ÁLGEBRA ANUAL UNI 2014 PARTE 5 [PDF DRIVE]

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5
Preguntas Propuestas
. . .
2
Álgebra
Valor absoluto I
1. Dada la expresión f(x)=|x+5| – |2x – 1|, deter-
mine la secuencia correcta luego de determi-
nar el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las 
siguientes proposiciones.
 I. f(x)=6 – x ∀ ∈ + ∞x
1
2
;
 II. f(x)=x – 6 ∀ x ∈〈 – ∞; – 5]
 III. f(x)=3x+4 ∀ ∈ −x 5
1
2
;
A) VVV B) VVF C) FVF
D) VFF E) FFF
2. Si |x|=– x, indique la variación de
 
f
xx( )
= −
−
1
2
1
 A) f(x) ∈ [– 1; 1〉
 B) f(x) ∈ [– 1; +∞〉
 C) f(x) ∈ 〈– 1; 1〉
 D) f(x) ∈ [0; 1〉
 E) f(x) ∈ R 
–
3. Determine el valor de x, que se obtiene al 
resolver |x2 – 8x+15|= – |6+x – x2|
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
4. Determine el área de la región triangular ABC.
 
A C
B
|x+1|
|3 – x|
xx x
 Considere x el mayor entero posible.
A) 4 u2 B) 16 u2 C) 24 u2
D) 30 u2 E) 12 u2
5. Indique el número de soluciones de la ecua-
ción
 3 2 1 7− + + = −x x
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
6. Determine el cuadrado de la solución de la si-
guiente ecuación.
 |2x – 6|+|x – 3|=6x
 A) 9 B) 4 C) 1
 D) 25 E) 16
7. Si x1; x2; ...; xn son las soluciones de la ecuación
 x2(x – 1)2=|x2 – x|+6
 calcule el valor de x1 · x2 · … · xn .
 A) 6 B) – 6 C) 9
 D) – 3 E) 27
8. Si el siguiente conjunto
 A x x x= ∈ + − − + − ={ }R / 3 1 1 5 1 1 22
 es equivalente al conjunto {a; b}
 Determine el valor de |a|+|b|
A) 3 B) – 2 C) 6
D) 1 E) 1/2
9. Se tiene el siguiente polinomio
 P(x)=x4 – 5x2 – 8x – 12
 Indique el mayor valor de x, que se obtiene al 
resolver
 P(|x|)=0
A) – 2 B) – 1 C) 0
D) 1 E) 3
3
Álgebra
10. Determine la suma de soluciones que resulta 
al resolver
 |x+2|+|x – 1|=|x+3|
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Valor absoluto II
11. Determine la longitud del conjunto solución 
del siguiente sistema de inecuaciones.
 
x
x
− >
+ ≤



2 3
1 7
A) 7 u B) 8 u C) 6 u
D) 5 u E) 4 u
12. Dado los conjuntos
 A={x ∈R / ||x| – x| ≤ 6}
 B={x ∈R / |x| ≤ 4}
 indique A ∩ B
A) [ – 3; 4] B) [ – 3; 3] C) R
D) f E) [ – 3; +∞〉
13. Si el conjunto solución de la inecuación
 |x – 3| > |2x+1| es 〈a; b〉
 Determine el valor de 
a
b
.
 A) 3 B) – 6 C) – 4
 D) 0 E) 2
14. Determine la longitud del conjunto solución de 
la inecuación
 x
x
− +
−
≤2
12
2
7
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 1
15. Resuelva siguiente la ecuación. 
 
x x
x x
− + − −
− + −
≥
2 6 4
2 6
0
 A) CS=[3; 6] ∪ {2}
 B) CS=[3; 6〉
 C) CS=[2; 3〉
 D) CS=[2; +∞〉 – {3}
 E) CS=[2; 3]
16. Resuelva la siguiente inecuación.
 
2 2
2
0
− −
−
>| |
| |
x
x
 A) 〈– 2; 0〉 ∪ 〈2; 4〉
 B) 〈– 2; 2〉 ∪ 〈4; +∞〉
 C) 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈0; 2〉 ∪ 〈4; +∞〉
 D) 〈– 2; 4〉 – {0; 2}
 E) f
17. Resuelva la siguiente ecuación.
 |x2 – x+1|+|x2+x – 1|=2|x – 1|
 Indique un intervalo solución.
 A) 5 1
2
+

 + ∞;
 B) 5 1
2
−

 + ∞;
 C) 〈–1; 1〉
 D) −1
1
2
;
 E) 〈– 2; 0〉
18. Luego de resolver la inecuación
 
x x
x x
− −
+ −
≥| |
| |
2
1
0
 halle el menor elemento de su conjunto solución.
 A) 0 B) 
3
2
 C) 
5
2
 D) 2 E) 1
. . .
4
Álgebra
19. Determine el conjunto solución de la inecuación.
 
x
x x
2 4
5+ ≥
A) R\{0}
B) 〈 – ∞; – 4] ∪ [ – 1; 1] ∪ [4; +∞〉 – {0}
C) [4; +∞〉
D) 〈 – ∞; – 4] ∪ [4; +∞〉
E) f
20. Resuelva la inecuación
 
1
4
12 20
1
12
60 36 8 1x x x+ + + > +
 luego indique el número de soluciones enteras.
A) 4 B) 3 C) 2
D) 1 E) 0
Funciones
21. Dada la función
 G={(–3; y+2); (–1; 4); (–1; x2); (–3; 5); (–2; x)}
 indique el valor de (x+y)mín+(x+y)máx.
 A) 5 B) 7 C) 10
 D) 6 E) – 6
22. Sea f una función tal que
 f
x
x x
x x
x( )
;
;
;
=
< −
+ − ≤ <
− ≥





1 1
2 1 2
1 22
 calcule el valor de (b – a)
 si se sabe que a=f(f(0)) y b=f(a).
A) 0 B) 3 C) 5
D) 8 E) 11
23. Se tienen las funciones D y E tales que
 D
x
xx( )
=
∈
∈



1
0
;
; '
Q
Q
 E
x x
x x
x( )
+
−
=
+ ∈
− ∈




π;
;
R
R
0
 determine el valor de
 D(E(D(p)))+E(D(E( – 1))).
A) p B) p+1 C) 0
D) 1 E) p – 1
24. Sea f : S → R una función definida por
 f={(2t+1; 4t2 – 2t+1) / t ∈ R}
 halle la regla de correspondencia de f.
 A) f(x)=x
2 – x+1
 B) f(x)=x
2 – 2x+3
 C) f(x)=x
2+3x+3
 D) f(x)=x
2+3x – 3
 E) f(x)=x
2 – 3x+3
25. Sea f : S → R una función tal que
 f={(1 – t; t2+1) / t ∈ 〈– 1; 1〉}
 halle Ranf ∩ Dom f.
 A) [1; 2〉 B) 〈1; 2〉 C) 〈0; 2〉
 D) 〈0; 1〉    E) [0; 2〉
26. Sea f una función definida por
 
f
e e e e
t
t t t t
= − +



 ∈






− −
2 2
; R
 determine la regla de correspondencia de f.
A) f xx( ) = +1
2
B) f xx( ) = − +1
2
C) f xx( ) = −1
2
D) f xx( ) = − −1
2
E) f xx( ) = +1
27. Halle el dominio de la función g.
 
g
x x
x
x( ) =
− − −
−
1 3
23
 A) [1; 3] B) [1; 2] C) [1; 3] – {2}
 D) [1; 2〉    E) [1; 3〉 – {2}
5
Álgebra
28. Determine el dominio de la siguiente función.
 f
x
x x
x( ) =
+
+ −
2
2
1
3 2
 Luego indique la suma de los elementos ente-
ros que pertenecen al dominio.
 A) 6 B) 5 C) 4
 D) 3 E) 2
29. Sea la función
 h: 〈a; b〉 →   R
 x →   2x+5
 cuyo rango es 〈3; 9〉. 
 Determine el valor de a+b.
 A) 0 B) 1 C) – 1
 D) – 2 E) 2
30. Determine Ran g si se tiene que
 g: 〈1;+∞〉 → R
 x g
x x
xx
→ =
− +
−( )
2 4
1
 A) [4; +∞〉 B) [4; 5] C) [5; +∞〉
 D) [3; +∞〉 E) 〈4; +∞〉
Funciones especiales I
31. Si se tiene que f(x)=ax+b+4 cuya gráfica es
 
12
a
X
Y
m
2
f(x)
 Halle el valor de m.
 A) – 1 B) – 2 C) – 3
 D) – 4 E) 1
32. Definimos la siguiente función.
 
sgn( )
;
;
;
x
x
x
x
=
>
=
− <




1 0
0 0
1 0
 Indique la gráfica de la función f(x)=sgn(x
2 – 1).
 
A) B)
1
1
Y
X
– 1
– 1
1
1
Y
X
– 1
– 1
C)
1
1
Y
X
– 1
– 1
D) E)
1
1
Y
X
– 1
– 1
1
1
Y
X
– 1
– 1
33. Determine la gráfica de la función
 g
x x
x x
x x
x( ) =
− ≥
− + − ≤ <
− < −




2 1 2
1 2 2
1 2
;
;
;
A) 
2
3
 B) 
3
2–2
– 3
C) 
2
–2
–3
3
D) 
2
3
2–2–2
– 3
 E) 
2
–3
–3
2
. . .
6
Álgebra
34. Determine el área de la región que encierra las 
gráficas de las funciones f y g.
 f(x)=|x| – 4 ∧ g(x)=0
 A) 32 u2 B) 16 u2 C) 24 u2
 D) 8 u2 E) 12 u2
35. Indique la gráfica de la función
 g(x)=|x – 1| – x+5
A) 
X
Y
1 5
 B) 
X
Y
1
4
6
C) 
X
Y
1
4
6
D) 
X
Y
1
4
 E) 
X
Y
1 2
36. Indique el área de la región formada por
 f(x)=15 – 5|x – 3| y h(x)=6 – x.
A) 50 u2 B) 20 u2 C) 60 u2
D) 30 u2 E) 35 u2
37. Sea f(x)=|x+2|+|x+3| una función constante 
∀ x ∈ [a; b]. Calcule el producto a · b.
 A) 6 B) 3 C) 0
 D) – 2 E) – 6
38. Esboce la gráfica de la siguiente función.
 
g xx( ) = − −2 1 2
A) 
X
Y B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y E) 
X
Y
39. Si la siguiente gráfica corresponde a la función 
cuadrática
 f(x)=ax
2 – bx+c; a ≠ 0
3 m
Y
X
 determine el valor de
 f
c
a
f
b
a3
3

 + −




A) – 1 B) 0 C) 1
D) – 2 E) 2
7
Álgebra
40. Grafique la siguiente función
 g={(x; x2 – 4|x|) / x ∈R}
A) Y
X
B) Y
X
C) Y
X
D) Y
X
E) Y
X
Funciones especiales II
41. Indique la gráfica de la función h si se cumple 
que h
x
xx( ) | |
= +
6
1.
 
A) B)Y
X
C)
D) E)
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
42. Sean f y g dos funciones tales que
 f
x x
xx( )
=
+( ) +( )
−
2 1 2
1 y g(x)=(x
3+x)
 ¿Cuántas soluciones reales admite la ecuación 
f(x)=g(x)?
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2
 D) 3 
 E) más de tres
. . .
8
Álgebra
43. Dada la función f(x)=x
3+ax2+bx+c
 cuya gráfica se muestra en la figura
fY
X–2
 entonces determine el valor de a+b+c.
A) 1 
B) 2 
C) 3
D) 4 
E) 5
44. Se define la función
 h: [1; 4] → [2; 5]
 tal que h(x)=(ax+b)
– 1. Halle los valores de a y 
b para que el rango de h sea [2; 5].
 A) a=0 ∧ b ∈ R
 B) a y b cualquier número real
 C) a ∈ R ∧ b=0
 D) a b= ∧ =1
10
1
10
 E) a=1; b=2
45. La figura muestra las gráficas de las funciones f 
y g. Si f x
a
x
( ) = , entonces, halle el valor de a.
Y
X–2 1/2
1
0
A) 3/2
B) 1/2
C) 5/8
D) 4/3
E) 2
46. Se muestra la gráfica de dos funciones
Y
XO
y= 1
x
A
B
y=mx+2
 si la medida del área del triánguloAOB es 3 u2 
y las gráficas tienen dos puntos en común: 
(a; b) y (c; d), entonces determine el valor de 
a+c.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 2 3 E) 6 2 3+
47. ¿Cuántas soluciones presenta la siguiente 
ecuación?
 x x− =1 2
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
48. Resuelva la inecuación x x2 1 5+ ≤ +
 e indique un intervalo solución.
A) 〈– 1; 1〉
B) 〈– 1; +∞〉
C) 〈– ∞; 0〉
D) 〈1; +∞〉 
E) [– 2; 1〉
9
Álgebra
49. Dada la gráfica
X–1
2
3
 determine la función polinomial de menor gra-
do que represente a la gráfica.
A) P x xx( ) = −( ) +( )
2
3
1 32
B) P x xx( ) = − +( ) −( )
2
3
1 32
C) P x xx( ) = − −( ) −( )
2
3
1 32
D) P x xx( ) = − +( ) −( )1 3
2
E) P x xx( ) = − +( ) −( ) +1 3 2
2
50. Esboce la gráfica de la función f.
 f xx( ) = −4
2
 
A)
B)
C)
D)
E)
Y
X– 2 2
Y
X
2
2
Y
X– 2 2
Y
X– 2 2
Y
X– 2 2
Claves
01 - A 
02 - A 
03 - B 
04 - D 
05 - B 
06 - C 
07 - D 
08 - C
09 - E 
10 - C 
11 - B 
12 - A 
13 - B 
14 - A 
15 - E 
16 - A
17 - D 
18 - E 
19 - B 
20 - D 
21 - D 
22 - C 
23 - B 
24 - E
25 - A 
26 - A 
27 - C 
28 - D 
29 - B 
30 - C 
31 - A 
32 - D
33 - B 
34 - B 
35 - B 
36 - D 
37 - A 
38 - C 
39 - B 
40 - D
41 - D 
42 - B 
43 - B 
44 - D 
45 - C 
46 - C 
47 - A 
48 - A
49 - B 
50 - B