Notas CI

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Marisa Angélica Digión 1 
 
Universidad Nacional de Jujuy 
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Análisis Matemático/Matemática II 
 
 
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Capítulo IV 
 
CALCULO INTEGRAL 
DE FUNCIONES REALES 
DE 
VARIABLE REAL 
 
 
 
 
 
 
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Función
Función Real de 
Variable Real
Pre-Cálculo
Límite Continuidad
CÁLCULO
Diferencial INTEGRAL 
Caso Particular: 
Sucesiones Infinitas 
de Números Reales
Series Infinitas 
de Números Reales
Función Real de Dos 
Variables Reales
Generalidades
Introducción al 
Cálculo Diferencial 
 
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CONTENIDO 
 
1. INTRODUCCIÓN 
 1.1 Presentación del Tema 
 1.2 Objetivos 
 1.3 Conceptos Previos 
2. INTEGRAL INDEFINIDA 
 2.1 Antiderivada o primitiva de una función 
 2.1.1 Introducción 
2.1.2 Definición 
 2.1.3 Teorema Fundamental 
 2.1.4 Consecuencia del Teorema Fundamental 
 2.2 Integral Indefinida 
 2.2.1 Definición 
 2.2.2 Elementos de la notación de Integral Indefinida 
 2.2.3 Interpretación geométrica 
 2.2.4 Consecuencias de la definición de Integral Indefinida 
 2.2.5 La constante de integración - Condiciones iniciales 
2.2.6 Integrales indefinidas inmediatas – Propiedades de la Integral Indefinida 
 2.2.7 Métodos de integración 
 i) Descomposición 
 ii) Sustitución o Cambio de Variable 
 iii) Partes 
 iv) Tabla de Integrales 
3. INTEGRAL DEFINIDA 
 3.1 Conceptos Previos 
 3.2 Integral Definida de Riemann 
 3.2.1 Definición 
 3.2.2 Notación 
 3.2.3 Elementos de la notación 
3.2.4 Condición necesaria para la existencia de la Integral Definida 
 3.2.5 Interpretación geométrica 
3.2.6 Propiedades de la Integral Definida 
 
 
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3.2.7 Cálculo del Área de una Región Plana: Casos 
3.2.8 Teoremas Fundamentales del Cálculo 
 i) Primer Teorema Fundamental del Cálculo 
 ii) Segundo Teorema Fundamental del Cálculo (Regla de Barrow) 
4. INTEGRAL GENERALIZAD O IMPROPIA 
4.1 Introducción 
4.2 Tipos de Integral Impropia 
4.3 Integral Impropia del Primer Tipo 
 4.3.1 Definiciones 
 4.3.2 Convergencia y Divergencia 
 4.3.3 Interpretación geométrica 
4.4 Integral Impropia del Segundo Tipo 
 4.4.1 Definiciones 
 4.3.2 Convergencia y divergencia 
5. APLICACIONES 
 
 
 
 
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1.1 PRESENTACIÓN DEL TEMA 
El estudio de la Matemática que has realizado hasta el presente, te permite identificar claramente pares de 
operaciones inversas: la suma y la resta, la multiplicación y la división, la potenciación y la radicación, por solo 
mencionar algunas. 
A continuación, agregaremos a esta lista el procedimiento inverso de la DERIVACIÓN. Esta nueva operación 
responde al nombre de ANTIDERIVACIÓN y su planteo es el siguiente: 
“CONOCIDA LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN, DETERMINAR DICHA FUNCIÓN” 
Este tema será la base sobre la cual se construirá la otra rama del Cálculo (además del Cálculo Diferencial); su 
nombre es el Cálculo Integral. 
 
1.2 OBJETIVOS 
✓ Manejar con fluidez la terminología que utiliza el Cálculo Integral. 
✓ Determinar la antiderivada (o primitiva) de una función real de variable real. 
✓ Calcular la integral indefinida de una función real de variable real. 
✓ Reconocer la conveniencia de aplicación de alguno de los diferentes métodos para calcular la integral 
indefinida, según la característica que presente el integrando. 
✓ Aplicar las propiedades de las cuales goza la integral indefinida con el objeto de facilitar su cálculo. 
✓ Determinar el valor de la constante de integración a los efectos de establecer la expresión de una integral 
particular. 
✓ Interpretar geométricamente la integral indefinida. 
✓ Plantear y resolver problemas que involucren el cálculo de integrales indefinidas. 
✓ Definir el concepto de integral definida. 
✓ Establecer la relación entre la integral definida y la integral indefinida. 
✓ Calcular la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado. 
✓ Determinar el valor del área de cualquier tipo de figura plana. 
✓ Generalizar el concepto de integral definida en los casos de intervalos de integración no finitos y/o con 
puntos de discontinuidad en ellos. 
 
 
 
1. INTRODUCCIÓN 
 
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1.3 CONCEPTOS PREVIOS 
Necesitas de todos aquellos incorporados en tu estructura mental, como resultado de un aprendizaje continuo, 
consciente y razonado de los temas del Pre-Cálculo y el Cálculo Diferencial estudiados hasta ahora. 
 
 
 
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2.1 ANTIDERIVADA O PRIMITIVA DE UNA FUNCION 
 
2.1.1 Introducción 
Como ya se anticipó, la antiderivación es la operación inversa de la derivación. Esto significa que: 
a) Si dada una función F, deseamos obtener su derivada F', entonces el procedimiento a aplicar es la 
derivación. O sea: 
Dato Procedimiento Se obtiene... 
 
 
 
b) Por el contrario, si el dato es la función derivada F', y deseamos obtener la función de origen F, entonces el 
procedimiento a aplicar es la antiderivación. O sea: 
Dato Procedimiento Se obtiene... 
 
 
 
Luego, en este último caso, la función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA o PRIMITIVA DE la función F'. 
 
Nota: Hemos utilizado, para indicar a la función y a su derivada, las letras F y F', respectivamente. Sin embargo, 
es común que a la derivada F' la mencionaremos, en forma alternativa, mediante la letra f. Luego en el texto 
siguiente escribiremos: 
 F' = f 
2.1.2 Definición 
Una función F es una antiderivada o primitiva de otra función f en un cierto intervalo I, si se verifica que la 
derivada de F es igual a f para todo punto del intervalo I. 
 
O sea: 
F antiderivada/primitiva de f en I  F'(x) = f(x) x  I 
 
F F' Derivación 
F' F Antiderivación 
 
2. INTEGRAL INDEFINIDA 
 
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EJEMPLO 
 
Como sabemos, la función derivada de: 
F(x)= 3 x4 
es: 
F'(x)= f(x) = 12 x3 
Esto nos indica que: 
F(x)= 3 x4 
es una antiderivada o primitiva de: 
F'(x)= f(x)= 12 x3 
 
Nota: La pregunta que surge es: la función F (x)= 3x4 ¿es una única antiderivada o primitiva de la función 
F’(x)=f(x) = 12 x3 ? Formulado de otra manera el interrogante: ¿existe una sola función F tal que su derivada sea: 
F'(x)=f(x)= 12 x3 ? 
La respuesta a ambas preguntas es NO. La antiderivada de una función no es única. 
Lo vemos en el Ejemplo dado. 
Para la función derivada: 
F'(x) = f(x) = 12 x3 
existen infinitas antiderivadas de la misma. Todas estas antiderivadas tienen la forma siguiente: 
 F una antiderivada de f 
F(x) + c = 3 x4 + c con y 
 c una constante real arbitraria 
Efectivamente la anterior es antiderivada de f pues cumple con la definición de Antiderivada, o sea que su 
derivada [F(x) + c] ' coincide con f: 
 [F(x) + c] ' = (3 x4 + c)' = (3 x4)’ +(c)' = 12 x3 + 0 = 12 x3 = f(x) 
Esto acredita a la función: 
 F(x) + c = 3 x4 + c 
 
como antiderivada de f: 
f(x)= 12 x3 
 
 
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El análisis de este ejemplo nos permite realizar dos afirmaciones muy importantes sobre la primitiva o 
antiderivada de una función: 
1.- La antiderivada o primitiva F de una función f no es única. 
2.- La diferencia entre dos antiderivadas o primitivas de una función difieren en una constante. 
Estos dos resultados, se pueden resumir en el siguiente teorema. 
 
 
2.1.3 Teorema Fundamental 
Si las funciones F1 y F2 son dos antiderivadas o primitivas de la función f en un intervalo I, entonces la diferencia 
entre F1 y F2 es una constante “c” (real), o sea: 
F1 (x) - F2 (x) = c  x  I 
 
Demostración 
Por definición de primitiva o antiderivada de una función f en un intervalo I, podemos decir que: 
 
• Si F1 es una antiderivada de f en un intervalo I  F’1 (x) = f(x) 
 
• Si F2 es una antiderivada de f en un intervalo I  F’2 (x) = f(x) 
 
Restando miembro a miembro ambas igualdades, obtenemos: F’1 (x) – F’2 (x) = f(x)- f(x) 
 
o sea: 
F’1 (x) – F’2 (x) = 0 
 
Si recordamos la regla de derivación de la resta de dos funciones, podemos escribir la última expresión como: 
 
[F1 (x) – F2 (x)]’ = 0 
Y, la única función cuya derivada vale 0 (cero) es la función constante, por lo cual lo que se encuentra dentro del 
corchete debe ser una constante, o sea: 
F1 (x) – F2 (x) = c 
Con lo cual queda demostrado el teorema. 
 
 
 
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2.1.4 Consecuencia del Teorema Fundamental 
 
Si: F1 (x) – F2 (x) = c  F1 (x) = F2 (x) + c 
o sea, expresando de otra forma el resultado dado por el teorema podríamos decir que: 
Dada una antiderivada o primitiva F de la función f en un intervalo I, cualquier otra primitiva de f se obtiene 
sumándole, a la anterior, una constante real (no nula). 
 
EJEMPLOS 
1. Para la función de expresión analítica: 
 f(x) = 1/ x con x>0 
una antiderivada es: 
 F(x) = ln x ya que F'(x)= (ln x)' = 1/ x = f(x) 
Luego, cualquier otra antiderivada o primitiva de f será de la forma: 
F (x) + c = ln x + c ya que [F(x) + c]' = (ln x + c)' = 1/x = f(x) 
2. Para la función de expresión analítica: 
 f(x) = ex 
una antiderivada es: 
 F(x) = ex ya que F'(x)= (ex)' = ex = f(x) 
Luego, cualquier otra antiderivada o primitiva de f será de la forma: 
F(x) + c = ex + c ya que [F(x) + c]’ = (ex + c)' = ex = f(x) 
 
2.2 INTEGRAL INDEFINIDA 
Establecimos en el punto anterior que si F es una antiderivada o primitiva de f en un intervalo I, cualquier otra 
antiderivada o primitiva se obtiene a partir de la anterior sumándole una constante, o sea: F(x) + c (c  R). 
Pero al variar al valor de la constante “c”, pues “c” es un número real, F(x)+c representará el conjunto (infinito) 
de antiderivadas o primitivas de la función f en el intervalo I y, este conjunto (infinito) tiene una denominación 
y una notación especial: se llama Integral Indefinida de f y su notación es: 
 f(x) dx 
 
 
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(se lee "integral indefinida de f de x, diferencial de x") 
 
2.2.1 Definición 
Si la función F es una antiderivada o primitiva de la función f en un intervalo I, entonces al conjunto (infinito) 
de todas las primitivas o antiderivadas de la función f de la forma: F(x) +c, se lo designa con el nombre de 
Integral Indefinida de f, y se lo nota de la siguiente manera: 
 
 f(x) dx = F(x) + c con F: primitiva de f 
 c :constante de integración 
 
Aparece un nuevo símbolo: " " que tiene la forma de una letra "s" alargada. Indica qué debemos hacer con la 
función f que le sigue, que no es otra cosa que determinar el conjunto de las antiderivadas o primitivas de f. O 
sea, tendremos que establecer la forma de: F(x) + c. 
EJEMPLOS 
1. A la integral indefinida de la función: 
f(x) = 1/x con x>0 
la expresamos de la siguiente manera: 
  1/ x dx = ln x + c 
 
 F(x) + c 
2. Para la función: 
 f(x) = ex 
la integral indefinida de ella es: 
  ex dx = ex + c 
 
 F(x) + c 
 
2.2.2 Elementos de la notación de la Integral Indefinida 
En la ex presión de la integral indefinida: 
 f(x) dx = F(x) + c 
 
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✓ el signo " " es el signo de integral o signo de integración. 
✓ la función "f" recibe el nombre de función integrando o integrando. 
✓ la expresión “f(x) dx” recibe el nombre de elemento de integración. 
✓ el símbolo " ... dx" indica " integral indefinida, con respecto a x, de ..." 
✓ "F" es una antiderivada o primitiva particular de f. 
✓ "c" es la constante de integración. 
Nota: El signo “” siempre vá acompañado de “dx” (diferencial de la variable independiente x) para indicar sobre 
qué variable se realiza la integración. 
2.2.3 Interpretación geométrica de la Integral Indefinida 
Sea la integral indefinida de la función f, indicada por: 
 f(x) dx = F(x) + c con F' =f 
Designemos con "y" a la expresión que figura como resultado de la misma, o sea: 
 y = F(x) + c 
Esta última representa geométricamente a una familia de curvas, cada una de las cuales se obtiene 
desplazando la gráfica de: 
 y = F(x) 
paralelamente a si misma, hacia arriba o hacia abajo, es decir a lo largo del eje OY y de acuerdo al valor de c. 
 
 
Nota: Las curvas representadas por: 
 y = F(x) + c 
son paralelas entre sí en el sentido que la pendiente de la tangente a cualquiera de ellas en el punto de abscisa 
x, es f ’ (x). 
 
Gráficamente: 
 
 
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 y y=F(x) + c3 
 
 y=F(x)+ c2 
 
 y=F(x) + c1 
 
 y=F(x) 
 
 
 y=F(x) + c4 
 
 
 
 
O x 
 
 
EJEMPLO 
Representar gráficamente la familia de funciones que surgen de la resolución de la siguiente integral indefinida: 
 1/x dx, con x>0 
Solución 
Para resolver esta integral indefinida debemos pensar en qué forma tiene una antiderivada de f(x)=1/x. 
De acuerdo a lo ya visto, la antiderivada o primitiva es F(x)= ln x, pues se cumple que: 
 F'(x) = (ln x)' = 1/x = f(x) 
Luego: 
 1/x dx = ln x + c con x>0 
La familia de curvas, resultado de la integral indefinida, tiene la forma: 
 y = ln x + c 
Para representarlas en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales graficamos, en primer lugar, la 
función y = ln x. Luego por traslación, hacia arriba y hacia abajo, obtendremos algunas de las gráficas de y= ln x 
+ c: 
 
 
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 y= ln x + c1 
 y 
 
 
 
 y= ln x 
 
 
 
 
 
 y= ln x+ c2 
 
 
 
 
 
 O 1 x 
 
 
 
 
 
2.2.4 Consecuencias de la definición de Integral Indefinida 
 
La definición de integral indefinida, o sea: 
 f(x) dx = F(x) + c con F' =f 
es la herramienta que utilizamos para demostrar la validez de las siguientes afirmaciones (por eso el título de 
este punto es "consecuencias de la definición de Integral Indefinida"). Ellas son: 
 
1. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando, o sea: 
 (  f(x) dx ) ' = f(x) 
 
Esto es así pues: 
(  f(x) dx ) ' = ( F(x) + c) ' = F'(x) + (c) ' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x) 
     
 Por definición de integral indefinida 
 Aplicamos la regla para derivar sumas de funciones 
 Aplicamos las reglas de derivación 
 Por definición de integral indefinida 
 
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2. La diferencial de una integral indefinida es igual al elemento de integración, o sea: 
 d (  f(x) dx ) = f(x) dx 
 
Demostremos esta igualdad: 
d(  f(x) dx ) = (  f(x) dx )' dx = f(x) dx 
   
 Por definición de diferencial de una función 
 Aplicamos la consecuencia anterior 
 
3. La integral indefinida de la diferencial de una función es igual a la suma de esta función más una constante 
arbitraria, o sea: 
  dF(x) = F(x) + c 
 
Esto es así pues: 
  dF(x) =  F'(x) dx =  f(x) dx = F(x) + c 
    
 Por definición de diferencial de una función 
 Por definición de integral indefinida 
 Por definición de integral indefinida 
 
EJEMPLOS 
Calcular las siguientes integrales indefinidas. Indicar, en cada caso, la consecuencia de la definición de integral 
indefinida que aplica. 
1.  dx/ (2√𝑥) 2.  [1 / (2x - 5)] dx ' 
 
Para 1. : 
  dx/ (2√𝑥) =  [ 1/ (2√𝑥) ] dx =  (√𝑥)' dx =  d(√𝑥) = √𝑥+ c 
 
En este caso aplicamos la tercera consecuencia 
enunciada (integral indefinida de la diferencial de una 
función). 
 
 
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Para 2.: 
 
  [ 1 / (2x - 5)] dx ' = 1 / (2x - 5) 
 
En este caso aplicamos la primera consecuencia enunciada (derivada de la integral indefinida). 
 
 
2.2.5 La constante de integración- Condiciones iniciales 
La determinación de la integral indefinida de la función f: 
 f(x) dx = F(x) + c con F' =f 
arroja como resultado la suma de la función F (antiderivada o primitiva particular de f) más una constante c 
(constante de integración). 
Esta constante de integración c es arbitraria, o sea que puede asumir cualquier valor real. Sin embargo, en 
muchas aplicaciones, se hace necesaria la determinación de un valor particular de la misma. En este caso, el 
cálculo de la integral indefinida debe incluir condiciones anexas denominadas condiciones iniciales o de borde. 
La aplicación de estas condiciones permite determinar unívocamente la constante de integración. Una vez que 
contamos con el valor particular de la constante, y lo reemplazamos en la expresión analítica de la integral 
indefinida, esta se convierte en una integral particular (la denominación de indefinida desaparece en virtud de 
que la constante c tiene ahora un valor particular y no uno arbitrario -que es lo que la convierte en indefinida-). 
 
EJEMPLO 
Veamos con un ejemplo de qué manera se formulan las condiciones iniciales y cómo se aplican para determinar 
el valor específico de la constante de integración. 
Determinar la constante de integración que figura en el resultado de la siguiente integral indefinida, sabiendo 
que dicha integral toma el valor 8 cuando la variable independiente vale 2: 
 x3 dx = x4/4 + c 
Solución 
Si llamamos "y" al resultado de la integral indefinida: 
 y = x4/4 + c 
entonces, según los datos indicados en el enunciado, para x =2, y = 8: 
 
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 8 = 24/4 + c  c = 4 
Así, la integral particular que obtenemos es: 
 y =x4/4 + 4 
En este caso, x=2 e y=8, es la condición inicial que permitió determinar el valor de la constante de integración. 
 
2.2.6 Integrales Indefinidas Inmediatas- Propiedades de la Integral Indefinida 
¿Cuáles son los primeros pasos para calcular una Integral Indefinida? ¿Qué necesitamos saber para poder para 
resolver: 
 f(x) dx = F(x) + c con F' =f ? 
 
Básicamente requerimos conocer las Integrales Indefinidas Inmediatas y las Propiedades de la Integral 
Indefinida. 
i) Integrales Indefinidas Inmediatas 
Éstas comprenden a aquellas en las cuales la función integrando "f" es la derivada inmediata de la función 
antiderivada "F". 
Algunas de ellas son: 
 
1.  dx = x + c 
 
2.  xn dx = [ xn +1 / (n +1)] + c con n  R- - 1 
 
3.  1/x dx = ln  x + c con x  0 
 
4.  ex dx = ex + c 
 
5.  ax dx = ax/ ln a + c 
 
La demostración de cada una de las igualdades consignadas es inmediata. En todos los casos la derivada del 
resultado de la integral indefinida es la función integrando (definición de integral indefinida). Lo comprobamos 
con una de ellas, por ejemplo la número 5.: 
 
 
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[ax/ ln a + c] ' = (ax/ ln a)' + (c)' = ax. lna / ln a + 0 = ax 
 
 derivada del resultado función integrando 
 de la integral indefinida 
 
ii) Propiedades de la Integral Indefinida 
Supongamos que "k" representa un valor constante real y que las funciones "f" y "g" tienen integral 
indefinida. Entonces: 
Propiedad 1. La integral indefinida del producto de una constante "k" por una función que depende de x "f(x)", 
es igual a la constante "k" por la integral indefinida de la función "f(x)". O sea: 
  k f(x) dx = k  f(x) dx(la constante se puede extraer fuera del signo de integral). 
 
 
Propiedad 2.- La integral indefinida de la suma de dos funciones que dependen de x "f(x) y g(x)" es igual a la 
suma de las integrales indefinidas de cada una de dichas funciones. 
  [f(x) + g(x)] dx =  f(x) dx +  g(x) dx 
 
Nota: Esta propiedad se puede generalizar cuando: i) el integrando está formado por la suma de un número 
finito de funciones; ii) se trata de una suma algebraica de dos o más funciones. 
 
Demostración 
La veracidad de ambas propiedades es fácilmente comprobable a partir de la aplicación de: 
- algunas reglas de derivación (derivada de la función múltiplo constante y derivada de la suma de dos 
funciones). 
- la definición misma de integral indefinida (deberemos comprobar que la "derivada del segundo miembro de 
cada igualdad es igual a la función integrando que aparece en el primer miembro de la misma igualdad”). 
 En el caso de la Propiedad 1. 
[ k  f(x) dx] ‘= k (  f(x) dx) ' = k f(x) 
   
 
 
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 Aplicamos la regla de derivación del producto de una constante por una 
función que depende de x 
 Aplicamos de una de las consecuencias de la integral indefinida (la 
derivación anula la integración) 
 En el caso de la Propiedad 2. 
 [  f(x) dx +  g(x) dx] ‘= [  f(x) dx] ' + [ g(x) dx] ' = f(x) + g(x) 
   
 
 Aplicamos la regla de derivación de la suma de dos funciones que 
dependen de x 
 Aplicamos, a ambos términos, una de las consecuencias de la integral 
indefinida (la derivación anula la integración) 
EJEMPLO 
Sabiendo que: 
 dx = x + c0 
 x dx = x2 /2 + c1 
resolver la siguiente integral indefinida aplicando propiedades: 
 
 ( 1 + 2 x) dx =  dx +  2 x dx = 
 
=  dx + 2  x dx = 
 
= (x + c0 )+ 2( x2 /2 + c1) = 
 
 = x + x2 + c con c = c0 +2c1 
 Aplicamos la propiedad 2. de la integral indefinida 
 Aplicamos la propiedad 1. de la integral indefinida 
  Aplicamos los datos proporcionados 
 
2.2.7 Métodos de Integración 
Como acabamos de ver, plantear la integral indefinida de la función f: 
 f(x) dx 
 
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y obtener su resultado: 
 F(x) + c con F' =f 
obliga a determinar la forma de una antiderivada o primitiva F de f. 
 
Esta tarea puede ser sencilla o no. 
 
Es sencilla cuando se visualiza a la función f como derivada inmediata de alguna función elemental F. Es el caso 
cuando recurrimos a nuestra memoria, a la tabla de integrales indefinidas inmediatas o a alguna de las 
propiedades enunciadas de la misma, para resolverla. 
Resulta una tarea más complicada cuando la función f (a veces de apariencia sencilla) no es el resultado directo 
de derivar una función elemental F. Es el caso, por ejemplo, de la siguiente integral indefinida: 
  e -x dx 
Para esta integral, no es posible pensar en una función F cuya derivada sea f(x)=e-x 
¿Cómo procedemos entonces? 
Al respecto, una frase bien conocida es: "A integrar solo se aprende integrando". Esto significa que una 
ejercitación intensa permite vislumbrar, aún en situaciones que parecen complicadas, cuál es el camino a seguir 
para obtener la función antiderivada o primitiva F que buscamos. 
¿Existen reglas que facilitan el camino para resolver una integral indefinida? 
En realidad no existen dichas reglas. En el cálculo de integrales indefinidas no procedemos de la misma forma 
que cuando trabajamos con el cálculo de derivadas, o sea, aplicando las reglas de derivación. La determinación 
de integrales indefinidas no solo no cuenta con reglas fijas de integración, sino que algunas integrales indefinidas 
no tienen antiderivadas o primitivas obtenibles por ninguno de los métodos de cálculo exacto. 
Entonces, ¿de que “herramientas” disponemos para resolver una integral indefinida? 
A continuación estudiaremos algunos Métodos que proporcionan caminos viables para la resolución de una 
integral indefinida, que no está incluida dentro de las denominadas inmediatas (o sea las contenidas en la tabla 
de integrales inmediatas). Estos Métodos tienen como objetivo transformar la integral indefinida dada en otra 
tal que su resolución resulte inmediata (o casi inmediata). 
 
 
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i) Método de Integración por Descomposición 
Si f1, f2, … fn son funciones que tienen integral indefinida, entonces: 
 [f1(x) + f2 (x) +…+ fn(x)] dx =  f1(x) dx +  f2 (x) dx+…+  fn(x)) dx 
 
Notas 
1. Este método generaliza una de las Propiedades de la Integral Indefinida ya enunciada y demostrada. 
Específicamente cuando establecimos que “la integral indefinida de una suma de dos funciones es igual a la 
suma de las correspondientes integrales indefinidas”. 
2. Este resultado proporcionado por este método se pude generalizar cuando el integrando es la suma algebraica 
de un número finito de funciones que tienen, cada una de ellas, integral indefinida. 
 
EJEMPLO 
Aplicar el método de descomposición para resolver la siguiente integral indefinida: 
 (3x – x4 + ex) dx 
Solución 
  (3x – x4 + ex) dx =  3x dx -  x4 dx +  ex dx = 
 
 
= 3 (x2/2) - x5/5 + ex + c = 
 
 
= 3x2/2 - x5/5 + ex + c 
 
 Aplicamos el método de descomposición 
 Utilizamos el razonamiento, la memoria o la tabla de integrales 
indefinidas inmediatas para obtener los resultados parciales de las 
integrales (agrupamos todas las constantes en una única constante c) 
  Realizamos operaciones 
 
 
 
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ii) Método de Integración por Sustitución o Cambio de Variable 
Observemos detenidamente las siguientes integrales indefinidas y tratemos de encontrar una característica 
común en todas ellas. 
1.  [e (lnx + 8) / x] dx 
2.  (x2 - 3x+ 7)5 (2x -3) dx 
3.  (ex + 1)1/2 ex dx 
 
Si analizas detenidamente encontraras que, en el integrando de cada una ellas, aparece una función que 
depende de la variable x y su correspondiente derivada: 
* En 1., la función de x es: g(x)= ln x +8 y su derivada es: g´(x)= 1/x 
* En 2. la función de x es: g(x)= x2 - 3x+ 7 y su derivada es: g´(x)= 2x -3 
* En 3. la función de x es: g(x)= ex + 1 y su derivada es: g´(x)= ex 
Para resolver integrales indefinidas que poseen esta característica, el método de integración más apropiado es 
el Método de Sustitución o Cambio de Variable; precisamente la función que se identifica de la cual también 
aparece la derivada, será la función sobre la cual se realizará la sustitución o cambio de variable. Este Método 
tiene como fundamento teórico la derivada de una función compuesta. 
 
Teorema 
Sea la función F una primitiva o antiderivada de la función f en un intervalo I y g una función derivable tal que 
g(x) pertenece al intervalo I, entonces: 
 f [g(x)] g´(x) dx = F[g(x)] + c 
 
Demostración 
Para demostrar veracidadde la igualdad que propone la tesis del teorema, partiremos del primer miembro de 
la misma y, usando los datos, trataremos de llegar al segundo miembro: 
 
 f[g(x)] g´(x) dx =  F´[g(x)] g'(x) dx =  [ F (g(x) ) ]’ dx=  d F[g(x)] =  d F[g(x)] =F[g(x)] + c 
     
  Por ser F primitiva de f es: F´= f. 
 El integrando es la derivada de una función compuesta. 
 
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 La derivada de la función compuesta por el diferencial de x es el diferencial de la función compuesta. 
 Se aplica una de las consecuencias de la definición de integral indefinida. 
con lo que queda probada la igualdad. 
 
EJEMPLOS 
1. Calcular la siguiente integral indefinida aplicando el método de sustitución o cambio de variable: 
  [e (lnx + 8) / x] dx 
Solución 
Para resolver ésta y cualquier otra integral indefinida por sustitución, es importante identificar correctamente 
cuál es la función g(x), ya que ella será la nueva variable “t”. La sustitución debe ser tal que la nueva integral 
indefinida que obtengamos en la variable t sea de resolución inmediata o “casi” inmediata. 
Identifiquemos a la función g(x) y a su derivada. Así, definamos la nueva variable de la siguiente forma: 
 t = g(x) = ln x + 8  dt = g’ (x) dx= 1/x dx= dx/x 
Reemplazamos ambas expresiones en la integral dada y obtenemos: 
 [e (lnx + 8) / x] dx =  e (lnx + 8) dx/x =  e t dt 
Esta última es una integral indefinida inmediata cuyo resultado es: 
 [e (lnx + 8) / x] dx =  e t dt = e t + c 
Volviendo a la variable original x (o sea reemplazando t= ln x + 8), finalmente encontramos el resultado buscado: 
 [e (lnx + 8) / x] dx =  e t dt = e t + c = e (lnx + 8) + c 
 
2. Calcular: 
  (x2 - 3x+ 7) (2x -3) dx 
 
Solución 
 (x2 - 3x+ 7) (2x -3) dx =  t dt = t2/2 + c = (x2 - 3x+ 7)2/ 2 + c 
    
 Realizamos un cambio de variable, x por t, según la siguiente sustitución: t = g(x)= x2 - 3x+ 7 
diferenciando ambos miembros de la igualdad: dt = g´(x) dx= (2x - 3) dx 
 
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 La integral indefinida es de resolución inmediata 
 Regresamos a la variable original: reemplazamos "t" por su equivalente en "x" 
 
3. Calcular: 
 (ex + 1)1/2 ex dx 
Solución 
 (ex + 1)1/2 ex dx =  t 1/2 dt= t3/2/(3/2) + c = (2/3) (ex + 1)3/2 + c 
    
 Realizamos un cambio de variable, x por t, según la siguiente sustitución: t = g(x)= ex + 1 
diferenciando ambos miembros de la igualdad: dt = g´(x) dx= ex dx 
 La integral indefinida es de resolución inmediata 
 Regresamos a la variable original: reemplazamos "t" por su equivalente en "x" 
 
iii) Método de Integración por Partes 
La aplicación del Método de Integración Por partes es recomendado cuando el integrando de la integral 
indefinida es un producto de funciones. Esto tiene su razón de ser en el hecho que la fórmula que lo determina 
se obtiene a partir de considerar el resultado de la derivación del producto de dos funciones. 
Veamos de qué se trata. 
 
Sean dos funciones "u" y "v", ambas dependientes de la variable "x": 
 u = u(x) 
 v = v(x) 
y, a partir de ellas, realicemos el producto de las mismas y su correspondiente derivada, o sea: 
 [ u(x). v(x) ] ' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) 
Al aplicar el proceso de integración a ambos miembros de la igualdad y operar, surge que: 
 [ u(x). v(x) ] ' dx =  u'(x) v(x) dx +  u(x) v'(x) dx 
Por definición de diferencial de 
una función 
 d [u(x). v(x)] =  v(x) d[u(x)] +  u(x) d[v(x)] 
 
  d [u(x). v(x)] =  v(x) d[u(x)] +  u(x) d[v(x)] Propiedad de la integral 
 indefinida 
 
 
 
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u(x). v(x) =  v(x) d [u(x)] +  u(x) d[v(x)] 
 Realizamos pasaje 
 de términos 
  u(x) d [v(x)] = [u(x). v(x)] -  v(x) d[u(x)] 
 
o bien obviando el argumento de las funciones “u” y “v”: 
 u dv = u . v -  v du 
 
 = v' dx = u' dx 
 
 
Observaciones 
1. El primer miembro de la igualdad es la integral que nos proponemos calcular; el segundo miembro de la misma 
es la expresión analítica que aplicaremos para resolver la integral dada. 
2. Por la nota 1. inferimos que los datos con los que contamos son los que figuran en el primer miembro de la 
igualdad, o sea: 
 u y además dv = v ' dx 
3. La razón por la cual indicamos previamente que este método es aplicable cuando en el integrando aparece 
un producto de dos funciones, tiene su fundamento en el hecho preciso que en la integral dada se debe 
identificar: u y v' (una función y la derivada de otra función). 
4. Para poder aplicar la expresión analítica del segundo miembro de la igualdad es necesario reconocer 
previamente: 
v y además du = u' dx 
Para hacerlo obviamente se parte de los datos o sea de u y v', de la siguiente forma: 
 De u se obtiene du = u ' dx 
 De v ' se obtiene v =  v' dx 
5. No es sencillo elegir, en la integral dada, cual es u y cual es v'. Sin embargo, y en función de las expresiones 
que es necesario deducir a partir de ellas, es recomendable hacerlo teniendo en cuenta que: 
 u debe tener una sencilla derivada u' para poder calcular fácilmente u' dx 
v' debe ser tal que su antiderivada o primitiva sea inmediata o sencilla de calcular para poder obtener 
fácilmente v 
 
 
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Algunos consejos para elegir u y v' 
a) Si el integrando de la integral dada es el producto de un polinomio y una función no inversa, a menudo, es 
útil elegir u como el polinomio y v' como la función. 
b) Si el integrando de la integral dada es el producto de una función inversa y otra función cualquiera (en 
particular puede ser un polinomio), conviene designar a u la función inversa y v' como la función cualquiera. 
c) Si ninguna de las funciones que forman el integrando de la integral es un polinomio o una función inversa, 
entonces la designación de u y v' se la realiza utilizando criterios de selección personales (y que aplicados 
simplifiquen el cálculo de la integral dada). 
Otros consejos 
✓ Cuando al aplicar el método de integración por partes nuevamente obtenemos una integral resoluble por 
partes: 
 u dv = u . v -  v du 
 
 Requiere una nueva integración por partes 
nunca deberemos elegir la nueva variable U como: U = v, ya que estaríamos regresando al l punto de partida. 
✓ Cuando el integrando de la integral indefinida tiene forma de cociente: 
  [f(x)/g(x)] dx 
para elegir u y v' deberemos respetar estrictamente la ubicación de las funciones que forman la fracción. 
EJEMPLOS 
Calcular las siguientes integrales indefinidas utilizando el método de integración por partes: 
a)  (x - 4). ex dx 
b)  x. ln x dxResolvemos a) 
 (x-4) . ex dx = (x-4) ex -  ex dx = (x - 4) ex - ex + c= ex (x – 4 - 1) +c = 
   
 = ex (x – 5) + c 
 Seleccionamos: u = x - 4 y dv = ex dx [Ver consejo a) para elegir u y v'] 
A partir de ellos obtenemos: du = dx y v =  ex dx = ex 
y aplicamos el cálculo siguiendo la fórmula del método 
 
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 Resolvemos la integral indefinida inmediata de la función seno 
Resolvemos b) 
 x. ln x dx = ln x . (x2/2)-  (x2/2) (1/x) dx = (x2 .ln x)/2 - (1/2)  x dx = 
   
 = (x2 .ln x)/2 - (1/2) (x2/2)+ c= 
  
 = x2 [(ln x)/2 - 1/4 ) + c 
 
 Seleccionamos: u = ln x y dv = x dx [Ver consejo b) para elegir u y v'] 
A partir de ellos obtenemos: 
du = (1/x) dx y v =  x dx = x2/2 
y aplicamos el cálculo siguiendo la fórmula del método 
 Aplicamos la propiedad de la integral indefinida y se simplificamos el integrando 
Resolvemos la integral indefinida inmediata 
 
iv) Tablas de Integrales 
Como ya reiteramos en repetidas oportunidades, la evaluación de las integrales indefinidas puede no ser una 
tarea fácil: requiere del recuerdo fluido de las integrales indefinidas inmediatas, de mucha práctica y 
básicamente de intuición e ingenio. Una muestra más de la dificultad que puede presentar la resolución de una 
integral indefinida es la gran cantidad de métodos que se han desarrollado para orientar y ayudar a quien realiza 
el emprendimiento. 
¿Qué hacemos cuando la integral indefinida a resolver no es inmediata ni tampoco resoluble aplicando los 
métodos estudiados? 
Una forma alternativa de superar la dificultad es utilizar una Tabla de Integrales, la cual consta de una lista de 
integrales indefinidas resueltas. Estas tablas están organizadas de tal forma que es necesario identificar la 
integral que se desea calcular con alguna de las consignadas en la misma, reconociendo los valores homónimos 
de las constantes en ambos casos. 
En la literatura matemática existen muchas tablas del tipo de las citadas, unas más completas que las otras. Te 
invitamos a tener una entre sus apuntes. 
 
 
 
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3.1 CONCEPTOS PREVIOS 
Hemos definido, precedentemente, el concepto de Integral Indefinida. Recordemos que su cálculo produce 
como resultado una función más una constante. Vamos a establecer a continuación la definición de Integral 
Definida que, a diferencia de la anterior, da como resultado es un número; su determinación, involucra el 
cálculo de un límite particular. 
Como paso previo a la enunciación de la definición la Integral Definida es necesario establecer una serie de 
conceptos que participan de la construcción de la misma. 
Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a,b] cuya gráfica es la siguiente: 
 
 y 
 
 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O a b x 
 
 
Dividamos el intervalo [a,b] en n subintervalos. Para ello utilizaremos n+1 puntos del dominio de f: 
 a= xo , x1, x2, ..., xi-1, xi, ..., xn-1, xn=b 
 
Si esta división se efectúa bajo ciertas condiciones1, el conjunto de subintervalos que obtenemos recibe el 
nombre de Partición del intervalo cerrado [a,b] y lo indicamos con la letra P. 
La partición P queda conformada entonces de la siguiente manera: 
 
 P = [a=xo , x1], [x1,x2], ..., [xi-1, xi], ..., [xn-1, xn=b] 
 
1 Los subintervalos de la partición deben ser tales que: la unión de todos es [a,b], la intersección de dos de ellos consecutivos es un único punto común 
(frontera superior de uno y frontera inferior del otro) y la intersección de dos de ellos no consecutivos es el conjunto vacío 
 
3. INTEGRAL DEFINIDA 
 
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La longitud de cada uno de estos subintervalos es: 
 x1 = x1 – x0 
 x2 = x2 – x1 
................... 
 
xi = xi – xi-1 
............................. 
 
xn = xn – xn-1 
que en general expresamos de la siguiente forma: 
xk = xk – xk-1  k= 1, 2, ..., n 
A la longitud del subintervalo más grande de la partición P lo denominamos Norma de la Partición y la 
denotamos por P. En símbolos: 
P = max xk  k= 1, 2, ..., n 
Definamos un nuevo conjunto: el Aumento de la Partición. El mismo, indicado por T, está formado por un 
conjunto de n puntos, considerados cada uno de ellos en cada uno de los subintervalos de la partición P: 
 T = t1, t2, ..., ti-1, ti, ..., tn-1, tn = 
 
 
 = tK  R/ xk-1  tk  xk ,  k = 1, 2, ...,n 
 
Valuemos la función en cada uno de los puntos del aumento de la partición: 
 f(t1 ), f(t2), ..., f(ti), ..., , f(tn) 
Gráficamente: 
 
 
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 y 
 
 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 f(t1 ) f(t2) f(ti) f(tn) 
 
 
 
 O a= xo x1 x2 xi-1 xi xn-1, xn=b x 
 
 
 t1 t2 ti tn 
 
 
 x1 x2 xi xn 
 
 
Formemos los siguientes productos (valor de la función en el punto del aumento de la partición por la longitud 
del subintervalo al cual pertenece el punto de la partición): 
 f(t1) x1 
f(t2) x2 
... 
f(ti) xi 
... 
f(tn) xn 
 
y realicemos la suma de los mismos: 
 
f(t1) x1 + f(t2) x2 + ... + f(ti) xi + ...+... f(tn) xn 
 
 
que escrita, en forma abreviada, utilizando el símbolo  y designada con la letra S es: 
 
 n 
S =  f(tk) xk 
 k=1 
 
Esta suma depende de: la función f, la partición P y el aumento de la partición T. Por ello la escribimos como: 
 n 
S(f,P,T) =  f(tk) xk 
 k=1 
Esta suma es conocida, en la bibliografía matemática, como Suma de Riemman de la función f asociada a la 
partición P. 
 
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3.2 INTEGRAL DEFINIDA DE RIEMMAN 
3.2.1 Definición 
Sea f una función definida de la siguiente forma: 
f: [a,b] → R 
 x → y=f(x) 
Si existe un número real L (finito), límite de la Suma de Riemann cuando el número de intervalos de la partición 
P tiende a infinito: n 
L= lim S(f,P,T) = lim  f(tk) xk 
 n→ n→ k=1 
entonces dicho número L es, por definición, la Integral Definida de f entre a y b. 
 
3.2.2 Notación 
A dicho valor L lo notamos de la siguiente manera: 
 n b 
 L= lim S(f,P,T) = lim  f(tk) xk = f(x) dx 
 n→ n→ k=1a 
 Notación 
 
Notas 
1. Si este límite existe, o sea, si existe la integral definida de f entre a y b, decimos que f es integrable en [a,b]. 
2. No es casualidad que para la integral definida utilicemos una notación similar a la que utilizamos para la 
integral indefinida. Si bien, como ya lo hemos mencionado, la primera es un número y la segunda es un conjunto 
de funciones, existe una conexión muy “fuerte” entre ambas. Retomaremos este tema a la brevedad. 
3.2.3 Elementos de la Notación 
En la integral definida: 
 b 
 f(x) dx 
 a 
 
* es el signo de integración 
 
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* los números a y b, reciben el nombre de límite inferior de integración y límite superior de integración, 
respectivamente. 
* el intervalo [a,b], se denomina intervalo de integración. 
*f es la función integrando. 
*f(x) dx es el elemento de integración. 
3.2.4 Condición necesaria para la existencia de la Integral Definida 
Nos preguntamos, ¿siempre existe la integral definida?, o dicho de otra manera, ¿f es siempre integrable en un 
intervalo [a,b]? 
La respuesta es NO; no siempre una función es integrable en un intervalo. Veamos entonces qué condición se 
debe cumplir para que exista la integral definida de la función f en el intervalo [a,b]. 
 
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] (a y b números finitos), entonces f es integrable en 
[a,b]. 
 
 
3.2.5 Interpretación geométrica 
Calcular el área de ciertas regiones planas como las del cuadrado, rectángulo, triángulo, trapecio, entre otras, 
es un procedimiento que no reviste, a esta altura del estudio de la Matemática, ningún tipo de dificultad. 
Tampoco lo tiene determinar el área de una región como la siguiente: 
 
 
 
 
 
ya que ella resulta como la suma de las áreas de las figuras conocidas (método de descomposición): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Pero, ¿cuál es el valor del área de una región plana cuyos bordes no son todos lados rectos, como por ejemplo 
las siguientes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evidentemente los conocimientos con las cuales contamos hasta ahora son insuficientes para dar la respuesta 
solicitada. A continuación, vamos a demostrar que, la integral definida (¡que reiteramos es un número que 
surge del cálculo de un límite muy particular!) es la herramienta que proporciona el Cálculo Integral para 
determinar el valor del área de una región plana de cualquier forma2. 
 
Interpretación geométrica de la Integral Definida: Área de una Región Plana 
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y f(x)0 x  [a,b], entonces la integral definida de f en dicho 
intervalo es un número que representa el área (A) de la región plana R limitada superiormente por la 
gráfica de f, inferiormente por el eje OX y lateralmente por las rectas de ecuación x=a y x=b. O sea: 
 
 
 b y 
 Área R = A = f(x) dx y=f(x) 
 a 
 R Región 
 Plana R de 
 O x área A 
 x=a x=b 
 
 
 
 
Justificación 
Llamemos A al área de la región R cuyo valor deseamos determinar: 
A = Área de R 
 
2 Existen otras magnitudes como la distancia entre dos puntos, longitud de una curva cualquiera y el volumen de un sólido de forma irregular (entre 
muchas más) que también son factibles de ser evaluadas en forma exacta utilizando la integral definida. En la bibliografía recomendada podrás encontrar 
más sobre este tema mencionado habitualmente como las aplicaciones de la derivada 
 
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Particionemos en primer lugar el intervalo [a,b] en n subintervalos mediante los n+1 puntos: 
 a= xo , x1, x2, ..., xi-1, xi, ..., xn-1, xn=b 
Obtendremos los subintervalos: 
 [a=xo , x1], [x1,x2], ..., [xi-1, xi], ..., [xn-1, xn=b] 
donde la longitud de cada uno de ellos es: 
 x1 = x1 – x0 
 x2 = x2 – x1 
................... 
xi = xi – xi-1 
.................. 
xn = xn – xn-1 
A continuación, establezcamos un aumento de la partición, considerando un punto tk en cada uno de los 
subintervalos que conforman la misma: t1, t2, ..., ti-1, ti, ..., tn-1, tn 
Los valores de la función en cada uno de ellos es: f(t1 ), f(t2), ..., f(ti), ..., , f(tn) 
Formemos ahora un conjunto de n rectángulos. Cada rectángulo tiene como base un subintervalo de la partición 
y como altura el valor correspondiente de la función en el punto tk de ese mismo intervalo: 
 
 y 
 
 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 f(t1 ) f(t2) f(ti) f(tn) 
 
 
 
 O a= xo x1 x2 xi-1 xi xn-1, xn=b x 
 
 
 t1 t2 ti tn 
 
 x1 x2 xi xn 
 
 
Hemos “cubierto” con rectángulos y en forma aproximada la región R cuya área A queremos determinar. 
Denominemos a los rectángulos formados: 
 
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 R1, R2, ..., Ri-1, Ri, ..., Rn-1, Rn 
¿Cuál es el área de cada uno de estos rectángulos? Si llamamos: 
 A1, A2, ..., Ai-1, Ai, ..., An-1, An 
a cada una de ella y aplicamos la fórmula correspondiente para determinar el área de un rectángulo (o sea, 
producto de las longitudes de sus lados) obtendremos: 
 Área de R1 = A1 = f(t1) x1 
Área de R2 = A2 = f(t2) x2 
... 
Área de Ri = Ai = f(ti) xi 
... 
Area de Rn = An = f(tn) xn 
La suma de las áreas de todos los rectángulos, a la que mencionaremos como A*, es: 
 A* = A1+ A2 +... +Ai+ ... +An = 
 
 = f(t1) x1 + f(t2) x2 + ... + f(ti) xi + ...+... f(tn) xn= 
 n 
 =  f(tk) xk 
 k=1 
 
Ahora bien, el valor de esta área A* es aproximadamente igual al valor del área A que deseamos determinar: 
 A  A* 
Si aumentamos la cantidad de subintervalos de la partición (n→), disminuyendo las longitudes xi (xi →0) la 
aproximación entre A y A* irá mejorando hasta que en el límite ambos valores coincidirán, o sea: 
 n 
A = lim A* = lim  f(tk) xk 
 n→ n→ k=1 
Si comparamos esta última expresión con la correspondiente a la establecida para la definición de integral 
definida, vemos que son similares (¡además de obtenidas aplicando procedimientos similares!). Luego podemos 
escribir que: 
 n b 
 A = lim  f(tk) xk = f(x) dx 
 n→ k= 1 a 
 
 
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con lo cual hemos justificado lo expresado. 
 
Notas 
 
1. En virtud que hasta ahora solo sabemos calcular la integral definida por definición (un procedimiento un poco 
laborioso), postergaremos hasta más adelante la formulación de ejemplos concretos del tema. No obstante ello, 
plantearemos (pero no resolveremos) algunos cálculos de áreas de figuras planas. 
2. También postergaremos, para un tratamiento posterior, de qué manera determinamos el área de una región 
plana en casos más generales que el dado. 
 
EJEMPLOS 
a) 
 y 
 
 y=f(x) 
 
 
 
 R 
 
 
 
 0 5 x 
 
b) 
 y y=f(x) 
 y=g(x) 
 
 y=h(x) 
 
 
 
R 
 
 
 O 1 3 4 x 
 
 
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c) 
 y 
 y= g(x) = 1 
 
 1 
 
 
 y=f(x)= x2 R 
 
 
 
 O 1 2 x 
 
 
Solución 
 
Para a) 
 
5 
Área de R = f(x) dx 
 0 
 
Para b) 
 
1 3 4 
Área R = f(x) dx + h(x) dx + g(x) dx 
 0 1 3 
 
Para c) 
 
1 2 
Área R = x2 dx + 1 dx 
 0 1 
 
3.2.6 Propiedades de la Integral Definida 
Propiedad 1: Integral definida en un punto 
Si en la integral definida los límites de integración son iguales (a=b), entonces el valor de dicha integral es 
nulo. O sea: 
 a 
 f(x) dx = 0 
 a 
 
 
 
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Justificación 
Si pensamos en la integral definida como el valor del área de una región, la justificación de este resultado es 
obvia. 
 
Propiedad 2: Opuesta de una integral definida 
Si en la integral definida, invertimos el orden de presentación de los límites de integración, entonces la 
integral que obtenemos es opuesta a la dada. O sea: 
b a 
 f(x) dx = - f(x) dx con a < b 
 a b 
 
 
Propiedad 3: El nombre de la variable de integración 
La variable de integración, identificada hasta ahora por x, puede ser reemplazada por cualquier otra letra (por 
ejemplo t, y, z, ...) que sea función de x, ya que esto no produce modificaciones en el resultado del valor de la 
integral. O sea: 
b c 
 f(x) dx = g(t) dt 
 a d 
 
 
Propiedad 4: Subdivisión del intervalo de integración (propiedad aditiva de los intervalos) 
Si f es una función integrable en [a,b] y c  (a,b), entonces es posible expresar la integral definida de f en [a,b] 
como suma de dos integrales definidas: una en el intervalo [a,c] y la otra en el intervalo [c,b]. O sea: 
b c b 
 f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx con c (a,b) 
 a a c 
 
 
 
Justificación 
 
Supongamos que la función f definida en [a,b] tiene como gráfica la siguiente: 
 
 
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 y 
 
 y=f(x) 
 
 
 R 
 
 
 
 O a b x 
 
 
 
y apelemos nuevamente a la interpretación de la integral definida como el valor de un área. 
Entonces, el área A de la región R limitada superiormente por la gráfica de f, inferiormente por el eje OX y 
lateralmente por las rectas x=a y x=b, es: 
 b 
A= Area R = f(x) dx 
 a 
Consideremos el punto c  (a,b), y por él tracemos una vertical de tal forma que la región R quede dividida en 
dos subregiones R1 y R2 de áreas A1 y A2: 
 
 
 y 
 
 y=f(x) 
 
 
 
 R1 R2 
 
 
 O a c b x 
 
 
Luego: 
 R = R1  R2 
y además: 
A = A1 + A2 
Pero: 
✓ A1 es el área de la región limitada superiormente por la gráfica de f, inferiormente por el eje OX y lateralmente 
por las rectas x=a y x=c, que escrita en términos de integral definida es: 
 
 
___________________________________________________________________________________________________ 
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 c 
A1 = f(x) dx 
 a 
✓ A2 es el área de la región limitada superiormente por la gráfica de f, inferiormente por el eje OX y lateralmente 
por las rectas x=c y x=b, que escrita en términos de integral definida es: 
 b 
A2 = f(x) dx 
 c 
Luego como ya lo expresamos: 
 
A = A1 + A2 
 
que, en términos de integrales definidas, es: 
 
 b c b 
 f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx 
 a a c 
 
con lo que queda justificada la propiedad. 
 
Propiedad 5: El integrando es una función múltiplo constante 
Sea f una función integrable en el intervalo cerrado [a,b]. Entonces la función múltiplo constante: k f (k es una 
constante real) es también integrable en [a,b] y vale para ella el siguiente resultado: 
b b 
 k f(x) dx = k f(x) dx 
 a a 
 
 
Propiedad 6: El integrando es la suma de dos funciones 
Sean f y g funciones integrables en el intervalo cerrado [a,b]. Entonces la función suma f + g es también 
integrable en [a,b] y vale para ella el siguiente resultado: 
b b b 
 [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx 
 a a a 
 
 
 
Nota: Esta propiedad es extensible para la suma de un número finito de funciones, como así también para la 
suma algebraica de cualquier número finito de funciones. 
 
 
 
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Propiedad 7: Conservación de las desigualdades 
Sean f y g funciones integrables en [a,b] tales que para ellas se cumple que: 
f(x)  g(x) x  [a,b] 
Entonces se verifica que, las integrales definidas de ambas funciones en [a,b] conservan idéntica relación de 
magnitud entre sus valores. O sea: 
 b b 
 f(x) dx  g(x) dx 
 a a 
 
 
Justificación 
Sean f y g las funciones cuyas gráficas son las siguientes (según las condiciones establecidas en esta propiedad): 
 
 
 y y=g(x) 
 
 
 
 y=f(x) 
 
 
 
 O a b x 
 
 
 
Observemos que la gráfica de f está por debajo de la gráfica de g en todo el intervalo [a,b]. 
Luego, el valor del área de la región bajo la gráfica de f, sobre el eje OX entre x=a y x=b (a la cual llamamos A1) 
es: 
 
 
 y 
 y=g(x) 
 
 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 O a b x 
 
 
 
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 b 
 A1 = f(x) dx 
 a 
y es menor (o a lo sumo igual) que el valor del área de la región bajo la gráfica de g, sobre el eje OX entre x=a y 
x=b ( al que llamamos A2): 
 
 
 y y=g(x) 
 
 
 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 O a b x 
 
 b 
 A2 = g(x) dx 
 a 
Luego: 
A1  A2 
que en términos de integrales definidas es: 
 
b b 
 f(x) dx  g(x) dx 
 a a 
 
con lo que queda justificada la propiedad. 
 
Nota: Hemos justificado algunas de las propiedades de la integral definida apelando a su interpretación 
geométrica. Sin embargo es posible demostrar todas ellas utilizando la definición misma de integral definida y 
con ella las propiedades de las sumatorias () y los límites. Aunque no 
lo haremos en esta instancia, si lo deseas puedes consultar dichas demostraciones en la bibliografía que se 
adjunta al Programa Analítico de la materia. 
 
3.2.7 Cálculo del Área de Región Plana: Casos 
 
En la interpretación geométrica de la integral definida establecimos que si f es continua en el intervalo cerrado 
[a,b] y f(x)0 x  [a,b], entonces el valor numérico de la integral definida de f en dicho intervalo es igual al área 
 
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de la región plana R limitada superiormente por la gráfica de f, inferiormente por el eje OX y lateralmente por 
las rectas de ecuación x=a y x=b. O sea: 
 
 
b y 
Área R = A = f(x) dx y=f(x) 
 a 
 R 
 
 O x 
 x=a x=b 
 
 
 
Ahora bien, ¿que sucede si …: 
 
a) … en lugar del eje OX como límite inferior de la región R existe la representación gráfica de otra función g 
que cumple el mismo rol?, o sea: 
 
 y 
 y=f(x) 
 
 
 R 
 
 
 y=g(x) 
 
 O a b x 
 
 
b) … la función f es tal que f(x)  0 en todo el intervalo [a,b]?, o sea: 
 
 
 
 y 
 a b x 
 
 O R 
 
 
 y= f(x) 
 
 
Desarrollaremos a continuación de qué manera se realizan los cálculos en ambos casos. 
 
 
 
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Caso a) 
Si f y g son dos funciones continuas en el intervalo [a,b] con f(x)g(x) x  [a,b] y si R es la región plana limitada 
por las gráficas cartesianas de f y g y las rectas de ecuación x=a y x=b, entonces el área A de la región R es: 
b 
 Área de R = A = [f(x) – g(x) ] dx 
 a 
Gráficamente: 
 
 y 
 y=f(x) 
 
 
 R 
 
 y=g(x) 
 
 O a b x 
 
 
Justificación 
Para mostrar la validez de este resultado, vamos a determinar el valor del área A de la región R como diferencia 
entre las áreas A1 y A2, de dos regiones R1 y R2, de la siguiente manera. 
 La región R1 es la limitada por las curvas de ecuación: 
 y= f(x) gráfica de f 
 y= 0 eje OX 
 x=a recta 
 x=b recta 
o sea gráficamente: 
 
 y 
 y=f(x) 
 
 
 R1 
 
 
 
 
 O a b x 
 
 
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Su área, A1, es igual a: 
b 
 A1 = f(x) dx 
 a 
 La región R2 es la limitada por las curvas de ecuación: 
 y= g(x) gráfica de g 
 y= 0 eje OX 
 x=a recta 
 x=b recta 
o sea gráficamente: 
 
 y 
 
 
 
 
 y=g(x) 
 
 R2 
 
 O a b x 
 
 
Su área, A2, es igual a: 
b 
 A2 = g(x) dx 
 a 
 
Finalmente, el área de la región planteada R, o sea A, es igual a la diferencia entre las áreas A1 y A2 de las 
regiones R1 y R2: 
 A = A1 – A2 = 
 
b b 
 = f(x) dx - g(x) dx = 
 a a 
 
b 
 = [ f(x) – g(x) ] dx 
 a 
 
con lo cual queda justificada la igualdad propuesta. 
 
 
 
 
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Nota: En la última fórmula: 
b 
 A = [ f(x) – g(x) ] dx 
 a 
debemos observar que f es la función cuya gráfica delimita SUPERIORMENTE a la región R y g es la función cuya 
gráfica limita la región R INFERIORMENTE: 
 b 
 A = [f(x) – g(x) ] dx 
 a 
 
 
 Expresión de la función Expresiónde la función 
cuya gráfica limita R superiormente cuya gráfica limita R inferiormente 
Caso b) 
Sea f una función continua en el intervalo [a,b] tal que f(x)0  x  [a,b]. Si R es la región plana limitada por 
las gráficas cartesianas de f, el eje OX y las rectas de ecuación x=a y x=b, entonces el área A de la región R es: 
 b 
 Área de R= A = - f(x) dx 
 a 
 
Gráficamente: 
 
 
 y 
 a b x 
 
 O R x 
 
 
 y= f(x) 
 
 
Justificación 
En este caso, la región R está limitada: 
 Superiormente por el eje Ox de ecuación: y= 0 
 Inferiormente por la gráfica de f, de ecuación: y=f(x) 
 Lateralmente por las rectas de ecuaciones: x = a y x=b 
Calculemos el área de R, o sea A, aplicando el resultado del caso a): 
 
 
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b b b 
 A = [0 - f(x)] dx = [-f(x)] dx = - f(x) dx 
 a a a 
 
 
 Expresión de la función Expresión de la función 
cuya gráfica limita R superiormente cuya gráfica limita R inferiormente 
 
con lo que queda justificado el resultado propuesto. 
 
3.2.8 Teoremas Fundamentales del Cálculo 
¿Qué conocemos hasta ahora de la integral definida? 
Sabemos que: 
 Es un número que surge como resultado del cálculo de un límite especial. 
 Es un número que, geométricamente, interpretamos como el valor del área de una cierta región. 
 Es un número para cuyo cálculo es posible aplicar ciertas propiedades. 
Sin embargo, ¡todavía no hemos calculado ninguna integral definida! 
Este es precisamente el objetivo de este punto: aprender como de una manera sencilla y sin apelar al cálculo 
del límite que la define, es posible determinar su valor. 
Dos Teoremas nos ayudarán a lograr esta meta: el Primer Teorema Fundamental del Cálculo y el Segundo 
Teorema Fundamental del Cálculo. Sobre ellos debemos decir además que constituyen los nexos vinculantes 
entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral. 
i) Primer Teorema Fundamental del Cálculo 
Sea G una función definida de la siguiente manera: 
 
 G: [a,b]→ R 
 x 
 x → y = G(x) = f(t) dt 
 a 
con f una función continua en [a,b]. Entonces: 
 
 G’ (x) = f(x) 
 
(la derivada de la función G es la función integrando particularizada para el límite superior de integración). 
 
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No se demostrará este Teorema, pero sí se realizarán algunas reflexiones sobre el mismo: 
 
Reflexión 1. La integral que define a la expresión analítica de la función G: 
 
 x 
 y = G(x) = f(t) dt 
 a 
 
es una integral ¡de límite superior variable! 
Reflexión 2. En la definición de la fórmula de G, o sea en: 
 
 x 
 y = G(x) = f(t) dt 
 a 
 
utilizamos a t como variable de integración pues la letra x está “comprometida” como variable independiente 
de G y por ende (según lo dicho en el punto 1.) aparece en como límite superior de integración. 
Reflexión 3. Si consideramos la condición adicional que la función f es no negativa en [a,b], podemos interpretar 
a la función G como la Función Área ya que en este caso para cada valor de x del intervalo en cuestión [a,b] 
existe un único valor G(x) que mide el área de la región plana limitada superiormente por la gráfica de f, 
inferiormente por el eje OX y lateralmente por las rectas a y x. Gráficamente: 
 
 
 y 
 
 
 y=f(t) 
 
 
 x 
 G(x) = f(t) dt 
 a 
 
 O a x b t 
 
 
Reflexión 4. La fórmula de G es una integral definida (cálculo integral); la tesis del teorema hace referencia a la 
derivada de G (cálculo diferencial). 
Reflexión 5. Si tal cual lo expresa la tesis del Primer Teorema Fundamental del Cálculo, es: 
 G’(x) = f(x) 
entonces, G una antiderivada o primitiva de f (recordar definición de antiderivada o primitiva de f). 
 
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ii) Segundo Teorema Fundamental del Cálculo (Regla de Barrow) 
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y F es cualquier primitiva de f en dicho intervalo ( o sea F’(x)= f(x), 
x  [a,b]) entonces: 
 
 b 
 f(x) dx = F(b) – F(a) 
 a 
 
(o sea, la integral definida de la función f en el intervalo [a,b] es igual a una primitiva F calculada en el límite 
superior de integración b menos la misma primitiva F calculada en el límite inferior de integración a. 
Demostración 
Por la REFLEXION 5. consignada en el punto anterior, una primitiva de f es de la forma: 
 x 
 G(x) = f(t) dt 
 a 
 
(reiteramos que usamos t como variable de integración pues la letra x “está comprometida” con el límite 
superior de integración). 
Pero, por hipótesis F es otra primitiva de f. Luego, recordando el Teorema Fundamental, el cual afirma que todas 
las primitivas de una función f difieren en una constante c podemos escribir: 
 F(x) - G(x) = c 
 
que es equivalente a: 
 F(x) = G(x) + c 
 
o bien: 
 x 
 F(x) = f(t) dt + c c: constante 
 a 
 
Valuemos la última expresión en x=a y en x=b: 
 
✓ Para x=a: 
 a 
 F(a) = f(t) dt + c 
 a 
 
 = 0 (por la Propiedad Nº1 de la integral definida) 
 
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Así: 
 F(a) = c 
 
y reemplazando en la expresión correspondiente al conjunto de primitivas de f obtenemos: 
 x 
 F(x) = f(t) dt + F(a) 
 a 
 
✓ Para x=b: 
 
 Particularicemos ahora en la expresión de la familia de primitivas de f: 
 
 x 
 F(x) = f(t) dt + F(a) 
 a 
 
x por b. Obtendremos: 
 b 
 F(b) = f(t) dt + F(a) 
 a 
 
o bien: