Elipse

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PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4949494949
77777Capítulo
LA ELIPSE
Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado
recto) es 5 vértices ( )10,0± .
Solución:
1
25
y
100
x:: en tanto lo Por
100a10a
25b5
a
b2CN
:enunciado del Luego
1
b
y
a
x::Sabemos
22
2
2
2
2
2
2
2
=+
==
===
→=+
õ
õ
!
!
!
!"
!
!
5050505050
Capítulo 7. LA ELIPSE
Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con 1x = , ( )1,5C = ,
( )1,8F = ; suma de las distancias focales de un punto de la elipse es 12.
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) 1
36
5y
27
1x::tanto lo Por
27b27936bcab:Sabemos
9c3CFc:Luego
36a6a12a2:Pero
1
a
ky
b
hx:: deducimos enunciado Del
22
22222
2
2
2
2
2
2
=−+−
==−=−=
===
===
=−+−
õ
õ
!"!"
!"
!"!"
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5151515151
Reducir la ecuación 021y16x6y4x 22 =++−+ a la forma ordinaria de
la ecuación de una elipse y determinar las coordenadas del centro, vértices
y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la cuerda normal; y la
excentricidad.
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1
1
3
a
ce:dadExcentrici
1
2
12
a
2bNC:Normal Cuerda
2122b:menor Eje4222a:mayor Eje
3c3cc14cba
1b1b2a4a
:También
2,1V
2,5V
2,23ka,hV
:de obtienen se elipse la de vértices los Luego
2,3kh,C:tenemos ecuación la De
1
1
2y
4
3x
:
42y43x
169214y4y49x6x
:y e x para cuadrados oCompletand
021y16x6y4x
2
222222
22
2
1
22
22
22
22
<==
=×==
=×==×=
±==+=+=
±==±==




−=
−=
−±=±=
−==
=++−
=++−
++−=++++−
=++−+
!
!
!!
!
!!
!!!
!!
!!
õ
5252525252
Capítulo 7. LA ELIPSE
Por el foco de la elipse 115y25x 22 =+ se ha trazado una perpendicular
a su eje mayor. Determinar las distancias de los puntos de intersección de
esta perpendicular con la elipse hasta los focos.
Solución:
( ) ( )
"
!
→=
±=±=
±=−±=−=−=
→=+
10x:es foco primer el en trazada
larperpendicu la de ecuación La
,010Fc,0F
:son elipse la de focos los Luego,
101525cbaccab:Sabemos
1
15
y
25
x:
:elipse la de ecuación la Tenemos
222222
22
!!
!!
! õ
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5353535353
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 7301010CF
3301010CF
:tanto lo Por
3,10yx,C:aquí De
3y9y1
15
y
25
9: y De
22
2
22
1
2
2
=−+−−=
=−+−=
==
±===+
!
!
!!"!
Búsquese la ecuación de la elipse que tenga como centro ( )2,4C −= y
sea tangente a los dos ejes de coordenadas.
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) 1
16
4y
4
2x:
4b2b
 Yeje al C de Distancia:b
16a4a
X eje al C de Distancia:a
:caso este Para
1
a
ky
b
hx::Sea
22
2
2
2
2
2
2
=−++
==
==
=−+−
õ
õ
!
!!
!!
!
!
5454545454
Capítulo 7. LA ELIPSE
Hallar la ecuación canónica de la elipse, si uno de los vértices está en
( )5,0V1 = y pasa por el punto ( )2,3P = .
Solución:
( )
( )
75y7x3:1
775
y
25
x:
:tanto lo Por
7
75b1
b
3
25
42,3P:Como
1
b
y
25
x::Luego
25a5a5,0V:que Dado
1
b
y
a
x:
22
22
2
2
2
22
2
1
2
2
2
2
=+=+
==+∈=
=+
===
=+
õõ
õ
õ
õ
!
!!
!!
!
La base de un auditorio es de forma elíptica, tiene 20 m. de longitud y 16 m
de ancho. Si cae una aguja sobre un foco el ruido que produce se escucha
claramente cerca del otro foco. ¿A qué distancia está un foco del otro
foco?
Solución:
12c22F1F:tanto lo Por
6c36ccab:donde De
64b8b
100a10a
:enunciado del datos los Según
2222
2
2
==
±==−=
==
==
!!
!
!
!
!
Según los datos del enunciado:
Por lo tanto:
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5555555555
Usando la definición de elipse, obtener la ecuación de la elipse con focos
en ( )3,4F −= y ( )5,4F2 = eje mayor 12.
Solución:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
031y72x10y9x5:
 :soperacione Efectuando
124y5x4y3x
:donde De
12a2PFPF
:que tiene se elipse, de definición la Por
mueve. se que punto el yx,P Sea
22
2222
21
=+++−
=−+−−−++
==−
=
õ
!
!
5656565656
Capítulo 7. LA ELIPSE
Demostrar que para todo elipse que tenga su centro en el origen, la distancia
de cualquiera de los extremos del eje menor a cualquiera de los focos es la
mitad de la longitud del eje mayor.
Solución:
aaFB:tanto lo Por
bca:que definición por sabemos pero,
bcFB:figura la de Luego,
a
2
a2
2
VV
FB
:que Probar
origen. el en vértice con elipse la1
b
y
a
x:Sea
2
11
222
22
11
21
11
2
2
2
2
==
+=
+=
===
=+
!
õ
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5757575757
Un punto se mueve de tal modo que la suma de las distancias de los
puntos ( )2,0A −= y ( )2,6B −= es 8. Hallar la ecuación del lugar
geométrico de P .
Solución:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1
16
3y
7
2x:
015y42x64y7x16:
:tiene se s,operacione Efectuando
86y2xy2x
:donde De
8BPAP
:problema del condición la Por
mueve. se que punto el yx,P Sea
22
22
2222
=−++∴
=+−++
=−+++++
=+
=
õ
õ
La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente una
elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mayor de la órbita elíptica
es de .km000300 y la excentricidad es de 017,0 aproximadamente.
Hallar la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol.
Solución:
5502c0001500,017a0,017c0,017
a
ce
:elipse la de dadexcentrici la de aproximado valor Del
000150a0003002a
:que tenemos gráfico, el según y datos los De
=×=×===
==
!!
!
!
!
Por la condición del problema:
5858585858
Capítulo 7. LA ELIPSE
450147ca5502000150ca:Minimo
550152ca5502000150ca:Máximo
:Luego
=−−=−
=++=+
!
!
!
!
´