MEF_Ej resueltos

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Asignaturas: Cálculo Avanzado – Civil 
Análisis Numérico y Cálculo Avanzado -Industrial 
 
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Ejercicios de MEF 
Problema de examen 
a) Aplicar el método de los elementos finitos con funciones de base lineales, adoptando una partición 
equiespaciada de 4 puntos (que incluye los extremos del intervalo) para determinar el momento 
flector u generado por una carga transversal, dada por la función sen(πx), a lo largo de una viga de 
longitud 1 simplemente apoyada. Las ecuaciones de gobierno son: 
���:	 ����	� = 	��
��	�				0 < 	 < 1 ��: ��0� = 0			�			��1� = 0 
b) Expresar la combinación lineal de las funciones de bases lineales que proporciona la solución 
aproximada U(x) para este problema y hallar el valor aproximado del momento flector en x=0.1. 
Solución: 
a) Haciendo “corresponder” la ecuación diferencial dada (���:				����	� = ��
��	�,				0 < 	 < 1)			con la 
EDO “general” considerada en el Apunte ( ���:				����	� = −��	�,			0 < 	 < �), resulta que en este 
problema ��	� = −��
��	� y � =1. 
Como se pide una partición equiespaciada de 4 puntos (incluyendo los extremos del intervalo) tendremos 
2 nodos interiores (n=2) y el intervalo [0,1] queda dividido 3 elementos (subintervalos) iguales. 
Luego sabemos que aproximaremos la solución u(x) por la siguiente combinación lineal de funciones test, 
lineales a trozos, U�x� = ∑ � �!� ∙ # $%& %' , donde Ti(x) son las funciones test y los coeficientes ui, son 
precisamente los valores de la función “aproximante U” en los nodos interiores. 
Las funciones test (o funciones de base) lineales a trozos (en este caso son dos), se definen una por cada 
nodo interior del intervalo [0, 1], teniendo en cuenta que por definición Ti(xj)=1 sólo cdo i=j y en los otros 
nodos vale cero. Sus gráficas y sus ecuaciones son las siguientes: 
 
T1(x) 
3																														0 ≤ 	 ≤ 1/3 −3	 + 2													1/3 < 	 ≤ 2/3 0																											2/3 < 	 ≤ 1 T2(x) 
0																															0 ≤ 	 ≤ 1/3 3	 − 1																1/3 < 	 ≤ 2/3 −3	 + 3													2/3 < 	 ≤ 1 
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Teniendo en cuenta que el problema discretizado puede escribirse en forma matricial como KU=F, donde 
Knxn es la matriz de rigidez (siempre cuadrada, con n=2 en este problema) cuyos elementos son -./ = 0 1.´�	� ∙34 1/´�	��	, y Fnx1 es el vector columna (n=2, en este caso), llamado vector de cargas, 
cuyos elementos son 5. = 0 1.�	� ∙34 ��	��	 y U=6�7��8 es el vector de las incógnitas, podemos resolver el 
problema utilizando las funciones T(x) definidas anteriormente. 
Los elementos de la matriz K se definen como: 
977 = 0 17´�	� ∙34 17´�	��	 = 0 �3���	:;4 +		0 �−3���	 +<;:; 0 0	�	7<; = 3 + �6 − 3� = 6 = 9��	; 
97� = 0 17´�	� ∙34 1�´�	��	 = 0 3 ∙ 0	�	:;4 + 0 �−3� ∙ 3 ∙ �	 + 0 �−3� ∙ 0	�	7<;<;:; = −6 + 3 = −3 = 9�7	; 
ya que (por definición) K es una matriz simétrica (kij=kji) y cuando la partición es equiespaciada, 9.. = 9// 
para todo i, j = 1, 2, …, n. Entonces K=? 6 −3−3 6 @. 
Determinamos las componentes del vector de fuerzas F, para lo cual notamos que debido a la simetría de 
la función de carga ��
��	� en [0, 1], resultará que �7 = ��. En efecto: 
�7 =	B �3	� ∙ �−:;4 ��
��	���	 + B �−3	 + 2� ∙ �−�/C7/C ��
��	���	 = −0,104 − 0,159 = −0,263 
�� =	B �3	 − 1� ∙<;:; G−��
��	�H�	 + B �−3	 + 3� ∙
7
<;
G−��
��	�H�	 = −0,159 − 0,104 = −0,263 
Armamos la ecuación matricial: 
- ∙ I = 5 → ? 6 −3−3 6 @ ∙ ?�7��@ = 	 ?−0,263−0,263@ 
Para obtener la solución, invertimos K y resolvemos como sigue: 
I = -K7 ∙ 5 → ?�7��@ = 	 L2/9 1/91/9 2/9M ∙ ?−0,263−0,263@ 
Finalmente los valores para el momento flector en 1/3 y 2/3 son : #' = −N,NOPP #& = −N,NOPP . 
Propuesto: Hallar la solución exacta del problema y verficar que los valores hallados, �7, ��	,	coinciden 
con los valores de la solución exacta en x=1/3 y x= 2/3. 
 
b) Solución aproximada U(x): la ecuación de la poligonal que aproxima a la solución exacta u(x) es 
Q�!� = R � �!� ∙ # &$%' = #' ∙ �'�!� + #& ∙ �&�!� 
Con lo cual para calcular el valor aproximado de u en 0.1, dado que 0 < 0.1 < 1/3, �&�N. '� = N y �'�N. '� = S�N. '�	resulta que 	 u(0.1)≈	Q�N. '� = #' ∙ �'�N. '� = �−N, NOPP�S	�N. '� = 	−N, N&TS'. 
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Problema 12 (Guía 2 Problemas integradores) 
El potencial eléctrico u(x) en cualquier punto de un medio homogéneo entre dos placas paralelas, 
ubicadas en x = 0 y x = 1, con carga uniforme f(x) = 1 y potencial nulo en ambas placas, está modelado 
por las ecuaciones: ���:	 ����	� = −1				0 ≤ 	 ≤ 1 ��: ��0� = 0			�			��1� = 0 
a) Aplicar el método de los elementos finitos con funciones bases lineales, adoptando una partición 
regular de 6 puntos, para hallar los valores aproximados en los cuatro puntos interiores de la 
malla. 
b) Hallar la solución exacta del problema y comparar con los valores hallados en (a). 
Solución: 
Podemos graficar las funciones T(x) para los 4 puntos (nodos) interiores del intervalo (malla): 
 
T1(x) 
5																														0 ≤ 	 ≤ 1/5 −5	 + 2													1/5 < 	 ≤ 2/5 0																											2/5 < 	 ≤ 1 T2(x) 
0																																0 ≤ 	 ≤ 1/5 5	 − 1																	1/5 < 	 ≤ 2/5 −5	 + 3														2/5 < 	 ≤ 3/5 0																															3/5 < 	 ≤ 1 
T3(x) 
0																																0 ≤ 	 ≤ 2/5 5	 − 2																	2/5 < 	 ≤ 3/5 −5	 + 4														3/5 < 	 ≤ 4/5 0																															4/5 < 	 ≤ 1 
T4(x) 
0																																0 ≤ 	 ≤ 3/5 5	 − 3																	3/5 < 	 ≤ 4/5 −5	 + 5																			4/5 < 	 ≤ 1 
Para calcular los elementos de la matriz K (siempre simétrica y tridiagonal) que tendrá iguales los 
elementos de sus diagonales, por ser la partición equiespaciada, sólo es necesario calcular U''	 y U'& !! 
U'' = B 17´�	� ∙34 17´�	��	 = B �5���	
:V
4 +		B �−5���	 +
<V
:V
B 0	�	7<V = 5 + 5 = 10 = U&& = USS = UWW 
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U'& = 0 17´�	� ∙34 1�´�	��	 = 0 + 0 �−5� ∙ 5�	 + 0 =<V:V − 5	 = U&'= U&S = US&=USW = UWS. U'S = 0 17´�	� ∙34 1C´�	��	 = 0 = US' = U'W = UW' pues Ti y Tj tienen soportes disjuntos cdo │i-j│ > 1. 
Por esto ya dijimos que K es siempre una matriz “tridiagonal”. 
 
Finalmente, determinamos las componentes del vector de cargas F: 
Pero en este caso, como la función de carga es constante, f(x) =1, y la partición equiespaciada, entonces 
las componentes del vector de cargas son todas iguales y ni siquiera hace falta resolver alguna integral, ya 
que aplicando el significado geométrico de las integrales definidas “área bajo la curva”, tenemos que: 
�. =	0 1.�	� ∙74 ��	��	 = 0 1.�	� ∙<V4 �1��	 = �XYZ[�.�Y\]^_Y�� = �̀ . 7�= 1/5 (área bajo Ti para i= 1,2,3,4) 
Armamos la ecuación matricial: 
- ∙ I = 5 → a10−5 −510 0−50 −5 100 0 −5
00−510b ∙ a
�7���C�cb = 	 d
0,2000,2000,2000,200e 
Para obtener la solución, invertimos K y resolvemos como: 
I = -K7 ∙ 5 → a�7���C�cb = 	 d
4/253/25 3/256/25 2/254/252/25 4/25 6/251/25 2/25 3/25
1/252/253/254/25e ∙ d
0,2000,2000,2000,200e 
Finalmente: #' = N, NO #& = N, '& #S = N, '& #W = N, NO 
a) Solución exacta del problema 
��	� = −	�2 + 	2 #�'f� = N, NO #�&f� = N, '& #�Sf� = N, '& #�Wf� = N, NO 
Así verificamos que los valores exactos en los nodos interiores coinciden con las “aproximaciones 
nodales” que proporciona el Método de los Elementos Finitos! 
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