S08 s2 - Problema de Transporte y Distribución -Método del Costo Mínimo

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INVESTIGACIÓN 
OPERATIVA
Problema de Transporte y 
Distribución
“Método del Costo 
Mínimo”
S08.s2 
La competencia que el 
estudiante debe lograr al 
final de la sesión es:
“Al finalizar la sesión el alumno 
conoce y aplica el método del 
costo mínimo en la solución de 
casos del problema de 
transporte”.
Problema del transporte o distribución
El problema del transporte o distribución, es un problema de
redes especial en programación lineal que se funda en la
necesidad de llevar unidades de un punto específico llamado
fuente u origen hacia otro punto específico llamado destino.
Los principales objetivos de un modelo de transporte son la
satisfacción de todos los requerimientos establecidos por los
destinos, y claro está, la minimización de los costos
relacionados con el plan determinado por las rutas escogidas.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Problema del transporte o distribución
El contexto en el que se aplica el modelo de transporte es
amplio y puede generar soluciones atinentes al área de
operaciones, inventario y asignación de elementos.
El procedimiento de resolución de un modelo de transporte se
puede llevar a cabo mediante programación lineal común, sin
embargo su estructura permite la creación de múltiples
alternativas de solución tales como la estructura de asignación
o los métodos heurísticos más populares como Vogel, Esquina
Noroeste o Mínimos Costos.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Los problemas de transporte o distribución son uno de los más aplicados en
la economía actual, dejando como es de prever múltiples casos de éxito a
escala global que estimulan la aprehensión de los mismos.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Forma Matricial
Una manera de representar el problema de transporte es la llamada forma
matricial que es más adecuada para este problema. La forma matricial también
llamada tabla de costes aparece en la Figura. En la tabla aparecen las ofertas,
las demandas y los costes de transporte.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Ejemplo: Forma Matricial
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Método del Costo Mínimo
Mínimos costos
El método del costo mínimo o método de los mínimos costos es un
algoritmo desarrollado con el objetivo de resolver problemas de
transporte o distribución, arrojando mejores resultados que métodos
como el de la esquina noroeste, dado que se enfoca en las rutas que
presentan menores costos.
Este algoritmo es mucho más sencillo que los anteriores, dado que se
trata simplemente de la asignación de la mayor cantidad de unidades
posibles (sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda
menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el método.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Algoritmo del Costo Mínimo
Paso 1
De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en 
caso de un empate, este se rompe arbitrariamente) y se le 
asigna la mayor cantidad de unidades posible, cantidad que 
se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o 
de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la 
oferta y demanda de la fila y columna afectada, 
restándole la cantidad asignada a la celda.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Paso 2
En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta
o demanda sea 0 después del «Paso 1», si dado el caso ambas
son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se
deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso.
Paso 3
Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que
quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha
llegado al final el método, «detenerse».
La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este
es el caso iniciar nuevamente el «Paso 1».
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Ejemplo del Método del Costo Mínimo
Por medio de este método resolveremos el problema de transporte
propuesto y resuelto en artículos anteriores mediante programación
lineal.
El problema
Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de
generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro
ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y
4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día
respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá,
Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día
respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro
energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad
son los registrados en la siguiente tabla.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Formule un modelo de programación lineal que permita
satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo
que minimice los costos asociados al transporte.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Solución paso a paso
Seleccionamos la celda con menor valor, es decir la menos
costosa, para asignarle la mayor cantidad posible.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Luego esa cantidad asignada se resta a la demanda de
Bogotá y a la oferta de la «Planta 3», en un proceso muy
lógico. Dado que Bogotá se queda sin demanda esta
columna desaparece, y se repite el primer proceso.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Nuevo proceso de asignación
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Nuevo proceso de asignación
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Nuevo proceso de asignación
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Una vez finalizado el cuadro anterior nos daremos cuenta
que solo quedará una fila, por ende asignamos las unidades
y se ha terminado el método.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
El cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo
paralelamente) queda así:
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Los costos asociados a la
distribución son:
En este caso el método del costo
mínimo presenta un costo total
superior al obtenido mediante
Programación Lineal y el Método
de Aproximación Vogel, sin
embargo comúnmente no es así,
además es simple de desarrollar y
tiene un mejor rendimiento en
cuanto a resultados respecto al
Método de la Esquina Noroeste.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Ejemplo 1.
Una empresa debe planificar la producción de un
artículo para los 4 trimestres del próximo año. Puede
estimar la demanda en las siguientes unidades: 200,
150, 200 y 100 en cada uno de los trimestres. La
capacidad de producción está limitada a 150
unidades en cada trimestre. Las demandas de un
trimestre no se pueden satisfacer en trimestres
posteriores. El coste unitario de producción es de 2
unidades, pero en el caso de que haya
almacenamiento se incrementa en 0.5 unidades en
cada periodo por cada unidad almacenada.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Consideramos que tanto los orígenes como los destinos son los 4
trimestres.
Definimos xij , i = 1, . . ., 4, j = 1, . . ., 4, como el número de
unidades que deben producirse en el trimestre i para satisfacer la
demanda del trimestre j.
• Oferta de los orígenes: 150, 150, 150, 150.
• Demanda de los destinos: 200, 150, 200, 100.
• El coste de producción cij = 2 si i = j, i, j = 1, . . ., 4.
• El coste cij = coste de producción + coste de almacenamiento si i
< j.
Por ejemplo c12 = 2.5, c13 = 3. De la misma forma se calculan el
resto de costes.
• Si i > j asignamos a cij un valor M suficientemente grande para
evitar que xij sea básica
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
La forma matricial cuyo objetivo es minimizar es la
siguiente.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Ejemplo 2.
Una empresa produce un único artículo en tres plantas,
A1, A2
y A3. La capacidad de producción mensual de la empresa
está limitada a 1500 unidades mensuales en cada una de
las plantas. La empresa tiene cuatro clientes mayoristas
cuyas demandas mensuales son 1000, 1200, 1500 y
1000 unidades respectivamente.
El beneficio unitario que le proporciona su producto,
considerados los costes de producción y el precio de
venta, es de 110 unidades.Los costes de envío a los 4
clientes mayoristas que la empresa tiene vienen dados
por la siguiente tabla.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
El objetivo de la empresa es organizar la producción en cada uno de
los meses para obtener el máximo beneficio.
• Ofertas: 1500, 1500, 1500.
• Demandas: 1000, 1200, 1500, 1000.
• Los valores cij , i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4 de la siguiente tabla
son los beneficios de producir una unidad en la planta Ai y
enviarlo al cliente j para su venta. Por ejemplo,
c11 = 110 − 30 = 80, c12 = 110 − 10 = 100, c33 = 110 − 15 = 95.
El resto de beneficios se calculan de forma similar.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
La forma matricial para este problema cuyo
objetivo es maximizar es la siguiente:
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución