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Elipse 1
Elipse
La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos
es constante.
Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de
simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.[1] Una elipse que gira alrededor de
su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un
esferoide alargado.
Historia
Forma elíptica trazada en la antigüedad sobre un muro de
Tebas (Egipto).
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por
Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se
atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la
sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En
1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque
más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en
un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y
publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró
que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita
elíptica alrededor del Sol.[2]
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Elipse 2
Elementos de una elipse
La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.
La elipse es una curva plana y cerrada,
simétrica respecto a dos ejes
perpendiculares entre sí:
• El semieje mayor (el segmento C-a
de la figura), y
• el semieje menor (el segmento C-b
de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor
respectivamente.
Puntos de una elipse
Los focos de la elipse son dos puntos
equidistantes del centro, F1 y F2 en el
eje mayor. La suma de las distancias
desde cualquier punto P de la elipse a
los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a
la elipse si se cumple la relación:
donde es la medida del semieje mayor de la elipse.
Ejes de una elipse
El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de
las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos
puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.
Excentricidad de una elipse
La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la
elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
, con 
Dado que , también vale la relación:
o el sistema:
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su
excentricidad al valor cero.[3] La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.
(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos.
Véase: número e).
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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%89psilon
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Elipse 3
Excentricidad angular de una elipse
La excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la
excentricidad , esto es:
Constante de la elipse
En la figura de la derecha se muestran los
dos radio vectores correspondientes a cada
punto P de una elipse, los vectores que van
de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de
los segmentos correspondientes a cada uno
son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en
la animación se ilustra como varían para
diversos puntos P de la elipse.
Como establece la definición inicial de la
elipse como lugar geométrico, para todos los
puntos P de la elipse la suma de las
longitudes de sus dos radio vectores es una
una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:
PF1 + PF2 = 2a
En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.
Directrices de la elipse
La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.
Cada foco F de la elipse está asociado con
una recta paralela al semieje menor llamada
directriz (ver ilustración de la derecha). La
distancia de cualquier punto P de la elipse
hasta el foco F es una fracción constante de
la distancia perpendicular de ese punto P a
la directriz que resulta en la igualdad:
La relación entre estas dos distancias es la
excentricidad de la elipse. Esta propiedad
(que puede ser probada con la herramienta
esferas de Dandelin) puede ser tomada como
otra definición alternativa de la elipse.
Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto
fijo –que se denomina foco– y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.
Además de la bien conocida relación , también es cierto que , también es útil la fórmula .
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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Esferas_de_Dandelin
Elipse 4
Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya
distancia del centro O es -d, la cual además es paralela a la directriz anterior.
Ecuaciones de la elipse
En coordenadas cartesianas
Forma cartesiana centrada en origen
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las
ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La
distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
Forma cartesiana centrada fuera del origen
Si el centro de la elipse seencuentra en el punto (h,k), la ecuación es:
En coordenadas polares
Forma polar centrada en origen
En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:
(epc 1)
Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad ), es:
(epc 2) 
Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc
2) ε es la excentricidad.
Si no se quiere pre-calcular la excentricidad convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario
utilizar la ecuación (epc 2).
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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Abscisa
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ordenada
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Excentricidad_%28ciencias_exactas%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Semieje_mayor
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_polares
Elipse 5
Formas polares centradas en un foco
Coord. polares sobre un foco.
En coordenadas polares, con el origen en uno de sus
focos, la ecuación de la elipse es:
(501)
Para el otro foco:
(502)
"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.
En el caso un poco más general de una elipse con un
foco en el origen y el otro foco en la coordenada
angular , la forma polar es:
(503) }
El ángulo de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la
llamada anomalía verdadera del punto y el numerador
de las mismas es el llamado semi-latus
rectum de la elipse, normalmente denotado . El
semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor
que pasa por el foco.
Formas paramétricas
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en y siendo el semieje mayor y el menor, es:
con no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse
(tampoco es el ángulo del sistema de coordenadas polares con origen en algún foco de la elipse). La relación entre
y θ es
.
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en en la que el parámetro sea concordante con el ángulo
polar respecto al centro desplazado es:
con . El parámetro es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en .
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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_polares
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AElps-slr.svg
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Anomal%C3%ADa_verdadera
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica
Elipse 6
Área interior de una elipse
El área de la superficie interior de una elipse es:
Siendo a y b los semiejes.[4]
Longitud de una elipse
El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.
Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más simple que se aproxima razonablemente a la longitud
de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, entre
otros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:
Propiedades notables
La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson y
Morley.
La elipse como cónica
La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano
no supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada.
En otro caso el corte podría ser una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales se
las llama secciones cónicas o simplemente cónicas.
la elipse como cónica.
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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81rea
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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_el%C3%ADptica_de_segunda_especie
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Srinivasa_Aiyangar_Ramanujan
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Analog%C3%ADa_de_Michelson_y_Morley
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Elipse 7
La elipse como hipotrocoide
La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r el
radio de la circunferencia generatriz.
En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de
la circunferencia directriz.
La elipse como caso particular de hipotrocoide.
Datos: R = 10, r = 5, d = 1.
Construcción paramétrica de una elipse
Se dibujan dos circunferencias concéntricas cuyos diámetros equivalen a la medida de los ejes ortogonales de la
futura elipse. Si trazamos segmentos palalelos a los ejes principales X e Y, partiendo del extremo de los radios
alineados, la intersección de dichos segmentos son puntos de la elipse.
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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Circunferencia
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Directriz
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Elipse 8
Anamorfosis de una circunferencia en una elipse
Determinada trasformación de la circunferencia (al deformar ortogonalmente el plano cartesiano asociado a ella), se
denomina anamorfosis. Se corresponde con una perspectiva especial. El término anamorfosis proviene del idioma
griego y significa trasformar.
Una circunferencia en un plano cartesiano no deformado.
Esta circunferencia se transforma en una elipse mediante una
anamorfosis, donde el eje Y se ha contraído y el X se ha
dilatado.
En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide en cuadrados, cuando dicho plano se «deforma» en
sentido del eje X, el Y, o ambos, la circunferencia se transforma en una elipse y los cuadrados en rectángulos.
Elipses semejantes
Se dice que dos figuras son semejantes cuando se diferencian sólo en el tamaño (pero no en la forma), de tal manera
que multiplicando todas las longitudes por un factor dado, se pasa de una figura a la otra. Hay un teorema de utilidad
en Física[5] acerca de la intersección de una recta con dos elipses semejantes y concéntricas.
Teorema: Si la intersección de una recta con la corona comprendida entre dos elipses semejantes con el mismo centro y ejes
correspondientes colineales consta de dos segmentos, entonces éstos tienen igual longitud.
Explicación: El teorema es cierto, por simetría, en el caso particular en que las elipses dadas sean dos circunferencias
concéntricas. Contrayendo o dilatando uniformemente una de las direcciones coordenadas, mediante anamorfosis,
podemos transformar cualquier caso en este caso particular, pues todos los segmentos con la misma pendiente
cambian su longitud en la misma proporción. Por tanto, puesto que al final del proceso los dos segmentos de la recta
tienen la misma longitud, la tenían ya al principio.
No deben confundirse las elipses semejantes con las elipses cofocales.
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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Anamorfosishttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_el%C3%ADpticas
Elipse 9
La elipse en mecánica celeste
Diagrama ilustrando la segunda ley de Kepler, "en tiempos iguales una
masa en órbita barre con su radio vector áreas iguales".
En mecánica celeste clásica, dos masas puntuales
sometidas exclusivamente a interacción gravitatoria
describen una órbita elíptica o circular la una en
torno a la otra cuando la órbita es cerrada. Un
observador situado en cualquiera de las masas verá
que la otra describe una elipse (o circunferencia) uno
de cuyos focos (o centro) está ocupado por el propio
observador. La excentricidad y otros parámetros de la
trayectoria dependen, para dos masas dadas, de las
posiciones y velocidades relativas. Los planetas y el
Sol satisfacen la condición de masas puntuales con
gran precisión porque sus dimensiones son mucho
más pequeñas que las distancias entre ellos. La
cinemática de la órbita se rige por las leyes de
Kepler.
En la figura pueden verse dos intervalos de tiempo distintos de una órbita elíptica que cumplen la segunda ley de
Kepler: "en tiempos iguales una masa en órbita barre con su radio vector áreas iguales". Cuando el "planeta" está
más cerca de la "estrella" va más rápido y cuando está lejos va más despacio, pero de tal manera que su velocidad
areolar es la misma en ambos casos. Esto significa que las áreas de los sectores elípticos amarillos son iguales y sus
arcos t0 t1 se han recorrido en intervalos de tiempo iguales, Δt = t1 - t0. La "estrella" está situada en P, uno de los
focos de la elipse.
Referencias
[1] Si el ángulo de plano intersección, respecto del eje de revolución, es menor que el comprendido entre la generatriz y el eje de revolución, la
intersección será una hipérbola. Será una parábola si es paralelo al citado eje, y una circunferencia si es perpendicular dicho eje.
[2] Weisstein, Eric W. « Elipse (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Ellipse. html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
[3] Ejemplos de excentricidad de una elipse, en geometriadinamica (http:/ / geometriadinamica. es/ Geometria/ Conicas-y-otras-curvas/
Elipse-Excentricidad. html)
[4] Ejemplo en educaplus (http:/ / www. educaplus. org/ play-22-�rea-de-la-elipse. html)
[5] Ellipsoidal Figures of Equilibrium de S. Chandrasekhar, 1969, Yale University.
Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Elipse. Commons
• Weisstein, Eric W. « Elipse (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Ellipse. html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram
Research.
• Actividad escolar para estudiar la elipse. (http:/ / www. educaplus. org/ play-181. html)
• Cálculo del perímetro de una elipse (http:/ / www. disfrutalasmatematicas. com/ geometria/ elipse-perimetro.
html)
• Animación de un plano seccionando un cono y determinando la curva cónica elipse. (http:/ / www. stefanelli. eng.
br/ webpage/ es_elipse. html)
• Cómo trazar una elipse de dimensiones prefijadas (http:/ / cyt-ar. com. ar/ cyt-ar/ index. php/
Cómo_trazar_una_elipse).
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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AOrbitas-Kepler-segunda-ley-01.svg
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Mec%C3%A1nica_celeste
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Gravedad
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%93rbita
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Leyes_de_Kepler
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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Problema_de_los_dos_cuerpos_%23_Ley_de_las_%C3%A1reas
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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Circunferencia
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=MathWorld
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Wolfram_Research
http://geometriadinamica.es/Geometria/Conicas-y-otras-curvas/Elipse-Excentricidad.html
http://geometriadinamica.es/Geometria/Conicas-y-otras-curvas/Elipse-Excentricidad.html
http://www.educaplus.org/play-22-%C3%81rea-de-la-elipse.html
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikimedia_Commons
http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Ellipses
http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Ellipses
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=MathWorld
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Wolfram_Research
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http://www.educaplus.org/play-181.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse-perimetro.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse-perimetro.html
http://www.stefanelli.eng.br/webpage/es_elipse.html
http://www.stefanelli.eng.br/webpage/es_elipse.html
http://cyt-ar.com.ar/cyt-ar/index.php/C�mo_trazar_una_elipse
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