Rectas y plano_ejercicio1

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Rectas y plano
Rectas en el Espacio
 * En R2 necesito  - la pendiente y un punto para conocer la ecuación de la recta.
 * En R3 necesito  un vector v paralelo a la recta (distinto de cero) y un punto Po que pertenezca a la recta.
Ecuaciones de la Recta
 Hay 3 formas de expresar una recta:
Ecuación Vectorial
Ecuación Simétrica (o Continua)
Ecuación Paramétrica 
Grafica
A=(x₁,y₁,z₁)
Ecuación de un plano
 n=⟨a,b,c ⟩ es un vector y P=(x0,y0,z0)  es un punto.
 Entonces el conjunto de todos los puntos Q=(x,y,z)  tal que PQ sea ortogonal a n forma un plano .
 n es un vector normal o perpendicular al plano. (Recuerde que el producto escalar de vectores ortogonales es cero).
   ecuación vectorial de un plano: n.PQ→=0 
Reescribiendo esta ecuación se obtienen formas adicionales de describir el plano:
n.PQ→⟨a,b,c⟩. ⟨x–x0,y–y0,z−z0⟩
a(x–x0)+b(y–y0)+c(z−z0)=0,
 ecuación escalar de un plano que contiene el punto P=(x0,y0,z0) con 
vector normal n=⟨a,b,c⟩ es
a(x–x0)+b(y–y0)+c(z−z0)=0.
Esta ecuación puede expresarse como ax+by+cz+d=0, donde  d=−ax0−by0−cz0 
Esta forma de la ecuación se llama a veces la forma general de la ecuación de un plano.
Gráfico de un plano
Para graficar, utilizamos hoja cuadriculada, y verificamos con una herramienta que grafica en 3D.
GeoGebra: https://www.geogebra.org/?lang=es
Producto de vectores
1) El producto escalar de los vectores u=⟨u1,u2,u3⟩ y v=⟨v1,v2,v3⟩ está dado por la suma de los productos de las
 componentes.
u.v=u1v1+u2v2+u3v3.. Representa con (.)
2) Supongamos que u=⟨u1,u2,u3⟩ y v=⟨v1,v2,v3⟩.
el producto vectorial u×v :es un vector
u×v=(u2v3−u3v2)i−(u1v3−u3v1)j+(u1v2−u2v1)k=⟨u2v3−u3v2,−(u1v3−u3v1),u1v2−u2v1
 se lo representa con (x).
Se lo calcula como determinante de (i,j,k) (u1,u2,u3) y (v1,v2,v3)
1)Producto Escalar
2)Producto Vectorial
Desarrollo
1)a)
K? L₁ // =( 1,1,0)
 “ Dos rectas son paralelas cuando tienen el mismo vector director o son proporcionales:
 // sii = t* .proporcionales
R₁: x=a+t 
R₂:y=b+t son rectas paralelas
 
1°)Vamos a buscar la forma vectorial de la recta L₁, ya que esta expresada como intersección de dos planos.
El vector director de la recta , va a ser el producto vectorial de las dos normales de cada plano ( las normales son los vectores que representan el plano).
=₁ * ₂ donde : vectores directores de cada plano
Como las ecuaciones del plano eran x+y+z=0  vector dirección de este plano es ₁=(1,1,1)
 2x-ky=4  vector dirección de este plano es ₂=(2,-k,o)
Al hacer el producto vectorial: i=(1,0,0) j=(0,1,0) h=(0,0,1)
= =i *+j * *+h * *
 = i* 1*k + j* (-1)*(-2)+ h * 1 * (-k-2 )
 =ik +j 2+ h(-k-2)= (k,0,0) +(0,2,0) + (0,0,-k-2) =(k,2,-k-2)
 
Entonces el = (k, 2 , -k-2) vector dirección de la recta L₁.
Busco un punto , para poder formar la ecuación de la recta.
 Para encontrar un punto basta despejar de la ecuación:
 
Como me pedían que sea paralelo al vector(1,1,0)
Por la propiedad de paralelismo (k,2,-k-2)= t (1,1,0)
 (k,2,-k-2)=(t,t,0)
Dos vectores son iguales is sus componentes son iguales, armo ecuaciones:
 k=t
 2=t =>t=2  k ≠ t  es un absurdo no cumple. 
 -k-2=0 => k=-2
Respuesta: No existe k.
1)b)
 datos: k=-1 
L₁: (x,y,z)=(2,0,-2) +s(k,2,-k-2) k=-1
L₁:(x,y,z)+s(-1,2,-1) s 
L₂:(x,y,z) +t(2,1,1) t R
“Dos rectas son alabeadas si están en diferentes planos y no son paralelas(o coplanales)”
Producto vectorial de las dos rectas = 0  Son coplanales
Producto vectorial de las dos rectas 
Rectas alabeadas y paralelas
Una recta es paralela a un plano cuando el vector de dirección de la recta, , es perpendicular al característico del plano, . En consecuencia, · = 0. 
Rta: Son alabeadas. 
Distancia 
Rta: La distancia es 11/
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