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Series de Fourier
Joel Jurado
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SERIES DE FOURIER Cálculo Avanzado 2012 EJERCITACIÓN Sea 𝑓(𝑥) una función definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 para (−𝜋 ≤ 𝑥 < 𝜋), periódica con periodo 2𝜋, 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥 + 2𝜋). 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 Definida para (−𝜋 ≤ 𝑥 < 𝜋) Periódica con periodo 2𝜋 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥 + 2𝜋). Dibuje una gráfica de 𝑓 𝑥 para los valores de 𝑡 desde x= −3𝜋 hasta 𝑡 = 3𝜋 -π π 𝑻 = 𝟐𝑳 = 𝟐𝝅 𝝅𝟐- 𝝅 𝝅𝟐 + 𝝅 𝝅𝟐 𝒙 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 Punto de Convergencia 𝒇(𝒙) Obtenga la expansión en serie de Fourier de la función 𝑔 𝑥 = 𝑎0 2 + 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 𝑛 𝜋 𝑥 𝑙 + 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑛 𝜋 𝑥 𝑙 ∞ 1 Obtenemos los Coeficientes de Fourier 𝑎𝑜 = 1 𝑙 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑙 −𝑙 𝑎𝑛 = 1 𝑙 𝑓 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑛 𝜋 𝑥 𝑙 𝑑𝑥 𝑙 −𝑙 𝑏𝑛 = 1 𝑙 𝑓 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑛 𝜋 𝑥 𝑙 𝑑𝑥 𝑙 −𝑙 𝑎𝑜 = 1 𝑙 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑙 −𝑙 = 1 𝑙 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑙 −𝑙 = 1 𝜋 𝑥2 + 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 = 1 𝜋 𝑥3 3 + 𝑥2 2 −𝜋 𝜋 𝒂𝒐 = 𝟐 𝟑 𝝅𝟐 = 𝟐 𝟑 𝝅𝟐 = 1 𝜋 (𝑥2+𝑥) 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 𝑎𝑛 = 1 𝑙 𝑓 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑛 𝜋 𝑥 𝑙 𝑑𝑥 𝑙 −𝑙 = 1 𝜋 𝑥2 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 𝜋 −𝜋 1 2 1 𝑥2 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 𝑥2 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 Funciones Pares 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑙 −𝑙 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑙 0 2 𝑥2 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋 −𝜋 𝑥2 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 = 2 4𝜋 𝑛2 (−1)𝑛 2 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 Función Impar 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑙 −𝑙 = 0 Función Par = 1 𝜋 (𝑥2+𝑥) 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 𝑎𝑛 = 1 𝑙 𝑓 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑛 𝜋 𝑥 𝑙 𝑑𝑥 𝑙 −𝑙 = 1 𝜋 𝑥2 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 𝜋 −𝜋 = 1 2 1 𝜋 4𝜋 𝑛2 (−1)𝑛 0 4 (−1)𝑛 𝑛2 = 1 𝜋 (𝑥2+𝑥) 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 𝑏𝑛 = 1 𝑙 𝑓 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑛 𝜋 𝑥 𝑙 𝑑𝑥 𝑙 −𝑙 = 1 𝜋 𝑥2 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 𝜋 −𝜋 1 2 𝑏𝑛 = −2 (−1)𝑛 𝑛 Obtenga la expansión en serie de Fourier de la función 𝑔 𝑥 = 𝑎0 2 + 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 𝑛 𝜋 𝑥 𝑙 + 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑛 𝜋 𝑥 𝑙 ∞ 1 𝑎𝑜 = 2 3 𝜋2 𝑎𝑛 = 4 (−1)𝑛 𝑛2 𝑏𝑛 = −2 (−1)𝑛 𝑛 𝑔 𝑥 = 𝜋2 3 + 4 (−1)𝑛 𝑛2 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 − 2 (−1)𝑛 𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝑥 ∞ 1 𝑛 = 1 𝑔 𝑥 = 𝜋2 3 + 4 (−1)𝑛 𝑛2 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 − 2 (−1)𝑛 𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝑥 ∞ 1 𝑛 = 0 𝑛 = 2 𝑛 = 3 𝑛 = 5 𝑛 = 10 𝑛 = 15 𝑛 = 20 La serie hallada ¿Converge para todo t real? Indicar a qué valores converge -π π 𝑻 = 𝟐𝑳 = 𝟐𝝅 𝝅𝟐- 𝝅 𝝅𝟐 + 𝝅 𝝅𝟐 𝒙 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 Punto de Convergencia La Serie hallada Converge para todo t real 𝑥 = 𝜋 𝑥 = −𝜋 𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎 𝑓 𝜋 + 𝑓(−𝜋) 2 = 𝜋2 𝑥 ≠ 𝜋 𝑥 ≠ −𝜋 𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 Evaluar 𝑔 𝑥 en 𝑥 = 0. Escribir la serie numérica que queda haciendo 𝑥 = 0 𝑔 𝑥 = 𝜋2 3 + 4 (−1)𝑛 𝑛2 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 − 2 (−1)𝑛 𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝑥 ∞ 1 𝑔 0 = 𝜋2 3 + 4 (−1)𝑛 𝑛2 𝐶𝑜𝑠 0 − 2 (−1)𝑛 𝑛 𝑆𝑒𝑛 0 ∞ 1 𝑔 0 = 𝜋2 3 + 4 (−1)𝑛 𝑛2 ∞ 1 -π π 𝑻 = 𝟐𝑳 = 𝟐𝝅 𝝅𝟐- 𝝅 𝝅𝟐 + 𝝅 𝝅𝟐 𝒙 𝑓 0 = 0 Verificar la siguiente igualdad (−1)𝑛 𝑛2 ∞ 1 = − 𝜋2 12 𝑓 0 = 𝑔(0) = 𝜋2 3 + 4 (−1)𝑛 𝑛2 ∞ 1 = 0 (−1)𝑛 𝑛2 ∞ 1 = − 𝜋2 12
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