Solucion examen final

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Estadística Aplicada para los Negocios 
Examen Final 
 
 
 
Pregunta 1 (4 puntos) 
 
A. Una muestra aleatoria de 144 observaciones arroja una media muestral de 160 y 
una varianza de 100. Con un nivel de confianza del 90% podemos afirmar que los 
límites inferior y superior del intervalo de confianza son respectivamente: 
- Identifique la variable y tipo de variable: 
- Límite inferior: [A] 
- Límite superior: [B] 
Solución: 
 
𝐼𝐶(𝜇; 0.90) = [160 − (1.645) (
10
√144
) ; 160 + (1.645) (
10
√144
)] 
𝐼𝐶(𝜇; 0.90) = [158.63; 161.37] 
 
B. Una muestra aleatoria de 169 observaciones arroja una media muestral de 85 y 
una varianza de 81. Con un nivel de confianza del 95% podemos afirmar que los 
límites inferior y superior del intervalo de confianza son respectivamente: 
- Identifique la variable y tipo de variable: 
- Límite inferior: [A] 
- Límite superior: [B] 
Solución: 
 
𝐼𝐶(𝜇; 0.95 ) = [85 − (1.96) (
9
√169
) ; 85 + (1.96) (
9
√169
)] 
𝐼𝐶(𝜇; 0.95 ) = [83.64; 86.36] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C. Una muestra aleatoria de 225 observaciones arroja una media muestral de 135 y 
una varianza de 49. Con un nivel de confianza del 80% podemos afirmar que los 
límites inferior y superior del intervalo de confianza son respectivamente: 
- Identifique la variable y tipo de variable: 
- Límite inferior: [A] 
- Límite superior: [B] 
Solución: 
 
𝐼𝐶(𝜇; 0.80) = [135 − (1.282) (
7
√225
) ; 135 + (1.282) (
7
√225
)] 
𝐼𝐶(𝜇; 0.80) = [134.40; 135.60]
 
Pregunta 2 (6 puntos) 
 
A. Un fabricante afirma que por lo menos 90% de las piezas de una maquinaria que 
suministra a una fábrica guardan las formas especificadas. Un examen de 200 de 
esas piezas reveló que 160 de ellas no eran defectuosas. Identifique la variable, el 
tipo de variable y pruebe si lo que afirma el fabricante es cierto al 5% de significación. 
 
Solución: 
 
Ho: 𝑝 ≥ 0.9 
H1: 𝑝 < 0.9 
 
�̅� =
160
200
= 0.8 
 
𝛼 = 0.05 
 
 
 
 
𝑍𝑐 =
�̅� − 𝑝
𝜎�̅�
=
0.8 − 0.9
√0.9 ∗ 0.1
200
= −4.71 
 
Dado que 𝑍𝑐 = −4.71 cae en la región crítica, rechazamos Ho. Menos del 90% de las 
piezas producidas por el fabricante guardan las formas específicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑍1−0.05 =-1.645 
 
B. Un fabricante afirma que por lo menos 85% de las piezas de una maquinaria que 
suministra a una fábrica guardan las formas especificadas. Un examen de 300 de 
esas piezas reveló que 270 de ellas no eran defectuosas. Identifique la variable, el 
tipo de variable y pruebe si lo que afirma el fabricante es cierto al 3% de significación. 
Solución: 
 
Ho: 𝑝 ≥ 0.85 
H1: 𝑝 < 0.85 
 
�̅� =
270
300
= 0.9 
 
𝛼 = 0.03 
 
 
 
 
𝑍𝑐 =
�̅� − 𝑝
𝜎�̅�
=
0.9 − 0.85
√0.85 ∗ 0.15
300
= 2.43 
 
Dado que 𝑍𝑐 = 2.43 cae en la región de aceptación, aceptamos Ho. Al menos el 85% 
de las piezas producidas por el fabricante guardan las formas específicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑍1−0.05 =-1.885 
 
C. Un fabricante afirma que por lo menos 80% de las piezas de una maquinaria que 
suministra a una fábrica guardan las formas especificadas. Un examen de 120 de 
esas piezas reveló que 90 de ellas no eran defectuosas. Identifique la variable, el tipo 
de variable y pruebe si lo que afirma el fabricante es cierto al 1% de significación. 
Solución: 
 
Ho: 𝑝 ≥ 0.80 
H1: 𝑝 < 0.80 
 
�̅� =
90
120
= 0.75 
 
𝛼 = 0.01 
 
 
 
 
 
𝑍𝑐 =
�̅� − 𝑝
𝜎�̅�
=
0.75 − 0.80
√0.80 ∗ 0.20
120
= −1.369 
 
Dado que 𝑍𝑐 = −1.369 cae en la región de aceptación, aceptamos Ho. Al menos el 
80% de las piezas producidas por el fabricante guardan las formas específicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑍1−𝛼 =-2.325 
 
Pregunta 3 (6 puntos) 
 
1) Se encuestó a un grupo de personas para conocer su posición política y si estaban 
a favor de las últimas acciones del congreso. A continuación se muestran los 
resultados: 
 
 A favor Indiferente En contra 
Izquierda 2 12 24 
Centro 6 6 8 
Derecha 26 10 6 
 
¿Hay relación entre la posición política de los encuestados y la opinión respecto 
al congreso? Use un nivel de significación del 10%. 
 
Solución: 
 
𝐻0: 𝐿𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑦 𝑜𝑝𝑖𝑛𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
𝐻1: 𝐿𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑦 𝑜𝑝𝑖𝑛𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
 
Nivel de significancia: 10%. 
 
Estadística de prueba: 𝑟 = 3, 𝑐 = 3. Grados de libertad: (3 − 1)(3 − 1) = 4. 
 
𝜒2𝑐 = ∑ ∑
(𝑂𝑖𝑗 − 𝑒𝑖𝑗)
2
𝑒𝑖𝑗
𝑟
𝑗=1
𝑐
𝑖=1
~𝜒2(4) 
 
Región crítica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A favor Indiferente En contra Total 
Izquierda 2 12 24 38 
Centro 6 6 8 20 
Derecha 26 10 6 42 
Total 34 28 38 100 
 
𝜒2(0.90,4) = 7.7794 
𝜒2(0.90,4) = 7.7794 
 
 
 A favor Indiferente En contra 
Izquierda 12.92 10.64 14.44 
Centro 6.8 5.6 7.6 
Derecha 14.28 11.76 15.96 
 
 
𝜒2𝑐 = 31.97 
 
Conclusión: Como 𝜒2𝑐 ∈ 𝑅𝐶 entonces se rechaza 𝐻0. 
La posición política y opinión de los encuestados no son independientes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) El jefe de operaciones de una fábrica que elabora neumáticos desea determinar 
si hay diferencias en la calidad del trabajo entre los tres turnos diarios. Cada 
neumático es clasificado como perfecto, aceptable o defectuoso. A continuación 
se muestran los datos que ha recopilado el jefe de operaciones: 
 
 Perfecto Aceptable Defectuoso 
Turno 1 22 15 2 
Turno 2 16 14 2 
Turno 3 12 14 3 
 
¿Proveen los datos suficiente evidencia para afirmar que hay diferencias en la 
calidad de los neumáticos en los tres turnos? Utilice un nivel de significación del 
5%. 
 
Solución: 
 
𝐻0: 𝐿𝑜𝑠 𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑦 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑒𝑢𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
𝐻1: 𝐿𝑜𝑠 𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑦 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑒𝑢𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
 
Nivel de significancia: 5%. 
 
Estadística de prueba: 𝑟 = 3, 𝑐 = 3. Grados de libertad: (3 − 1)(3 − 1) = 4. 
 
𝜒2𝑐 = ∑ ∑
(𝑂𝑖𝑗 − 𝑒𝑖𝑗)
2
𝑒𝑖𝑗
𝑟
𝑗=1
𝑐
𝑖=1
~𝜒2(4) 
 
Región crítica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Perfecto Aceptable Defectuoso Total 
Turno 1 22 15 2 39 
Turno 2 16 14 2 32 
Turno 3 12 14 3 29 
Total 50 43 7 100 
𝜒2(0.95,4) = 9.4877 
0.95 0.05 
9.4877 
 
 
 Perfecto Aceptable Defectuoso 
Turno 1 19.5 16.77 2.73 
Turno 2 16 13.76 2.24 
Turno 3 14.5 12.47 2.03 
 
 
 
𝜒2𝑐 = 1.81 
 
Conclusión: Como 𝜒2𝑐 ∈ 𝑅𝐴 entonces se acepta 𝐻0. 
Los turnos de trabajo y la calidad de los neumáticos son independientes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) La directora de la biblioteca municipal analiza la cantidad de usuarios por horario 
que utilizan las salas de estudio, para lo cual toma los siguientes datos: 
 
 
Estudiantes 
de academias 
Universitarios Profesionales 
Horario 
7:00 - 11:00 2 14 4 
11:00 - 15:00 21 12 6 
15:00 - 19:00 38 16 12 
 
Determine si hay relación entre los horarios de atención de la biblioteca y el nivel 
educativo de los usuarios, utilizando un nivel de significación del 5%. 
 
Solución: 
 
𝐻0: 𝐸𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑒𝑙 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
𝐻1: 𝐸𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑒𝑙 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
 
Nivel de significancia: 5%. 
 
Estadística de prueba: 𝑟 = 3, 𝑐 = 3. Grados de libertad: (3 − 1)(3 − 1) = 4. 
 
𝜒2𝑐 = ∑ ∑
(𝑂𝑖𝑗 − 𝑒𝑖𝑗)
2
𝑒𝑖𝑗
𝑟
𝑗=1
𝑐
𝑖=1
~𝜒2(4) 
 
 
Región crítica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudiantes 
de academias 
Universitarios Profesionales Total 
Horario 
7:00 - 11:00 2 14 4 20 
11:00 - 15:00 21 12 6 39 
15:00 - 19:00 38 16 12 66 
 Total 61 42 22 125 
𝜒2(0.95,4) = 9.4877 
0.95 0.05 
9.4877 
 
 
 
 
Estudiantes de 
academias 
Universitarios Profesionales7:00 - 11:00 9.76 6.72 3.52 
11:00 - 15:00 19.032 13.104 6.864 
15:00 - 19:00 32.208 22.176 11.616 
 
𝜒2𝑐 = 17.30 
 
Conclusión: Como 𝜒2𝑐 ∈ 𝑅𝐶 entonces se rechaza 𝐻0. 
El nivel de educación y el horario de atención no son independientes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pregunta 4 (4 puntos) 
 
1) En la producción de herramientas, la deformación de acero a cierta temperatura puede 
afectar su dureza. En la investigación de esta relación se obtuvieron los siguientes 
resultados experimentales: 
Deformación 
(en mm^2) 
6 9 11 13 22 26 28 33 35 
Dureza 
(en kg/mm^2) 
68 67 65 53 44 40 37 34 32 
 
a) Identifique las variables y tipos de variable. 
b) Elabore el diagrama de dispersión e interprete la pendiente. 
c) Estime e interprete el coeficiente de correlación de Pearson. 
d) Estime e interprete la dureza si la deformación alcanza los 40 mm^2. 
e) Determine e interprete el coeficiente de determinación. 
 
 Solución: 
Como está implícito en el enunciado, la variable dependiente es la dureza y la variable 
independiente es la deformación. 
 
a) Variables: Deformación y Dureza. Ambas son cuantitativas continuas por ser 
mediciones físicas. 
b) Diagrama de dispersión: 
 
 
 
Pendiente: La pendiente negativa nos indica un decrecimiento, es decir que 
mientras mayor sea la deformación, menor será la dureza del acero. 
 
c) Calculamos el coeficiente de correlación de Pearson en Excel: 
=PEARSON(C3:K3,C4:K4) 
Respuesta: -0.9773 (redondeado: -0.98) 
d) Si la deformación alcanza el valor X=40 mm^2, entonces la dureza será 
Y=22.94 kg/mm^2. 
y = -1.3196x + 75.72
R² = 0.9552
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 5 10 15 20 25 30 35 40
D
u
re
za
 e
n
 k
g/
m
m
Þ
^2
Deformación en mm^2
Relación entre la dureza y deformación de 
herramientas de acero
 
e) 𝑅2 = 0.9552. Dado que 𝑅2 está muy cerca de 1, podemos afirmar que el 
modelo de regresión propuesto representa de forma adecuada la relación 
entre las variables Deformación y Dureza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) La siguiente tabla muestra las cantidades de dinero de Gastos en Publicidad y Ventas de 
una empresa: 
Gastos en publicidad 
(en miles de dólares) 
Ventas (en miles de 
dólares) 
18 185 
23 193.4 
26 209 
32 252.6 
28 231.7 
27 220.9 
32 235.4 
20 211.9 
27 234.2 
29 254.1 
 
a) Identifique las variables y tipos de variable. 
b) Elabore el diagrama de dispersión e interprete la pendiente. 
c) Estime e interprete el coeficiente de correlación de Pearson. 
d) Estime e interprete cuánto dinero se recaudaría de las ventas si se hiciera un 
gasto en publicidad de 15.565 miles de dólares. 
e) Determine e interprete el coeficiente de determinación. 
 
Solución: 
a) Las variables son Gasto en publicidad y ventas, en miles de dólares. Ambas son 
cuantitativas continuas. 
b) Diagrama de dispersión: 
 
 
La pendiente positiva de la ecuación de regresión nos indica existe una relación directa 
entre las variables bajo estudio. A mayor inversión en publicidad, se obtendrá un mayor 
monto de ventas. 
y = 4.2513x + 111.44
R² = 0.7302
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
M
o
n
to
 d
e 
ve
n
ta
s 
en
 m
ile
s 
d
e 
d
ó
la
re
s
Gasto en publicidad, en miles de dólares
Relación entre el gasto en publicidad y las ventas 
de una empresa
 
c) Coeficiente de correlación de Pearson: 0.8545. Existe una correlación positiva y fuerte 
entre las variables bajo estudio. 
 
d) Cuánto dinero se recaudaría de las ventas si se hiciera un gasto en publicidad de 15.565 
miles de dólares. 
a 111.4351738 
b 4.251329243 
 
Calculamos a y b con las fórmulas de Excel: 
𝑌 = 111.4351738 + 4.251329243 ∗ 𝑋 
Reemplazando 15.565 dólares en la ecuación se obtiene que la respuesta es: 
177.61. 
e) Coef. De determinación: 0.7302. El modelo de regresión desarrollado representa 
de forma regular la relación entre las variables. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) La siguiente tabla muestra las horas trabajadas y unidades producidas por 12 
trabajadores en un taller: 
Horas 
trabajadas 
Unidades 
producidas 
68 266 
73 212 
81 315 
70 281 
73 210 
79 319 
75 291 
68 214 
72 291 
82 332 
87 355 
65 196 
a) Identifique las variables y tipos de variable. 
b) Elabore el diagrama de dispersión e interprete la pendiente. 
c) Estime e interprete el coeficiente de correlación de Pearson. 
d) Estime e interprete la cantidad de unidades producidas si uno de los trabajadores 
tuviera una cantidad total de 40 horas trabajadas. 
e) Determine e interprete el coeficiente de determinación. 
 
Solución: 
a) Variables: Horas trabajadas, unidades producidas por trabajador. Variables cuantitativas 
discretas. 
b) Diagrama de dispersión: 
 
 
La pendiente positiva 6.70 nos indica que hay una relación positiva entre las variables. 
A mayor cantidad de horas de trabajo, mayor cantidad de unidades producidas. 
y = 6.7007x - 225.15
R² = 0.676
175
195
215
235
255
275
295
315
335
355
375
60 65 70 75 80 85 90
U
n
id
ad
es
 p
ro
d
u
ci
d
as
Horas trabajadas
Relación entre las horas trabajadas y las unidades 
producidas por un conjunto de trabajadores de un 
taller
 
c) Correlación de Pearson: 0.8222. Existe una correlación positiva y fuerte entre las 
variables “Horas trabajadas” y “unidades producidas”. 
d) Si un trabajador laborara 40 horas, entonces el número de unidades producidas sería 
(ojo: el número de unidades producidas es un número entero, redondeado): 
 
Aplicamos la fórmula para realizar pronósticos en Excel: =PRONOSTICO(40, Datos Y, 
Datos X) 
Se obtiene 42.88, que redondeando es 43. 
 
 
e) Coeficiente de determinación: 0.676. El modelo de regresión lineal no muestra de forma 
efectiva la relación entre las variables bajo estudio.