Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
ESTADÍSTICA APLICADA PARA LOS NEGOCIOS SEMANA 07 SESIÓN 01 ESTADÍSTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS TEMA DE LA SESIÓN VARIABLE ALEATORIA LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión de clase el estudiante aplica los conceptos de variable aleatoria y resuelve ejercicios de aplicación. VARIABLE ALEATORIA VARIABLE ALEATORIA REPASO DE LA CLASE ANTERIOR • Partición de un espacio muestral • Probabilidad total • Teorema de Bayes UTILIDAD Una variable aleatoria es una especie de valor o magnitud que cambia de una ocurrencia a otra sin seguir una secuencia predecible. Por ejemplo, en una clínica para tratamiento del cáncer de mama no se tiene manera de saber con exactitud cuántas mujeres van a ser atendidas en un día cualquiera, de modo que el número de mujeres del día siguiente es una variable aleatoria. Los valores de una variable aleatoria son los valores numéricos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio. Si los registros diarios de la clínica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115 mujeres al día, entonces ésta es una variable aleatoria discreta. VARIABLE ALEATORIA VARIABLE ALEATORIA VARIABLE ALEATORIA TEMA Se denomina variable aleatoria a una variable estadística cuantitativa definida en un espacio muestral Ω. Esto es, una variable aleatoria 𝑋 es una función definida en Ω tal que a cada elemento 𝑠 ∈ Ω se le asocia el número real 𝑥 = 𝑋(𝑠). El dominio de la variable aleatoria 𝑋 es el espacio muestral Ω y su rango es el conjunto de todos los valores posibles que denotaremos por 𝑅𝑥, esto es: 𝑅𝑥 = 𝑥 ∈ ℝ /𝑥 = 𝑋(𝑠), s ∈ Ω VARIABLE ALEATORIA EJERCICIO EXPLICATIVO 1 Sea Ω el espacio muestral que resulta del experimento aleatorio de lanzar al aire una moneda tres veces consecutivas y observar la cara superior. Entonces, Ω = 𝑠𝑠𝑠, 𝑠𝑠𝑐, 𝑠𝑐𝑠, 𝑐𝑠𝑠, 𝑠𝑐𝑐, 𝑐𝑠𝑐, 𝑐𝑐𝑠, 𝑐𝑐𝑐 Si se define en Ω la variable 𝑋 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎𝑠, entonces, 𝑋 es una variable aleatoria cuyo rango es el conjunto de sus valores posible, 𝑅𝑋 = 0,1,2,3 VARIABLE ALEATORIA EJERCICIO EXPLICATIVO 2 Sea Ω el espacio muestral que resulta del control de la vida útil de un producto. Entonces, Ω = 𝑠 ∈ ℝ/𝑠 ≥ 0 Si se define en Ω la variable 𝑋 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜, entonces, 𝑋 es la variable aleatoria identidad cuyo rango es el conjunto: 𝑅𝑋 = Ω = 𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≥ 0 VARIABLE ALEATORIA Es aquella entre cuyos valores posibles no admite otros. Su rango (𝑅𝑥) es un conjunto finito o infinito numerable de valores. 𝑅𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, … CLASIFICACIÓN DE LAS VARIABLES ALEATORIAS Las variables aleatorias son variables cuantitativas, por lo tanto, se clasifican en discretas y continuas. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA VARIABLE ALEATORIA EJERCICIO EXPLICATIVO 3 VARIABLE ALEATORIA Función de probabilidad Sea 𝑋 una variable aleatoria discreta, se denomina función (ley, modelo o distribución) de probabilidad de 𝑋 a la función 𝑓(𝑥) definida por 𝑓(𝑥) = 𝑃[𝑋 = 𝑥] que satisface las siguientes condiciones: 𝑖) 𝑓 𝑥 ≥ 0; ∀ 𝑥𝜖ℝ 𝑖𝑖) 𝑥𝑖∈𝑅𝑋 𝑓(𝑥𝑖) = 1 La gráfica de una distribución de probabilidades de variable discreta es la gráfica de bastones. VARIABLE ALEATORIA Función de distribución acumulada La función de distribución acumulativa de probabilidades de la variable aleatoria discreta X, cuya función de probabilidades es 𝑓 𝑥 , se define en todos los números reales por: 𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑘≤𝑥 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝑘≤𝑥 𝑓(𝑘) ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 − ∞ < 𝑥 < ∞ Esto es, 𝐹 𝑥 = probabilidad acumulada hasta 𝑥, donde 𝑥 es cualquier número real. La representación de una función de distribución de probabilidad es una gráfica escalonada. VARIABLE ALEATORIA Valor esperado y varianza -El valor esperado, o media, de una variable aleatoria es una medida de la localización central de la variable aleatoria. -La varianza es la medida que resume la variabilidad de los valores de la variable aleatoria con respecto al valor esperado. VARIABLE ALEATORIA EJERCICIO EXPLICATIVO 4 Dada la distribución de probabilidad del número de visitas realizadas por un estudiante de la UTP a la plataforma virtual Canvas en un determinado día del ciclo académico en la siguiente tabla: VARIABLE ALEATORIA a) Halle el valor de la constante k. b) Calcule la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar no visite la plataforma Canvas ninguna vez por día. c) Calcule la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar visite la plataforma Canvas mas de 2 veces por día. d) Calcule la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar visite la plataforma Canvas a lo sumo una vez por da. e) Calcule el valor esperado y varianza de la variable aleatoria X. VARIABLE ALEATORIA SOLUCIÓN a) Halle el valor de la constante k. 0.2+2k+4k+0.3+0.05=1 k=0.075 b) Calcule la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar no visite la plataforma Canvas ninguna vez por día. 𝑃[𝑋 = 0] = 0.2 El 20% de los estudiantes no visitan la plataforma canvas en un día cualquiera. c) Calcule la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar visite la plataforma Canvas mas de 2 veces por día. P 𝑋 > 2 = 0.30 + 0.05 = 0.35 El 35% de los estudiantes visitan canvas en más de dos oportunidades al día. Número de visitas (X) Probabilidad 0 0.20 1 0.15 2 0.30 3 0.30 4 0.05 Total 1.00 VARIABLE ALEATORIA d) Calcule la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar visite la plataforma Canvas a lo sumo una vez por día. 𝑃 𝑋 ≤ 1 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃[𝑋 = 1] = 0.2 + 0.15 = 0.35 El 35% de los estudiantes visitan canvas a lo sumo una vez en un día cualquiera. e) Calcule el valor esperado y varianza de la variable aleatoria X. 𝐸 𝑋 = 0(0.2) + 1(0.15) + 2(0.3) + 3(0.3) + 4(0.05) = 1.85 Se espera que los alumnos visiten canvas aproximadamente 2 veces al día. 𝑉 𝑥 = 0 0.2 + 1 0.15 + 4 0.3 + 9 0.3 + 16 0.05 − 1.85 2 = 1.4275 Número de visitas (X) Probabilidad 0 0.20 1 0.15 2 0.30 3 0.30 4 0.05 Total 1.00 VARIABLE ALEATORIA EJERCICIO RETO 1 ¿Cuáles de las siguientes variables aleatorias son discretas y cuáles continuas? a) El número de cuentas nuevas conseguidas por un vendedor en un año. b) El tiempo que transcurre entre la llegada de cada cliente en un cajero automático. c) El número de clientes en la estética Big Nick. d) La cantidad de combustible que contiene el tanque de gasolina de su automóvil. e) La cantidad de miembros del jurado pertenecientes a una minoría. f ) La temperatura ambiente el día de hoy. VARIABLE ALEATORIA EJERCICIO RETO 2 Bob Walters, quien invierte con frecuencia en el mercado de valores, estudia con detenimiento cualquier inversión potencial. En la actualidad examina la posibilidad de invertir en la Trinity Power Company. Mediante el estudio del rendimiento en el pasado, Walters ha desglosado los resultado potenciales en cinco resultado posibles con sus probabilidades asociadas. Los resultados son tasas de rendimiento anuales sobre una sola acción que hoy cuesta $150. Encuentre el valor esperado del rendimiento sobre la inversión en una sola acción de Trinity Power. Si Walters compra acciones siempre que la tasa de rendimiento esperada exceda al 10%, ¿comprará la acción, de acuerdo con estos datos? Rendimiento de la inversión ($) 0.00 10.00 15.00 25.00 50.00 Probabilidad 0.20 .025 0.30 0.15 0.10 En cada uno de los siguientes enunciados, indique si la variable aleatoria es discreta o continua. a) El tiempo de espera para un corte de cabello. b) El número de automóviles que rebasa un corredor cada mañana. c) El número de hits de un equipo femenil de softbol de preparatoria. d ) El número de pacientes atendidos en el South Strand Medical Center entre las seis y diez de la noche, cada noche. e) La distancia que recorrió en su automóvil con el último tanque de gasolina. f) El número de clientes del Wendy’s de Oak Street que utilizaron las instalaciones.g) La distancia entre Gainesville, Florida, y todas las ciudades de Florida con una población de por lo menos 50 000 habitantes EJERCICIO RETO 3 Croissant Bakery, Inc., ofrece pasteles con decorados especiales para cumpleaños, bodas y otras ocasiones. La pastelería también tiene pasteles normales. La siguiente tabla incluye el número total de pasteles vendidos al día, así como la probabilidad correspondiente. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar del número de pasteles vendidos al día. Número de pasteles vendidos en un día Probabilidad 12 0.25 13 0.40 14 0.25 15 0.10 EJERCICIO RETO 3 VARIABLE ALEATORIA CONCLUSIÓN ¿QUÉ HEMOS APRENDIDO? ¿Una variable aleatoria, es una variable estadística? ¿Porqué se denomina variable aleatoria discreta? ¿Qué representa la esperanza matemática? VARIABLE ALEATORIA TAREA DOMICILIARIA El cuadro siguiente representa la distribución de probabilidad de los premios en efectivo de una lotería Si una persona adquiere un boleto: a) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga no más de 100$? b) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga menos de 50$? c) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga el mayor premio? Premios en dólares Probabilidad 0 0.45 10 0.30 100 0.20 500 0.05 VARIABLE ALEATORIA TAREA DOMICILIARIA Demanda unitaria Probabilidad 300 0.20 400 0.30 500 0.35 600 0.15 La demanda de un producto de una empresa varía enormemente de mes a mes. La distribución de probabilidad que se presenta en la tabla siguiente, basada en los datos de los dos últimos años, muestra la demanda mensual de la empresa. Si la empresa basa las ordenes mensuales en el valor esperado de la demanda mensual, ¿cuál será la cantidad ordenada mensualmente por la empresa para este producto?
Compartir