Espacios y subespacios vectoriales

Vista previa del material en texto

Álgebra y Geometría Analítica, año 2021 
Clase 10: Espacios y subespacios vectoriales 
 
En esta clase vamos a empezar a estudiar los temas de la unidad 3. Para mí, esta es la unidad más difícil de 
entender, ya que, para muchos, tal vez esta sea la primera vez que se enfrentan al álgebra netamente 
abstracta. Al principio, esto nos parece un compendio de definiciones, propiedades y cálculos que, como en 
muchos casos no tienen una interpretación geométrica, no sirven para nada. Pero sirven, y mucho. En los 
casos donde los conceptos se puedan relacionar con lo visto en la unidad 1 (de planos y rectas), lo 
comentaremos, y será de gran ayuda para resolver los ejercicios (y entender qué estamos haciendo). Y en 
los que no, serán ejercicios abstractos, donde nos interesará calcular lo que nos piden. La primera aplicación 
de todo esto aparecerá en la unidad 5, donde veremos funciones en el contexto del álgebra lineal, y todo 
eso se une en la unidad 6, donde está la gran aplicación de todos los conceptos abstractos que veremos: 
autovalores y autovectores. Todas las ramas de la matemática y de la física usan en algún momento 
autovalores y autovectores para calcular algo. 
 
Espacios vectoriales 
Así como en análisis matemático trabajamos con conjuntos de números (en general,  o , dependiendo 
de si se trata de análisis 1 o análisis 3) y realizamos operaciones con ellos, en álgebra lineal también 
trabajamos con conjuntos, pero sus elementos no son necesariamente números. 
Por ejemplo, sabemos efectuar operaciones con vectores y con matrices. Es decir, en nuestra materia 
trabajamos con elementos que forman parte de conjuntos especiales, como 3, o 2, o nxm. Vamos a 
empezar dando una caracterización de estos conjuntos especiales, que son casos particulares de lo que se 
denominan espacios vectoriales reales. 
 
Un espacio vectorial real es un conjunto no vacío, en el cual existen dos operaciones básicas: suma 
(simbolizada con “+”) y producto por un escalar perteneciente a  (simbolizada por “.”) , las cuales 
cumplen unos axiomas especiales. 
En general, a los espacios vectoriales los notaremos con letra mayúscula. En los libros se suele usar . 
Los elementos que pertenecen a un espacio vectorial se denominan vectores, pero esta denominación es 
confusa, porque nosotros usamos la palabra “vector” para un vector de n (donde n es la cantidad de 
componentes del vector). Para evitar confusiones, a los elementos de un espacio vectorial yo los llamo 
simplemente elementos, y los simbolizo con letras minúsculas (eventualmente, si en un ejercicio esos 
elementos son vectores de n, ahí los llamo vectores, pero a veces ni siquiera les pongo la flecha de vector). 
 
Definición de espacio vectorial 
Un conjunto    es un espacio vectorial real si y sólo si se cumplen los siguientes axiomas: 
 
1) La suma de dos elementos de  es un nuevo elemento de  :  v ;  w  , se cumple: v + w   
 
2) El producto de un elemento de  por un escalar es un nuevo elemento de : 
    ;  v  , se cumple: .v   
 
 
3) La suma es conmutativa:  v ;  w  , se cumple: v + w = w + v 
 
4) La suma es asociativa:  v ;  w  ; u  , se cumple: v + w + u = (v + w) + u = v + (w + u) 
 
5) Existencia de elemento neutro para la suma. Lo simbolizamos como O o , y es tal que: 
  v  , v + O = O + v = v 
 
6) Cada elemento v   tiene un único inverso aditivo simbolizado –v, tal que: v +(-v) = (-v) +v = O 
 
7) El producto por un escalar es distributivo con respecto a la suma de elementos: 
    ;  v  ;  w  , se cumple: .(v + w) = .v + .w 
 
8) El producto por un escalar es distributivo con respecto a la suma de escalares: 
    ;    ;  v  , se cumple: ( + ).v = .v + .v 
 
9) Asociatividad mixta:    ;    ;  v  , se cumple: (.).v = .(.v) = .(.v) = (.).v 
 
10) Existencia de elemento neutro para el producto por un escalar:  v  , se cumple: 1.v = v 
 
 
Observación: si los escalares con los que se efectúa el producto por un escalar son complejos, se dice que  
es un espacio vectorial complejo (en esta materia, sólo trabajaremos con espacios vectoriales reales). 
 
Ejemplos de espacios vectoriales reales 
Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial real, hay que demostrar que sus elementos y las 
operaciones definidas en él cumplen los diez axiomas mencionados. Nosotros no nos dedicaremos a hacer 
tales demostraciones (no es difícil, pero es tedioso). Simplemente les comento cuáles son los espacios 
vectoriales más usuales en matemática. 
 
Algunos ya los conocemos: 
 
 2, 3, y en general n (conjunto de todos los vectores de n componentes reales), con la suma de 
vectores y el producto por un escalar que vimos en la unidad 1. 
  
 nxm con la suma de matrices y el producto por un escalar que vimos en la unidad 2 
 
Uno nuevo que aparece en la guía 3, respecto del cual comentaremos algunos detalles: 
 
n = { polinomios con coeficientes reales de grado  n} U {p(x) = 0}, con la suma de polinomios y 
el producto de un polinomio por un escalar usuales. 
En este caso, el elemento neutro para la suma es el polinomio nulo p(x) = 0, el cual no tiene grado. 
Por eso, es necesario agregarlo al conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n. 
Una forma simbólica de expresar este conjunto es la siguiente: 
n = { p(x) = an.xn + an-1.xn-1 + .... + a1.x + a0 con an ; an-1;...; a1 ; a0  } 
Ahí ya estamos incluyendo al polinomio nulo (cuando todos los coeficientes valen cero) y también 
a los de grado menor que n (por ejemplo, si an = 0, los elementos son polinomios de grado n-1) 
 
Podríamos preguntarnos por qué este conjunto contiene a todos los polinomios de grado menor o 
igual a n, y no solamente a los polinomios de grado igual a n. Bueno, como necesitamos que se 
cumpla el primer axioma, no podemos tomar solamente los polinomios de un grado determinado, 
pues a veces, cuando sumamos dos polinomios del mismo grado, el resultado tiene grado menor. 
Miren este ejemplo: 
p(x) = x2 + 2x – 3 gr(p) = 2 
q(x) = -x2 + x + 4 gr(q) = 2 
p(x) + q(x) = (x2 + 2x – 3) + (-x2 + x + 4) = 3x + 1 gr(p+q) = 1 
 
¿Ven? Si 2 estuviera formado solamente por los polinomios de grado 2, no sería un espacio 
vectorial, pues p(x) y q(x) serían dos elementos de él, pero la suma no. 
 
2 = { p(x) = a2.x2 + a1.x + a0 con a2 ; a1 ; a0  } 
 
y esto incluye a todos los polinomios de grado 2 (o, como vieron en el curso de ingreso, funciones 
cuadráticas), todos los polinomios de grado 1 (o funciones lineales no constantes), todos los 
polinomios de grado 0 (o funciones constantes no nulas), y el polinomio nulo (o función nula). 
 
 
Algunos ejemplos más volados que no usaremos en la materia (pero aquellos que estudien electrónica los 
verán en procesamiento de señales, y también aparecen en cualquier materia que use física cuántica, como 
el estudio de nanomateriales, superconductores, plasmas, etc.): 
 C() = { funciones f :    continuas } con la suma de funciones y el producto de una función 
por un escalar usuales. 
 D() = { funciones f :    derivables } con la suma de funciones y el producto de una función 
por un escalar usuales. 
 
 
Propiedades adicionales que cumplen los elementos de un espacio vectorial 
Estas propiedades se deducen de los diez axiomas que debe cumplir un especio vectorial: 
1)  v   se cumple: 0.v = 0 
2)  v   se cumple: -1.v = -v 
3)     ;  v   se cumple: -(.v) = (-).v 
4)     se cumple: .0 = 0 
5) Sean    y w  . Si .w = 0 , entonces  = 0 o w = 0 
 
 
Subespacios vectoriales 
Un subconjunto  no vacío incluido en un espacio vectorial  se denomina subespacio vectorial si cumple 
los diez axiomas que definen un espacio vectorial. 
1)  v ;  w  , se cumple: v + w   
2)    ;  v  , se cumple: .v   
3)  v ;  w  , secumple: v + w = w + v 
4)  v ;  w  ; u  , se cumple: v + w + u = (v + w) + u = v + (w + u) 
5) Existe el elemento neutro O en  tal que:  v  , v + O = O + v = v 
6) Para cada elemento v   existe un único –v  , tal que: v +(-v) = (-v) +v = O 
7)    ;  v  ;  w  , se cumple: .(v + w) = .v + .w 
8)    ;    ;  v  , se cumple: ( + ).v = .v + .v 
9)    ;    ;  v  , se cumple: (.).v = .(.v) = .(.v) = (.).v 
10)  v  , se cumple: 1.v = v 
 
Vemos entonces que un subespacio vectorial es básicamente un subconjunto que se comporta como un 
espacio vectorial. Y para demostrar que un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio, 
deberíamos demostrar que sus elementos cumplen los diez axiomas. Pero dado que en un subespacio están 
definidas las mismas operaciones que en el espacio vectorial que lo incluye, algunos axiomas se cumplen 
automáticamente para el subespacio por “herencia”: porque ya se cumplen para todo el espacio vectorial. 
Por ejemplo, la conmutatividad de la suma: si la suma es conmutativa para todos los elementos de , 
también lo será para todos los elementos de , pues  está incluido en . 
Y entonces, para demostrar que un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio, alcanza con 
demostrar que se cumplen solamente tres condiciones, que suelen denominarse condiciones necesarias y 
suficientes para caracterizar un subespacio: 
 
 
Un subconjunto  incluido en un espacio vectorial  es un subespacio vectorial si se cumple: 
 
1) 0   (o equivalentemente,   ) 
2)  v ;  w  , se cumple: v + w   
3)    ;  v  , se cumple: .v   
 
 
Veamos algunos ejemplos (los cuatro ejemplos que vienen ahora pueden leerlos una sola vez) 
 
Ejemplo 1: Sean  = 2 y  = { (x ; y) 2 / y - 2.x = 0 }. Veamos que  es un subespacio de . 
 
No hace falta demostrar que    pues ya lo dice su definición: está formado por elementos de 2 
Debemos ver que se cumplen las tres condiciones necesarias y suficientes. 
 
1) En este ejercicio 0 = (0 ; 0). Para ver si este elemento pertenece a , lo reemplazamos en la 
ecuación que caracteriza al conjunto. Si la verifica, pertenece. Si queda un absurdo, no pertenece. 
0 - 2.0 = 0  0 = 0 Verifica!!!  0   
 
2) Tomemos ahora dos elementos de , v = (x1 ; y1) y w = (x2 ; y2). Como están en , sabemos que 
verifican su ecuación. Es decir, cumplen que y1 - 2.x1 = 0 ; y2 - 2.x2 = 0. Estas dos cuentitas son 
como datos de la demostración, y podemos usarlas para ver si se cumple la condición 2. 
Sumemos los dos elementos: 
v + w = (x1 + x2 ; y1 + y2) 
 
Veamos si este nuevo elemento está en . Para ello, lo reemplazamos en la ecuación de  y vemos si 
la verifica, ayudándonos con propiedades y los datos que remarcamos antes en color: 
 
 
(y1 + y2) – (2.x1 + 2.x2) = 0 
y1 + y2 – 2.x1 - 2.x2 = 0 (eliminamos paréntesis) 
y1 – 2.x1 + y2 - 2.x2 = 0 (conmutamos los dos términos del medio) 
(y1 – 2.x1) + (y2 - 2.x2) = 0 (agrupamos de a dos con paréntesis y aparecieron los datos de 
 color) 
0 + 0 = 0 (reemplazamos los datos de color) 
0 = 0 Verifica!!!  v + w   
 
3) Por último, tomemos un elemento de , v = (x1 ; y1). Como está en , ya sabemos que cumple que 
y1 - 2.x1 = 0. 
Sea  un número real cualquiera. Multiplicamos al elemento v por el escalar : 
 
.v = .(x1 ; y1) = (.x1 ; .y1) 
 
Veamos si este nuevo elemento está en , reemplazándolo en su ecuación: 
(.y1) – 2.(.x1) = 0 
.y1 – 2..x1 = 0 (eliminamos paréntesis) 
.(y1 – 2.x1)= 0 (sacamos factor común  y apareció el dato) 
.(0)= 0 
0 = 0 Verifica!!!  .v   
 
Conclusión: como se verifican las tres condiciones necesarias y suficientes,  es un subespacio de 2 
 
 
 
Ejemplo 2: Sean  = 2x2 y 𝕊 = 
𝐱 𝐲
𝐳 𝐰
  2x2 / 𝐱 + 𝐳 = 𝟎 ; 𝐰 = 𝟎 . Veamos que  es un subespacio 
de . 
 
Nuevamente, debemos ver que se cumplen las tres condiciones necesarias y suficientes. Pero en este 
ejemplo, el conjunto está definido por dos ecuaciones, entonces las condiciones deben satisfacerse para las 
dos ecuaciones. Doble trabajo. 
 
1) En este ejercicio 0 = 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
 . Para ver si este elemento pertenece a , lo reemplazamos en las dos 
ecuaciones que caracterizan al conjunto. Si verifica las dos, pertenece. Si queda un absurdo en por lo 
menos una de las ecuaciones, no pertenece. 
0 + 0 = 0  0 = 0 Verifica la primera!!! 
 0 = 0  Verifica la segunda!!! 
Como verifica las dos ecuaciones, 0 = 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
   
 
2) Tomemos ahora dos elementos de , v = 
𝐱𝟏 𝐲𝟏
𝐳𝟏 𝐰𝟏
 y w = 
𝐱𝟐 𝐲𝟐
𝐳𝟐 𝐰𝟐
 Como están en , sabemos que 
ambos verifican sus ecuaciones. Es decir, cumplen: x1 + z1 = 0 ; w1 = 0 ; x2 + z2 = 0 ; w2 = 0. 
 
Ahora tenemos cuatro cuentitas son como datos de la demostración, y podemos usarlas para ver si 
se cumple la condición 2. 
Sumemos los dos elementos: 
 
v + w = 
𝐱𝟏 𝐲𝟏
𝐳𝟏 𝐰𝟏
 + 
𝐱𝟐 𝐲𝟐
𝐳𝟐 𝐰𝟐
 = 
𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 𝐲𝟏 + 𝐲𝟐
𝐳𝟏 + 𝐳𝟐 𝐰𝟏 + 𝐰𝟐
 
 
Veamos si este nuevo elemento está en . Para ello, lo reemplazamos en las dos ecuaciones de  y 
vemos si las verifica, ayudándonos con propiedades de las operaciones y los datos que remarcamos 
antes en color: 
 
En la primera ecuación: (x1 + x2) + (z1 + z2) = 0 
 x1 + x2 + z1 + z2 = 0 (eliminamos paréntesis) 
 x1 + z1 + x2 + z2 = 0 (conmutamos los dos términos del medio) 
 (x1 + z1) + (x2 + z2) = 0 (agrupamos de a dos con paréntesis y aparecieron 
 los datos de color) 
 0 + 0 = 0 (reemplazamos los datos de color) 
 0 = 0 Verifica la primera!!! 
 
 En la segunda ecuación: w1 + w2 = 0 
 w1 + w2 = 0 
0 + 0 = 0 
0 = 0 Verifica la segunda!!! 
 
 
3) Por último, tomemos un elemento de , v = 
𝐱𝟏 𝐲𝟏
𝐳𝟏 𝐰𝟏
 . Como está en , ya sabemos que cumple 
que x1 + z1 = 0 y w1 = 0. 
Sea  un número real cualquiera. Multiplicamos al elemento v por el escalar : 
 
.v = 𝜶. 
𝐱𝟏 𝐲𝟏
𝐳𝟏 𝐰𝟏
 = 
𝛂. 𝐱𝟏 𝛂. 𝐲𝟏
𝛂. 𝐳𝟏 𝛂. 𝐰𝟏
 . 
 
Veamos si este nuevo elemento está en , reemplazándolo en sus dos ecuaciones: 
 
En la primera ecuación: (.x1) + (.z1) = 0 
 .x1 + .z1 = 0 (eliminamos paréntesis) 
 .(x1 + z1)= 0 (sacamos factor común  y apareció el dato) 
 .(0)= 0 
0 = 0 Verifica la primera!!! 
 
En la segunda ecuación: (.w1) = 0 
.w1 = 0 
 .0 = 0 
 0 = 0 Verifica la segunda!!! 
 
Conclusión: como se verifican las tres condiciones necesarias y suficientes,  es un subespacio de 2x2 
 
Ejemplo 3: Mostremos que  = { p(x) = a2.x2 + a1.x + a0  2 / a1 + a0 = 0 } es un subespacio de 2 
 
1) En este ejercicio, 0 es p(x) = 0 = 0.x2 + 0.x + 0. Para este elemento, los tres coeficientes que 
caracterizan al polinomio valen cero. Lo reemplazamos en la ecuación que caracteriza al conjunto: 
0 + 0 = 0  0 = 0 Verifica!!!  p(x) = 0   
 
2) Tomemos ahora dos elementos de , p(x) = a2.x2 + a1.x + a0 y q(x) = b2.x2 + b1.x + b0. Como están 
en , sabemos que verifican su ecuación. Es decir, cumplen que a1 + a0 = 0 y b1 + b0 = 0. 
Sumemos los dos elementos: 
 
p(x) + q(x) = (a2.x2 + a1.x + a0) + (b2.x2 + b1.x + b0) = (a2 + b2).x2 + (a1 + b1).x + (a0 + b0) 
 
Veamos si este nuevo elemento está en . Para ello, lo reemplazamos en la ecuación de : 
 
(a1 + b1) + (a0 + b0) = 0 
a1 + b1 + a0 + b0 = 0 (eliminamos paréntesis) 
a1 + a0 + b1 + b0 = 0 (conmutamos los dos términos del medio) 
(a1 + a0) + (b1 + b0) = 0 
0 + 0 = 0 (reemplazamos los datos de color) 
0 = 0 Verifica!!!  p(x) + q(x)   
 
3) Por último, tomemos un elemento de , p(x) = a2.x2 + a1.x + a0 Como está en , ya sabemos que 
cumple que a1 + a0 = 0. 
Sea  un número real cualquiera. Multiplicamos al elemento v por el escalar : 
 
.p(x) = .(a2.x2 + a1.x + a0) = (.a2).x2 + (.a1).x + (.a0) 
 
Veamos si este nuevo elemento está en , reemplazándolo en su ecuación: 
(.a1) + (.a0) = 0 
.a1 + .a0= 0 (eliminamos paréntesis) 
.(a1 + a0)= 0 (sacamos factor común  y apareció el dato) 
.(0)= 0 
0 = 0 Verifica!!!  .p(x)   
 
Conclusión: como se verifican las tres condiciones necesarias y suficientes,  es un subespacio de 2 
 
 
Ejemplo 4: Mostremos que  = { A  nxn / A es simétrica } es un subespacio de nxn 
Aquí, el conjunto no está caracterizado por ecuaciones, sino por una propiedad que cumplen todos sus 
elementos: son matrices simétricas. Pero se puede expresar con una ecuación matricial, ya que si A es una 
matriz simétrica, entonces coincide con su transpuesta. Es decir,  = { A  nxn / A = At }. 
 
1) En este ejercicio, 0 es la matriz nula de tamaño nxn. Y la matriz nula pertenece a  pues es 
simétrica  se cumple la condición 1. 
 
2) Sean A   y B  , entonces se cumple A = At y B = Bt. 
Veamos que A + B también pertenece a . Para ello debemos ver que A + B coincide con su 
transpuesta, usando propiedades de la transposición (que están en la clase 7): 
 
(A + B)t = At + Bt = A + B  A + B coincide con su transpuesta  se cumple la condición 2. 
 
3) Sean ahora    y A  , entonces sabemos que A = At. 
Veamos que .A también pertenece a . Para ello debemos ver que .A coincide con su 
transpuesta: 
 
(.A)t = .(A)t = .At = .A  .A coincide con su transpuesta  se cumple la condición 3. 
 
Conclusión: como se verifican las tres condiciones necesarias y suficientes,  es un subespacio de nxn 
 
 
 
Como pueden ver, demostrar que un conjunto es un subespacio vectorial es bastante tedioso. Ni hablar si el 
conjunto está caracterizado, por ejemplo, por cuatro ecuaciones y sus elementos son matrices de tamaño 
5x5 o polinomios de grado menor o igual a 15. Entonces vamos a ver algunas propiedades que nos permiten 
determinar fácilmente si un conjunto es un subespacio vectorial o no. Y para entenderlas, voy a ir 
presentando algunos ejemplos clarificadores. 
 
Lo primero que debemos remarcar es que, en general, un conjunto puede venir caracterizado por 
ecuaciones o por inecuaciones, o por una combinación de ambas cosas. La idea de esta sección será deducir 
cómo viene caracterizado cualquier subespacio, para que no tengamos que hacer las demostraciones que 
vimos antes. Trabajemos con unos ejemplos en 2, ya que podremos graficar los conjuntos y visualizar 
cómo son los que corresponden a subespacios y los que no. 
 
 
Ejemplo 1: decidir si  = { (x ; y)  2 / x  0 } es un subespacio o no. 
 
Este conjunto está caracterizado por una inecuación. Está formado por todos los puntos del plano 
cartesiano cuya abscisa en menor o igual a cero, entonces se trata del semiplano que está a la izquierda del 
eje y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐯 
−𝐯 
Tomamos un elemento perteneciente a , por 
ejemplo v = (-1 ; 2). Al multiplicarlo por el 
escalar -1, obtenemos -1.v = (1 ; -2), que no 
pertenece a . Luego, no se cumple la tercera 
condición necesaria y suficiente de subespacio. 
Por lo tanto  no es un subespacio. Y esto 
sucedió porque el conjunto está caracterizado 
por una inecuación. 
Ejemplo 2: decidir si  = { (x ; y)  2 / x + y = 1 } es un subespacio o no. 
 
Este conjunto está caracterizado por una ecuación. Corresponde a la recta y = -x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 3: decidir si  = { (x ; y)  2 / x2 - y = 0 } es un subespacio o no. 
 
Ahora el conjunto está caracterizado por una ecuación con término independiente igual a cero. Es una 
ecuación cuadrática: corresponde a una parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces, ya nos estamos imaginando cómo debe estar caracterizado un conjunto para ser un subespacio. 
Por el momento, lo enunciamos como una propiedad útil en la que confiaremos, pero en la unidad 4 
vamos a demostrar que es una proposición verdadera. Lo bueno es que, gracias a esta propiedad, para 
demostrar si un conjunto es un subespacio, no necesitamos demostrar teóricamente que se verifican las tres 
condiciones necesarias y suficientes (salvo que nos pidan demostrar que un conjunto es subespacio vectorial 
por definición). 
 
Propiedad (para ej. 1, 2, 3 y 4 de la guía 3) 
Todo subespacio vectorial está caracterizado por un sistema de ecuaciones lineales y homogéneas, donde las 
incógnitas son las componentes del elemento general del espacio vectorial. 
 En este ejemplo,  es una recta que no pasa 
por el origen, entonces (0 ; 0) no 
pertenece al conjunto. Al no cumplirse la 
primera condición necesaria y suficiente,  
no es un subespacio. Y el (0 ; 0) no verifica 
la ecuación porque aparece un término 
independiente distinto de cero (eso es lo 
que hace que la recta no pase por el origen) 
 
Tomemos dos punto de la parábola: v = (1 ; 1) y 
w = (-1 ; 1). Ambos elementos satisfacen la 
ecuación del conjunto. Si los sumamos, nos queda 
v + w = (1 ; 1) + (-1 ; 1) = (0 ; 2). En el gráfico 
vemos la suma hecha gráficamente con la regla del 
paralelogramo. La suma no cae dentro sobre la 
parábola, y esto corresponde al hecho de que no 
verifica la ecuación de la parábola, es decir, no 
pertenece a : 
x2 - y = 0  02 - 2 = 0  -2 = 0 Abs!!! 
Y esto pasó porque la ecuación no es lineal. 
Al no cumplirse la primera condición necesaria y 
suficiente,  no es subespacio. 
Los elementos del conjunto corresponderán a las soluciones de esas ecuaciones. 
Como un sistema de ecuaciones lineales homogéneo siempre tiene solución, un subespacio jamás será un 
conjunto vacío, como corresponde, de acuerdo a su definición. 
Pero además podemos afirmar lo siguiente: un subespacio puede ser un conjunto que contiene un solo 
elemento (si las ecuaciones que lo definen forma un sistema compatible determinado) o puede ser un 
conjunto que contiene infinitos elementos (si las ecuaciones forman un sistema compatible 
indeterminado). 
Si el subespacio contiene un solo elemento, ese elemento será 0, es decir,  = { 0 } pues el sistema 
siempre es homogéneo 
 
Si estamos trabajando en 2, el elemento general es de la forma (x ; y), entonces los subespacios de 2 están 
caracterizados por ecuaciones lineales homogéneas de dos incógnitas: x e y. 
 
Si estamos trabajando en 3, el elemento general es de la forma (x ; y ; z), entonces los subespacios de 3 
están caracterizados por ecuaciones lineales homogéneas de tres incógnitas: x , y , z. 
 
Si estamos trabajando en 2, el elemento general es de la forma p(x) = a2.x2 + a1.x + a0 , entonces los 
subespacios de 2 están caracterizados por ecuaciones lineales homogéneas de tres incógnitas: a2 , a1 , a0. 
(aquí yo ordené los polinomios de mayor a menor grado por costumbre personal, pero en algunos libros y 
apuntes los expresan ordenados de menor a mayor grado. Ustedes elijan cómo quieren ordenar los 
polinomios y mantengan ese orden en todos sus ejercicios. Los resultados no se afectan por el orden 
elegido) 
 
Si estamos trabajando en 2x2, el elemento general es de la forma 
𝐱 𝐲
𝐳 𝐰
 , entonces los subespacios de 2x2 
están caracterizados por ecuaciones lineales homogéneas de cuatro incógnitas: x , y , z , w. 
 
Gracias a esta propiedad, es muy fácil ver cómo son todos los subespacios de 2 y todos los subespacios de 
3, y como estos subespacios sepueden graficar, en algunos libros se los llama subespacios geométricos. 
 
Subespacios de 2 
 { (0 ; 0) } 
 cualquier recta que pase por el origen 
 todo el espacio 2 
 
Subespacios de 3 
 { (0 ; 0 ; 0) } 
 cualquier recta que pase por el origen 
 cualquier plano que pase por el origen 
 todo el espacio 3 
 
 
Combinación lineal de elementos de un espacio vectorial (para ej. 5) 
Vamos a ver ahora un cálculo que se suele hacer con elementos de un espacio vectorial, que nos va a 
permitir expresar un subespacio de otra manera, sin utilizar ecuaciones (eso aparecerá en la clase 11) 
 
Sea  un espacio vectorial real, y consideremos k elementos pertenecientes a  : v1 ; v2 ; v3 ; ..... , vk 
Diremos que un elemento v  es una combinación lineal de los elementos v1 ; v2 ; v3 ; ..... ; vk si existen 
números reales 1 ; 2 ; 3 ;...... , k tales que: 
 
v = 1.v1 + 2.v2 + 3 .v3 + ...... + k.vk 
 
Ejemplos: 
 
1) Construir cuatro combinaciones lineales de los vectores (1 ; 0 ; 3) ; (3 ; -1 ; 1) ; (1 ; 0 ; 0) 
 
Resolución: si queremos construir combinaciones lineales cualesquiera de los vectores dados, sólo 
debemos elegir cualquier valor para los escalares 1 , 2 y 3 : 
 
 1 = 2 ; 2 = -4 ; 3 = 6  v = 2.(1 ; 0 ; 3) + (-4).(3 ; -1 ; 1) + 6.(1 ; 0 ; 0) = (-4 ; 4 ; 2) 
 1 = 0 ; 2 = 0 ; 3 = 0  v = 0.(1 ; 0 ; 3) + 0.(3 ; -1 ; 1) + 0.(1 ; 0 ; 0) = (0 ; 0 ; 0) 
 1 = 1 ; 2 = 0 ; 3 = 0  v = 1.(1 ; 0 ; 3) + 0.(3 ; -1 ; 1) + 0.(1 ; 0 ; 0) = (1 ; 0 ; 3) 
 1 = 0 ; 2 = -1 ; 3 = 0  v = 0.(1 ; 0 ; 3) + (-1).(3 ; -1 ; 1) + 0.(1 ; 0 ; 0) = (-3 ; 1 ; -1) 
 
2) Decidir si el vector v = (1 ; 2 ; 1) es combinación lineal de v1 = (1 ; 1 ; 1) y v2 = (3 ; 0 ; 3) 
 
Resolución: ahora debemos ver si existen escalares 1 y 2 de modo que v = 1.v1 + 2.v2 . Para ello, 
vamos a tratar de despejarlos. Si nos queda un absurdo, significa que v no es combinación lineal de v1 
y v2. En cambio, si se pueden despejar los escalares, v es combinación lineal de v1 y v2 
Planteamos: 
 𝟏; 𝟐;𝟏 = 𝛂𝟏. 𝟏; 𝟏; 𝟏 + 𝛂𝟐. 𝟑; 𝟎;𝟑  
𝟏 = 𝛂𝟏 + 𝟑𝛂𝟐
𝟐 = 𝛂𝟏
𝟏 = 𝛂𝟏 + 𝟑𝛂𝟐
 
 
Nos quedó un sistema de ecuaciones lineales bastante sencillo. Si quedara más complicado, podemos 
resolverlo con Gauss-Jordan, pero en este caso se puede resolver casi a simple vista. De la segunda 
ecuación tenemos que 1 = 2. Reemplazando este valor en la primera ecuación sale 2 = -1/3. Y por 
último, reemplazamos estos dos valores en la tercera ecuación, para ver si la verifica o si queda un 
absurdo: 
1 = 2 + 3.(-1/3)  1 = 2 – 1  1 = 1 Verifica!!!  v es comb. lineal de v1 y v2 
 
 
 
3) Decidir si el polinomio p(t) = 2t2 – 4 es combinación lineal de los polinomios que forman el 
conjunto { t + 1 ; t – 1 ; t2 + 3t } 
 
Resolución: planteamos lo mismo que en el ejemplo anterior, pero en lugar de trabajar con vectores, 
debemos trabajar con polinomios. 
2t2 – 4 = 1.(t + 1) + 2.(t – 1) + 3.(t2 + 3t) 
 
Cuando igualamos vectores, separamos la igualdad vectorial en un sistema de ecuaciones, igualando 
componente a componente. En polinomios, se separa la igualdad en un sistema de ecuaciones, 
igualando los coeficientes que corresponden a los términos del mismo grado a cada lado de la 
igualdad: 
de grado 2: 2.t2 = 3.t2 
de grado 1: 0.t = 1.t + 2.t + 3.3.t 
términos independientes: -4 = 1 - 2 
 
Entonces nos queda el siguiente sistema de ecuaciones para despejar los escalares de la combinación 
lineal: 
 
𝛂𝟑 = 𝟐
𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 + 𝟑. 𝛂𝟑 = 𝟎
𝛂𝟏 − 𝛂𝟐 = −𝟒
 
 
Este sistema lo voy a resolver con Gauss-Jordan para que vean que se puede usar ese método: en el 
primer paso cambio filas de lugar, en el segundo hago F’2 = F1 – F2 
 
 
𝟎 𝟎 𝟏 ⋮ 𝟐
𝟏 𝟏 𝟑 ⋮ 𝟎
𝟏 −𝟏 𝟎 ⋮ −𝟒
  
𝟏 𝟏 𝟑 ⋮ 𝟎
𝟏 −𝟏 𝟎 ⋮ −𝟒
𝟎 𝟎 𝟏 ⋮ 𝟐
  
𝟏 𝟏 𝟑 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟐 𝟑 ⋮ 𝟒
𝟎 𝟎 𝟏 ⋮ 𝟐
 
 
 
𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 + 𝟑. 𝛂𝟑 = 𝟎
𝟐. 𝛂𝟐 + 𝟑. 𝛂𝟑 = 𝟒
𝛂𝟑 = 𝟐
  
𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 + 𝟑. 𝟐 = 𝟎
𝟐. 𝛂𝟐 + 𝟑. 𝟐 = 𝟒
𝛂𝟑 = 𝟐
  
𝛂𝟏 + (−𝟏) + 𝟑. 𝟐 = 𝟎
𝛂𝟐 =
𝟒 − 𝟔
𝟐
= − 𝟏
𝛂𝟑 = 𝟐
 
𝛂𝟏 = −𝟓
𝛂𝟐 = − 𝟏
𝛂𝟑 = 𝟐
 
 
El sistema tiene solución, entonces p(t) = 2t2 – 4 es combinación lineal { t + 1 ; t – 1 ; t2 + 3t } 
Ante la duda, podemos verificarlo: 
(-5).(t + 1) + (-1).(t – 1) + 2.(t2 + 3t) = -5t - 5 – t + 1 + 2.t2 + 6t = 2t2 - 4 = p(t) Ok!!! 
 
4) Hallar k   de modo que (1 ; 0 ; -1) sea combinación lineal de { (1 ; 1 ; k) ; (2 ; -1 ; 3) ; (2 ; -k ; 1) } 
 
Resolución: el vector (1 ; 0 ; -1) será combinación lineal de los tres vectores del conjunto dado si el 
sistema que planteamos para despejar los escalares de la combinación lineal tiene solución, es decir, si 
es un sistema compatible (no importa si determinado o indeterminado) 
El sistema de ecuaciones sale de la igualdad 
(1 ; 0 ; -1) = 1.(1 ; 1 ; k) + 2.(2 ; -1 ; 3) + 3.(2 ; -k ; 1) 
 
 
𝛂𝟏 + 𝟐. 𝛂𝟐 + 𝟐. 𝛂𝟑 = 𝟏
𝛂𝟏 − 𝛂𝟐 − 𝐤. 𝛂𝟑 = 𝟎
𝐤. 𝛂𝟏 + 𝟑. 𝛂𝟐 + 𝛂𝟑 = −𝟏
 
 
Lo más fácil es hallar primero k de modo que este sistema sea incompatible, y los que nos interesan 
son todos los otros. Como la matriz de coeficientes es cuadrada, podemos hacerlo con Gauss-Jordan 
o con determinante 
Con Gauss-Jordan: 
 
 
𝟏 𝟐 𝟐 ⋮ 𝟏
𝟏 −𝟏 −𝐤 ⋮ 𝟎
𝐤 𝟑 𝟏 ⋮ −𝟏
 
𝐅′
𝟐=𝐅𝟐−𝐅𝟏
 
𝟏 𝟐 𝟐 ⋮ 𝟏
𝟎 −𝟑 −𝐤 − 𝟐 ⋮ −𝟏
𝐤 𝟑 𝟏 ⋮ −𝟏
 
𝐅′
𝟑=𝐅𝟑−𝐤.𝐅𝟏
 
𝟏 𝟐 𝟐 ⋮ 𝟏
𝟎 −𝟑 −𝐤 − 𝟐 ⋮ −𝟏
𝟎 𝟑 − 𝟐𝐤 𝟏 − 𝟐𝐤 ⋮ −𝟏 − 𝐤
 
 
𝐅´𝟑=𝟑.𝐅𝟑+ 𝟑−𝟐𝐤 .𝐅𝟐
 
𝟏 𝟐 𝟐 ⋮ 𝟏
𝟎 −𝟑 −𝐤 − 𝟐 ⋮ −𝟏
𝟎 𝟎 𝟐𝐤𝟐 − 𝟓𝐤 − 𝟑 ⋮ −𝐤 − 𝟔
 
 
 
Este sistema es incompatible si 2k2 – 5k – 3 = 0 y a la vez –k – 6  0 , es decir k = 3 o k = -1/2 
Entonces el sistema será compatible para k   - { -1/2 ; 3 } 
Por lo tanto (1 ; 0 ; -1) será combinación lineal de los vectores del conjunto para k   - { -1/2 ; 3 } 
 
Si lo resolvemos con determinante, obtenemos lo mismo. Primero miramos para qué valores de k el 
determinante vale cero, pues determinante igual a cero incluye el caso de sistema incompatible: 
𝐝𝐞𝐭 
𝟏 𝟐 𝟐
𝟏 −𝟏 −𝐤
𝐤 𝟑 𝟏
 = 𝟏. −𝟏 . 𝟏 − 𝟑. −𝐤 − 𝟐. 𝟏. 𝟏 − 𝐤. −𝐤 + 𝟐. 𝟏. 𝟑 − 𝐤. −𝟏 
= 𝟏. −𝟏 + 𝟑𝐤 − 𝟐. 𝟏 + 𝐤𝟐 + 𝟐. 𝟑 + 𝐤 = −𝟐𝐤𝟐 + 𝟓𝐤 + 𝟑 = 𝟎  𝐤
= 
−𝟓 ± 𝟐𝟓 − (−𝟐𝟒)
−𝟒
=
−𝟓 ± 𝟕
−𝟒
  𝐤 = 𝟑 𝐨 𝐤 = −𝟏/𝟐 
 
Veamos cómo es el sistema para cada valor de k 
 
Para k = 3: 
 
 
𝟏 𝟐 𝟐 ⋮ 𝟏
𝟏 −𝟏 −𝟑 ⋮ 𝟎
𝟑 𝟑 𝟏 ⋮ −𝟏
 
𝐅′
𝟐=𝐅𝟐−𝐅𝟏
 
𝟏 𝟐 𝟐 ⋮ 𝟏
𝟎 −𝟑 −𝟓 ⋮ −𝟏
𝟑 𝟑 𝟏 ⋮ −𝟏
 
𝐅′
𝟑=𝐅𝟑−𝟑.𝐅𝟏
 
𝟏 𝟐 𝟐 ⋮ 𝟏
𝟎 −𝟑 −𝟓 ⋮ −𝟏
𝟎 −𝟑 −𝟓 ⋮ −𝟒
 
 
𝐅′
𝟑=𝐅𝟑−𝐅𝟐
 
𝟏 𝟐 𝟐 ⋮ 𝟏
𝟎 −𝟑 −𝟓 ⋮ −𝟏
𝟎 𝟎 𝟎 ⋮ −𝟑
  𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐢𝐧𝐜𝐨𝐦𝐩𝐚𝐭𝐢𝐛𝐥𝐞 
 
Para k = -1/2: 
 
 
 
 
𝟏 𝟐 𝟐 ⋮ 𝟏
𝟏 −𝟏
𝟏
𝟐
⋮ 𝟎
−
𝟏
𝟐
𝟑 𝟏 ⋮ −𝟏
 
 
 
 
𝐅′
𝟐=𝐅𝟐−𝐅𝟏
 
 
 
 
𝟏 𝟐 𝟐 ⋮ 𝟏
𝟎 −𝟑 −
𝟑
𝟐
⋮ −𝟏
−
𝟏
𝟐
𝟑 𝟏 ⋮ −𝟏
 
 
 
𝐅′
𝟑=𝐅𝟑+
𝟏
𝟐
.𝐅𝟏
 
 
 
 
𝟏 𝟐 𝟐 ⋮ 𝟏
𝟎 −𝟑 −
𝟑
𝟐
⋮ −𝟏
𝟎 𝟒 𝟐 ⋮ −
𝟏
𝟐 
 
 
 
 
𝐅´𝟑=𝟑.𝐅𝟑+𝟒.𝐅𝟐
 
𝟏 𝟐 𝟐 ⋮ 𝟏
𝟎 −𝟑 −𝟑/𝟐 ⋮ −𝟏
𝟎 𝟎 𝟎 ⋮ −𝟏𝟏/𝟐
  𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐢𝐧𝐜𝐨𝐦𝐩𝐚𝐭𝐢𝐛𝐥𝐞 
 
Entonces el sistema será compatible para k   - { -1/2 ; 3 }. Llegamos a la misma conclusión que 
antes: (1 ; 0 ; -1) será combinación lineal de los vectores del conjunto para k   - { -1/2 ; 3 }. 
 
 
Existe un método que sirve para ver si un vector es combinación lineal de otros, pero que no proviene de 
plantear ningún sistema de ecuaciones. Su justificación teórica está basada en el concepto de rango de una 
matriz, que veremos en la unidad 4. Por el momento, será un método práctico para ver si un vector es 
combinación lineal de otros o no. Yo lo llamo “el método trucho” (ustedes digan “método práctico”, que 
es más fino). Es bastante práctico para resolver también muchos ejercicios de temas que vendrán más 
adelante. Se losmuestro con un ejercicio. 
 
Supongamos que queremos ver si el vector (1 ; 1 ; 0 ; 3) es combinación lineal de 
{ (1 ; 2 ; -1 ; 0) ; (1 ; -1 ; 1 ; 0) ; (0 ; 1 ; 1 ; 1) } 
 
Armamos una matriz poniendo los vectores del conjunto uno abajo del otro, y como última fila el vector 
que queremos ver si es combinación lineal de los otros, y aplicamos operaciones de Gauss para triangular y 
escalonar la matriz. Si una fila se anula toda, entonces el vector correspondiente a esa fila era combinación 
lineal de los otros. Entonces, la idea es ver si se anula la última fila. Cuidado: si cambian filas de lugar, están 
cambiando el orden de los vectores. Voy a mostrarles la triangulación sin aclarar los pasos que hago, para 
que se concentren en el objetivo del método: 
 
 
𝟏 𝟐 −𝟏 𝟎
𝟏 −𝟏 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟎 𝟑
  
𝟏 𝟐 −𝟏 𝟎
𝟎 −𝟑 𝟐 𝟎
𝟎 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟎 𝟑
  
𝟏 𝟐 −𝟏 𝟎
𝟎 −𝟑 𝟐 𝟎
𝟎 𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 −𝟏 𝟏 𝟑
  
𝟏 𝟐 −𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 −𝟏 𝟏 𝟑
  
 
 
𝟏 𝟐 −𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 −𝟏 𝟏 𝟑
  
𝟏 𝟐 −𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 −𝟏 𝟏 𝟑
  
𝟏 𝟐 −𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟐 𝟒
  
𝟏 𝟐 −𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎 𝟒
 
 
Listo: la matriz quedó triangulada y escalonada. 
Como la última fila, que corresponde al vector que queríamos ver si era combinación lineal de los otros, no 
la intercambiamos nunca de lugar con otra y no se anuló, entonces el vector que pusimos abajo del todo, es 
decir, el (1 ; 1 ; 0 ; 3), no es combinación lineal de los del conjunto del enunciado. 
 
 
El método trucho se puede aplicar para ver si un polinomio es combinación lineal de otros, 
“transformando” los polinomios en vectores, escribiendo solamente sus coeficientes. Por ejemplo, si 
queremos ver si el polinomio p(t) = 3.t2 + 3 es combinación lineal de { t2 + t ; -t + 1 }, “convertimos” todos 
los polinomios en vectores completándolos y escribiendo solamente sus coeficientes formando vectores: 
 
p(t) = 3.t2 + 3 = 3.t2 + 0.t + 3  (3 ; 0 ; 3) 
t2 + t = t2 + t + 0  (1 ; 1 ; 0) 
-t + 1 = 0.t2 – t + 1  (0 ; -1 ; 1) 
Y ahora aplicamos el método trucho: 
 
𝟏 𝟏 𝟎
𝟎 −𝟏 𝟏
𝟑 𝟎 𝟑
  
𝟏 𝟏 𝟎
𝟎 −𝟏 𝟏
𝟎 −𝟑 𝟑
  
𝟏 𝟏 𝟎
𝟎 −𝟏 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
 
 
La última fila se anuló, entonces p(t) es combinación lineal de { t2 + t ; -t + 1 } 
Y también se puede aplicar para ver si una matriz es combinación lineal de otras, escribiendo las matrices 
como vectores, “estirándolas” de costado. Por ejemplo, si queremos ver si 𝟏 𝟐
−𝟏 𝟑
 es combinación lineal 
de 𝟏 𝟏
𝟎 𝟎
 ; 
𝟏 −𝟏
−𝟐 𝟏
 , primero “convertimos” las matrices en vectores: 
 
𝟏 𝟐
−𝟏 𝟑
 (𝟏; 𝟐;−𝟏; 𝟑) 
 
 
𝟏 𝟏
𝟎 𝟎
 (𝟏; 𝟏;𝟎; 𝟎) 
 
 
𝟏 −𝟏
−𝟐 𝟏
 (𝟏; −𝟏; −𝟐; 𝟏) 
 
Y ahora aplicamos el método trucho: 
 
 
𝟏 𝟏 𝟎 𝟎
𝟏 −𝟏 −𝟐 𝟏
𝟏 𝟐 −𝟏 𝟑
  
𝟏 𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 −𝟐 −𝟐 𝟏
𝟏 𝟐 −𝟏 𝟑
  
𝟏 𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 −𝟐 −𝟐 𝟏
𝟎 𝟏 −𝟏 𝟑
  
𝟏 𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 −𝟐 −𝟐 𝟏
𝟎 𝟎 −𝟒 𝟕
 
 
La matriz quedó triangulada y escalonada, y la última fila no se anuló. Entonces, la matriz 𝟏 𝟐
−𝟏 𝟑
 no es 
combinación lineal de las otras dos. 
 
 
Dependencia e independencia lineal de un conjunto de elementos (para ej. 6, 7 y 8) 
 
Sea  un espacio vectorial real. Consideremos k elementos v1 ; v2 ; v3 ; ....... ; vk pertenecientes a . 
Se dice que el conjunto { v1 ; v2 ; v3 ; ....... ; vk } es linealmente independiente (o que los vectores v1 ; v2 ; v3 ; 
....... ; vk son linealmente independientes entre sí) si se cumple la siguiente condición: 
 
La única forma de obtener el elemento nulo 0 como combinación lineal de v1 ; v2 ; v3 ; ....... ; vk es que 
todos los coeficientes de la combinación lineal 1 ; 2 ; 3 ;...... , k valgan cero. 
 
Es decir, el conjunto { v1 ; v2 ; v3 ; ....... ; vk } es linealmente independiente si para despejar los coeficientes 
1 ; 2 ; 3 ;...... , k de la igualdad: 
 
0 = 1.v1 + 2.v2 + 3 .v3 + ...... + k.vk 
 
nos queda un sistema de ecuaciones homogéneo con solución única 1 = 2 = 3 = ...... = k = 0 
 
Se dice que el conjunto { v1 ; v2 ; v3 ; ....... ; vk } es linealmente dependiente cuando no es linealmente 
independiente, y esto sucede si para despejar los coeficientes 1 ; 2 ; 3 ;...... , k de la igualdad: 
 
0 = 1.v1 + 2.v2 + 3 .v3 + ...... + k.vk 
 
nos queda un sistema de ecuaciones homogéneo con infinitas soluciones. 
 
Ejemplo 1: decidir si el conjunto { (1 ; 1 ) ; (1 ; -1 ) } es linealmente dependiente o independiente. 
Expresamos al vector nulo como combinación lineal de los vectores del conjunto: 
 
( 0 ; 0 ) = 1.(1 ; 1) + 2.(1 ; -1) 
 
Armamos el sistema de ecuaciones homogéneo para despejar 1 y 2: 
 
 
𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 = 𝟎
𝛂𝟏 − 𝛂𝟐 = 𝟎
 
 
y sólo debemos ver si esta sistema tiene solución única o infinitas soluciones. Si la matriz de 
coeficientes es cuadrada, se puede usar determinante. Si no, se puede ver con Gauss-Jordan y analizar 
cómo queda la matriz ampliada triangulada y escalonada. También se puede resolver el sistema y ver 
cuál es la solución, por supuesto. Lo voy a resolver con determinante. 
 
En este ejercicio, la matriz de coeficientes es 𝐀 = 
𝟏 𝟏
𝟏 −𝟏
 , y como det(A) = -2  0, el sistema 
homogéneo tiene solución única 1 = 0 y 2 = 0. Entonces el conjunto { (1 ; 1 ) ; (1 ; -1 ) } es 
linealmente independiente. 
 
 
Ejemplo 2: decidir si el conjunto { (1 ; 1 ; 0) ; (-1 ; 0 ; 1 ) ; (0 ; 1 ; 1) } es linealmente dependiente o 
 independiente 
Expresamos al vector nulo como combinación lineal de los vectores del conjunto: 
 
( 0 ; 0 ; 0 ) = 1.(1 ; 1 ; 0) + 2.(-1 ; 0 ; 1) + 3.(0 ; 1 ; 1) 
 
Armamos el sistema de ecuaciones homogéneo para despejar 1, 2 y 3: 
 
 
𝛂𝟏 − 𝛂𝟐 = 𝟎
𝛂𝟏 + 𝛂𝟑 = 𝟎
𝛂𝟐 + 𝛂𝟑 = 𝟎
 
 
y sólo debemos ver si esta sistema tiene solución única o infinitas soluciones. Podemos verlo con 
determinante o con Gauss-Jordan. Este ejemplo lo voy a hacer con Gauss-Jordan: 
 
 
𝟏 −𝟏 𝟎 ⋮ 𝟎
𝟏 𝟎 𝟏 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟏 𝟏 ⋮ 𝟎
 
𝐅′𝟐=𝐅𝟐−𝐅𝟏
 
𝟏 −𝟏 𝟎 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟏 𝟏 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟏 𝟏 ⋮ 𝟎
 
𝐅′𝟑=𝐅𝟑−𝐅𝟐
 
𝟏 −𝟏 𝟎 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟏 𝟏 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎 ⋮ 𝟎
 
 
La matriz ampliada del sistema homogéneo ya está triangulada y escalonada, y nos quedaron dos 
ecuaciones con tres incógnitas, entonces el sistema tiene infinitas soluciones, por lo tanto el 
conjunto { (1 ; 1 ; 0) ; (-1 ; 0 ; 1 ) ; (0 ; 1 ; 1) } es linealmente dependiente. 
 
Noten algo interesante, para ahorra cuentas en los ejercicios: la matriz de coeficientes de este sistema 
homogéneo tiene en sus columnas los vectores del conjunto que queremos ver si es L.I o L.D. 
 
Ejemplo 3: decidir si el conjunto { x2 + 2x -3 ; x – 1 ; -x2 - 2x ; 5}  2 es linealmente dependiente (L.D.) o 
 independiente (L.I.) 
Expresamos al polinomio nulo como combinación lineal de los polinomios del conjunto: 
 
0.x2 + 0.x + 0 = 1.(x2 + 2x -3) + 2.(x – 1) + 3.(-x2 - 2x) + 4 .(5) 
 
Armamos el sistema de ecuaciones homogéneo para despejar 1, 2, 3 y 4. Vamos igualando los 
términos de igual potencia: 
términos cuadráticos: 0.x2 = 1.x2 + 3.(-x2) = (1 - 3). x2 
términos lineales: 0.x = 1.2x + 2.x + 3.(- 2x) = (21 + 2 - 23).x 
términos constantes: 0 = 1.(-3) + 2.(– 1) + 4 .(5) 
 
 
𝛂𝟏 − 𝛂𝟑 = 𝟎
𝟐𝛂𝟏 + 𝛂𝟐 − 𝟐𝛂𝟑 = 𝟎
−𝟑𝛂𝟏 − 𝛂𝟐 + 𝟓𝛂𝟒 = 𝟎
 
 
En este ejercicio no se puede aplicar determinante pues la matriz de coeficientes del sistemas no es 
cuadrada. Sí o sí hay que aplicar Gauss-Jordan en la matriz ampliada: 
 
 
𝟏 𝟎 −𝟏 𝟎 ⋮ 𝟎
𝟐 𝟏 −𝟐 𝟎 ⋮ 𝟎
−𝟑 −𝟏 𝟎 𝟓 ⋮ 𝟎
 
𝐅´𝟐=𝐅𝟐−𝟐.𝐅𝟏
 
𝟏 𝟎 −𝟏 𝟎 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 ⋮ 𝟎
−𝟑 −𝟏 𝟎 𝟓 ⋮ 𝟎
 
𝐅´𝟑=𝐅𝟑+𝟑.𝐅𝟏
 
𝟏 𝟎 −𝟏 𝟎 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 ⋮ 𝟎
𝟎 −𝟏 −𝟑 𝟓 ⋮ 𝟎
 
 
𝐅´𝟑=𝐅𝟑+𝐅𝟐
 
𝟏 𝟎 −𝟏 𝟎 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 ⋮ 𝟎
𝟎 𝟎 −𝟑 𝟓 ⋮ 𝟎
 
 
La matriz ampliada del sistema homogéneo ya está triangulada y escalonada, y vemos que 
corresponde a un sistema coninfinitas soluciones, entonces los polinomios del enunciado forman 
un conjunto L.D. 
 
 
De estos ejemplos podemos concluir que para ver si un conjunto de elementos es linealmente dependiente 
o linealmente independiente, debemos ver si un sistema homogéneo tiene solución única o infinitas 
soluciones. Sin embargo, hay una propiedad muy útil para estudiar la dependencia o independencia lineal 
sin armar el sistema homogéneo. Esta propiedad, que no vamos a demostrar, es muy práctica cuando 
trabajamos con conjuntos de pocos elementos. Es la siguiente: 
 
Propiedad útil 1 
Un conjunto de elementos es linealmente dependiente si entre ellos existe por lo menos uno que es 
combinación lineal de los demás (de ahí viene el nombre de “dependiente”: hay un elemento que depende 
de los otros, a través de alguna combinación lineal). 
 
Con esta propiedad, la dependencia lineal de algunos conjuntos sale a simple vista: 
 
En el ejemplo 2 que resolvimos antes, el conjunto era { (1 ; 1 ; 0) ; (-1 ; 0 ; 1 ) ; (0 ; 1 ; 1) }. Si lo miran 
fuertemente, el tercer vector es una combinación lineal de los dos primeros: es el primero más el segundo. 
Ya con eso alcanza para decir que el conjunto es L. D. 
En el ejemplo 3, el conjunto { x2 + 2x -3 ; x – 1 ; -x2 - 2x ; 5} contiene cuatro elementos, ya no es tan fácil 
ver en forma directa si uno de los cuatro polinomios en combinación lineal de los otros tres. Pero podemos 
ayudarnos con el método trucho: los convertimos en vectores y los ubicamos en una matriz, uno abajo del 
otro. Triangulamos y escalonamos, tratando de no cambiar las filas de lugar. La fila que se anula 
completamente corresponderá al elemento linealmente dependiente de los otros. Allá vamos: 
 
x2 + 2x -3  (1 ; 2 ; -3) x – 1  (0 ; 1 ; -1) -x2 - 2x  (-1 ; -2 ; 0) 5  (0 ; 0 ; 5) 
 
 
𝟏 𝟐 −𝟑
𝟎 𝟏 −𝟏
−𝟏 −𝟐 𝟎
𝟎 𝟎 𝟓
 
𝐅´𝟑=𝐅𝟑+𝐅𝟏
 
𝟏 𝟐 −𝟑
𝟎 𝟏 −𝟏
𝟎 𝟎 −𝟑
𝟎 𝟎 𝟓
 
𝐅´𝟒=𝟑.𝐅𝟒+𝟓.𝐅𝟑
 
𝟏 𝟐 −𝟑
𝟎 𝟏 −𝟏
𝟎 𝟎 −𝟑
𝟎 𝟎 𝟎
 
 
Como la fila 4 se anuló completamente, el cuarto polinomio es combinación lineal de los otros tres, 
entonces el conjunto es L.D. 
 
En el ejemplo 1, en el cual analizamos el conjunto { (1 ; 1 ) ; (1 ; -1 ) }, también podemos aplicar el método 
trucho: 
 
𝟏 𝟏
𝟏 −𝟏
 
𝐅´𝟐=𝐅𝟐−𝐅𝟏
 
𝟏 𝟏
𝟎 −𝟐
 
 
Ya triangulamos y escalonamos, y no se anuló ninguna fila. Entonces ningún vector depende del otro, por 
lo tanto el conjunto es L.I.(lo mismo que obtuvimos antes, por supuesto). 
 
 
 
Más propiedades útiles (que se deducen de la propiedad 1 o de la definición de dependencia e independencia 
lineal) 
 
Propiedad 2: Todo conjunto que contenga al elemento nulo es L.D. (esto es así porque el 0 es 
combinación lineal de cualquier elemento: es el escalar cero por cualquier elemento). 
 
Propiedad 3: Todo conjunto formado por un solo elemento no nulo es L.I (esto es así pues si un elemento 
v no es el elemento nulo y escribimos 0 = .v, hay un único valor de  que verifica la igualdad:  = 0). 
 
Propiedad 4: Si un conjunto consta de dos elementos solamente, entonces será L.D. si y sólo si los 
elementos son múltiplos entre sí. 
En 2 y en 3 esta propiedad tiene interpretación geométrica: dos vectores son L.D. si y sólo si están 
alineados sobre una misma recta que pasa por el origen. Si los dos vectores no están alineados, entonces son 
L.I. 
 
Propiedad 5: En 3, tres vectores coplanares forman un conjunto L.D. Y si los tres vectores no son 
coplanares, forman un conjunto L.I. 
Recuerden que en 3 tres vectores son coplanares si y sólo si su producto mixto da cero. 
 
Propiedad 6: Si un conjunto tiene elementos repetidos o múltiplos entre sí, entonces el conjunto será L.D. 
Pero cuidado: la afirmación recíproca no es cierta. En el ejemplo 2, el conjunto {(1;1;0) ; (-1;0;1) ; (0 ;1;1)} 
es L.D. y sin embargo no hay vectores repetidos ni múltiplos entre sí... 
Propiedad 7: sea A una matriz cuadrada. Entonces det(A) = 0  las filas de A forman un conjunto L.D. 
 También det(A) = 0  las columnas de A forman un conjunto L.D. 
 
 
Ejemplo 4: decidir si el conjunto { (1 ; 2 ; 1) ; (-1 ; 0 ; 4) ; (-4 ; -6 ; 1) } es L.I o L.D. 
Este conjunto está formado por tres vectores de 3, entonces, en este ejercicio, para ver si es L.I o 
L.D hay múltiples opciones: 
 aplicando Gauss-Jordan al sistema homogéneo de la definición de dependencia e 
independencia lineal (sirve para todo ejercicio) 
 aplicando determinante a la matriz de coeficientes del sistema homogéneo de la definición 
(no sirve para todo ejercicio, pero en este sí) 
 aplicando método trucho triangulando y escalonando la matriz (sirve para todo ejercicio) 
 aplicando determinante a la matriz formada por los vectores (sirve en este ejercicio pues 
queda una matriz cuadrada, y entonces usamos la propiedad 7) 
 viendo si los tres vectores son coplanares con su producto mixto (no sirve para todo 
ejercicio, pero en este sí) 
 
Yo lo voy a hacer con determinante de la matriz formada por los vectores ubicados en forma 
horizontal (es la misma que arman para usar método trucho). Ustedes prueben con los otros 
métodos. Tienen que llegar a la misma conclusión. 
 
𝐝𝐞𝐭 
𝟏 𝟐 𝟏
−𝟏 𝟎 𝟒
−𝟒 −𝟔 𝟏
 = 𝟏. 𝟎. 𝟏 − −𝟔 . 𝟒 − 𝟐. −𝟏. 𝟏 − −𝟒 . 𝟒 + 𝟏. −𝟏. −𝟔 − −𝟒 . 𝟎 = 𝟐𝟒 − 𝟑𝟎 + 𝟔 = 𝟎 
 
 El conjunto { (1 ; 2 ; 1) ; (-1 ; 0 ; 4) ; (-4 ; -6 ; 1) } es L.D. (son tres vectores coplanares de 3) 
 
 
 
Ejemplo 5: hallar todos los valores de k   de modo que el conjunto { (1 ; k ; 0) ; (-1 ; 2 ; k) ; (1 ; 1 ; k) } 
 sea linealmente independiente. 
Armamos la matriz con los vectores. Si queda cuadrada, lo más rápido es usar determinante. Si no, la 
triangulamos y escalonamos (método trucho) 
𝐝𝐞𝐭 
𝟏 𝐤 𝟎
−𝟏 𝟐 𝐤
𝟏 𝟏 𝐤
 = 𝟏. 𝟐. 𝐤 − 𝟏. 𝐤 − 𝐤. −𝟏. 𝐤 − 𝟏. 𝐤 + 𝟎. −𝟏. 𝟏 − 𝟏. 𝟐 = 𝐤 + 𝟐𝐤𝟐 ≠ 𝟎 
  𝐤 ≠ 𝟎 𝐲 𝐤 ≠ −
𝟏
𝟐
 
Con método trucho da lo mismo, pero es un poco más cuentoso porque la matriz tiene el 
parámetro k en sus coeficientes: 
 
 
𝟏 𝐤 𝟎
−𝟏 𝟐 𝐤
𝟏 𝟏 𝐤
 
𝐅´𝟐=𝐅𝟐+𝐅𝟏
 
𝟏 𝐤 𝟎
𝟎 𝟐 + 𝐤 𝐤
𝟏 𝟏 𝐤
 
𝐅´𝟑=𝐅𝟑−𝐅𝟏
 
𝟏 𝐤 𝟎
𝟎 𝟐 + 𝐤 𝐤
𝟎 𝟏 − 𝐤 𝐤
 
𝐅′𝟑= 𝟐+𝐤 .𝐅𝟑− 𝟏−𝐤 .𝐅𝟐
 
𝟏 𝐤 𝟎
𝟎 𝟐 + 𝐤 𝐤
𝟎 𝟎 𝟐𝐤𝟐 + 𝐤
 
 
Cuidado: el último paso de triangulación vale solamente si k  -2, pues a la fila que estamos 
modificando no la podemos multiplicar por cero (Gauss no lo permite). De acuerdo al método 
trucho, el conjunto es L.D. si alguna fila se anula completamente. En este ejercicio, se puede anular 
completamente sólo la última fila, cuando 2k2 + k = 0. Entonces el conjunto será L.I. cuando 2k2 + k 
 0, considerando k  -2 
 
¿Y qué pasa si k = -2? Bueno, ese caso hay que analizarlo aparte, como si fuera un nuevo ejercicio sin 
incógnita k, porque la reemplazamos por -2: 
 
 
𝟏 −𝟐 𝟎
−𝟏 𝟐 −𝟐
𝟏 𝟏 −𝟐
 
𝐅´𝟐=𝐅𝟐+𝐅𝟏
 
𝟏 −𝟐 𝟎
𝟎 𝟎 −𝟐
𝟏 𝟏 −𝟐
 
𝐅´𝟑=𝐅𝟑−𝐅𝟏
 
𝟏 −𝟐 𝟎
𝟎 𝟎 −𝟐
𝟎 𝟑 −𝟐
 
𝐅𝟑↔𝐅𝟐
 
𝟏 −𝟐 𝟎
𝟎 𝟑 −𝟐
𝟎 𝟎 −𝟐
 
 
Para k = -2 el conjunto es L.I. 
 
Conclusión: el conjunto es L.D. para k   - {-1/2 ; 0} 
 
 
Bueno, esta fue una clase larga porque las demostraciones de subespacios que vimos al principio son largas, 
pero recuerden que gracias a la propiedad del final de la página 9, ustedes no necesitan efectuar ese tipo de 
demostraciones. Lo más importante es el recuadro que contiene las tres condiciones necesarias y suficientes 
de subespacios, y lo que está a partir de la propiedad que les mencioné. 
Y con todo lo visto, pueden empezar a resolver la guía 3, hasta el ejercicio 8 inclusive.