Apunte Analisis Cuantitativo

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ANÁLISIS CUANTITATIVO 
UNIDAD 2: FUNCIONES 
 
Función 
 
Definición 
Es una relación de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que los 
elementos del primer conjunto se relacionan con elementos del segundo conjunto. El primer 
conjunto es denominado Dominio o conjunto de partida y el segundo conjunto es llamado 
Codominio o conjunto de llegada. 
Dentro del Codominio hay un subconjunto llamado “Imagen”. Dependiendo de la 
función, la imagen puede ser igual al Codominio. Dentro del conjunto imagen se encuentran 
todos aquellos elementos que están relacionados con los elementos del Dominio. 
A los elementos del Dominio los identificaremos con la letra “X” y será la variable 
independiente mientras que los elementos del Codominio los identificaremos con la letra “Y” y 
será la variable dependiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que la relación sea función, deben cumplirse las siguientes condiciones: 
• Existencia: TODOS los elementos del dominio deben estar relacionados con un único 
elemento del codominio. No puede haber elementos del dominio sin relacionarse. 
• Unicidad: cada elemento del conjunto de partida tiene que estar relacionado con un 
único elemento del conjunto de llegada. Un elemento del dominio no puede 
relacionarse con mas de un elemento del codominio. 
 
X1 
X2 
X3 
 Y1 
 Y2 
 Y3 
 Y4 
 
Dominio Codominio 
Imagen 
 
 
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Veamos algunos ejemplos donde no se cumplen estas condiciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veamos un ejemplo numérico. 
Consideremos los siguientes conjuntos: 
X = {-2, -1, 0, 1, 2} 
Y = {-1, 0, 1, 2, 3} 
Puedo establecer una función a partir de siguiente relación: “a los elementos del primer 
conjunto le sumo 1”, es decir que a cada elemento del conjunto X le tengo que sumar uno y el 
resultado de aplicar dicha función se convertirá en elemento del conjunto Y. 
 
 
 
 
 
 
 
X1 
X2 
X3 
 
y1 
y2 
y3 
y4 
 
Dominio Codominio 
Esta relación NO es función porque no 
cumple con el principio de unicidad ya que 
hay elementos del Dominio que se 
relacionan con más de un elemento del 
Codominio. 
X1 
X2 
X3 
 
y1 
y2 
y3 
y4 
 
Dominio Codominio 
Esta relación NO es función porque no 
cumple con el principio de existencia ya que 
hay elementos del Dominio que no se 
relacionan con ningún elemento del 
Codominio. 
-2 
-1 
0 
1 
2 
-1 
0 
1 
2 
3 
X + 1 
X Y 
A la variable dependiente “y” también la 
podemos expresar como f (x), es una 
forma de decir que la variable “y” está 
en función de la variable “x” es por eso 
que “y” es la variable dependiente 
puesto que dependerá del valor que 
tome “x” 
 
 
 3 
Esta función la podemos expresar como: 
𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 
Debemos tener en cuenta que hemos tomado conjuntos finitos en estos ejemplos, pero 
dependiendo de la función podemos considerar el conjunto de los números reales. 
 
Representación gráfica de una función 
La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso 
su comportamiento. 
Una función asigna a cada número x del conjunto de partida, un número y = f(x) del 
conjunto imagen. 
El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre 
de punto de la función. 
Para obtener los pares basta con dar valores a la variable independiente x, y obtener los 
correspondientes de la variable dependiente y, formando así una tabla de valores de la función. 
Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes 
cartesianos, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen 
de coordenadas, representado por el punto (0, 0); el eje horizontal recibe el nombre de eje de 
abscisas, y en él se representan los valores de la variable independiente; el eje vertical recibe el 
nombre de eje de ordenadas, y en él se representan los valores de la variable dependiente. 
Ambos ejes representan el conjunto de los números reales, por lo que son ejes infinitos, cuando 
graficamos solo representamos una parte ellos. Cada par de números corresponde a un punto 
del plano. Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfica de la función. 
 Grafiquemos la función del ejemplo anterior: 
𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 
1. Confeccionamos una tabla y asignamos algunos valores aleatorios a la variable 
independiente “x”. Una vez hecho esto obtenemos el valor de “y” aplicando la función 
correspondiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x f (x) 
-2 -1 
-1 0 
0 1 
1 2 
2 3 
𝑦 = 𝑓(−2) = −2 + 1 = −1 
𝑦 = 𝑓(−1) = −1 + 1 = 0 
𝑦 = 𝑓(0) = 0 + 1 = 1 
𝑦 = 𝑓(1) = 1 + 1 = 2 
𝑦 = 𝑓(2) = 2 + 1 = 3 
 
 
 
 
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2. Luego, ubicamos los puntos obtenidos de la tabla en los ejes cartesianos. 
 
 
 
 
3. Para finalizar, unimos todos los puntos y de esta manera obtenemos la gráfica de la 
función que estamos analizando. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Crecimiento y decrecimiento de una función 
 
Las funciones pueden ser crecientes o decrecientes a lo largo de su dominio o en un 
cierto intervalo. 
Decimos que una función f(x) es creciente en un intervalo si dados dos puntos de dicho 
intervalo, x1 y x2 tal que x1 < x2 entonces f (x1) < f (x2) 
 
Decimos que una función f(x) es decreciente en un intervalo si dados dos puntos de 
dicho intervalo, x1 y x2 tal que x1 < x2 entonces f (x1) > f (x2) 
 
 
 
 
 
 
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Ordenada al origen de una función 
 
 La ordenada al origen es el punto donde la función toca al eje de ordenadas (eje y). Este 
punto es el par ordenado (0, y). Para encontrar dicho punto hay que reemplazar x=0 en la función 
dada. 
 
 
 
 
Raíces de una función 
La raíz es el punto donde la función toca al eje de abscisas (eje x). Este punto es el par 
ordenado (x, 0). Para encontrar dicho punto hay que reemplazar el valor de y=0 en la función 
dada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Funciones polinomiales 
 
Una función es polinomial cuando su expresión algebraica es un polinomio; su forma 
general es: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 . 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 . 𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 . 𝑥 + 𝑎0 
Donde: 
 
 
 
Recordemos que una expresión algebraica se puede clasificar por dos características 
importantes: 
 
 El número de términos que lo componen. 
 
 El grado de expresión. 
 
El grado de una función estará dado por el mayor de los exponentes, es decir, si el exponente 
es 1 el polinomio es de grado 1, si está elevado a la 2 es de segundo grado...y así sucesivamente. 
 
Funciones elementales 
 
Función constante 
La función constante es aquella en la que, para cualquier valor de la variable 
independiente (x), la variable dependiente (y) no cambia, es decir, permanece constante. 
Se trata de una función polinómica de grado cero. Al estar “x” elevado a cero, siempre 
dará uno, independientemente del valor que le demos a x, se representa de la siguiente forma: 
𝒇(𝒙) = 𝒄 
Donde “c” es un número real (una constante), gráficamente corresponde a una recta paralela 
al eje x, ubicada en el valor que indica “c”. 
El dominio corresponde a todos los números reales 
Dom (f): IR 
La imagen o rango es igual a c 
Im (f): c 
Coeficiente Variable independiente 
Exponente 𝑎𝑛 . 𝑥
𝒏 
 
 
 
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Ejemplo: 
 
f (x) = 2 Dom (f): IR Im (f): 2 f (x) = -1 Dom (f): IR Im (f): -1 
 
Tener en cuenta que los ejes “x” e “y” se extienden al infinito 
 
Función identidad 
 
La función identidad es una función lineal de grado 1 que pasa por el origen de 
coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes iguales, 
o sea, es su bisectriz. La pendiente es la inclinación con respecto al eje x (eje de abscisas). Una 
función identidad es una función matemática, de un conjunto a sí mismo, que devuelve su 
propio argumento, es decir: 
𝒇(𝒙) = 𝒙 
Dondeel coeficiente “a” y el exponente “n” son igual a 1 
 
El dominio corresponde a todos los números reales 
 Dom (f): IR 
La imagen o rango es igual a IR 
Im (f): IR 
Para graficar asignamos algunos valores aleatorios a la variable independiente “x”. 
Como es una recta solo necesitamos dos valores, armemos una tabla y luego grafiquemos: 
 
 
 
 
 
 
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𝑦 = 𝑓(−1) = −1 
𝑦 = 𝑓(2) = 2 
 
 
 
 
Función lineal 
 
Llamaremos función lineal a toda función del tipo: 𝒇(𝒙) = 𝒂. 𝒙, donde a es un número 
real. A diferencia de la función identidad, el coeficiente “a” toma un valor distinto de 1. 
 
Ejemplo: 
f (x) = 2 x 
 
𝑦 = 𝑓(−1) = 2 . (−1) = −2 
𝑦 = 𝑓(2) = 2 . 2 = 4 
 
 
 
 
 
Función lineal a fin 
 Llamaremos función lineal a toda función del tipo: 𝒇(𝒙) = 𝒂. 𝒙 + 𝒄, donde a y c son 
números reales. Su dominio es IR porque es el conjunto más amplio de números reales para el 
cual la fórmula tiene sentido, es decir, no hay ningún valor de “x” prohibido o que no pueda 
usarse en la función lineal. La imagen o rango de la función lineal corresponde también al 
conjunto de los números reales (IR) 
 
 
 
x f (x) 
-1 -1 
 2 2 
x f (x) 
-1 -2 
 2 4 
 
 
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Pendiente 
 Llamamos pendiente de una recta al aumento o a la disminución de la variable “y” por 
cada aumento unitario de la variable “x”. Es una magnitud que nos proporciona información 
acerca de la inclinación de una recta. 
 La pendiente es el número que multiplica a la variable “x” en la fórmula de la función. 
 
 
 
 
 La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero. 
 
• Si a > 0 la pendiente es positiva y la función es creciente 
• Si a < 0 la pendiente es negativa y la función es decreciente 
• Si a = 0 la pendiente es cero y la función es constante. 
 
 
 
 
Ordenada al origen de una función lineal a fin 
 Toda recta que no sea vertical corta al eje “y” en un punto en el cual X = 0. Para hallar 
la ordenada al origen de la función lineal a fin 𝒇(𝒙) = 𝒂. 𝒙 + 𝒃, planteamos: 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒂. 𝒙 + 𝒄 
 Pendiente 
Pendiente positiva, función creciente Pendiente negativa, función decreciente Pendiente cero, función constante 
 
 
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𝒇(𝟎) = 𝒂. 𝟎 + 𝒃 = 𝒃 
 Entonces, la pendiente de la recta y la ordenada al origen quedan perfectamente 
determinadas en la fórmula de la función lineal correspondiente: 
 
 
 
Raíz de una función lineal a fin 
 Como vimos anteriormente la raíz en el punto donde la función corta al eje x. Para 
hallar la raíz de la función lineal 𝒇(𝒙) = 𝒂. 𝒙 + 𝒄, planteamos: 
𝟎 = 𝒂. 𝒙 + 𝒄 
−𝒄 = 𝒂. 𝒙 
𝒙 = −
𝒄
𝒂
 
Se debe tener en cuenta que el procedimiento para encontrar la ordenada al origen y 
las raíces de una función lineal y función identidad es el mismo. Veamos algunos ejemplos: 
 
Ejemplos: 
Encontrar la ordenada al origen y raíz de las siguientes funciones: 
a) f (x) = 3 x + 4 
Ordenada al origen: f (0) = 3 . 0 + 4 = 4 
Raíz: 𝒙 = −
𝒄
𝒂
= −
𝟒
𝟑
 
b) f (x) = 8 x 
Ordenada al origen: f (0) = 8 . 0 = 0 
Raíz: 𝒙 = −
𝒄
𝒂
= −
𝟎
𝟖
= 𝟎 
 
c) f (x) = - 3 
Ordenada al origen: f (0) = - 8 
No tiene raíz 
𝒇(𝒙) = 𝒂. 𝒙 + 𝒃 
 Pendiente Ordenada al origen 
 
 
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Desplazamiento vertical de una función lineal 
 
El desplazamiento vertical de 
una función lineal se obtiene variando 
el valor del término independiente, es 
decir, variando el valor de c. Si c 
aumenta, la función se desplaza 
verticalmente hacia arriba, si 
disminuye, se desplaza verticalmente 
hacia abajo. 
 
 
 
Dominio 
El dominio de toda función lineal, lineal a fin, identidad y constante es el conjunto de los 
números reales: 
Domino: IR 
Imagen 
La imagen o rango de toda función lineal, lineal a fin e identidad es el conjunto de los números 
reales: 
Imagen: IR 
La imagen o rango de toda función constante es el valor que tome la constante “c” 
Imagen: C