S09 s1 - Problema de Transporte y Distribución -Método de Aproximación de Vogel

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INVESTIGACIÓN 
OPERATIVA
Problema de Transporte y 
Distribución
“Método de Aproximación 
de Vogel”
S09.s1 
La competencia que el 
estudiante debe lograr al 
final de la sesión es:
“Al finalizar la sesión los 
alumnos conocen y aplican el 
método de aproximación de 
Vogel en la resolución de casos 
del Problema de transporte”.
Problema del transporte o distribución
El problema del transporte o distribución, es un problema de
redes especial en programación lineal que se funda en la
necesidad de llevar unidades de un punto específico llamado
fuente u origen hacia otro punto específico llamado destino.
Los principales objetivos de un modelo de transporte son la
satisfacción de todos los requerimientos establecidos por los
destinos, y claro está, la minimización de los costos
relacionados con el plan determinado por las rutas escogidas.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Problema del transporte o distribución
El contexto en el que se aplica el modelo de transporte es
amplio y puede generar soluciones atinentes al área de
operaciones, inventario y asignación de elementos.
El procedimiento de resolución de un modelo de transporte se
puede llevar a cabo mediante programación lineal común, sin
embargo su estructura permite la creación de múltiples
alternativas de solución tales como la estructura de asignación
o los métodos heurísticos más populares como Vogel, Esquina
Noroeste o Mínimos Costos.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Los problemas de transporte o distribución son uno de los más aplicados en
la economía actual, dejando como es de prever múltiples casos de éxito a
escala global que estimulan la aprehensión de los mismos.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Forma Matricial
Una manera de representar el problema de transporte es la llamada forma
matricial que es más adecuada para este problema. La forma matricial también
llamada tabla de costes aparece en la Figura. En la tabla aparecen las ofertas,
las demandas y los costes de transporte.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Ejemplo: Forma Matricial
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Método de aproximación de Vogel
El método de aproximación de Vogel es un método
heurístico de resolución de problemas de transporte
capaz de alcanzar una solución básica no artificial de
inicio, este modelo requiere de la realización de un
número generalmente mayor de iteraciones que los
demás métodos heurísticos existentes con este fin,
sin embargo produce mejores resultados iniciales que
los mismos.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Algoritmo de Vogel
El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 
3 pasos fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la 
culminación del método.
Paso 1
Determinar para cada fila y columna una medida de penalización 
restando los dos costos menores en filas y columnas.
Paso 2
Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que 
de la resta realizada en el «Paso 1» se debe escoger el número 
mayor. En caso de haber empate, se debe escoger 
arbitrariamente (a juicio personal).
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Paso 3
De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior 
debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor 
cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda 
quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solo 
se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0).
Paso 4: De ciclo y excepciones
✓ Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o
demanda, detenerse.
✓ Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva,
determine las variables básicas en la fila o columna con el método de costos
mínimos, detenerse.
✓ Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y
demanda, determine las variables básicas cero por el método del costo mínimo,
detenerse.
✓ Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que
las ofertas y las demandas se hayan agotado.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Ejemplo del Método de Aproximación de Vogel
Por medio de este método resolveremos el problema de transporte
propuesto y resuelto en artículos anteriores mediante programación
lineal.
El problema
Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de
generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro
ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y
4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día
respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá,
Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día
respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro
energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad
son los registrados en la siguiente tabla.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Formule un modelo de programación lineal que permita
satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo
que minimice los costos asociados al transporte.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Solución paso a paso
El primer paso es determinar las medidas de penalización y
consignarlas en el tabulado de costos, tal como se muestra
a continuación.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
El paso siguiente es escoger la mayor penalización, de esta
manera:
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
El paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor, y en una tabla
paralela se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar
como el menor costo es «2» y que a esa celda se le pueden asignar como máximo
60 unidades «que es la capacidad de la planta 3».
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Iniciamos una nueva iteración
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Iniciamos una nueva iteración
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Continuamos con las iteraciones
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Continuamos con las iteraciones
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Continuamos con las iteraciones
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Al finalizar esta iteración podemos observar como el tabulado queda una fila sin
tachar y con valores positivos, por ende asignamos las variables básicas y hemos
concluido el método.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Los costos asociados con la distribución son:
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Los costos asociados con la distribución son:
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
De esta manera se ha determinado una solución, la cual también fue
obtenida mediante programación lineal, definitivamente desarrollar la
capacidad para modelar mediante programación lineal y apoyarse de
una buena herramienta como QM, SOLVER, etc. termina siendo
mucho más eficiente que la utilización de los métodos heurísticos
para problemas determinísticos.
Sin embargo, cabe recordar que uno de los errores más frecuentes
en los que caen los ingenieros industriales es en tratar de adaptar
sus organizaciones a los modelos establecidos, cabe recordar que son
los modelos los que deben adaptarse a las necesidades, lo cual
requiere de determinada habilidad para realizar de forma inmediata
cambios innovadores para sus fines.
Sesión: Modelo de Transporte y Distribución
Ejemplo 1.
Una empresa debe planificar la producción de un
artículo para los 4 trimestres del próximo año. Puede
estimar la demanda en las siguientes unidades: 200,
150, 200 y 100 en cada uno de los trimestres. La
capacidad de producción está limitada a 150
unidades en cada trimestre. Las demandas de un
trimestre no se pueden satisfacer en trimestres
posteriores. El coste unitario de producción es de 2
unidades, pero en el caso de que haya
almacenamientose incrementa en 0.5 unidades en
cada periodo por cada unidad almacenada.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Consideramos que tanto los orígenes como los destinos son los 4
trimestres.
Definimos xij , i = 1, . . ., 4, j = 1, . . ., 4, como el número de
unidades que deben producirse en el trimestre i para satisfacer la
demanda del trimestre j.
• Oferta de los orígenes: 150, 150, 150, 150.
• Demanda de los destinos: 200, 150, 200, 100.
• El coste de producción cij = 2 si i = j, i, j = 1, . . ., 4.
• El coste cij = coste de producción + coste de almacenamiento si i
< j.
Por ejemplo c12 = 2.5, c13 = 3. De la misma forma se calculan el
resto de costes.
• Si i > j asignamos a cij un valor M suficientemente grande para
evitar que xij sea básica
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
La forma matricial cuyo objetivo es minimizar es la
siguiente.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Ejemplo 2.
Una empresa produce un único artículo en tres plantas,
A1, A2
y A3. La capacidad de producción mensual de la empresa
está limitada a 1500 unidades mensuales en cada una de
las plantas. La empresa tiene cuatro clientes mayoristas
cuyas demandas mensuales son 1000, 1200, 1500 y
1000 unidades respectivamente.
El beneficio unitario que le proporciona su producto,
considerados los costes de producción y el precio de
venta, es de 110 unidades. Los costes de envío a los 4
clientes mayoristas que la empresa tiene vienen dados
por la siguiente tabla.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
El objetivo de la empresa es organizar la producción en cada uno de
los meses para obtener el máximo beneficio.
• Ofertas: 1500, 1500, 1500.
• Demandas: 1000, 1200, 1500, 1000.
• Los valores cij , i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4 de la siguiente tabla
son los beneficios de producir una unidad en la planta Ai y
enviarlo al cliente j para su venta. Por ejemplo,
c11 = 110 − 30 = 80, c12 = 110 − 10 = 100, c33 = 110 − 15 = 95.
El resto de beneficios se calculan de forma similar.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
La forma matricial para este problema cuyo
objetivo es maximizar es la siguiente:
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución