múltiplo 
del (1 ; 1). Un solo vector no nulo de 2 no alcanza para generar todo el espacio 2 (lo que se genera en ese 
caso es la recta que pasa por el origen y tiene como vector dirección al vector generador). 
Para generar todo el espacio 2 se necesitan, por lo menos, dos vectores L.I. Es decir, el conjunto de 
generadores con la menor cantidad posible de generadores debe tener dos generadores L.I. Ese conjunto tan 
especial, el más chiquito posible que genera a todo el espacio, es lo que llamamos una base del espacio (en 
este ejemplo comentado, base de 2). 
 
Al principio del tema, vimos que 2 = gen{ (1 ; 0) , (0 ; 1) }. Como los dos generadores son L.I, ambos 
forman una base B de 2. 
Pero luego vimos también que 2 = gen{ (1 ; 0) ; (1 ; 1) }. Como los dos generadores son L.I., ambos 
forman otra base B’ de 2 
Esto nos da una idea de que un espacio vectorial puede tener muchas bases distintas. Bueno, en realidad, un 
espacio vectorial tiene infinitas bases distintas, siempre y cuando sus elementos sean L.I. y la cantidad de 
ellos alcance para generar todo el espacio vectorial. Por suerte, existe una serie de teoremas que nos 
permiten saber cuántos elementos debe tener una base. Los más útiles son los siguientes: 
 
Teorema 1: todas las bases de un cierto espacio vectorial  tienen la misma cantidad de elementos. 
 
Definición que surge de este teorema: 
Se llama dimensión del espacio vectorial , y se nota como dim(), a la cantidad de elementos que 
tiene cualquier base de  
 
Teorema 2: si la dimensión de un espacio vectorial  es k, entonces cualquier conjunto de k elementos L.I. 
pertenecientes a  será una base de  
 
Gracias a estos dos teoremas, podemos dar la dimensión de cada uno de los espacios vectoriales con los 
cuales nosotros trabajamos, y construir distintas bases para ellos. 
 
 2: ya vimos que una base de 2 es { (1 ; 0) ; (0 ; 1)}. Esta base se denomina base canónica de 2, 
es la más sencilla de construir. Cada vector tiene un 1 en una de sus componentes, y 0 en todas las 
demás. Y en la base canónica, los vectores se presentan en un orden especial: primero va el que tiene 
el 1 en la primera componente, segundo va el que tiene un 1 en la segunda componente. Si 
cambiamos el orden de los vectores, la base ya no es la canónica. 
A la base canónica siempre se la simboliza con una letra E, o sea, en 2: 
E = { (1 ; 0) ; (0 ; 1)}. 
A los dos vectores que forman esta base se los llama vectores canónicos. 
Como la base canónica E está formada por 2 vectores L.I., cualquier otra base de 2 estará formada 
por dos vectores L.I, y podemos asegurar que dim(2) = 2 
 
 3: en este espacio, es fácil ver que cualquier vector (x ; y ; z) es combinación lineal de los vectores 
 (1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) y (0 ; 0 ; 1). Estos tres vectores son L.I., como pueden verlo con 
determinante, con método trucho o por definición de vectores L.I. Estos tres vectores son los 
vectores canónicos de 3, y forman la base canónica de 3: 
E = { (1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1) } 
y por lo tanto dim (3) = 3 
 
 Generalizamos lo visto recién a n: la base canónica en este espacio está formada por n vectores: 
E = { (1 ; 0 ; 0 ;........; 0) ; (0 ; 1 ; 0 ; .........; 0) ; (0 ; 0 ; 1 ; .........; 0) ; ........... ; (0 ; 0 ; 0 ;........; 1) } 
y por lo tanto dim (n) = n 
 
 2x2: La base canónica de este espacio está formada por cuatro matrices de tamaño 2x2, que tienen 
un 1 en uno de sus coeficientes y o en los demás, con el siguiente orden: 
𝐄 = 
𝟏 𝟎
𝟎 𝟎
 ; 
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
 ; 
𝟎 𝟎
𝟏 𝟎
 ; 
𝟎 𝟎
𝟎 𝟏
 
y dim (2x2) = 4 
 
 2x3: La base canónica de este espacio está formada por seis matrices de tamaño 2x3, que tienen un 1 
en uno de sus coeficientes y o en los demás, con el siguiente orden: 
𝐄 = 
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎
 ; 
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎
 ; 
𝟎 𝟎 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
 ; 
𝟎 𝟎 𝟎
𝟏 𝟎 𝟎
 ; 
𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
 ; 
𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
 
y dim (2x3) = 6 
 
 Observando los dos ejemplos previos, vemos que dim(n x m) = n.m 
 
 n. en algunos libros, la base canónica de este espacio aparece ordenada de mayor a menor potencia, 
en otros, al revés. Yo la voy a escribir acá ordenada de menor a mayor potencia, como aparece en el 
apunte AGA Virtual 3, pero si quieren ordenarla al revés, como aparece en otros apuntes, pueden 
hacerlo, aclarando qué orden están usando. 
Cualquier polinomio de grado menor o igual a n puede expresarse como 
p(x) = a0.1 + a1.x + a2.x2 + a3.x3 + ......+ an.xn 
o sea, como combinación lineal de los polinomios del conjunto { 1 ; x ; x2 ; x3 ;........; xn }. El 
conjunto resulta ser un conjunto de generadores para n. Ustedes pueden ver, como ejercicio, que 
este conjunto es L.I, por lo tanto, es una base del espacio n. Este conjunto es la base canónica de n 
E = { 1 ; x ; x2 ; x3 ;........; xn } 
y (mucho cuidado ahora) dim(n) = n+1 
 
Ejemplos: 
1) Decidir si el conjunto B = { (1 ; -1 ; 3) ; (1 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1)} es una base de 3 
Resolución: por el teorema 2, cualquier base de 3 debe estar formada por 3 vectores L.I. de 3. 
Entonces, para ver si B es base, lo único que debemos hacer es ver si el conjunto es L.I. En este caso, 
se puede ver con determinante o método trucho: 
 
 
𝟏 −𝟏 𝟑
𝟏 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
 
𝐅´𝟐=𝐅𝟐−𝐅𝟏
 
𝟏 −𝟏 𝟑
𝟎 𝟐 −𝟑
𝟎 𝟎 𝟏
 Quedó triangulada y escalonada, y no se anuló ninguna fila 
 los 3 vectores son L.I. entre sí  B = { (1 ; -1 ; 3) ; (1 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1)} es una base de 3 
 
2) Construir una base de 4 que contenga a los vectores (1 ; -1 ; 2 ; 1) y (1 ; 1 ; 0 ; 1). 
Resolución: toda base de 4 debe estar formada por 4 vectores de 4, de modo tal que quede un 
conjunto L.I. Ya tenemos dos vectores, nos falta agregar otro dos, pero no podemos agregar 
cualquier cosa, porque deben quedar L.I. Podemos ayudarnos para esto con el método trucho: si los 
vectores son L.I., al ponerlos acostados en una matriz y triangularla, no debe anularse ninguna fila. 
Entonces la idea astuta es ir agregando vectores de forma tal que la matriz del método trucho quede, 
en lo posible, triangulada, o casi. Los que agrego, lo escribo con color, para que vean cómo tratamos 
de mantener la triangulación: 
 
 
𝟏 −𝟏 𝟐 𝟏
𝟏 𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
 
𝐅′𝟐=𝐅𝟐−𝐅𝟏
 
𝟏 −𝟏 𝟐 𝟏
𝟎 −𝟐 −𝟐 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
 
 
Con los vectores agregados y un pasito adicional de Gauss, la matriz quedó triangulada y no se anuló 
ninguna fila  B = { (1 ; -1 ; 2 ; 1) ; (1 ; 1 ; 0 ; 1) ; (0 ; 0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0 ; 1) } es una base de 4 
que cumple lo pedido. 
 
3) Hallar todos los valores de k   de modo que B = { (1 ; 0 ; k) ; (1 ; 1 ; 1) ; (k ; 0 ; 1) } sea una base 
de 3. 
Resolución: Para que B sea una base, los tres vectores que la componen debe ser L.I., entonces el 
ejercicio se puede resolver, por ejemplo, con determinante: 
 
𝐝𝐞𝐭 
𝟏 𝟎 𝐤
𝟏 𝟏 𝟏
𝐤 𝟎 𝟏
 ≠ 𝟎 𝟏. 𝟏.𝟏 − 𝟎.𝟏 − 𝟎. 𝟏.𝟏 − 𝐤.𝟏 + 𝐤. 𝟏.𝟎 − 𝐤.𝟏 = 𝟏 − 𝐤𝟐 ≠ 𝟎  𝐤 ≠ ±𝟏 
 
 
 
Coordenadas de un vector respecto de una base (ej. 12 y 13 de la guía 3) 
Sea  un espacio vectorial, y sea B = { v1 ; v2 ; v3 ; ...... ; vn } una base de . 
Como el conjuntoB, por ser base, es un conjunto de generadores de , cualquier elemento v  puede 
escribirse como combinación lineal de los elementos de la base B, como vimos la clase pasada: 
 
v = 1.v1 + 2.v2 + 3.v3 + ........ + n.vn 
 
Los coeficientes 1 ; 2 ; 3 ; ....... ; n de la combinación lineal se denominan coordenadas del elemento v 
respecto de la base B, y se escriben de forma ordenada en una columna. 
La notación para coordenadas de v respecto de la base B son unos corchetes con la base B como subíndice: 
“coordenadas de v respecto de la base B” : [𝐯]𝐁 =
 
 
 
𝛂𝟏
𝛂𝟐
𝛂𝟑
⋮
⋮
𝛂𝐧 
 
 
 
 
Cuando estamos trabajando con generadores que forman una base, y armamos el sistema para despejar los 
coeficientes 1 ; 2 ; 3 ; ....... ; n de la combinación lineal, nos queda un sistema compatible determinado, 
pues el determinante de la matriz de coeficientes tiene en sus columnas a los vectores que forman la base, y 
al ser éstos L.I., el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Esto significa que cuando 
escribimos un vector v como combinación lineal de los vectores que forman una base, los coeficientes 
1 ; 2 ; 3 ; ....... ; n de la combinación lineal son únicos, o sea, las coordenadas de un vector v respecto de 
una base B son únicas, tienen un único valor. Los matemáticos dicen que “existe una correspondencia 
biunívoca entre un vector v y sus coordenadas respecto de una base del espacio vectorial”. Lo que significa 
que a cada vector le corresponde una única columna de coordenadas. 
 
Ejemplos 
1) Calcular las coordenadas del vector (1 ; 2) respecto de la base B = { (1 ; -1) ; (1 ; 1) } 
Resolución: tenemos que expresar al vector (1 ; 2) como combinación lineal de los vectores de la 
base B, y despejar los coeficientes de la combinación lineal: 
 
 𝟏 ; 𝟐 = 𝟏. 𝟏 ; −𝟏 + 𝟐. 𝟏 ; 𝟏  
𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 = 𝟏
−𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 = 𝟐
  𝛂𝟏 = −
𝟏
𝟐
 ; 𝛂𝟐 =
𝟑
𝟐
 
 
Entonces [ 𝟏;𝟐 ]𝐁 = 
−
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
 
 
2) Calcular las coordenadas de 𝟏 𝟐
−𝟏 𝟑
 respecto de la base 𝐁 = 
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
 ; 
𝟏 𝟏
𝟎 𝟎
 ; 
𝟎 𝟎
𝟏 𝟏
 ; 
𝟎 𝟎
𝟏 𝟎
 
Resolución: hacemos lo mismo que en ejemplo anterior (la diferencia es que, en lugar de dos 
coeficientes, tendremos que despejar cuatro coeficientes) 
 
 
𝟏 𝟐
−𝟏 𝟑
 = 𝜶𝟏 
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
 + 𝛂𝟐 
𝟏 𝟏
𝟎 𝟎
 + 𝛂𝟑 
𝟎 𝟎
𝟏 𝟏
 + 𝛂𝟒 
𝟎 𝟎
𝟏 𝟎
  
𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 = 𝟏
𝛂𝟐 = 𝟐
𝛂𝟑 + 𝛂𝟒 = −𝟏
𝛂𝟏 + 𝛂𝟑 = 𝟑
 
De este sistema obtenemos 1 = -1 ; 2 = 2 ; 3 = 4 ; 4 = -5 
 
Entonces 𝟏 𝟐
−𝟏 𝟑
 
𝐁
= 
−𝟏
𝟐
𝟒
−𝟓
 
 
 
3) Calcular las coordenadas de p(x) = 3x2 + 2x – 1 respecto de la base B = { x2 ; x + 1 ; x - 2 } 
Resolución: aquí hay que acordarse que igualar polinomios es igualar los términos de igual potencia. 
3x2 + 2x – 1= 1.(x2) + 2.(x + 1) + 3.(x – 2) 
 
términos de grado 2: 3.x2 = 1.x2 
términos de grado 1: 2.x = (2 + 3).x 
términos constantes: -1 = 2 - 23 
 
 
𝛂𝟏 = 𝟑
𝛂𝟐 + 𝛂𝟑 = 𝟐
𝛂𝟐 − 𝟐.𝛂𝟑 = −𝟏
  𝛂𝟏 = 𝟑 ; 𝛂𝟐 = 𝟏 ; 𝛂𝟑 = 𝟏 
 
Entonces 𝟑𝐱𝟐 + 𝟐𝐱 − 𝟏 𝐁 = 
𝟑
𝟏
𝟏
 
 
4) Sabiendo que [𝐯]𝐁 = 
𝟏
−𝟏
𝟑
 con B = { (1 ; 1 ; 0) ; (1 ; 0 ; 1) ; (0 ; 1 ; 1) }, calcular el vector v 
Resolución: este es el ejercicio opuesto a los anteriores. Conociendo las coordenadas y la base, hay 
que reconstruir quién es el vector v 
Conocer las coordenadas es conocer los coeficientes 1 ; 2 ; 3 de la combinación lineal. Entonces 
reemplazamos sus valores en la combinación lineal (son los que reemplacé con rojo) 
 
v = 1.(1 ; 1 ; 0) + (-1).(1 ; 0 ; 1) + 3.(0 ; 1 ; 1) 
 
y haciendo el cálculo, obtenemos v = (0 ; 4 ; 2) 
 
 
5) Sea B = { (k ; 1) ; (2 ; h) } una base de 2 . Hallar k y h sabiendo que [(𝟑;𝟐)]𝐁 = 
𝟏
𝟓
 
Resolución: aquí hay que despejar dos incógnitas que aparecen dentro de la base B a partir de la 
definición de coordenadas. Simplemente ubicamos todos nuestros datos en la definición de 
coordenadas: 
 
[(𝟑;𝟐)]𝐁 = 
𝟏
𝟓
 significa que (3 ; 2) = 1.(k ; 1) + 5.(2 ; h)  
𝟑 = 𝐤 + 𝟏𝟎
𝟐 = 𝟏 + 𝟓𝐡
  𝐤 = −𝟕 ; 𝐡 =
𝟏
𝟓
 
 
 
Propiedad de las coordenadas de un vector 
Esta es una propiedad muy útil que utilizaremos la clase que viene, para resolver algunos ejercicios más 
fácilmente. 
Sea  un espacio vectorial, y sea B una base de . 
El conjunto { w1 ; w2 ; w3 ;.......wk }   es L.I. si y sólo si sus coordenadas respecto de la base B forman un 
conjunto de columnas L.I. 
El conjunto { w1 ; w2 ; w3 ;.......wk }   es L.D. si y sólo si sus coordenadas respecto de la base B forman un 
conjunto de columnas L.D. 
 
Esta propiedad justifica lo que hemos hecho para ver si un conjunto de polinomios es L.I. o L.D., 
convirtiéndolos primero en vectores. 
Supongan que queremos ver si { x2 + 5x – 1 ; 3x + x2 ; 4}  2 es L.I. o L.D. Lo que hacíamos era ordenar los 
vectores de mayor a menor grado, y con los coeficientes armar vectores, y ver si esos vectores son L.I. o no 
con método trucho. 
Ahora lo voy a hacer usando esta nueva propiedad, y van a ver que es lo mismo. 
 
 Usamos la base B = { x2 ; x ; 1} (también pueden usar la canónica de 2, si quieren. Se llega a lo 
mismo) 
 Calculamos las coordenadas de cada polinomio respecto de la base B: 
[x2 + 5x – 1]B = 
𝟏
𝟓
−𝟏
 pues x2 + 5x – 1 = 1.(x2) + 5.(x) + (-1).(1) (la base es tan simple que las 
coordenadas salen a simple vista) 
[3x + x2]B = 
𝟏
𝟑
𝟎
 pues 3x + x2 = 1.(x2) + 3.(x) + 0.(1) 
[4]B = 
𝟎
𝟎
𝟒
 pues 4 = 0.(x2) + 0.(x) + 4.(1) 
Entonces, ver si el conjunto del enunciado es L.I.o L.D. es lo mismo que ver si 
𝟏
𝟓
−𝟏
 ; 
𝟏
𝟑
𝟎
 ; 
𝟎
𝟎
𝟒
 , o si 
 𝟏;𝟓;−𝟏 ; 𝟏;𝟑;𝟎 ; (𝟎;𝟎;𝟒) , es un conjunto L.I. o L.D. Exactamente lo mismo que yo les comenté que 
se puede hacer para aplicar método trucho con polinomios. Y de la misma manera se justifica el “estirar” a 
las matrices para convertirlas en vectores: con el concepto de coordenadas, en ese caso, respecto de la base 
canónica correspondiente. 
 
𝐝𝐞𝐭 
𝟏 𝟓 −𝟏
𝟏 𝟑 𝟎
𝟎 𝟎 𝟒
 = 𝟒. (−𝟏)𝟑+𝟑. 𝟏.𝟑 − 𝟏.𝟓 = 𝟒.𝟏. −𝟐 = −𝟖 ≠ 𝟎  𝐬𝐨𝐧 𝐋. 𝐈. 
 
 
 
Base y dimensión de un subespacio (ej. 14, 15 y 16 de la guía 3) 
Los conceptos de base y dimensión que vimos para espacios vectoriales, también se pueden aplicar a los 
subespacios incluidos en un espacio vectorial. 
 
Sea  un subespacio incluido en un espacio vectorial . Una base del subespacio  es cualquier conjunto de 
generadores de  que sea L.I. 
Al igual que sucede para los espacios vectoriales, un subespacio  suele tener infinitas bases, pero todas 
tendrán la misma cantidad de elementos. La cantidad de elementos que contiene cualquier base de  se 
denomina dimensión del subespacio , y lo notamos como dim(). 
Para subespacios también se cumple el teorema 2 que vimos antes: si la dimensión de un subespacio  es k, 
entonces cualquier conjunto de k elementos L.I. pertenecientes a  será una base de . El cuidado que hay 
que tener aquí es que los elementos que forman la base de un subespacio deben pertenecer al subespacio, 
entonces deben verificar sus ecuaciones o ser combinación lineal de sus generadores. Por ello, no es tan fácil 
inventar distintas bases para un subespacio. 
 
Para los subespacios geométricos, es decir, los que están incluidos en 2 o en 3, es bastante fácil calcular 
bases y dimensión, pues ya sabemos a qué objetos geométricos corresponden: 
 
Subespacios de 2 
 
 0 = { (0 ; 0) }. 
Este subespacio tiene un único vector generador: el (0 ; 0). Pero cualquier conjunto que contenga 
al vector nulo es L.D. automáticamente, entonces esta subespacio no tiene base. Y como la base no 
tiene ningún elemento, dim(0) = 0 
 
 1 = cualquier recta que pase por el origen 
Todos los vectores que pertenecen a una recta que pasa por el origen cumplen la ecuación vectorial 
paramétrica (x ; y) = t.(vx ; vy), donde 𝐯 = (vx ; vy) es el vector dirección de larecta. 
Esto nos dice que los vectores (x ; y) de 1 son múltiplos de un único vector no nulo 𝐯 . Por lo 
tanto: 
1 = gen{ 𝐯 } 
Base de 1: B = { 𝐯 } y dim(1 ) = 1 
 
 2 = todo el espacio 2 
Ya vimos que dim(2) = 2, y cualquier base estará formada por dos vectores L.I cualesquiera 
 
Subespacios de 3 
 
 0 = { (0 ; 0 ; 0) } 
Este subespacio tiene un único vector generador: el (0 ; 0 ; 0). Pero cualquier conjunto que 
contenga al vector nulo es L.D. automáticamente, entonces esta subespacio no tiene base. Y como la 
base no tiene ningún elemento, dim(0) = 0 
 
 1 = cualquier recta que pase por el origen 
Todos los vectores que pertenecen a una recta que pasa por el origen cumplen la ecuación vectorial 
paramétrica (x ; y ; z) = t.(vx ; vy ; vz), donde 𝐯 = (vx ; vy ; vz) es el vector dirección de la recta. 
Esto nos dice que los vectores (x ; y ; z) de 1 son múltiplos de un único vector no nulo 𝐯 . Por lo 
tanto: 
1 = gen{ 𝐯 } 
Base de 1: B = { 𝐯 } y dim(1 ) = 1 
 
 2 = cualquier plano que pase por el origen 
Todos los vectores que pertenecen a un plano que pasa por el origen cumplen la ecuación vectorial 
paramétrica (x ; y ; z) = .(ux ; uy ; uz) + .(vx ; vy ; vz), donde 𝐮 = (ux ; uy ; uz) y 𝐯 = (vx ; vy ; vz) son 
dos vectores no nulos y no múltiplos entre sí, tales que 𝐮 𝐱 𝐯 da como resultado la normal del 
plano. 
Esto nos dice que los vectores (x ; y ; z) de 2 son combinación lineal de dos vectores 𝐮 y 𝐯 no 
nulos y no múltiplos, o sea, forman un conjunto L.I. 
Por lo tanto: 
2 = gen{ 𝐮 ; 𝐯 } 
Base de 2: B = { 𝐮 ; 𝐯 } y dim(2 ) = 2 
 
 3 = todo el espacio 3 
Ya vimos que dim(3) = 3 y cualquier base estará formada por tres vectores L.I. cualesquiera. 
 
 
Ejemplos: 
1) Calcular una base y dimensión del subespacio  = { (x ; y ; z)  3 / x – y + z = 0 } 
Resolución: este subespacio está incluido en 3, entonces podemos ayudarnos con su interpretación 
geométrica. 
 es un plano que pasa por el origen  dim() = 2 
Como dim() = 2, cualquier base estará formada por dos vectores que cumplan la ecuación de , y 
que sean L.I. Los inventamos (con cuidado, porque los dos tienen que verificar la ecuación del plano 
y no ser múltiplos entre sí): u = (1 ; 1 ; 0) y v = (0 ; 1 ; 1) 
  Base de : B = { (1 ; 1 ; 0) ; (0 ; 1 ; 1) } 
 
 
2) Calcular una base y dimensión de  = gen{(1 ; 1 ; 1 ; 1) ; (1 ; -1 ; 0 ; 0) ; (2 ; 0 ; 1 ; 1) ; (0 ; 0 ; 0 ; 1)} 
Resolución: este subespacio está incluido en 4, entonces ya no podemos ayudarnos con su 
interpretación geométrica, porque no la tiene. 
Para construir una base, debemos hallar primero un conjunto de generadores, y descartar los 
generadores L.D., para quedarnos con los que son L.I. 
Pero en este ejercicio, ya tenemos el conjunto de generadores, entonces solamente nos queda 
descartar los generadores que son L.D con los demás, en caso de que existan algunos. 
A simple vista, el tercer generador v3 es el primero más el segundo, entonces es L.D. por ser 
combinación lineal de los demás (v3 = 1.v1 +1.v2 + 0.v4). Lo descartamos y queda 
 
 = gen{(1 ; 1 ; 1 ; 1) ; (1 ; -1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0 ; 1)} 
 
Ahora, a simple vista no veo si hay alguno L.D, pero no hay que preocuparse: aquí viene la 
practicidad del método trucho, que lo podríamos haber usado desde el principio: 
 
 
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 −𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
 
𝐅′𝟐=𝐅𝟐−𝐅𝟏
 
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 −𝟐 −𝟏 −𝟏
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
 
 
La matriz quedó triangulada y no se anuló ninguna fila  los 3 generadores son L.I.  una base de 
 es B = {(1 ; 1 ; 1 ; 1) ; (1 ; -1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0 ; 1)} y dim() = 3 
 
Observación: los tres vectores que quedan después de triangular la matriz del método trucho 
también son L.I., y son combinaciones de los generadores originales, entonces están en , por lo 
tanto otra base de  es B’ = {(1 ; 1 ; 1 ; 1) ; (0 ; -2 ; -1 ; -1) ; (0 ; 0 ; 0 ; 1)} 
 
3) Calcular una base y dimensión del subespacio  = 𝐀 = 
𝐱 𝐲
𝐳 𝐰
  𝟐𝐱𝟐 𝐭𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐀 𝐞𝐬 𝐬𝐢𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚 
Resolución: acá, ni idea de la dimensión del subespacio, y no tenemos generadores ni ecuaciones. 
Entonces primero armemos las ecuaciones del subespacio, una vez obtenidas, de ellas obtendremos 
los generadores, y con los generadores armaremos una base mirando cuáles de ellos son L.D. para 
descartarlos. 
Ecuaciones de : las matrices A   deben cumplir A = At  
 
𝐱 𝐲
𝐳 𝐰
 = 
𝐱 𝐳
𝐲 𝐰  
𝐱 = 𝐱
𝐲 = 𝐳
𝐳 = 𝐲
𝐰 = 𝐰
  𝐲 = 𝐳 𝐜𝐨𝐧 𝐱   ; 𝐳   ;𝐰   
 
  = 𝐀 = 
𝐱 𝐲
𝐳 𝐰
  𝟐𝐱𝟐 𝐭𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐲 = 𝐳 
Generadores de : 
 
 
𝐱 𝐲
𝐳 𝐰
 = 
𝐱 𝐳
𝐳 𝐰
 = 
𝐱 𝟎
𝟎 𝟎
 + 
𝟎 𝐳
𝐳 𝟎
 + 
𝟎 𝟎
𝟎 𝐰
 = 𝐱. 
𝟏 𝟎
𝟎 𝟎
 + 𝐳. 
𝟎 𝟏
𝟏 𝟎
 + 𝐰. 
𝟎 𝟎
𝟎 𝟏
 
 
 𝕋 = 𝐠𝐞𝐧 
𝟏 𝟎
𝟎 𝟎
 ; 
𝟎 𝟏
𝟏 𝟎
 ; 
𝟎 𝟎
𝟎 𝟏
 
 
Base de : con método trucho vemos si las 3 matrices generadoras son L.I o no. 
 
 
𝟏 𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
 ya está triangulada y escalonada  son L.I. 
 
Una base de  es B = 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎
 ; 
𝟎 𝟏
𝟏 𝟎
 ; 
𝟎 𝟎
𝟎 𝟏
 y dim() = 3 
 
 
 
4) Hallar todos los valores de k   de modo que B = { (1 ; 0 ; -1) ; (k ; k2 – k ; -1) } sea una base del 
subespacio  = { (x ; y ; z)  3 / x – y + z = 0 } 
Resolución:  es un plano que pasa por el origen, por lo tanto sabemos que dim() = 2. 
Para que el conjunto B pueda ser una base de , debe estar formado por dos vectores L.I ( o sea, no 
múltiplos), pero que además pertenezcan a . 
Los vectores que aparecen en B son L.D. para k = 1, ya que en ese caso son múltiplos entre sí 
 k   - {1} 
Pero esta no es la respuesta definitiva, porque además no hay que olvidarse que los vectores que 
forman la base de  deben pertenecer a : 
 
(1 ; 0 ; -1) debe verificar la ecuación de  : 1 – 0 + (-1) = 0  0 = 0 Verifica!!! 
(k ; k2 - k ; -1) debe verificar la ecuación de  : k – (k2 – k) + (-1) = 0  -k2 + 2k - 1= 0  k = 1 
 
Conclusión: no existen valores de k para los cuales B sea una base de  
 
Otra forma de resolverlo: si B es base, además de estar formado por dos vectores L.I, el producto 
vectorial de sus dos elementos debe servir como normal del plano, es decir, debe ser un vector 
paralelo a 𝒏 = (1 ; -1 ; 1), o sea, un múltiplo no nulo del (1 ; -1 ; 1), 
(1 ; 0 ; -1) x (k ; k2 – k ; -1) = (k2 – k ; -k + 1 ; k2 – k ) = .(1 ; -1 ; 1) con   0  −𝐤 + 𝟏 = −𝛂
𝐤𝟐 − 𝐤 = 𝛂
 
 k = 1 y  = 0 Absurdo pues   0  no existe k que cumpla lo pedido. 
 
Con todo lo visto en esta clase, que tiene un montón de conceptos, pueden resolver hasta el ejercicio 16 de 
la guía 3, inclusive. Lo que yo suelo hacer cuando tengo que estudiar una clase con muchos temas, es leer 
un tema y hacer los ejercicios (o algunos por lo menos) de ese tema, que son los que están aclarados en el 
título del tema, y después pasar al siguiente tema. Así se tarda más, pero no se mezclan tanto lo conceptos.