geo-8

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PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5959595959
88888Capítulo
LA HIPÉRBOLA
Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto ( )2,3A = , tiene
su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y, y una de sus
asíntotas es la recta 0x7y2 =− .
Solución:
( )( )
( )
1
78
x
2
y:8x7y4:: En
8kk28362,3A:Pero
kx7y4:kx7y2x7y2:
:Luego
0x7y2:0x7y2:Si
. hipérbola la de asíntotas y Sean
22
22
22
21
21
=−=−
==−∈=
→=−=+−
=+=−
HH
H
HH
H
!
!!
!
!
!
!!
‹‹
‹‹
6060606060
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
Hallar la ecuación de la hipérbola, con vértices en ( )70,V ±= y 34e = .
Solución:
( ) ( )
343y79x:
1
9343
x
49
y::tanto lo Por
9
343b49
9
784acb:Luego
9
784ca
3
4c
3
4
a
ce:Además
7aa0,70,V:Si
1
b
x
a
y::deduce se datos los De
22
22
2222
2
2
2
2
2
=−
=−
=−=−=
=×===
±=±=±=
=−
H
H
H
!
!!
!
Dada la ecuación de la hipérbola 4y4x 22 =− , hallar las coordenadas de
los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la
excentricidad y la longitud de la cuerda normal (lado recto).
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
2
5e
a
ce:dadExcentrici
,05c,0F:Focos
2,0a,0V:Vértices
5c514bac
1b1b2a4a
:donde De
1
1
y
4
x:4y4x::Sabemos
222
22
22
22
==
±=±=
±=±=
±==+=+=
±==±==
=−=−
!
!
!!
!
!
!!
HH
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6161616161
2b2:Conjugado Eje
4a2:Transverso Eje
1
2
12
a
2bCN:Normal Cuerda
2
=
=
=×==
Encontrar la ecuación de la hipérbola de focos ( )1,1F1 −= y ( ),15F2 =
y un vértice en ( )0,1V = .
Solución:
6262626262
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 1
5
1y
4
2x:
1
b
ky
a
hx::tanto lo Por
5bb49bac
4a2CVa
:Ahora
2,1C
1k
2h
kh,C
9c3c6c2FF:Sabemos
22
2
2
2
2
22222
2
2
21
=−−−
=−−−
=+=+=
===
=



=
=
=
====
H
H
!!
!
!!
!!
!
!
!
Determinar la ecuación de la hipérbola, sabiendo que sus focos son los
puntos ( )3,4F1 = y ( )23,F2 −= y su excentricidad es igual a 2.
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 1
427
3x
49
1y:
1
b
hx
a
ky::tanto lo Por
4
27b
4
99acb:que Sabemos
4
9a
2
3a2
a
ce:Además
3CFCFc:Luego
,13C
1k
3h
kh,C
22
2
2
2
2
2222
2
21
=−−−
=−−−
=−=−=
====
===
=



=
=
=
H
H
!
!!
!!!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6363636363
Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están en los vértices de la
elipse: 164y100x 22 =+ . Y las directrices pasan por los focos de esta
elipse.
Solución:
( ) ( )
100c10c
elipse. la en a de valor del partir a
hipérbola la enc de valor el obtenemos problema, del condición Por
1
b
y
a
x::hipérbola la En
6,0c,0F:donde De
6c3664100baccab
8b64b10a100a
1
64
y
100
x::elipse la En
2
2
2
2
2
222222
22
22
=±=
=−
±=±=
±==−=−=−=
±==±==
=+
!
!!
!!
!
!
!!
H
õ
6464646464
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
1
100
y
60
x:
1
b
y
a
x::tanto lo Por
40b60100bcab:Seguido
60a: en Luego
elipse. la en
obtenido valor un es c donde ; c x :problema del condición Por
10
a
c
a
ac
ax
e
ax:hipérbola la de directriz la de ecuación La
22
2
2
2
2
22222
2
22
=−
=−
=−=−=
=
=
→±==±=
±=
H
H
!!
!
!
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6565656565
Dada la ecuación de la hipérbola: ( ) 1128y164x 22 =−− , encontrar las
coordenadas del centro, vértices y focos; la excentricidad; las ecuaciones
de las directrices y asíntotas; y la longitud de la cuerda normal (lado recto).
Solución:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )[ ] ( )[ ]
( )
( )



=−−
=+−
=−−⋅+−
=−−−



=
=
±=±=




−=
=
±=±=




=
=
±=±=
±==+=+=
±==±==
==
→=−−
0y4x22:
0y4x22:
0y4x22y4x22
k128y4x8
: en ; asíntotas las de Ecuaciones
38x
316x
3
44
e
ahx
:sdirectrice las de Ecuaciones
0,8F
0,16F
,0124c,khF:Focos
0,0V
0,8V
4,04a,khV:Vértice
12c14412816bac
28b128b4a16a
:Además
4,0kh,C que deduce se
 1
128
y
16
4x: Si
2
1
2
2
1
2
1
222
22
22
‹
‹
!
!
!
!
!
!
!!
!
!
!
!!
H
s:
6666666666
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
6464
4
1282
a
2bCN:Normal Cuerda
2
==×==
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6767676767
Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos ( )2,3A −= y
( )7,6B = , tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el
eje X.
Solución:
( )
( )
16y5x4:
1
516
y
4
x::Luego
516b;4a: y De
1
b
36
a
49:6,7B
1
b
4
a
9:23,A
1
b
y
a
x:
22
22
22
22
22
2
2
2
2
=−∴
=−
==
→=−∈=
→=−∈−=
=−
H
H
H
H
H
"!
"
!
!
!
!
!
Un observador estacionado en el punto P oye el estampido de un rifle y el
golpe de la bala sobre el objetivo en el mismo instante. Demostrar que el
lugar geométrico de P es una hipérbola.
Solución:
v
ettve:Además
sonido del Velocidad:V
bala la de Velocidad:V
:Sean
s
b
=⋅= !
!
!
6868686868
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
!→+=
sbs V
BP
V
BR
V
RP:problema del condición Por
( )
LQQD
hipérbola de Definición
kBPRP
k
V
BRVBPRP
V
BR
V
BP
V
RP
: De
b
s
bss
=−
=×=−
=−
!
!
!
!