S12 s1 - Teoría y práctica

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Estad́ıstica Aplicada a los Negocios
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA
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Al finalizar la sesión el estudiante conoce y aplica las pruebas de hipótesis para la media.
1. Hipótesis estad́ıstica
Se denomina hipótesis estad́ıstica a cualquier afirmación o conjetura que se hace acerca de la
distribución de una o más poblaciones. La afirmación o conjetura puede referirse bien a la forma
o tipo de distribución de probabilidad de la población o bien referirse al valor o valores de uno o
más parámetros de la distribución conocida su forma.
Son hipótesis estad́ısticas:
El promedio de la altura de todos los peruanos es 1.7 m.
H : µ = 1,7
La varianza de los salarios de todos los obreros de una industria textil es 250000.
H : σ2 = 250000
La proporción de objetos defectuosos producidos por cierto proceso es menor o igual a 3 %.
H : p ≤ 0,03
La distribución de los pesos de los alumnos de la UTP es normal.
1.1. Hipótesis nula (H0)
Es la hipótesis que es aceptada provisionalmente como verdadera y cuya validez será sometida
a comprobación experimental.
1.2. Hipótesis alternativa (H1)
Es la suposición contraria a la hipótesis nula. La hipótesis alternativa H1 se acepta en caso de
que la hipótesis nula H0 sea rechazada.
Nota: La hipótesis nula siempre debe contener el signo igual porque es la hipótesis que se va a
probar y es necesario que incluya el valor espećıfico del parámetro.
En general, si se asume que θ0 es un valor del parámetro desconocido θ (donde θ representa a
µ, p, σ2,etc) de una población cuya distribución se supone conocida, entonces, son hipótesis nulas
y alternativas respectivamente las siguientes afirmaciones:
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H0 : θ = θ0 y H1 : θ 6= θ0
H0 : θ ≤ θ0 y H1 : θ > θ0
H0 : θ ≥ θ0 y H1 : θ < θ0
2. Prueba de una hipótesis estad́ıstica
Es un proceso que nos conduce a tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula H0 en
contraposición de la hipótesis alternativa H1 y con base en los resultados de una muestra aleatoria
seleccionada de la población en estudio.
Tipos de pruebas de hipótesis
El tipo de prueba depende básicamente de la hipótesis alternativa H1.
H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0 se denomina prueba bilateral o de dos colas.
H0 : θ ≤ θ0 vs H1 : θ > θ0 se denomina prueba unilateral de cola a la derecha.
H0 : θ ≥ θ0 vs H1 : θ < θ0 se denomina prueba unilateral de cola a la izquierda.
3. Tipos de errores
3.1. Error tipo I
Es el error que se comete al rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera.
α = P (error tipo I) = P (Rechazar H0/H0es verdadera)
.
3.2. Error tipo II
Es el error que se comete al aceptar la hipótesis nula H0 cuando es falsa.
β = P (error tipo II) = P (Aceptar H0/H0es falsa)
.
3.3. Nivel de significación (α)
Se denomina nivel de significación de una prueba de hipótesis a la probabilidad de cometer el
error tipo I.
Decisión H0 verdadera H0 falsa
Rechazar H0 Error tipo I Decisión correcta
Probabilidad: α Probabilidad: 1− β
Aceptar H0 Decisión correcta Error tipo II
Probabilidad: 1− α Probabilidad: β
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4. Región critica o región de rechazo
Una vez planteada las hipótesis nula (H0) y alternativa (H1) y determinado la estad́ıstica
de prueba, se procederá a establecer la regla de decisión de acuerdo con la cual se rechazará o
por el contrario se aceptará la hipótesis nula (H0). La regla de decisión implica la división de la
distribución muestral de la estad́ıstica de la prueba en dos partes mutuamente excluyentes: región
cŕıtica (RC) y la región de aceptación (RA). Esta división depende de la hipótesis alternativa (H1),
del nivel de significación α y de la distribución muestral de la estad́ıstica.
Procedimiento de la prueba de hipótesis
1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa adecuada.
2. Especificar el nivel de significación.
3. Seleccionar la estad́ıstica apropiada a usar en la prueba.
4. Establecer la regla de decisión, determinando la región cŕıtica de la prueba.
5. Calcular el valor del estad́ıstico de la prueba a partir de los datos de la muestra.
6. Tomar la decisión de rechazar H0 si el valor de la estad́ıstica de prueba está en la región
cŕıtica. En caso contrario, aceptar H0.
PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA
1. Hipótesis: Plantear adecuadamente la hipótesis H0 contra la hipótesis alternativa H1.
a) H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0
b) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0
c) H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0
2. Nivel de significación: Seleccionar un nivel de significación α.
3. Estad́ıstica de prueba:
Si σ2 es conocida:
zc =
X − µ0
σ√
n
∼ N(0, 1)
Si σ2 es desconocida:
• Si n ≥ 30:
zc =
X − µ0
S√
n
≈ N(0, 1)
• Si n < 30:
tc =
X − µ0
S√
n
∼ t(n−1)
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4. Región cŕıtica: La región critica es fijada de acuerdo a la hipótesis H1, al nivel de signifi-
cación α y a la distribución muestral de la estad́ıstica (zc o tc). Como se muestran en las
siguientes gráficas.
5. Calculo del estad́ıstica de prueba: Calcular el valor de zc ó tc.
6. Conclusión: Tomar la decisión de aceptar o rechazar H0.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Una aeroĺınea afirma que el tiempo de vuelo t́ıpico entre dos ciudades es de 56 minutos. Para
verificar la afirmación se realizará una prueba de hipótesis.
a) Formule las hipótesis nula y alternativa.
b) Si la verdadera media es de 50 minutos, ¿qué error se puede cometer? Explique su
respuesta en el contexto del problema.
c) ¿Qué error se podŕıa cometer si la verdadera media es de 56 minutos?
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2. Un fabricante está considerando la adquisición de un nuevo equipo para enlatar conservas
de palmito y especifica que el peso promedio debe ser de 300 gramos por lata. Un agente
de compras hace una visita a la compañ́ıa donde está instalado el equipo y observa que una
muestra aleatoria de 10 latas de palmito ha dado los siguientes pesos en gramos: 296, 296,
297, 297, 298, 298, 299, 300, 301, 302.
Y encuentra además que provienen de una población normal. Al nivel de significación del
5 %, ¿es posible concluir que el peso medio de todas latas es diferente a 300 gramos?
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3. El gerente de la cadena de tiendas REPLAY afirma que en promedio cada cliente gastó $500
el año pasado. Sin embargo analizando el mercado, nosotros creemos, que dicho gerente ha
exagerado. Para someter a prueba estas hipótesis se tomó una muestra aleatoria de 100
clientes que el año pasado hab́ıan comprado en dicha tienda, ésta reveló un promedio de
$470 y una desviación estándar $100. Al nivel de significación del 1 %, ¿es posible concluir
que el gasto promedio de los clientes de esta tienda es menor al gasto indicado por el gerente?
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4. Una máquina está calibrada para embolsar cereales a un peso promedio de 500 gr. Cada
cierto tiempo el jefe de control de calidad realiza una inspección para determinar si debe
mandar a calibrar la máquina. Para tomar una decisión toma una muestra aleatoria de 36
bolsas y encuentra un promedio de 496.5 gr. ¿A qué conclusión llegará el jefe de control de
calidad, si suponemos que el peso se distribuye normalmente con una desviación estándar de
9 gr? Use un 5 % de significancia.
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EJERCICIOS ADICIONALES
1. Una compañ́ıa quiere establecer que la vida media de sus bateŕıas, cuando se usan en un
ratón (mouse) inalámbrico, es de más de 183 d́ıas. Los datos consistirán en las duraciones de
las bateŕıas en 64 diferentes ratones inalámbricos.
a) Formule las hipótesis nula y alternativa.
b) Si la media verdadera es de 190 d́ıas, ¿qué error puede cometerse? Explique su respuesta
en el contextodel problema.
2. El director de una biblioteca universitaria, afirma que el número promedio de libros sacados
a préstamo semanalmente por cada estudiante ha cambiado últimamente. Anteriormente se
sacaba un promedio de 3.4 libros. En una muestra reciente de 40 estudiantes el promedio fue
de 4.3 libros con una desviación estándar de 1.5 libros. Al nivel de significación del 1 %, ¿ha
cambiado el promedio de préstamos?
3. En un centro de estudios de postgrado de Lima, indica que de acuerdo a las normas estableci-
das en una prueba de aptitud académica, los alumnos que han concluido el curso de métodos
numéricos deb́ıan tener un promedio de 76.7 puntos. Si se sabe que por una investigación
anterior sobre el caso, que la desviación estándar fue de 8,6 puntos. Si se toma una muestra
aleatoria de 45 personas que concluyeron el curso y alcanzan un promedio de 73.2. Pruebe
la hipótesis de que el promedio ha disminuido a un nivel de significación de 5 %.
4. Una empresa empaca cierto producto agŕıcola en sacos. Para la distribución del producto se
requiere que el peso promedio de cada saco sea como mı́nimo 100 libras, esto para disminuir
la utilización de sacos y facilitar su transporte. La experiencia ha indicado que la desviación
estándar del peso de un saco es de 3 libras y se distribuye de forma normal. En una muestra
aleatoria de nueve sacos, el peso promedio observado es de 98 libras. ¿El contenido de los
sacos está cumpliendo con el peso mı́nimo en promedio?
5. Un criador de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de cinco meses es 4.35
libras. Los pesos siguen una distribución normal. Para tratar de aumentar el peso de dichas
aves se le agrega un aditivo al alimento. En una muestra de pollos de cinco meses se obtuvieron
los siguientes pesos (en libras): 4.41, 4.37, 4.33, 4.35, 4.30, 4.39, 4.36, 4.38, 4.40, 4.39. A un
nivel de significación del 1 %, ¿el aditivo ha aumentado el peso medio de los pollos?
TAREA DOMICILIARIA
1. Un fabricante sostiene que sus autos consumen en promedio 2.50 galones de gasolina cada 100
Km. Un vendedor de la compañ́ıa comprueba el consumo de gasolina de 25 autos y encuentra
que el consumo medio es de 2.61 galones cada 100 Km. con una desviación estándar de 0.25
galones. A un nivel de significación del 5 %, ¿puede dudarse de lo sustentado por el fabricante?
2. Según Experiencias Pasadas, se conoce que en la Construtura GRAÑA Y MONTERO el
tiempo promedio que demora en secarse una mezcla de Cemento-SOL es de 64 minutos con
una desviación estándar de 8 minutos. El gerente de la compañ́ıa supone que éste promedio ha
aumentado sensiblemente en los últimos meses, dificultando el trabajo ya que el proveedor
de cemento a cambiado a Cementos INKA-Anti Salitre, por lo cual ordena realizar una
investigación estad́ıstica correspondiente. Para el estudio, se toma una muestra aleatoria de
64 construcciones y se mide el tiempo encontrándose una media de secado de 68 minutos. Se
pide comprobar si el gerente tiene o no la razón con un nivel de significación de 0.05.
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