REEMBOLSO DE PRESTAMOS

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CALCULO FINANCIERO
REEMBOLSO DE PRESTAMOS
1
Unidad V: Teoría del Reembolso de Préstamos 
Sistemas de amortización en pagos seriados. Concepto financiero y contable.
Sistema Francés. Análisis y cálculo de las variables. Construcción de un cuadro de marcha. Gráfica del comportamiento de las variables. Usufructo y nuda propiedad.
Sistema Alemán. Características. Cálculo de sus variables. Vinculación con rentas variables. 
Sistema Americano o de fondo amortizante. Características y cálculo de sus variables. 
Método con Interés Cargado. Características y cálculo de sus variables. Determinación de la tasa resultante. 
Similitudes y diferencias entre los sistemas. 
Variantes usuales en los sistemas. IVA sobre los intereses. Corrección monetaria por Inflación. Tasa variable. Período de gracia. Pagos adicionales. Moneda extranjera. Costo Financiero Total. 
2
Sistemas con pagos periódicos 
Sistema de amortización progresiva o “Francés”
Sistema de amortización real constante o “Alemán”
Sistema Americano o “Sinking Fund”
Método con interés cargado (impuro) o “Argentino”
3
Todos los Sistemas – Simbología General
V = V0 = Deuda Original
cp = Cuota Total
tp = Amortización de capital cuota p
Ip-1,p = Intereses contenidos en cuota p
Tp =Amortización Acumulada periodo p
Vp = Valor deuda luego periodo p
I0,p = Intereses entre origen y p 
Sistema Francés 
Cada cuota se compone de una porción de interés y otra destinada a amortizar capital (denominada “amortización real”).
La amortización real de la primera cuota recibe el nombre de “Fondo amortizante”  t
Esta amortización en PROGRESIVA
Los Intereses se liquidan sobre Saldo de Deuda. 
La cuota es CONSTANTE 
5
SISTEMA FRANCES – FORMULA FUNDAMENTAL
V1 = V (1+I) – c
V2 = V1 (1+i) – c = V (1+I) – c) (1+i) – c = V (1+i)2 – c (1+i) – c
V3 = V2 (1+i) – c = (V (1+i)2 – c (1+i) – c (1+i)- c = V (1+i)3 – c (1+i)2 – c (1+i) – c
Vn = V (1+i)n – c (1+i)n-1 – c (1+i)n-2 - …. – c (1-i) – c
Vn = V (1+i)n – c (1+i)n-1 + (1+i)n-2 + … + 1
 n términos = Sn
Vn = V (1+i)n – c Sn
Vn = 0
0 = V (1+i)n – c Sn
V (1+i)n = c (1+i)n – 1
	 i
V = c 	(1+i)n – 1
 (1+i)n i
 
c = V (1+i)n i 
 (1+i)n – 1
V =
 1 - (1+i)-n 
_____________
 i
C
Sistema Francés 
7
Sistema Francés 
Características Particulares
Amortización Periódica
Saldo Deudor Decreciente
Amortización Creciente P.G.
Interés sobre Saldos (sistema puro) 
Cuota constante
8
Sistema Francés
c = V . a-1(1,n,i)
t1 = c – V . i = V . s-1(1,n,i)
tp = t1 . (1+i)p-1
Ip-1,p = Vp-1 . i = c – tp
Tp = t1 . s(1,p,i) 
Vp = V – Tp
I0,p = p . c – Tp
I0,n = n . c - V
Sistema Francés
10
Sistema Francés
	Deuda $ 12.000 Plazo 6 años Tasa 24 % Anual Cuota Única $ 3.973
Costo Financiero Total (CFT)
	0	 $ -9.516,00 
	1	 $ 1.026,23 
	2	 $ 1.021,75 
	3	 $ 1.017,18 
	4	 $ 1.012,49 
	5	 $ 1.007,69 
	6	 $ 1.002,78 
	7	 $ 997,75 
	8	 $ 992,62 
	9	 $ 987,36 
	10	 $ 981,97 
	11	 $ 976,46 
	12	 $ 970,83 
	C.F.T.	3,7931%
		57,29%
Costo Financiero Total (CFT)
	El CFT está compuesto por la tasa de interés nominal anual (TNA) y por todos aquellos cargos asociados a la operación que no implican la retribución de un servicio efectivamente prestado o un genuino reintegro de gastos.
Estos cargos pueden ser: 
	periódicos, 
	por única vez, 
	un monto fijo, o 
	una tasa calculada sobre el monto del 	préstamo, el capital adeudado o la cuota.
Sistema Alemán
En la Amortización por el Sistema Alemán los intereses se calculan sobre saldo y pago del capital constante (igual desde la primera hasta la ultima cuota), por lo tanto las cuotas varían en forma decreciente.
Sistema Alemán 
Características principales
Amortización Periódica
Saldo Deudor Decreciente 
Amortización constante
Interés sobre saldos (sistema puro)
Cuota decreciente P.A. 
21
Sistema Alemán: cálculo de la cuota
Fórmula general 
Cp = V + V. i . [n – (p-1)] 
	 n			n 
22
Sistema Alemán
cp = V/n + V(p-1) . i
cp = V/n + V . i (1 – (p-1)/n)
tp = V/n
Ip-1,p = V/n . (n-p+1) . i
Tp = V/n . p
Vp = V – V/n . p
I0,p = V/n . i . (p + 1) . p/2
I0,n = V/n . i . (n+1) . n/2
Sistema Alemán
24
Sistema Alemán
25
Sistema Alemán
26
Sistema Alemán
Deuda $ 12.000 Plazo 6 años Tasa 24 % Anual Primera Cuota $ 4.880
Sistema Alemán: cálculo del saldo 
	Momento	Saldo
	Inicial	V
	Pagada la cuota 1	V - V/n = V . (1 - 1/n) = V . [ (n-1)/n]
	Pagada la cuota 2	V - 2.V/n = V . (1 - 2/n) = V . [ (n-2)/n]
		,,,,,,,,,,,,,,,
	Pagada la cuota n-2	V - (n-2). V/n = V .[ 1 - (n-2)/n ] = V . [ 2/n]
	Pagada la cuota n-1	V - (n-1). V/n = V .[ 1 - (n-1)/n ] = V . [ 1/n]
29
Sistema Alemán: cálculo de la cuota 
	Cuota	Capital	+	Interés
	1	V/n	+	V.i
	2	V/n	+	V . [ (n-1)/n] . i
	3	V/n	+	V . [ (n-2)/n] . i
	,,,,,,	,,,,,,,,,		,,,,,,,,,,,,,,,
	n-1	V/n	+	V . [ 2/n] . i
	n-1	V/n	+	V . [ 1/n] . i
30
Sistema Alemán
Comprobación de la variación entre cuotas 
Restamos 2 cuotas consecutivas. 
Cuota 2 : V/n + V.i [(n-1)/n] (1)
Cuota 3 : V/n + V.i [(n-2)/n] (2)
Si a (1) le restamos (2) queda: 
		V . i
	 n
31
Comparación entre los sistemas
FRANCES
Amortización Periódica
Saldo Deudor Decreciente
Amortización Creciente
Interes sobre Saldo
Cuota Constante
ALEMAN
Amortización Periódica
Saldo Deudor Decreciente
Amortización Constante 
Interes sobre Saldo
Cuota Decrecidente
Sistema Americano
 Es una adaptación del sistema de pago único de capital y pago periódico de interés, al combinarlo con una operación de “reconstrucción” del capital.
 Surge para solucionar el problema de reinversión afrontado por el prestamista y el problema de la dificultad financiera del pago íntegro del capital para el deudor.
33
Sistema Americano
 Por un lado el deudor paga periódicamente los intereses sobre el total de su deuda, a una tasa activa ia.
 Por otro lado deposita periódicamente una suma constante en una cuenta que generará un valor final V que permita cancelar el crédito al momento n, a una tasa pasiva ip
34
Sistema Americano
Características principales
Amortización Unica
Saldo Deudor Constante 
Fondo Amortizante Voluntario a Tasa Pasiva
Interés a Tasa Activa s/Deuda Original (sistema puro)
Cuota Obligatoria + Voluntaria Constante. 
35
Sistema Americano
La cuota total a pagar será:
C = V . ia + V . s-1(1,n,ip)
36
Sistema Americano
cp = V . i 			p ≠ n
cn = V + V . i
tp = 0 			p ≠ n
tn = V
Ip-1,p = V . i
Tp = 0 			p ≠ n
Tn = V
Vp = V 			p ≠ n
Vn = 0
I0,p = V . i .* p
I0, n = V . i . n
Ip, p + k = V . i . k
Sistema Americano
38
Sistema Americano Puro
39
Sistema Americano Puro
40
Sistema Americano Puro
41
Sistema Americano
42
Sistema Americano
Sistema Americano
	Deuda $ 12.000 Plazo 6 años Tasa Activa 24 % Anual Tasa Pasiva 20 % Anual Cuota Total $ 4.088,47
Sistema Americano
	 	Fondo Periodo	Interes 	Fondo Acumulado
	1	 $ 1.208,47 	 $ - 	 $ 1.208,47 
	2	 $ 1.208,47 	 $ 241,69 	 $ 2.658,63 
	3	 $ 1.208,47 	 $ 531,73 	 $ 4.398,83 
	4	 $ 1.208,47 	 $ 879,77 	 $ 6.487,06 
	5	 $ 1.208,47 	 $ 1.297,41 	 $ 8.992,94 
	6	 $ 1.208,47 	 $ 1.798,59 	 $ 12.000,00 
Métodos Directos
Son sistemas “impuros” porque no calculan intereses sobre saldos.
Realizan el cálculo del interés total de la operación al inicio de la misma, de manera “directa” sobre el total del préstamo y luego lo distribuyen a lo largo del plazo de amortización.
El efecto económico que provocan es un costo efectivo superior al enunciado (TASA CARGADA).
46
Interés Cargado – Tasa Directa
Características principales
Amortización Periódica
Saldo Deudor Decreciente
Amortización Constante.
Interés sobre Deuda Original (sistema impuro) 
Cuota constante
47
Interés Cargado – Tasa Directa
	V = Préstamo
	C = Cuota
	r = tasa directa deinterés acumulado
	n = cantidad de cuotas
 	Procedimiento:
	a) Se calcula el interés total aplicando la tasa “r” sobre el total del préstamo “V”, y se lo multiplica por la cantidad de cuotas “n”.
	b) El importe de cada cuota surge de la suma del préstamo más el interés, dividido por la cantidad de cuotas.
48
Interés Cargado – Tasa Directa
I = V.r.n
 V + V.r.n
C = ---------------------
 n
 
 V V.r.n 1
C = ----- + -------- => C = V [ ----- + r ]
 n n n
49
Método de Interés Cargado
cp = V/n + V . r
tp = V/n
Ip-1,p = V . r
Tp = V/n . p
Vp = V/n . (n – p)
I0, p = V . r . p
I0, n = V . r . n
V = c . a(1,n,i) 	se despeja i y se obtiene la tasa sobre saldos 				(por interpolación lineal o por fórmula de Baily)
Método Interés Cargado
51
Método Interés Cargado
Método de Interés Cargado
	Deuda $ 12.000 Plazo 6 años Tasa Activa 24 % Anual 
	Cuota Única $ 4.880,00 
Relaciones con el sistema francés 
A partir de la igualación de cuotas es posible establecer 
equivalencias entre “r” e “i”
C = C
 1 i (1+i)n
 V [ ----- + r ] = V --------------
 n (1+i)n – 1
			Siendo V = V
 i (1+i)n 1
 r = -------------- - -------
 (1+i)n – 1 n
54
Relaciones con el sistema francés
Cálculo de “i” en función de “r”
	No resulta posible despejar “i” por pasaje de términos.
	Al encontrarnos con una renta constante es posible determinar la tasa mediante los métodos desarrollados en el “Sistema Francés” (Bayli, Aproximaciones sucesivas”).
55
Interés Cargado – Tasa Directa
56
Interés Cargado – Tasa Directa
57
Interés Cargado – Tasa Directa
58
Comparación entre los sistemas
AMERICANO
Constitución de un Fondo Amortizante
Saldo Deudor Constante
Amortización unica al finalizar el plazo.
Interes sobre Deuda Original 
Cuota Constante
ARGENTINO
Amortización Periódica
Saldo Deudor Decreciente
Amortización Constante
Interes sobre Deuda Original
Cuota Constante
Usufructo – Nuda Propiedad
Según el Código Civil se entiende por:
usufructo: derecho real de usar y gozar una cosa cuya propiedad pertenece a otra persona
nuda propiedad: dominio de una cosa dada en usufructo
propiedad plena de una cosa: cuando se tiene la nuda propiedad y se goza del usufructo
Al negociar la deuda el acreedor puede transferir los derechos en su totalidad o segregados, esto es por un lado los intereses de la deuda (usufructo del financiamiento) y por otro lado el capital adeudado (nuda propiedad del financiamiento). 
Usufructo – Nuda Propiedad
Se considera usufructo del financiamiento al valor actual de los intereses, que denominaremos en adelante como usufructo
Se considera nuda propiedad del financiamiento al valor actual de las amortizaciones que denominaremos en adelante como nuda propiedad.
El acreedor al transferir la deuda lo hace a una tasa de valuación la que puede coincidir o no con la tasa de interés pactada originariamente.
Usufructo 		 Valor actual de los intereses
 	
Nuda Propiedad 	 Valor actual de las amortizaciones
 	
Propiedad plena 	 Saldo adeudado
 	
$ 0
$ 500
$ 1.000
$ 1.500
$ 2.000
$ 2.500
$ 3.000
$ 3.500
$ 4.000
$ 4.500
123456
Gráfico2
	3972.8899218608	1092.8899218609	2880
	3972.8899218608	1355.1835031075	2617.7064187534
	3972.8899218608	1680.4275438532	2292.4623780076
	3972.8899218608	2083.730154378	1889.1597674828
	3972.8899218608	2583.8253914288	1389.0645304321
	3972.8899218608	3203.9434853716	768.9464364892
Hoja1
	
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$3,972.89	$ 1,092.89	$ 2,880.00	$ 10,907.11
		2	$ 10,907.11	$3,972.89	$ 1,355.18	$ 2,617.71	$ 9,551.93
		3	$ 9,551.93	$3,972.89	$ 1,680.43	$ 2,292.46	$ 7,871.50
		4	$ 7,871.50	$3,972.89	$ 2,083.73	$ 1,889.16	$ 5,787.77
		5	$ 5,787.77	$3,972.89	$ 2,583.83	$ 1,389.06	$ 3,203.94
		6	$ 3,203.94	$3,972.89	$ 3,203.94	$ 768.95	$ 0.00
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 10,000.00
		2	$ 10,000.00	$ 4,400.00	$ 2,000.00	$ 2,400.00	$ 8,000.00
		3	$ 8,000.00	$ 3,920.00	$ 2,000.00	$ 1,920.00	$ 6,000.00
		4	$ 6,000.00	$ 3,440.00	$ 2,000.00	$ 1,440.00	$ 4,000.00
		5	$ 4,000.00	$ 2,960.00	$ 2,000.00	$ 960.00	$ 2,000.00
		6	$ 2,000.00	$ 2,480.00	$ 2,000.00	$ 480.00	$ - 0
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 10,000.00
		2	$ 10,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 8,000.00
		3	$ 8,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 6,000.00
		4	$ 6,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 4,000.00
		5	$ 4,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 2,000.00
		6	$ 2,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ - 0
					20%	24%
			Deuda Inicio	Cuota	Fondo	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		2	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		3	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		4	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		5	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		6	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
			Deuda		$12,000
			Plazo		6 años
			Tasa Activa		24 % Anual
			Tasa Pasiva		20 % Anual
			Cuota		$3,973
Hoja1
	
Hoja2
	
Hoja3
	
	
	
	
$ -
$ 1.000
$ 2.000
$ 3.000
$ 4.000
$ 5.000
$ 6.000
123456
Gráfico3
	4880	2000	2880
	4400	2000	2400
	3920	2000	1920
	3440	2000	1440
	2960	2000	960
	2480	2000	480
Hoja1
				FRANCES
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$3,972.89	$ 1,092.89	$ 2,880.00	$ 10,907.11
		2	$ 10,907.11	$3,972.89	$ 1,355.18	$ 2,617.71	$ 9,551.93
		3	$ 9,551.93	$3,972.89	$ 1,680.43	$ 2,292.46	$ 7,871.50
		4	$ 7,871.50	$3,972.89	$ 2,083.73	$ 1,889.16	$ 5,787.77
		5	$ 5,787.77	$3,972.89	$ 2,583.83	$ 1,389.06	$ 3,203.94
		6	$ 3,203.94	$3,972.89	$ 3,203.94	$ 768.95	$ 0.00
				ALEMAN
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 10,000.00
		2	$ 10,000.00	$ 4,400.00	$ 2,000.00	$ 2,400.00	$ 8,000.00
		3	$ 8,000.00	$ 3,920.00	$ 2,000.00	$ 1,920.00	$ 6,000.00
		4	$ 6,000.00	$ 3,440.00	$ 2,000.00	$ 1,440.00	$ 4,000.00
		5	$ 4,000.00	$ 2,960.00	$ 2,000.00	$ 960.00	$ 2,000.00
		6	$ 2,000.00	$ 2,480.00	$ 2,000.00	$ 480.00	$ - 0
				ARGENTINO
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 10,000.00
		2	$ 10,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 8,000.00
		3	$ 8,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 6,000.00
		4	$ 6,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 4,000.00
		5	$ 4,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 2,000.00
		6	$ 2,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ - 0
				AMERICANO
					20%	24%
			Deuda Inicio	Cuota	Fondo	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		2	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		3	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		4	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		5	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		6	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
			Deuda		$12,000
			Plazo		6 años
			Tasa Activa		24 % Anual
			Tasa Pasiva		20 % Anual
			Primera Cuota		$4,880.00
Hoja1
	
Hoja2
	
Hoja3
	
	
	
	
$ -
$ 500
$ 1.000
$1.500
$ 2.000
$ 2.500
$ 3.000
$ 3.500
$ 4.000
$ 4.500
123456
Gráfico4
	4088.4689504044	1208.4689504044	2880
	4088.4689504044	1208.4689504044	2880
	4088.4689504044	1208.4689504044	2880
	4088.4689504044	1208.4689504044	2880
	4088.4689504044	1208.4689504044	2880
	4088.4689504044	1208.4689504044	2880
Hoja1
				FRANCES
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$3,972.89	$ 1,092.89	$ 2,880.00	$ 10,907.11
		2	$ 10,907.11	$3,972.89	$ 1,355.18	$ 2,617.71	$ 9,551.93
		3	$ 9,551.93	$3,972.89	$ 1,680.43	$ 2,292.46	$ 7,871.50
		4	$ 7,871.50	$3,972.89	$ 2,083.73	$ 1,889.16	$ 5,787.77
		5	$ 5,787.77	$3,972.89	$ 2,583.83	$ 1,389.06	$ 3,203.94
		6	$ 3,203.94	$3,972.89	$ 3,203.94	$ 768.95	$ 0.00
				ALEMAN
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 10,000.00
		2	$ 10,000.00	$ 4,400.00	$ 2,000.00	$ 2,400.00	$ 8,000.00
		3	$ 8,000.00	$ 3,920.00	$ 2,000.00	$ 1,920.00	$ 6,000.00
		4	$ 6,000.00	$ 3,440.00	$ 2,000.00	$ 1,440.00	$ 4,000.00
		5	$ 4,000.00	$ 2,960.00	$ 2,000.00	$ 960.00	$ 2,000.00
		6	$ 2,000.00	$ 2,480.00	$ 2,000.00	$ 480.00	$ - 0
				ARGENTINO
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 10,000.00
		2	$ 10,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 8,000.00
		3	$ 8,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 6,000.00
		4	$ 6,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 4,000.00
		5	$ 4,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 2,000.00
		6	$ 2,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ - 0
				AMERICANO
					20%	24%
			Deuda Inicio	Cuota	Fondo	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		2	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		3	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		4	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		5	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		6	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
			Deuda		$12,000
			Plazo		6 años
			Tasa Activa		24 % Anual
			Tasa Pasiva		20 % Anual
			Cuota Total		$4,088.47
Hoja1
	3972.8899218608	1092.8899218609	2880
	3972.8899218608	1355.1835031075	2617.7064187534
	3972.8899218608	1680.4275438532	2292.4623780076
	3972.8899218608	2083.730154378	1889.1597674828
	3972.8899218608	2583.8253914288	1389.0645304321
	3972.8899218608	3203.9434853716	768.9464364892
Hoja2
	
Hoja3
	
	
	
	
$ -
$ 2.000
$ 4.000
$ 6.000
$ 8.000
$ 10.000
$ 12.000
$ 14.000
$ 16.000
123456
Gráfico6
	1208.4689504044
	2658.6316908898
	4398.8269794721
	6487.061325771
	8992.9425413296
	12000
Hoja1
				FRANCES
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$3,972.89	$ 1,092.89	$ 2,880.00	$ 10,907.11
		2	$ 10,907.11	$3,972.89	$ 1,355.18	$ 2,617.71	$ 9,551.93
		3	$ 9,551.93	$3,972.89	$ 1,680.43	$ 2,292.46	$ 7,871.50
		4	$ 7,871.50	$3,972.89	$ 2,083.73	$ 1,889.16	$ 5,787.77
		5	$ 5,787.77	$3,972.89	$ 2,583.83	$ 1,389.06	$ 3,203.94
		6	$ 3,203.94	$3,972.89	$ 3,203.94	$ 768.95	$ 0.00
				ALEMAN
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 10,000.00
		2	$ 10,000.00	$ 4,400.00	$ 2,000.00	$ 2,400.00	$ 8,000.00
		3	$ 8,000.00	$ 3,920.00	$ 2,000.00	$ 1,920.00	$ 6,000.00
		4	$ 6,000.00	$ 3,440.00	$ 2,000.00	$ 1,440.00	$ 4,000.00
		5	$ 4,000.00	$ 2,960.00	$ 2,000.00	$ 960.00	$ 2,000.00
		6	$ 2,000.00	$ 2,480.00	$ 2,000.00	$ 480.00	$ - 0
				ARGENTINO
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 10,000.00
		2	$ 10,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 8,000.00
		3	$ 8,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 6,000.00
		4	$ 6,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 4,000.00
		5	$ 4,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 2,000.00
		6	$ 2,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ - 0
				AMERICANO
					20%	24%
			Deuda Inicio	Cuota	Fondo	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		2	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		3	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		4	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		5	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		6	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
					20%
			Deuda Inicio	Cuota	Fondo	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 1,208.47	$ 1,208.47	$ - 0	$ 1,208.47
		2	$ 12,000.00	$1,208.47	$ 1,208.47	$ 241.69	$ 2,658.63
		3	$ 12,000.00	$1,208.47	$ 1,208.47	$ 531.73	$ 4,398.83
		4	$ 12,000.00	$1,208.47	$ 1,208.47	$ 879.77	$ 6,487.06
		5	$ 12,000.00	$1,208.47	$ 1,208.47	$ 1,297.41	$ 8,992.94
		6	$ 12,000.00	$1,208.47	$ 1,208.47	$ 1,798.59	$ 12,000.00
			Deuda		$12,000
			Plazo		6 años
			Tasa Activa		24 % Anual
			Tasa Pasiva		20 % Anual
			Cuota Única		$ 4,880.00
Hoja1
	3972.8899218608	1092.8899218609	2880
	3972.8899218608	1355.1835031075	2617.7064187534
	3972.8899218608	1680.4275438532	2292.4623780076
	3972.8899218608	2083.730154378	1889.1597674828
	3972.8899218608	2583.8253914288	1389.0645304321
	3972.8899218608	3203.9434853716	768.9464364892
Hoja2
	
Hoja3
	
	
	
	
	
$ -
$ 1.000
$ 2.000
$ 3.000
$ 4.000
$ 5.000
$ 6.000
123456
Gráfico5
	4880	2000	2880
	4880	2000	2880
	4880	2000	2880
	4880	2000	2880
	4880	2000	2880
	4880	2000	2880
Hoja1
				FRANCES
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$3,972.89	$ 1,092.89	$ 2,880.00	$ 10,907.11
		2	$ 10,907.11	$3,972.89	$ 1,355.18	$ 2,617.71	$ 9,551.93
		3	$ 9,551.93	$3,972.89	$ 1,680.43	$ 2,292.46	$ 7,871.50
		4	$ 7,871.50	$3,972.89	$ 2,083.73	$ 1,889.16	$ 5,787.77
		5	$ 5,787.77	$3,972.89	$ 2,583.83	$ 1,389.06	$ 3,203.94
		6	$ 3,203.94	$3,972.89	$ 3,203.94	$ 768.95	$ 0.00
				ALEMAN
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 10,000.00
		2	$ 10,000.00	$ 4,400.00	$ 2,000.00	$ 2,400.00	$ 8,000.00
		3	$ 8,000.00	$ 3,920.00	$ 2,000.00	$ 1,920.00	$ 6,000.00
		4	$ 6,000.00	$ 3,440.00	$ 2,000.00	$ 1,440.00	$ 4,000.00
		5	$ 4,000.00	$ 2,960.00	$ 2,000.00	$ 960.00	$ 2,000.00
		6	$ 2,000.00	$ 2,480.00	$ 2,000.00	$ 480.00	$ - 0
				ARGENTINO
						24%
			Deuda Inicio	Cuota	Capital	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 10,000.00
		2	$ 10,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 8,000.00
		3	$ 8,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 6,000.00
		4	$ 6,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 4,000.00
		5	$ 4,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ 2,000.00
		6	$ 2,000.00	$4,880.00	$ 2,000.00	$ 2,880.00	$ - 0
				AMERICANO
					20%	24%
			Deuda Inicio	Cuota	Fondo	Interes	Saldo Final
		1	$ 12,000.00	$ 4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		2	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		3	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		4	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		5	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
		6	$ 12,000.00	$4,088.47	$ 1,208.47	$ 2,880.00	$ 10,791.53
			Deuda		$12,000
			Plazo		6 años
			Tasa Activa		24 % Anual
			Tasa Pasiva		20 % Anual
			Cuota Única		$ 4,880.00
Hoja1
	3972.8899218608	1092.8899218609	2880
	3972.8899218608	1355.1835031075	2617.7064187534
	3972.8899218608	1680.4275438532	2292.4623780076
	3972.8899218608	2083.730154378	1889.1597674828
	3972.8899218608	2583.8253914288	1389.06453043213972.8899218608	3203.9434853716	768.9464364892
Hoja2
	
Hoja3
	
	
	
	
Matemática financiera 
Dr. Guillermo López Dumrauf
Doctor en Ciencias Económicas UBA
CEMA/ITBA
Marzo de 2003
Sistema francés 
Composición de la cuota
Cuota sistema francés
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
1 2 3 4
$
Interés
Capital
Sistema francés 
Tabla de marcha
P Saldo inicial Interés 
periódico 
Amortización 
periódica 
Cuota Total amortizado 
1 100,00 10,00 21,55 31,55 21,55 
2 78,45 7,85 23,70 31,55 45,25 
3 54,75 5,48 26,07 31,55 71,32 
4 28,68 2,87 28,68 31,55 100,00 
 TOTAL 26,19 
 
Sistema francés
Valor de la cuota para diferentes plazos
Evolución del Valor de la Cuota 
Préstamo= 40.000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180
Sistema francés
Efecto del IVA y Seguros en el costo total
p Saldo inicial Interés Amort period Cuota Total amortizado IVA Seguro Cuota+IVA+S 
1 100.00 10.00 21.55 31.55 21.55 2.1 0.15 33.80 
2 78.45 7.85 23.70 31.55 45.25 1.6 0.12 33.31 
3 54.75 5.48 26.07 31.55 71.32 1.1 0.08 32.78 
4 28.68 2.87 28.68 31.55 100.00 0.6 0.04 32.19 
 TOTAL 26.19 100.00 126.19 5.50 0.39 132.08 
 
 
 
Iterando, la tasa implícita k es del 12,2 % 
4
1
)1(
19,32...
)1(
80,33100
)1( kkk
Cj
V j
n
j
+
++
+
==
+
=
∑
=
Sistema francés con indexación
P Indexador Saldo 
inicial 
Interés Amortización Cuota Total 
amortizado 
IVA Seguro Cuota+IVA
+Seguro 
1 3% 103 10.30 22.19 32.49 22.19 2.16 0.15 34.81 
2 5% 84.85 8.48 25.63 34.12 47.83 1.78 0.13 36.03 
3 10% 65.13 6.51 31.02 37.53 78.84 1.37 0.10 39.00 
4 15% 39.24 3.92 39.24 43.16 118.08 0.82 0.06 44.04 
 TOTAL 26.19 118.08 147.30 6.14 0.44 153.88 
 
100 x 1,03
(103 –22,19) x1,05 23,7 x 1,03 x1,05
Sistema francés
Efecto del IVA, Seguros y Gastos en el costo total
 
 
 
Iterando, k = 13,2 % 
 
 
4
1
)1(
19,32...
)1(
8,332100
)1( kkk
Cj
gV j
n
j
+
++
+
=−=
+
=−
∑
=
Fórmulas sistema francés
Categoría Fórmula usual Fórmula alternativa 
Valor del préstamo 
ii
ixCV n
n
.)1(
1)1(
+
−+
= 
 
Cuota 
ii
ixVC n
n
.)1(
1)1(
+
−+
= 
 
Número de períodos 
)1(ln
.ln
i
C
iVC
n
+
−
= 
 
Tasa de interés Interpolación lineal Fórmula de Baily 
Amortización periódica 
1
1 )1(
−+= pixttp 
 
),1(. ppViCtp −−= 
Total amortizado 
i
ixtTp
p 1)1(
1
−+
= 
 
Fondo amortizante 
ni
Ct
)1(
1
1 +
−= iVCt .1 −= 
Interés periódico 
)1(.),1( −=− pVippI 
 
[ ]11 )1()1(),1( −+−+=− pn iitppI 
Intereses entre períodos 
)1(
1)1(),( 1 i
ixtkpI
k
+
−+
= 
 
Saldo del préstamo Método prospectivo 
ii
ixCVp p
p
.)1(
1)1(
1
1
−
−
+
−+
= 
Método retrospectivo 
i
ixtVTpVVp
p 1)1(
1
−+
−=−= 
 
Sistema alemán
Composición de la cuota
Cuota sistema alemán
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
1 2 3 4
Número de períodos
$
INTERES
AMORTIZACION
Sistema americano
Composición de la cuota
Cuota sistema americano
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
Número de períodos
$
AMORTIZACION
INTERES
Comparación de sistemas
Cuota sistema alemán
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
1 2 3 4
Número de períodos
$
INTERES
AMORTIZACION
Cuota sistema americano
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
Número de períodos
$
AMORTIZACION
INTERES
Tasa directa cargada
P SALDO INIC INTERES Tasa sobre saldos AMORT PERIO CUOTA TOTAL AMORT 
1 100,00 10 10% 25 35 25 
2 75,00 10 13,33% 25 35 50 
3 50,00 10 20% 25 35 75 
4 25,00 10 40% 25 35 100 
 
 
432 )1(
35
)1(
35
)1(
35
)1(
35100
iiii +
+
+
+
+
+
+
= 
 
 
 
 Por interpolación 14,96% 
Tasa directa cargada
Diferencia entre "r" y la tasa sobre saldos
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
0 10 20 30 40 50 60
r i
Tasa directa cargada
Tasas equivalentes sobre saldos
n/r 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0% 6,0% 7,0% 8,0% 9,0% 10,0% 
2 1,3% 2,7% 4,0% 5,3% 6,6% 7,9% 9,2% 10,5% 11,8% 13,1% 
3 1,5% 3,0% 4,4% 5,9% 7,3% 8,8% 10,2% 11,6% 13,0% 14,4% 
4 1,6% 3,2% 4,7% 6,2% 7,7% 9,2% 10,7% 12,1% 13,5% 15,0% 
5 1,6% 3,3% 4,8% 6,4% 7,9% 9,4% 10,9% 12,4% 13,8% 15,2% 
6 1,7% 3,3% 4,9% 6,5% 8,1% 9,6% 11,0% 12,5% 13,9% 15,3% 
7 1,7% 3,4% 5,0% 6,6% 8,1% 9,6% 11,1% 12,5% 14,0% 15,3% 
8 1,7% 3,4% 5,0% 6,6% 8,1% 9,6% 11,1% 12,5% 13,9% 15,3% 
9 1,8% 3,4% 5,1% 6,6% 8,2% 9,6% 11,1% 12,5% 13,9% 15,2% 
10 1,8% 3,5% 5,1% 6,6% 8,1% 9,6% 11,0% 12,4% 13,8% 15,1% 
20 1,8% 3,4% 5,0% 6,4% 7,8% 9,1% 10,3% 11,5% 12,7% 13,9% 
30 1,8% 3,3% 4,8% 6,1% 7,3% 8,5% 9,7% 10,8% 11,9% 13,0% 
40 1,8% 3,2% 4,6% 5,8% 7,0% 8,1% 9,2% 10,3% 11,3% 12,4% 
50 1,7% 3,2% 4,4% 5,6% 6,7% 7,8% 8,9% 9,9% 10,9% 12,0% 
 
Intereses promediados
P Saldo 
inicial 
Interés 
periódico 
Interés 
promediado 
Amortización 
periódica 
Cuota 
sistema 
alemán 
Cuota 
c/intereses 
promediados 
Total 
amortizado 
1 100 10 6,25 25 35 31,25 25 
2 75 7,5 6,25 25 32,5 31,25 50 
3 50 5 6,25 25 30 31,25 75 
4 25 2,5 6,25 25 27,5 31,25 100 
 TOTAL 25 25 
 
Intereses promediados
 
 
 
 
���������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������
Cuota con intereses promediados
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
1 2 3 4
Número de períodos
$
AMORTIZACION
���
INTERES
 
Pago de los 
intereses diferidos 
Intereses que 
se difieren 
Intereses descontados
 
 
432 )1(
66,41
)1(
66,41
)1(
66,41
)1(
66,41100
iiii +
+
+
+
+
+
+
= 
 
 
 
 
Por interpolación 24,08% 
Comparación de costos efectivos
SISTEMA Tasa efectiva 
intereses directos promediados 9,56 % 
francés 10,0 % 
alemán 10,0 % 
americano 10,0 % 
intereses adelantados 11,11 % 
intereses directos cargados 14,96 % 
intereses directos descontados 24,08 % 
 
Preguntas 
 
 
1. Explique como influyen los siguientes factores en la cuota de un préstamo por
sistema francés: a) incremento en la tasa de interés b) aumento del plazo de pago c) 
un pago extraordinario de capital 
2. Si las cuotas de un préstamo se indexan por la tasa de inflación, ¿aumenta su costo
efectivo real? 
3. ¿Cómo afectan los gastos de otorgamiento y los seguros que integran la cuota al
costo efectivo de un préstamo? 
4. ¿Cuáles son las dos variables que afectan al tiempo medio de reembolso en el
sistema francés? ¿ocurre lo mismo en el alemán y el americano? 
 
Problemas 
 
1. Calcule el valor de la cuota que debe abonar por un préstamo francés de $100.000, si
la TNA es del 12% (año 360 días) y se abona en 120 meses. Respuesta 1.434,70 
2. Con relación al ejercicio anterior, ¿cuál hubiera sido el valor de la cuota si el plazo
de pago se estira hasta 180 meses y 360 meses (30 años).Respuesta:1.200,168 p/180 
meses y 1.028,61 p/ 30 años. 
3. Con relación al ejercicio N°1, ¿qué cuota habría abonado por idéntico préstamo pero
por sistema alemán? ¿Cuál sería el valor de la última cuota por dicho sistema?
Respuesta: 1.833,33 y 841,66 
4. La empresa Cifra S.R.L. adeuda a la AFIP $3.485,56 en concepto de Aportes y
Contribuciones patronales. El plan de pagos establecido por el organismo estatal
consiste en un anticipo del 16% y 11 cuotas fijas de $307,59 cada una, incluyendo en
las mismas intereses resarcitorios y punitorios. Determine la tasa efectiva implícita 
de interés de esta operación. Respuesta: 2,49% 
1. Usted está pensando en comprar una propiedad para lo cual precisaría la ayuda de un 
crédito por $ 50.000.- Luego de una recorrida por distintas instituciones financieras 
pudo obtener la siguiente información : 
 
 Banco A Banco B 
TNA 8,95 % 9,5 % 
Plazo (meses) 120 120 
Gastos Otorgamiento 2 % 0 %Gastos Hipoteca 2 % 2 % 
 
El sistema de amortización es francés y los gastos se calculan siempre sobre el monto del 
préstamo. Existe también un seguro de incendio del 1,5 por mil sobre capital adeudado. 
Determine la opción más barata Respuesta: Banco A 
 
6. Préstamo por el sistema francés: diez (10) servicios mensuales vencidos: interés del uno 
por ciento mensual; amortización contenida en el sexto servicio $ 50.000.- Calcular : 
a. Interés contenido en el octavo servicio. Respuesta: 1.545,5 
 b. Saldo de deuda después de abonar el cuarto servicio. Respuesta: 497.721,76 
 
7. Usted puede contraer un préstamo por el sistema americano por $ 100 al 0,8% mensual. 
Como el préstamo debe amortizarlo de una sola vez en la cuota 24, considera la posibilidad 
de constituir un fondo de amortización (sinking fund). Suponiendo que pudiera depositar 
todos los meses la suma que le permite acumular los $ 100 en un fondo de hipotecas al 1 % 
mensual, cuál sería el verdadero costo efectivo del préstamo si existiese un mundo donde se 
brinde esa alternativa ? Respuesta: 0,63% 
Matemática financiera 
Dr. Guillermo López Dumrauf
Doctor en Ciencias Económicas UBA
CEMA/ITBA
Marzo de 2003
Sistema francés 
Composición de la cuota
Cuota sistema francés
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
1 2 3 4
$
Interés
Capital
Sistema francés 
Tabla de marcha
P Saldo inicial Interés 
periódico 
Amortización 
periódica 
Cuota Total amortizado 
1 100,00 10,00 21,55 31,55 21,55 
2 78,45 7,85 23,70 31,55 45,25 
3 54,75 5,48 26,07 31,55 71,32 
4 28,68 2,87 28,68 31,55 100,00 
 TOTAL 26,19 
 
Sistema francés
Valor de la cuota para diferentes plazos
Evolución del Valor de la Cuota 
Préstamo= 40.000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180
Sistema francés
Efecto del IVA y Seguros en el costo total
p Saldo inicial Interés Amort period Cuota Total amortizado IVA Seguro Cuota+IVA+S 
1 100.00 10.00 21.55 31.55 21.55 2.1 0.15 33.80 
2 78.45 7.85 23.70 31.55 45.25 1.6 0.12 33.31 
3 54.75 5.48 26.07 31.55 71.32 1.1 0.08 32.78 
4 28.68 2.87 28.68 31.55 100.00 0.6 0.04 32.19 
 TOTAL 26.19 100.00 126.19 5.50 0.39 132.08 
 
 
 
Iterando, la tasa implícita k es del 12,2 % 
4
1
)1(
19,32...
)1(
80,33100
)1( kkk
Cj
V j
n
j
+
++
+
==
+
=
∑
=
Sistema francés con indexación
P Indexador Saldo 
inicial 
Interés Amortización Cuota Total 
amortizado 
IVA Seguro Cuota+IVA
+Seguro 
1 3% 103 10.30 22.19 32.49 22.19 2.16 0.15 34.81 
2 5% 84.85 8.48 25.63 34.12 47.83 1.78 0.13 36.03 
3 10% 65.13 6.51 31.02 37.53 78.84 1.37 0.10 39.00 
4 15% 39.24 3.92 39.24 43.16 118.08 0.82 0.06 44.04 
 TOTAL 26.19 118.08 147.30 6.14 0.44 153.88 
 
100 x 1,03
(103 –22,19) x1,05 23,7 x 1,03 x1,05
Sistema francés
Efecto del IVA, Seguros y Gastos en el costo total
 
 
 
Iterando, k = 13,2 % 
 
 
4
1
)1(
19,32...
)1(
8,332100
)1( kkk
Cj
gV j
n
j
+
++
+
=−=
+
=−
∑
=
Fórmulas sistema francés
Categoría Fórmula usual Fórmula alternativa 
Valor del préstamo 
ii
ixCV n
n
.)1(
1)1(
+
−+
= 
 
Cuota 
ii
ixVC n
n
.)1(
1)1(
+
−+
= 
 
Número de períodos 
)1(ln
.ln
i
C
iVC
n
+
−
= 
 
Tasa de interés Interpolación lineal Fórmula de Baily 
Amortización periódica 
1
1 )1(
−+= pixttp 
 
),1(. ppViCtp −−= 
Total amortizado 
i
ixtTp
p 1)1(
1
−+
= 
 
Fondo amortizante 
ni
Ct
)1(
1
1 +
−= iVCt .1 −= 
Interés periódico 
)1(.),1( −=− pVippI 
 
[ ]11 )1()1(),1( −+−+=− pn iitppI 
Intereses entre períodos 
)1(
1)1(),( 1 i
ixtkpI
k
+
−+
= 
 
Saldo del préstamo Método prospectivo 
ii
ixCVp p
p
.)1(
1)1(
1
1
−
−
+
−+
= 
Método retrospectivo 
i
ixtVTpVVp
p 1)1(
1
−+
−=−= 
 
Sistema alemán
Composición de la cuota
Cuota sistema alemán
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
1 2 3 4
Número de períodos
$
INTERES
AMORTIZACION
Sistema americano
Composición de la cuota
Cuota sistema americano
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
Número de períodos
$
AMORTIZACION
INTERES
Comparación de sistemas
Cuota sistema alemán
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
1 2 3 4
Número de períodos
$
INTERES
AMORTIZACION
Cuota sistema americano
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
Número de períodos
$
AMORTIZACION
INTERES
Tasa directa cargada
P SALDO INIC INTERES Tasa sobre saldos AMORT PERIO CUOTA TOTAL AMORT 
1 100,00 10 10% 25 35 25 
2 75,00 10 13,33% 25 35 50 
3 50,00 10 20% 25 35 75 
4 25,00 10 40% 25 35 100 
 
 
432 )1(
35
)1(
35
)1(
35
)1(
35100
iiii +
+
+
+
+
+
+
= 
 
 
 
 Por interpolación 14,96% 
Tasa directa cargada
Diferencia entre "r" y la tasa sobre saldos
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
0 10 20 30 40 50 60
r i
Tasa directa cargada
Tasas equivalentes sobre saldos
n/r 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0% 6,0% 7,0% 8,0% 9,0% 10,0% 
2 1,3% 2,7% 4,0% 5,3% 6,6% 7,9% 9,2% 10,5% 11,8% 13,1% 
3 1,5% 3,0% 4,4% 5,9% 7,3% 8,8% 10,2% 11,6% 13,0% 14,4% 
4 1,6% 3,2% 4,7% 6,2% 7,7% 9,2% 10,7% 12,1% 13,5% 15,0% 
5 1,6% 3,3% 4,8% 6,4% 7,9% 9,4% 10,9% 12,4% 13,8% 15,2% 
6 1,7% 3,3% 4,9% 6,5% 8,1% 9,6% 11,0% 12,5% 13,9% 15,3% 
7 1,7% 3,4% 5,0% 6,6% 8,1% 9,6% 11,1% 12,5% 14,0% 15,3% 
8 1,7% 3,4% 5,0% 6,6% 8,1% 9,6% 11,1% 12,5% 13,9% 15,3% 
9 1,8% 3,4% 5,1% 6,6% 8,2% 9,6% 11,1% 12,5% 13,9% 15,2% 
10 1,8% 3,5% 5,1% 6,6% 8,1% 9,6% 11,0% 12,4% 13,8% 15,1% 
20 1,8% 3,4% 5,0% 6,4% 7,8% 9,1% 10,3% 11,5% 12,7% 13,9% 
30 1,8% 3,3% 4,8% 6,1% 7,3% 8,5% 9,7% 10,8% 11,9% 13,0% 
40 1,8% 3,2% 4,6% 5,8% 7,0% 8,1% 9,2% 10,3% 11,3% 12,4% 
50 1,7% 3,2% 4,4% 5,6% 6,7% 7,8% 8,9% 9,9% 10,9% 12,0% 
 
Intereses promediados
P Saldo 
inicial 
Interés 
periódico 
Interés 
promediado 
Amortización 
periódica 
Cuota 
sistema 
alemán 
Cuota 
c/intereses 
promediados 
Total 
amortizado 
1 100 10 6,25 25 35 31,25 25 
2 75 7,5 6,25 25 32,5 31,25 50 
3 50 5 6,25 25 30 31,25 75 
4 25 2,5 6,25 25 27,5 31,25 100 
 TOTAL 25 25 
 
Intereses promediados
 
 
 
 
���������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������
Cuota con intereses promediados
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
1 2 3 4
Número de períodos
$
AMORTIZACION
���
INTERES
 
Pago de los 
intereses diferidos 
Intereses que 
se difieren 
Intereses descontados
 
 
432 )1(
66,41
)1(
66,41
)1(
66,41
)1(
66,41100
iiii +
+
+
+
+
+
+
= 
 
 
 
 
Por interpolación 24,08% 
Comparación de costos efectivos
SISTEMA Tasa efectiva 
intereses directos promediados 9,56 % 
francés 10,0 % 
alemán 10,0 % 
americano 10,0 % 
intereses adelantados 11,11 % 
intereses directos cargados 14,96 % 
intereses directos descontados 24,08 % 
 
Preguntas 
 
 
1. Explique como influyen los siguientes factores en la cuota de un préstamo por
sistema francés: a) incremento en la tasa de interés b) aumento del plazo de pago c) 
un pago extraordinario de capital 
2. Si las cuotas de un préstamo se indexan por la tasa de inflación, ¿aumenta su costo
efectivo real? 
3. ¿Cómo afectan los gastos de otorgamiento y los seguros que integran la cuota al
costo efectivo de un préstamo? 
4. ¿Cuáles son las dos variables que afectan al tiempo medio de reembolso en el
sistema francés? ¿ocurre lo mismo en el alemán y el americano? 
 
Problemas 
 
1. Calcule el valor de la cuota que debe abonar por un préstamo francés de $100.000, si
la TNA es del 12% (año 360 días) y se abona en 120 meses. Respuesta 1.434,70 
2. Con relación al ejercicio anterior, ¿cuál hubiera sido el valor de la cuota si el plazo
de pago se estira hasta 180 meses y 360 meses (30 años).Respuesta:1.200,168 p/180 
meses y 1.028,61 p/ 30 años. 
3. Con relación al ejercicio N°1, ¿qué cuota habríaabonado por idéntico préstamo pero
por sistema alemán? ¿Cuál sería el valor de la última cuota por dicho sistema?
Respuesta: 1.833,33 y 841,66 
4. La empresa Cifra S.R.L. adeuda a la AFIP $3.485,56 en concepto de Aportes y
Contribuciones patronales. El plan de pagos establecido por el organismo estatal
consiste en un anticipo del 16% y 11 cuotas fijas de $307,59 cada una, incluyendo en
las mismas intereses resarcitorios y punitorios. Determine la tasa efectiva implícita 
de interés de esta operación. Respuesta: 2,49% 
1. Usted está pensando en comprar una propiedad para lo cual precisaría la ayuda de un 
crédito por $ 50.000.- Luego de una recorrida por distintas instituciones financieras 
pudo obtener la siguiente información : 
 
 Banco A Banco B 
TNA 8,95 % 9,5 % 
Plazo (meses) 120 120 
Gastos Otorgamiento 2 % 0 % 
Gastos Hipoteca 2 % 2 % 
 
El sistema de amortización es francés y los gastos se calculan siempre sobre el monto del 
préstamo. Existe también un seguro de incendio del 1,5 por mil sobre capital adeudado. 
Determine la opción más barata Respuesta: Banco A 
 
6. Préstamo por el sistema francés: diez (10) servicios mensuales vencidos: interés del uno 
por ciento mensual; amortización contenida en el sexto servicio $ 50.000.- Calcular : 
a. Interés contenido en el octavo servicio. Respuesta: 1.545,5 
 b. Saldo de deuda después de abonar el cuarto servicio. Respuesta: 497.721,76 
 
7. Usted puede contraer un préstamo por el sistema americano por $ 100 al 0,8% mensual. 
Como el préstamo debe amortizarlo de una sola vez en la cuota 24, considera la posibilidad 
de constituir un fondo de amortización (sinking fund). Suponiendo que pudiera depositar 
todos los meses la suma que le permite acumular los $ 100 en un fondo de hipotecas al 1 % 
mensual, cuál sería el verdadero costo efectivo del préstamo si existiese un mundo donde se 
brinde esa alternativa ? Respuesta: 0,63% 
Matemática financiera 
Dr. Guillermo López Dumrauf
Doctor en Ciencias Económicas UBA
CEMA/ITBA
Marzo de 2003
Sistema francés 
Composición de la cuota
Cuota sistema francés
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
1 2 3 4
$
Interés
Capital
Sistema francés 
Tabla de marcha
P Saldo inicial Interés 
periódico 
Amortización 
periódica 
Cuota Total amortizado 
1 100,00 10,00 21,55 31,55 21,55 
2 78,45 7,85 23,70 31,55 45,25 
3 54,75 5,48 26,07 31,55 71,32 
4 28,68 2,87 28,68 31,55 100,00 
 TOTAL 26,19 
 
Sistema francés
Valor de la cuota para diferentes plazos
Evolución del Valor de la Cuota 
Préstamo= 40.000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180
Sistema francés
Efecto del IVA y Seguros en el costo total
p Saldo inicial Interés Amort period Cuota Total amortizado IVA Seguro Cuota+IVA+S 
1 100.00 10.00 21.55 31.55 21.55 2.1 0.15 33.80 
2 78.45 7.85 23.70 31.55 45.25 1.6 0.12 33.31 
3 54.75 5.48 26.07 31.55 71.32 1.1 0.08 32.78 
4 28.68 2.87 28.68 31.55 100.00 0.6 0.04 32.19 
 TOTAL 26.19 100.00 126.19 5.50 0.39 132.08 
 
 
 
Iterando, la tasa implícita k es del 12,2 % 
4
1
)1(
19,32...
)1(
80,33100
)1( kkk
Cj
V j
n
j
+
++
+
==
+
=
∑
=
Sistema francés con indexación
P Indexador Saldo 
inicial 
Interés Amortización Cuota Total 
amortizado 
IVA Seguro Cuota+IVA
+Seguro 
1 3% 103 10.30 22.19 32.49 22.19 2.16 0.15 34.81 
2 5% 84.85 8.48 25.63 34.12 47.83 1.78 0.13 36.03 
3 10% 65.13 6.51 31.02 37.53 78.84 1.37 0.10 39.00 
4 15% 39.24 3.92 39.24 43.16 118.08 0.82 0.06 44.04 
 TOTAL 26.19 118.08 147.30 6.14 0.44 153.88 
 
100 x 1,03
(103 –22,19) x1,05 23,7 x 1,03 x1,05
Sistema francés
Efecto del IVA, Seguros y Gastos en el costo total
 
 
 
Iterando, k = 13,2 % 
 
 
4
1
)1(
19,32...
)1(
8,332100
)1( kkk
Cj
gV j
n
j
+
++
+
=−=
+
=−
∑
=
Fórmulas sistema francés
Categoría Fórmula usual Fórmula alternativa 
Valor del préstamo 
ii
ixCV n
n
.)1(
1)1(
+
−+
= 
 
Cuota 
ii
ixVC n
n
.)1(
1)1(
+
−+
= 
 
Número de períodos 
)1(ln
.ln
i
C
iVC
n
+
−
= 
 
Tasa de interés Interpolación lineal Fórmula de Baily 
Amortización periódica 
1
1 )1(
−+= pixttp 
 
),1(. ppViCtp −−= 
Total amortizado 
i
ixtTp
p 1)1(
1
−+
= 
 
Fondo amortizante 
ni
Ct
)1(
1
1 +
−= iVCt .1 −= 
Interés periódico 
)1(.),1( −=− pVippI 
 
[ ]11 )1()1(),1( −+−+=− pn iitppI 
Intereses entre períodos 
)1(
1)1(),( 1 i
ixtkpI
k
+
−+
= 
 
Saldo del préstamo Método prospectivo 
ii
ixCVp p
p
.)1(
1)1(
1
1
−
−
+
−+
= 
Método retrospectivo 
i
ixtVTpVVp
p 1)1(
1
−+
−=−= 
 
Sistema alemán
Composición de la cuota
Cuota sistema alemán
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
1 2 3 4
Número de períodos
$
INTERES
AMORTIZACION
Sistema americano
Composición de la cuota
Cuota sistema americano
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
Número de períodos
$
AMORTIZACION
INTERES
Comparación de sistemas
Cuota sistema alemán
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
1 2 3 4
Número de períodos
$
INTERES
AMORTIZACION
Cuota sistema americano
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
Número de períodos
$
AMORTIZACION
INTERES
Tasa directa cargada
P SALDO INIC INTERES Tasa sobre saldos AMORT PERIO CUOTA TOTAL AMORT 
1 100,00 10 10% 25 35 25 
2 75,00 10 13,33% 25 35 50 
3 50,00 10 20% 25 35 75 
4 25,00 10 40% 25 35 100 
 
 
432 )1(
35
)1(
35
)1(
35
)1(
35100
iiii +
+
+
+
+
+
+
= 
 
 
 
 Por interpolación 14,96% 
Tasa directa cargada
Diferencia entre "r" y la tasa sobre saldos
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
0 10 20 30 40 50 60
r i
Tasa directa cargada
Tasas equivalentes sobre saldos
n/r 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0% 6,0% 7,0% 8,0% 9,0% 10,0% 
2 1,3% 2,7% 4,0% 5,3% 6,6% 7,9% 9,2% 10,5% 11,8% 13,1% 
3 1,5% 3,0% 4,4% 5,9% 7,3% 8,8% 10,2% 11,6% 13,0% 14,4% 
4 1,6% 3,2% 4,7% 6,2% 7,7% 9,2% 10,7% 12,1% 13,5% 15,0% 
5 1,6% 3,3% 4,8% 6,4% 7,9% 9,4% 10,9% 12,4% 13,8% 15,2% 
6 1,7% 3,3% 4,9% 6,5% 8,1% 9,6% 11,0% 12,5% 13,9% 15,3% 
7 1,7% 3,4% 5,0% 6,6% 8,1% 9,6% 11,1% 12,5% 14,0% 15,3% 
8 1,7% 3,4% 5,0% 6,6% 8,1% 9,6% 11,1% 12,5% 13,9% 15,3% 
9 1,8% 3,4% 5,1% 6,6% 8,2% 9,6% 11,1% 12,5% 13,9% 15,2% 
10 1,8% 3,5% 5,1% 6,6% 8,1% 9,6% 11,0% 12,4% 13,8% 15,1% 
20 1,8% 3,4% 5,0% 6,4% 7,8% 9,1% 10,3% 11,5% 12,7% 13,9% 
30 1,8% 3,3% 4,8% 6,1% 7,3% 8,5% 9,7% 10,8% 11,9% 13,0% 
40 1,8% 3,2% 4,6% 5,8% 7,0% 8,1% 9,2% 10,3% 11,3% 12,4% 
50 1,7% 3,2% 4,4% 5,6% 6,7% 7,8% 8,9% 9,9% 10,9% 12,0% 
 
Intereses promediados
P Saldo 
inicial 
Interés 
periódico 
Interés 
promediado 
Amortización 
periódica 
Cuota 
sistema 
alemán 
Cuota 
c/intereses 
promediados 
Total 
amortizado 
1 100 10 6,25 25 35 31,25 25 
2 75 7,5 6,25 25 32,5 31,25 50 
3 50 5 6,25 25 30 31,25 75 
4 25 2,5 6,25 25 27,5 31,25 100 
 TOTAL 25 25 
 
Intereses promediados
 
 
 
 
���������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������
Cuota con intereses promediados
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
1 2 3 4
Número de períodos
$
AMORTIZACION
���
INTERES
 
Pago de los 
intereses diferidos 
Intereses que 
se difieren 
Intereses descontados
 
 
432 )1(
66,41
)1(
66,41
)1(
66,41
)1(
66,41100
iiii +
+
+
+
+
+
+
= 
 
 
 
 
Por interpolación 24,08% 
Comparación de costos efectivos
SISTEMA Tasa efectiva 
intereses directos promediados 9,56 % 
francés 10,0 % 
alemán 10,0 % 
americano 10,0 % 
intereses adelantados 11,11 % 
intereses directos cargados 14,96 % 
intereses directosdescontados 24,08 % 
 
Preguntas 
 
 
1. Explique como influyen los siguientes factores en la cuota de un préstamo por
sistema francés: a) incremento en la tasa de interés b) aumento del plazo de pago c) 
un pago extraordinario de capital 
2. Si las cuotas de un préstamo se indexan por la tasa de inflación, ¿aumenta su costo
efectivo real? 
3. ¿Cómo afectan los gastos de otorgamiento y los seguros que integran la cuota al
costo efectivo de un préstamo? 
4. ¿Cuáles son las dos variables que afectan al tiempo medio de reembolso en el
sistema francés? ¿ocurre lo mismo en el alemán y el americano? 
 
Problemas 
 
1. Calcule el valor de la cuota que debe abonar por un préstamo francés de $100.000, si
la TNA es del 12% (año 360 días) y se abona en 120 meses. Respuesta 1.434,70 
2. Con relación al ejercicio anterior, ¿cuál hubiera sido el valor de la cuota si el plazo
de pago se estira hasta 180 meses y 360 meses (30 años).Respuesta:1.200,168 p/180 
meses y 1.028,61 p/ 30 años. 
3. Con relación al ejercicio N°1, ¿qué cuota habría abonado por idéntico préstamo pero
por sistema alemán? ¿Cuál sería el valor de la última cuota por dicho sistema?
Respuesta: 1.833,33 y 841,66 
4. La empresa Cifra S.R.L. adeuda a la AFIP $3.485,56 en concepto de Aportes y
Contribuciones patronales. El plan de pagos establecido por el organismo estatal
consiste en un anticipo del 16% y 11 cuotas fijas de $307,59 cada una, incluyendo en
las mismas intereses resarcitorios y punitorios. Determine la tasa efectiva implícita 
de interés de esta operación. Respuesta: 2,49% 
1. Usted está pensando en comprar una propiedad para lo cual precisaría la ayuda de un 
crédito por $ 50.000.- Luego de una recorrida por distintas instituciones financieras 
pudo obtener la siguiente información : 
 
 Banco A Banco B 
TNA 8,95 % 9,5 % 
Plazo (meses) 120 120 
Gastos Otorgamiento 2 % 0 % 
Gastos Hipoteca 2 % 2 % 
 
El sistema de amortización es francés y los gastos se calculan siempre sobre el monto del 
préstamo. Existe también un seguro de incendio del 1,5 por mil sobre capital adeudado. 
Determine la opción más barata Respuesta: Banco A 
 
6. Préstamo por el sistema francés: diez (10) servicios mensuales vencidos: interés del uno 
por ciento mensual; amortización contenida en el sexto servicio $ 50.000.- Calcular : 
a. Interés contenido en el octavo servicio. Respuesta: 1.545,5 
 b. Saldo de deuda después de abonar el cuarto servicio. Respuesta: 497.721,76 
 
7. Usted puede contraer un préstamo por el sistema americano por $ 100 al 0,8% mensual. 
Como el préstamo debe amortizarlo de una sola vez en la cuota 24, considera la posibilidad 
de constituir un fondo de amortización (sinking fund). Suponiendo que pudiera depositar 
todos los meses la suma que le permite acumular los $ 100 en un fondo de hipotecas al 1 % 
mensual, cuál sería el verdadero costo efectivo del préstamo si existiese un mundo donde se 
brinde esa alternativa ? Respuesta: 0,63%