S10 s2 - Teoría y práctica

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Estad́ıstica Aplicada a los Negocios
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
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Al finalizar la sesión el estudiante conoce los principales conceptos y tipos de estimación. Tam-
bién calcula intervalos de confianza para la media y lo aplica en la solución de problemas.
Estimación
Una de las aplicaciones más importantes en la estad́ıstica es la estimación de los parámetros, la
cual consiste en utilizar datos muestrales para determinar los valores de los parámetros desconoci-
dos de una población. Existen dos formas distintas de realizar una estimación, de manera puntual
y por intervalos.
1. Estimación puntual
Una estimación es puntual cuando se utiliza un solo valor extráıdo de la muestra para estimar
el parámetro desconocido de la población, al valor utilizado se le llama estimador puntual. Por
ejemplo, la media muestral X es un estimador de la media poblacional µ, la proporción muestral
p es un estimador de la proporción poblacional p y la varianza muestral S2 es un estimador de la
varianza poblacional σ2.
2. Estimación por intervalos
Los estimadores puntuales toman diferentes valores de acuerdo a la muestra elegida, y el no
poder conocer el grado de precisión de la estimación realizada puede resultar poco fiable. Para
evitar este problema podemos estimar, no el valor concreto de dicho parámetro sino, un intervalo
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de valores posibles donde es más probable que se encuentre el parámetro. Llamamos un intervalo
de confianza al intervalo que contiene al parámetro θ que se esta estimando con una probabilidad
o nivel de confianza prefijado.
P (A ≤ θ ≤ B) = 1− α o IC(θ, 1− α) = [A,B]
La probabilidad 1− α es llamada nivel de confianza y α es el nivel de significancia.
3. Intervalo de confianza para la media µ
3.1. Si la varianza σ2 es conocida
Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de tamaño n extráıda de una población normal (o de
cualquier otro tipo de población, con n grande) que tiene una media µ y varianza σ2 conocida.
IC(µ, 1− α) =
[
X − Z1−α
2
σ√
n
; X + Z1−α
2
σ√
n
]
3.2. Si la varianza σ2 es desconocida
Cuando σ2 es desconocida, se utiliza la varianza de la muestra S2 como estimación puntual de
la varianza poblacional σ2.
3.2.1. Si la muestra es grande (n ≥ 30)
Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de tamaño n suficientemente grande extráıda de una
población (normal o no normal) con media µ y varianza σ2 desconocida. Entonces, el intervalo de
confianza para la media µ es:
IC(µ, 1− α) =
[
X − Z1−α
2
S√
n
; X + Z1−α
2
S√
n
]
3.2.2. Si la muestra es pequeña (n < 30)
Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de tamaño n extráıda de una población normal con
media µ y varianza σ2 desconocida. Entonces, el intervalo de confianza para la media µ es:
IC(µ, 1− α) =
[
X − t(1−α
2
,n−1)
S√
n
; X + t(1−α
2
,n−1)
S√
n
]
4. Tamaño de la muestra
Se puede determinar que tan grande debe ser el tamaño de muestra n, de manera que si µ se
estima por X, el error de estimación no sea mayor que un valor e y se tiene una confianza de 1−α.
Entonces, el valor de n se obtiene de:
Z1−α
2
σX ≤ e
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Por tanto, el tamaño mı́nimo de la muestra será:
Z1−α
2
σ√
n
= e⇒ n =
(
Z1−α
2
σ
e
)2
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida de distribución normal y una
desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una vida promedio de 780
horas. Construya un intervalo de confianza del 97 % para el tiempo promedio de todos los
focos que produce la empresa. Interprete el resultado obtenido.
2. Se desea estimar el peso promedio de todos los frascos de mermelada que produce una
máquina. Para este estudio se considera muestra aleatoria de 10 frascos abatiéndose los
siguientes pesos en gramos:
214 197 197 206 208 201 197 203 209 200
Asuma que los pesos tienen una distribución normal.
a) Estime el peso promedio de todos los frascos de mermelada que produce una máquina
de manera puntual.
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b) Determine e interprete un intervalo de confianza del 95 % para el peso promedio de
todos los frascos de mermelada que produce la máquina.
3. Una máquina está programada para embolsar la cantidad media de 250 gramos de café. Para
verificar si la máquina esta trabajando correctamente, se toma una muestra aleatoria de 36
bolsas, resultando una media de 246.5 gramos y una desviación estándar de 12 gramos.
a) Construya e interprete un intervalo de confianza del 95 % para la verdadera cantidad
media de las bolsas de café.
b) ¿Se puede afirmar que la máquina esta trabajando correctamente?
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4. Una firma constructora desea estimar la resistencia media de las barras de acero utilizadas
en la construcción de viviendas. La desviación estándar de la resistencia para este tipo de
barra es de 25 kg. ¿Cuál es el tamaño de la muestra que se debeŕıa escoger para estimar la
resistencia media si se quiere un error de estimación de 5 kg y una confianza del 95 %?
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Se quiere hacer una encuesta para estimar el tiempo promedio por semana que los niños ven
televisión. Por estudios anteriores se sabe que la desviación estándar de dicho tiempo es de
3 horas.
a) ¿Qué tamaño de muestra se debeŕıa elegir si desea que el error de estimación sea media
hora con nivel de confianza del 97 %?
b) Si se toma una muestra de tamaño 100 de la cual se obtuvo un tiempo promedio de 18
horas. Construya el intervalo de confianza del 98 % para el tiempo promedio verdadero
e interprete el resultado.
2. Un ingeniero de planta de purificación de agua mide el contenido de cloro diariamente en 50
muestras diferentes. Sobre un periodo bastante largo en años ha establecido que la desviación
estándar es de 1.2 miligramos de cloro por litro. Las últimas muestras promediaron 4.8
miligramos de cloro por litro.
a) Calcule un intervalo de confianza para el contenido promedio de cloro al 98 % de confi-
anza.
b) Si se quiere tener un error máximo de estimación de 0.35 miligramos de cloro por litro,
con un nivel de confianza del 98 %. ¿De qué tamaño debeŕıa ser la muestra?
3. Un fabricante afirma que el peso promedio de las latas de fruta en conserva que saca al
mercado es 19 onzas para verificar esta afirmación se escogen al azar 20 latas de fruta y se
encuentra que el peso promedio es 18.5 onzas. Suponga que la población es aproximadamente
normal con una desviación estándar de 2 onzas. Utilizando un intervalo de confianza del 98 %,
¿se puede aceptar la afirmación del fabricante?
4. Un fabricante produce focos cuya duración tiene distribución normal. Si una muestra aleatoria
de 9 focos da las siguientes vidas útiles en horas: 775, 780, 800, 795, 790, 785, 795, 780, 810.
a) Estime la duración media de todos los focos del fabricante de manera puntual.
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b) Estime la duración media de todos los focos del fabricante mediante un intervalo de
confianza del 95 %.
c) ¿Es correcta la afirmación del fabricante?
5. Las cajas de un cereal producido por una fábrica deben tener un contenido de 160 gramos.
Un inspector tomó una muestra que arrojó los siguientes pesos en gramos: 157, 157, 163, 158,
161, 159, 162, 159, 158, 156
Suponga que los pesos de las cajas tienen distribución normal, calcule e interprete un intervalo
de confianza del 90 % para la media poblacional de los pesos.
6. El gerente del banco Financiero afirma que el balance promedio de las cuentas de ahorros
durante el 2013 fue de $1300, con una desviación estándar de $80. Si se toma muestra aleatoria
de 45 cuentas de ahorros resultando un promedio de $1350 durante el 2013. Usando un nivel
de confianza del 97 %, ¿podemos aceptar la afirmación del gerente del banco?TAREA DOMICILARIA
1. La Asociación Estadounidense de Productores de Azúcar desea calcular el consumo medio
de azúcar por año. Una muestra de 16 personas revela que el consumo medio anual es de 60
libras, con una desviación estándar de 20 libras.
a) Construya un intervalo de confianza de 90 % para la media de población.
b) ¿Es razonable concluir que la media poblacional es de 63 libras?
2. Una empresa de investigación llevó a cabo una encuesta para determinar la cantidad media
que los fumadores gastan en cigarrillos durante una semana. La empresa encontró que la
distribución de cantidades gastadas por semana tend́ıa a seguir la distribución normal, con
una desviación estándar de $5. Una muestra de 49 fumadores reveló que la media es $20.
a) Con un nivel de confianza de 95 %, determine el intervalo de confianza para la cantidad
media gastada en cigarrillos.
b) Suponga que se tomó una muestra de 64 fumadores (en lugar de 49) y que la media
muestral es la misma. ¿Cuál es el efecto que se produce en la longitud del intervalo?
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