Apunte Analisis Cuantitativo

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Análisis Cuantitativo II 
Unidad 12: Muestreo 
 
Introducción 
Es común que los compradores prueben una porción pequeña de queso antes de comprar 
alguno; a partir del trocito, determinan el sabor de queso completo. Lo mismo hace un químico 
cuando toma una muestra de whisky de una barrica, determina que es de grado 90 e infiere que 
todo el whisky de esa barrica es de ese grado. Si el químico examinara todo el whisky o los 
compradores probaran todo el queso, no quedaría nada para vender. Probar todo el producto es 
innecesario y a menudo, destructivo. Para determinar las características del todo, tenemos que 
muestrear sólo una porción. 
Algunas veces es posible y práctico examinar a cada persona o elemento de la población 
que deseamos describir. Esta acción se conoce como enumeración completa o censo. Se recurre al 
muestreo cuando no es posible contar o medir todos los elementos de la población. 
Los especialistas en estadística usan la palabra población para referirse no sólo a personas 
sino a todos los elementos que han sido escogidos para su estudio. En los casos que acabamos de 
mencionar, las poblaciones son todo el queso del trozo y todo el whisky de la barrica. Los 
especialistas en estadística emplean la palabra muestra para describir una porción escogida de la 
población. 
 El muestreo es un proceso mediante el cual se puede determinar de forma aproximada el 
comportamiento de la población o universo donde se aplica, a partir de inferir sus características 
de los resultados obtenidos del análisis de una muestra extraída del mismo. 
 
 
 
 
 
 
 
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Identificación y/o delimitación de la población 
 El universo o población es un conjunto de elementos bien definidos y con una característica 
en común. 
• Población finita: por finita nos referimos a que la población tiene un tamaño establecido o 
limitado, es decir, existe un número entero (N) que indica cuántos elementos hay en la 
población. 
• Población infinita: es aquella en la que es teóricamente imposible observar todos los 
elementos. Aunque muchas poblaciones parecen ser excesivamente grandes, no existe una 
población realmente infinita de objetos físicos. Después de todo, con recursos y tiempo 
ilimitados, podríamos enumerar cualquier población finita, incluso los granos de arena de 
las costas Argentinas. En términos prácticos, entonces, utilizaremos el término población 
infinita cuando hablemos de una población que no podría enumerarse en un periodo 
razonable de tiempo. De esta manera, utilizaremos el concepto teórico de población infinita 
como una aproximación de una población finita enorme. 
• Población homogénea: cuando el número de elementos que conforman el universo tiene 
características muy parecidas y en algunos casos casi iguales. 
• Población heterogénea: en este caso los elementos no tienen características similares por 
lo que se procede a delimitarlo o simplificarlo por sus elementos más relevantes para lograr 
una tendencia a la homogeneidad. 
 
Determinación del tamaño de la muestra 
El tamaño de la muestra se le conoce como aquel número determinado de sujetos o cosas 
que componen la muestra extraída de una población, necesarios para que los datos obtenidos sean 
representativos de la población. 
Una fórmula muy extendida que orienta sobre el cálculo del tamaño de la muestra para 
datos globales es la siguiente: 
 
 
𝑛 =
𝑍𝛼
2 𝑁 𝑝 𝑞
𝑒2(𝑁 − 1) + 𝑍𝛼2 𝑝 𝑞
 
 
 
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Dónde: 
N: es el tamaño de la población o universo 
𝒁𝜶: es una constante que depende del nivel de confianza que asignemos. El nivel de confianza indica 
la probabilidad de que los resultados de nuestra investigación sean ciertos: un 95,5 % de confianza 
es lo mismo que decir que nos podemos equivocar con una probabilidad del 4,5%. Los valores de Zα 
se obtienen de la tabla de la distribución normal estándar N(0,1). 
Los valores de Zα más utilizados y sus niveles de confianza son: 
 
Valor de 
Zα 
1.28 1.65 1.69 1.75 1.81 1.88 1.96 
Nivel de 
confianza 
80% 90% 91% 92% 93% 94% 95% 
 
(Por tanto si pretendemos obtener un nivel de confianza del 95% necesitamos poner en la fórmula 
𝑍𝛼 = 1.96) 
e: es el error muestral deseado, en tanto por ciento. El error muestral es la diferencia que puede 
haber entre el resultado que obtenemos preguntando a una muestra de la población y el que 
obtendríamos si preguntáramos al total de ella (población). 
Por ejemplo: si hacemos una encuesta de satisfacción a los empleados de una empresa con un 
error muestral del 3% y el 60% de los encuestados se muestran satisfechos significa que entre el 
57% y el 63% (60% +/- 3%) del total de los empleados de la empresa lo estarán. 
p: proporción de individuos que poseen en la población la característica de estudio. Este dato es 
generalmente desconocido y se suele suponer que p=q=0.5 que es la opción más segura. 
q: proporción de individuos que no poseen esa característica, es decir, es 1-p. 
 
 
 
 
 
https://es.wikibooks.org/wiki/Tablas_estad%C3%ADsticas/Tabla_para_imprimir:_Distribuci%C3%B3n_normal
 
 
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Ejemplo: 
Calcular el tamaño de la muestra de una población de 4500 elementos con un nivel de confianza 
del 95% y un error muestral del 3%. 
Solución: 
Tenemos como dato: 
N = 4500 
𝑍𝛼 = 1,96 (95% 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎) 
e = 0,03 (3%) 
Como no disponemos de los valores de p y q decimos que ambos son iguales a 0,5 
Reemplazamos los datos en la fórmula: 
𝑛 =
(1,96)2 ∗ 4500 ∗ 0,5 ∗ 0,5
(0,03)2(4500 − 1) + (1,96)2 ∗ 0,5 ∗ 0,5
= 862,72 
𝒏~𝟖𝟔𝟑 
 El tamaño de la muestra es igual a 863. Tengan en cuenta que se debe aproximar el 
resultado al entero más cercano. 
 
Selección de los elementos de una muestra 
Existen diferentes criterios de clasificación de los diferentes tipos de muestreo, aunque en 
general pueden dividirse en dos grandes grupos: métodos de muestreo probabilísticos y métodos 
de muestreo no probabilísticos. 
 
 
 
 
 
 
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Muestreos probabilísticos 
 Los métodos de muestreo probabilísticos son aquellos que se basan en el principio de 
equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los elementos tienen la misma probabilidad 
de ser elegidos para formar parte de una muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras 
de tamaño n tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Sólo estos métodos de muestreo 
probabilísticos nos aseguran la representatividad de la muestra extraída y son, por tanto, los más 
recomendables. 
Dentro de los métodos de muestreo probabilísticos encontramos los siguientes tipos: 
 
➢ Muestreo aleatorio simple: se da igual 
oportunidad de selección a cada elemento o 
unidad dentro de la población. 
 
 
 
➢ Muestreo aleatorio sistemático: la 
selección de los elementos se hace a 
intervalos regulares, en un orden 
sistemático. El riesgo este tipo de muestreo 
está en los casos en que se dan 
periodicidades en la población ya que al 
elegir a los miembros de la muestra con una 
periodicidad constante podemos introducir una homogeneidad que no se da en la 
población. 
 
➢ Muestreo aleatorio estratificado: trata de obviar las dificultades que presentan los 
anteriores ya que simplifican los procesos y suelen reducir el error muestral para un tamaño 
dado de la muestra. Implica considerar categorías típicas diferentes entre sí (estratos) que 
poseen gran homogeneidad respecto de alguna característica. Lo que se pretende con este 
tipo de muestreo es asegurarse de que todos los estratos de interés estarán representados 
 
 
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adecuadamente en la muestra. Cada estrato 
funciona independientemente, pudiendo 
aplicarse dentro de ellos el muestreo aleatorio 
simple o el estratificado para elegir los 
elementos concretos que formarán parte de la 
muestra. En ocasiones las dificultades que 
plantean son demasiado grandes, pues exige 
un conocimiento detallado de la población 
(tamaño geográfico, sexos, edades). 
Ejemplo:se puede estratificar, por ejemplo, según la profesión, el municipio de residencia, 
el sexo, el estado civil, etc. 
 
➢ Muestreo aleatorio por conglomerado: 
El muestreo por 
conglomerados es una técnica utilizada 
cuando hay agrupamientos "naturales" 
relativamente homogéneos en una 
población estadística. A menudo se 
utiliza en la investigación de mercados. 
 Los métodos presentados hasta ahora están pensados para seleccionar 
directamente los elementos de la población, es decir, que las unidades muestrales son los 
elementos de la población. En el muestreo por conglomerados la unidad muestral es un 
grupo de elementos de la población, que forman una unidad a la que llamamos 
conglomerado. Las unidades hospitalarias, los departamentos universitarios, una caja de 
determinado producto, etc., son conglomerados naturales. En otras ocasiones se pueden 
utilizar conglomerados no naturales como, por ejemplo, las urnas electorales. 
 Cuando los conglomerados son áreas geográficas suele hablarse de "muestreo por 
áreas". El muestreo por conglomerados consiste en seleccionar aleatoriamente un cierto 
número de conglomerados (el necesario para alcanzar el tamaño muestral establecido) y 
en investigar después todos los elementos pertenecientes a los conglomerados elegidos. 
 
 
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Muestreos no probabilísticos 
 A veces, para estudios exploratorios, el muestreo probabilístico resulta excesivamente 
costoso y se acude a métodos no probabilísticos. Esto, aun siendo conscientes de que no sirven para 
realizar generalizaciones, pues no se tiene certeza de que la muestra extraída sea representativa, 
ya que seleccionan a los sujetos siguiendo determinados criterios procurando que la muestra sea 
representativa. 
Entre los métodos de muestreo no probabilísticos más utilizados en investigación 
encontramos: 
➢ Muestreo por cuotas: También denominado en ocasiones "accidental". Se asienta 
generalmente sobre la base de un buen conocimiento de los estratos de la población y/o 
de los individuos más "representativos" o "adecuados" para los fines de la investigación. 
Mantiene, por tanto, semejanzas con el muestreo aleatorio estratificado, pero no tiene el 
carácter de aleatoriedad de aquél. En este tipo de muestreo se fijan unas "cuotas" que 
consisten en un número de individuos que reúnen unas determinadas condiciones, 
Ejemplo: 20 individuos de 25 a 40 años, de sexo femenino y residentes en Mendoza. Una vez 
determinada la cuota se eligen los primeros que se encuentren que cumplan esas 
características. 
Este método se utiliza mucho en las encuestas de opinión. 
 
➢ Muestreo de conveniencia: este tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado 
de obtener muestras "representativas" mediante la inclusión en la muestra de grupos 
supuestamente típicos. También puede ser que el investigador seleccione directa e 
intencionadamente los individuos de la población. El caso más frecuente de este 
procedimiento el utilizar como muestra los individuos a los que se tiene fácil acceso (los 
profesores de universidad emplean con mucha frecuencia a sus propios alumnos). 
 
 
 
 
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➢ Muestreo opinático: donde los elementos seleccionan a juicio o en opinión del investigador; 
se podría decir que prima la intención de que estas unidades sean incluidas dentro de la 
muestra. Es muy frecuente su utilización en sondeos preelectorales de zonas que en 
anteriores votaciones han marcado tendencias de voto. 
 
➢ Bola de nieve: Se localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y estos a otros, 
y así hasta conseguir una muestra suficiente. Este tipo se emplea muy frecuentemente 
cuando se hacen estudios con poblaciones "marginales", sectas, determinados tipos de 
enfermos, etc. 
 
Inferencia estadística 
Una inferencia estadística es una afirmación que se hace acerca de algún parámetro de la 
población utilizando la información contenida en una muestra tomada de esta población. Debemos 
aceptar que por la naturaleza aleatoria de los datos obtenidos en la muestra, hay un riesgo en la 
certeza de la afirmación propuesta, y es necesario establecer una medida para determinar la 
magnitud de este riesgo. El proceso de obtener muestras se llama muestreo. 
Ejemplo: 
Desearíamos extraer conclusiones respecto a las estaturas (o peso) de 12000 estudiantes 
(la población) examinando solamente 100 estudiantes (la muestra) seleccionados de esta población. 
Donde N = 12000 y n=100 
Deben notarse algunas cosas. Primero, la palabra población no tiene necesariamente el 
mismo significado como en el lenguaje común, como en "la población de determinada ciudad es de 
180000". Segundo, la palabra población se utiliza para denotar las observaciones o medidas y no los 
individuos u objetos. Así en el Ejemplo podemos hablar de la población de 12000 estaturas(o pesos). 
 
 
 
 
 
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Muestras aleatorias. 
Lógicamente, la confiabilidad de las conclusiones extraídas concernientes a una población 
dependen de si la muestra se ha escogido apropiadamente de tal modo que represente la población 
lo suficientemente bien; uno de los problemas importantes de la inferencia estadística es como 
escoger una muestra. 
Una forma de hacer esto para poblaciones finitas es asegurarse de que cada miembro de la 
población tenga igual oportunidad de encontrarse en la muestra, lo cual se conoce como muestra 
aleatoria. El muestreo aleatorio puede efectuarse para poblaciones relativamente pequeñas 
extrayendo lotes o, en forma equivalente, utilizando una tabla de números aleatorios especialmente 
construida para tales propósitos 
Debido a que la inferencia de la muestra a la población no puede ser cierta debemos 
emplear el lenguaje de probabilidad en cualquier proposición de conclusiones. 
 
Parámetros poblacionales 
Se considera que se conoce una población cuando conocemos la distribución de 
probabilidad f(x) (función de probabilidad) de la variable aleatoria asociada X. Por ejemplo, en el 
Ejemplo mencionado anteriormente si X es una variable aleatoria cuyos valores son las estaturas (o 
pesos) de los 12000 estudiantes entonces X tiene una distribución de probabilidad f(x). 
Si, por ejemplo, X está normalmente distribuida decimos que la población está 
normalmente distribuida o que tenemos una población normal. En forma semejante, si X está 
binomialmente distribuida, decimos que la población está binomialmente distribuida o que 
tenemos una población binomial. 
Existirán ciertas cantidades que aparecen en f(x), como 𝝁 𝑦 𝝈 en el caso de la distribución 
normal o p en el caso de la distribución binomial. Otras cantidades tales como la mediana, 
momentos, sesgo, etc., pueden determinarse en términos de estos. Todas estas cantidades se 
conocen como parámetros poblacionales. Cuando nos dan la población, de modo que conocemos 
f(x), entonces los parámetros poblacionales también son conocidos. 
 
 
 
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Estadísticos (o estimadores) muestrales. 
Podemos tomar muestras aleatorias de la población y entonces emplearlas para obtener 
valores que sirven para estimar los parámetros poblacionales. 
Cualquier cantidad obtenida de una muestra con el propósito de estimar un parámetro 
poblacional se llaman estadísticos muestrales o brevemente estadísticos. 
En general, correspondiente a cada parámetro poblacional habrá un estadístico a calcularse 
de la muestra. Comúnmente el método para obtener un estadístico de la muestra es semejante al 
de obtener el parámetro de una población finita, ya que una muestra consiste de un conjunto finito 
de valores. Sin embargo, como veremos esto no siempre produce el "mejor estimador" y uno de los 
problemas importantes de la teoría de muestreo es decidir cómo formar el estadístico muestral 
apropiado que mejor estime un parámetro poblacional dado. 
Veamos algunas propiedades de los estimadores: 
• Se denomina sesgo de un estimador a la diferencia entre la esperanza (o valoresperado) 
del estimador y el verdadero valor del parámetro a estimar. Es deseable que un estimador 
sea insesgado o centrado, es decir, que su sesgo sea nulo por ser su esperanza igual al 
parámetro que se desea estimar. 
• Consistente es aquel estimador que, al aumentar el tamaño de la muestra, converge en 
probabilidad al parámetro que estima. 
• Eficiente es el estimador que tiene la menor varianza entre todos los estimadores 
posibles. 
• Suficiente. Se dice que un estimador es suficiente cuando resume toda la información 
relevante contenida en la muestra, de forma que ningún otro estimador pueda 
proporcionar información adicional sobre el parámetro desconocido de la población. Por 
ejemplo, la media muestral sería un estimador suficiente de la media poblacional, mientras 
que la moda también. 
 
 
 
 
 
 
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Tenemos que tener en cuenta la siguiente simbología: 
MEDIDAS POBLACIÓN MUESTRA 
Media 𝜇 �̅� 
Varianza 𝜎2 𝑆2 
Desviación típica (o estándar) 𝜎 𝑆 
Tamaño N n 
 
𝜇�̅� = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 
𝜎�̅� = 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 
𝑀 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 
𝑀 = 𝑁𝑛 Cuando se hace la selección de la muestra con repetición. 
𝑀 =
𝑁!
(𝑁 − 𝑛)! 𝑛!
 cuando se hace la selección de la muestra sin repetición. 
Distribución muestral de medias 
Si consideramos una población de N elementos, con media 𝜇 y desviación típica 
𝜎, si se obtienen M número de muestras posibles, de tamaño n, simbolizamos a cada media muestral 
por: �̅�1 , �̅�2 , �̅�3 … �̅�𝑀 y cada desviación típica muestral por: 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3 … 𝑆𝑀 
 
 
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Dada una población, si extraemos todas las muestras posibles de un mismo tamaño, 
entonces la media de la distribución de todas las medias muestrales posibles, será igual a la media 
poblacional. 
 
 
 
 
 
 
 
Desviación estándar o error estándar de la distribución muestral 
¿Por qué se le llama error estándar? 
En vez de decir “la desviación estándar de la distribución de las medias de la muestra” para 
describir una distribución de medias de la muestra, los especialistas en estadística se refieren al 
error estándar de la media. De manera similar, la “desviación estándar de la distribución de las 
proporciones de la muestra” se abrevia como error estándar de la proporción. El término error 
estándar se utiliza porque da a entender un significado específico. Un ejemplo ayudará a explicar el 
porqué del nombre. Supongamos que deseamos saber algo sobre la estatura de los alumnos de 
nuevo ingreso de una gran universidad estatal. Podríamos tomar una serie de muestras y calcular la 
estatura media de cada muestra. Es altamente improbable que todas estas medias de muestra 
fueran iguales; es de esperar alguna variabilidad en las medias observadas. Esta variabilidad en las 
estadísticas de muestras proviene de un error de muestreo debido al azar; es decir; hay diferencias 
entre cada muestra y la población, y entre las diversas muestras, debido únicamente a los elementos 
que decidimos escoger para las muestras. 
Si una población es infinita o si el muestreo es con repetición (es decir, después de que se 
ha muestreado cada elemento, éste se regresa a la población antes de elegir el siguiente elemento, 
de tal manera que es posible que el mismo elemento sea elegido más de una vez), entonces el error 
estándar de la distribución muestral de medias es: 
𝝁𝒙ഥ = 𝝁 
𝝁𝒙ഥ =
 𝒙ത𝟏 + 𝒙ത𝟐 + 𝒙ത𝟑 + … + 𝒙ത𝑴
𝑴
 = 𝝁 
 
 
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Muchas de las poblaciones que examinan los responsables de las decisiones son finitas, es 
decir, de tamaño establecido o limitado. Ejemplos de éstas incluyen a los empleados de una 
compañía dada, a los clientes de una agencia de servicios sociales de una ciudad, a los estudiantes 
de una clase específica y a la producción de un día en una determinada planta de manufactura. 
Ninguna de estas poblaciones es infinita, así que necesitamos modificar la ecuación anterior para 
trabajar con ellas. La fórmula diseñada para encontrar el error estándar de la media cuando la 
población es finita y el muestreo se hace sin reemplazo, es: 
 
 
 
 
Este nuevo término que aparece del lado derecho de la ecuación y que multiplica a 
nuestro error estándar original se conoce como multiplicador de población finita: 
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎 = √
(𝑁 − 𝑛)
(𝑁 − 1)
 
En casos en los que la población es muy grande en relación con el tamaño de la muestra, 
este multiplicador de población finita adquiere un valor cercano a 1 y tiene poco efecto sobre el 
cálculo del error estándar. Digamos que tenemos una población de 1,000 elementos y que hemos 
tomado una muestra de 20. Si calculamos el multiplicador de población finita, el resultado sería: 
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎 = √
(1000 − 20)
(1000 − 1)
~0,99 
El uso de este multiplicador de 0.99 tendría poco efecto en el cálculo del error estándar de la 
media. Este último ejemplo pone de manifiesto que cuando muestreamos una pequeña fracción 
𝜎�̅� = √
(�̅�1 − 𝜇)
2 + (�̅�2 − 𝜇)
2 + (�̅�3 − 𝜇)
2 + ⋯ + (�̅�𝑀 − 𝜇)
2
𝑀
=
𝜎
ξ𝑛
 
𝜎�̅� =
𝜎
ξ𝑛
 √
(𝑁 − 𝑛)
(𝑁 − 1)
 
 
 
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de la población entera (es decir, cuando el tamaño de la población N es muy grande en relación 
con el tamaño de la muestra n), el multiplicador de población finita toma un valor cercano a 1.0. 
Los especialistas en estadística se refieren a la fracción n/N como la fracción de muestreo, porque 
es la fracción de la población N contenida en la muestra. Entonces cuando la fracción de muestreo 
es pequeña podemos usar el error estándar de la distribución muestral de medias para población 
infinita 𝜎�̅� =
𝜎
ξ𝑛
. La regla generalmente aceptada es: si la fracción de muestreo (n/N) es menor a 
0.05, no es necesario usar el multiplicador de población finita. 
 
Ejemplo: 
Una población se compone de los cinco números 2, 3, 6, 8, 11. Considerar todas las muestras 
posibles de tamaño dos que puedan extraerse con repetición de esta población. Hallar (a) la media 
de Ia población, (b) la desviación típica de la población, (c) la media de la distribución muestral de 
medias, (d) la desviación estándar de la distribución muestral de medias, es decir, el error estándar 
de medias. 
 
a) 
𝜇 =
2 + 3 + 6 + 8 + 11
5
= 6 
b) 
𝜎 = √
(2 − 6)2 + (3 − 6)2 + (6 − 6)2 + (11 − 6)2
5
= 3,29 
c) 
Hay 25 muestras de tamaño dos que pueden extraerse con repetición 𝑀 = 𝑁𝑛 = 52 = 25 (puesto 
que cualquiera de los cinco números de la primera extracción puede asociarse con cualquiera de los 
cinco números dela segunda extracción). Estas son: 
 
 
 
 15 
(2 , 2) (2 , 3) (2 , 6) (2 , 8) (2 , 11) 
(3 , 2) (3 , 3) (3 , 6) (3 , 8) (3 , 11) 
(6 , 2) (6 , 3) (6 , 6) (6 , 8) (6 , 11) 
(8 , 2) (8 , 3) (8 , 6) (8 , 8) (8 , 11) 
(11 , 2) (11 , 3) (11 , 6) (11 , 8) (11 , 11) 
 
Las correspondientes medias muestrales son: 
�̅�1 =
2 + 2
2
= 2 2,5 4 5 6,5 
2,5 3 4,5 5,5 7 
4 4,5 6 7 9 
5 5,5 7 8 9,5 
6,5 7 8,5 9,5 11 
 
Y la media de la distribución muestral de medias es: 
𝜇�̅� =
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠
25
 =
150
25
= 6 
Comprobándose que 𝝁𝒙ഥ = 𝝁 
d) 
El error estándar de la distribución muestral de medias se obtiene aplicando la fórmula 𝜎�̅� =
𝜎
ξ𝑛
 
dado que el muestreo es con repetición. 
𝜎�̅� = √
(2 − 6)2 + (2,5 − 6)2 + (4 − 6)2 + ⋯ + (11 − 6)2
25
= √
135
25
= 2,32 
 
Si el muestreo se hace sin repetición tenemos que: 
𝑀 =
𝑁!
(𝑁 − 𝑛)! 𝑛!
 = 
5!
(5 − 2)! 2!
=
5!
3! 2!
=
5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
(3 ∗ 2 ∗ 1) ∗ 2 ∗ 1
= 10 
 
 
 
 16 
 
Hay 10 muestras de tamaño dos que pueden extraerse sin repetición 
(2 , 3) (2 , 6) (2 , 8) (2 , 11) (3 , 6) (3 ,8) (3 , 11) (6 , 8) (6 , 11) (8 , 11) 
 
La selección (2,3), porejemplo, se considera la misma que (3,2) (se repite). 
Las correspondientes medias muestrales son: 
2,5 4 5 6,5 4,5 5,5 7 7 8,5 9,5 
 
Y la media de la distribución muestral de medias es: 
𝜇�̅� =
2,5 + 4 + 5 + 6,5 + 4,5 + 5,5 + 7 + 7 + 8,5 + 9,5
10
 = 6 
Poniendo de manifiesto el hecho de que 𝝁𝒙ഥ = 𝝁